22 Markgildi

2.3 Reiknireglur fyrir markgildi

Námsmarkmið

2.3.1 Þekkið grundvallarreiknireglur markgilda.
2.3.2 Notið markgildisreglurnar til að reikna markgildi falls.
2.3.3 Reiknið markgildi falls með þáttun.
2.3.4 Notið markgildisreglurnar til að reikna markgildi margliðufalls eða ræðs falls.
2.3.5 Reiknið markgildi falls með þáttun eða með því að nota samoka.
2.3.6 Reiknið markgildi falls með klemmureglunni.

Í fyrri undirkafla reiknuðum við markgildi með því að skoða gröf eða útbúa gildatöflu. Í þessum undirkafla setjum við fram reiknireglur fyrir markgildi og lærum að beita þeim. Í nemendaverkefninu í lok undirkaflans gefst ykkur tækifæri til að beita þessum reiknireglum til að leiða út formúluna fyrir flatarmál hrings með því að aðlaga aðferð sem gríski stærðfræðingurinn Arkímedes þróaði. Við byrjum á að setja aftur fram tvær gagnlegar niðurstöður um markgildi úr fyrri undirkafla. Þessar tvær niðurstöður mynda, ásamt reiknireglunum fyrir markgildi, grunn að útreikningi margra markgilda.

Útreikningur markgilda með markgildisreglum

Fyrstu tvær markgildisreglurnar voru settar fram undir fyrirsögninni Tvö mikilvæg markgildi og eru endurteknar hér. Þessar grundvallarniðurstöður verða, ásamt öðrum markgildisreglum, notaðar til að reikna markgildi margra algebraískra falla.

Dæmi 2.13

Útreikningur á einföldu markgildi

Reiknið hvert eftirfarandi markgildi með því að nota Grunnniðurstöður um markgildi.

lim𝑥→2⁢𝑥 $lim_{x \to 2} x$
lim𝑥→2⁢5 $lim_{x \to 2} 5$

Lausn

Markgildi x þegar x nálgast a er a: $lim_{x \to 2} x = 2 .$
Markgildi fastafalls er fastinn sjálfur: $lim_{x \to 2} 5 = 5 .$

Við skoðum nú markgildisreglurnar, sem lýsa einstökum eiginleikum markgilda. Hér er sönnunum þeirra sleppt.

Setning 2.5

Reiknireglur fyrir markgildi

Látum 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ og 𝑔⁡(𝑥) $g (x)$ vera skilgreind fyrir öll 𝑥≠𝑎 $x \neq a$ á einhverju opnu bili sem inniheldur a. Gerum ráð fyrir að L og M séu rauntölur þannig að lim𝑥→𝑎⁢𝑓⁡(𝑥)=𝐿 $lim_{x \to a} f (x) = L$ og lim𝑥→𝑎⁢𝑔⁡(𝑥)=𝑀. $lim_{x \to a} g (x) = M .$ Látum c vera fasta. Þá gilda allar eftirfarandi fullyrðingar:

Summuregla fyrir markgildi: lim𝑥→𝑎⁢(𝑓⁡(𝑥)+𝑔⁡(𝑥))=lim𝑥→𝑎⁢𝑓⁡(𝑥)+lim𝑥→𝑎⁢𝑔⁡(𝑥)=𝐿+𝑀 $lim_{x \to a} (f (x) + g (x)) = lim_{x \to a} f (x) + lim_{x \to a} g (x) = L + M$

Mismunaregla fyrir markgildi: lim𝑥→𝑎⁢(𝑓⁡(𝑥)−𝑔⁡(𝑥))=lim𝑥→𝑎⁢𝑓⁡(𝑥)−lim𝑥→𝑎⁢𝑔⁡(𝑥)=𝐿−𝑀 $lim_{x \to a} (f (x) - g (x)) = lim_{x \to a} f (x) - lim_{x \to a} g (x) = L - M$

Regla um fastamargfeldi markgildis: lim𝑥→𝑎⁢𝑐⁢𝑓⁡(𝑥)=𝑐·lim𝑥→𝑎⁢𝑓⁡(𝑥)=𝑐⁢𝐿 $lim_{x \to a} c f (x) = c \cdot lim_{x \to a} f (x) = c L$

Margfeldisregla fyrir markgildi: lim𝑥→𝑎⁢(𝑓⁡(𝑥)·𝑔⁡(𝑥))=lim𝑥→𝑎⁢𝑓⁡(𝑥)·lim𝑥→𝑎⁢𝑔⁡(𝑥)=𝐿·𝑀 $lim_{x \to a} (f (x) \cdot g (x)) = lim_{x \to a} f (x) \cdot lim_{x \to a} g (x) = L \cdot M$

Deiliregla fyrir markgildi: $lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{lim_{x \to a} f (x)}{lim_{x \to a} g (x)} = \frac{L}{M}$ fyrir $M \neq 0$

Veldisregla fyrir markgildi: lim𝑥→𝑎⁢(𝑓⁡(𝑥))𝑛=(lim𝑥→𝑎⁢𝑓⁡(𝑥))𝑛=𝐿𝑛 $lim_{x \to a} {(f (x))}^{n} = {(lim_{x \to a} f (x))}^{n} = L^{n}$ fyrir sérhverja jákvæða heiltölu n.

Rótarregla fyrir markgildi: lim𝑥→𝑎⁢𝑛√𝑓⁡(𝑥)=𝑛√lim𝑥→𝑎⁢𝑓⁡(𝑥)=𝑛√𝐿 $lim_{x \to a} \sqrt[n]{f (x)} = \sqrt[n]{lim_{x \to a} f (x)} = \sqrt[n]{L}$ fyrir öll L ef n er oddatala og fyrir 𝐿≥0 $L \geq 0$ ef n er slétt heiltala og 𝑓⁡(𝑥) ≥0 $f (x) \geq 0$ .

Nú æfum við okkur í að beita þessum markgildisreglum til að reikna markgildi.

Dæmi 2.14

Útreikningur markgildis með markgildisreglum

Notið markgildisreglurnar til að reikna $lim_{x \to −3} (4 x + 2) .$

Lausn

Beitum markgildisreglunum einni af annarri til að ganga úr skugga um að við skiljum hvernig þær virka. Við þurfum að hafa í huga að í hvert sinn sem markgildisreglu er beitt þurfa markgildin sem fást að vera til svo beita megi reglunni.

lim𝑥→−3⁢(4⁢𝑥+2)=lim𝑥→−3⁢4⁢𝑥+lim𝑥→−3⁢2Apply the sum law.=4·lim𝑥→−3⁢𝑥+lim𝑥→−3⁢2Apply the constant multiple law.=4·(−3)+2=−10.Apply the basic limit results and simplify. $\begin{matrix} lim_{x \to −3} (4 x + 2) & = lim_{x \to −3} 4 x + lim_{x \to −3} 2 & Apply the sum law. \\ = 4 \cdot lim_{x \to −3} x + lim_{x \to −3} 2 & Apply the constant multiple law. \\ = 4 \cdot (−3) + 2 = −10 . & Apply the basic limit results and simplify. \end{matrix}$

Dæmi 2.15

Endurtekin beiting markgildisreglna

Notið markgildisreglurnar til að reikna $lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x^{3} + 4} .$

Lausn

Til að finna þetta markgildi þurfum við að beita markgildisreglunum nokkrum sinnum. Enn á ný þurfum við að hafa í huga að þegar við umritum markgildið með öðrum markgildum verður hvert nýtt markgildi að vera til svo hægt sé að beita viðkomandi markgildisreglu.

lim𝑥→2⁢2⁢𝑥2−3⁢𝑥+1𝑥3+4=lim𝑥→2⁢(2⁢𝑥2−3⁢𝑥+1)lim𝑥→2⁢(𝑥3+4)Apply the quotient law, making sure that.(2)₃+4≠0=2·lim𝑥→2⁢𝑥2−3·lim𝑥→2⁢𝑥+lim𝑥→2⁢1lim𝑥→2⁢𝑥3+lim𝑥→2⁢4Apply the sum law and constant multiple law.=2·(lim𝑥→2⁢𝑥)₂−3·lim𝑥→2⁢𝑥+lim𝑥→2⁢1(lim𝑥→2⁢𝑥)₃+lim𝑥→2⁢4Apply the power law.=2⁢(4)−3⁢(2)+1(2)₃+4=14.Apply the basic limit laws and simplify. $\begin{matrix} lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x^{3} + 4} & = \frac{lim_{x \to 2} (2 x^{2} - 3 x + 1)}{lim_{x \to 2} (x^{3} + 4)} & Apply the quotient law, making sure that. {(2)}^{3} + 4 \neq 0 \\ = \frac{2 \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 3 \cdot lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} 4} & Apply the sum law and constant multiple law. \\ = \frac{2 \cdot {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 3 \cdot lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} 4} & Apply the power law. \\ = \frac{2 (4) - 3 (2) + 1}{{(2)}^{3} + 4} = \frac{1}{4} . & Apply the basic limit laws and simplify. \end{matrix}$

Markgildi margliðufalla og ræðra falla

Nú hafið þið líklega tekið eftir því að í hverju dæmanna hér á undan hefur gilt að $lim_{x \to a} f (x) = f (a) .$ Þetta gildir ekki alltaf, en það gildir þó um allar margliður fyrir sérhvert val á a og um öll ræð föll fyrir öll þau gildi a sem ræða fallið er skilgreint fyrir.

Til að sjá að setningin gildir skoðum við margliðuna $p (x) = c_{n} x^{n} + c_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + c_{1} x + c_{0} .$ Með því að beita summureglunni, reglunni um fastamargfeldi markgildis og veldisreglunni fáum við að lokum

\begin{matrix} lim_{x \to a} p (x) & = lim_{x \to a} (c_{n} x^{n} + c_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + c_{1} x + c_{0}) \\ = c_{n} {(lim_{x \to a} x)}^{n} + c_{n - 1} {(lim_{x \to a} x)}^{n - 1} + \dots + c_{1} (lim_{x \to a} x) + lim_{x \to a} c_{0} \\ = c_{n} a^{n} + c_{n - 1} a^{n - 1} + \dots + c_{1} a + c_{0} \\ = p (a) . \end{matrix}

Af deilireglunni leiðir nú að ef $p (x)$ og $q (x)$ eru margliður þannig að $q (a) \neq 0,$ þá

lim_{x \to a} \frac{p (x)}{q (x)} = \frac{p (a)}{q (a)} .

Í dæmi 2.16 er þessari niðurstöðu beitt.

Dæmi 2.16

Útreikningur markgildis ræðs falls

Reiknið $lim_{x \to 3} \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{5 x + 4} .$

Lausn

Þar sem 3 er í skilgreiningarmengi ræða fallsins 𝑓⁡(𝑥)=2⁢𝑥2−3⁢𝑥+15⁢𝑥+4, $f (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{5 x + 4},$ getum við reiknað markgildið með því að setja 3 í stað x í fallið. Því fæst:

lim_{x \to 3} \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{5 x + 4} = \frac{10}{19} .

Fleiri aðferðir til að reikna markgildi

Eins og við höfum séð er auðvelt að reikna markgildi margliða og markgildi sumra (en ekki allra) ræðra falla með beinni innsetningu. Eins og fram kom í inngangskaflanum um markgildi er þó vissulega mögulegt að $lim_{x \to a} f (x)$ sé til þótt $f (a)$ sé óskilgreint. Eftirfarandi athugun gerir okkur kleift að reikna mörg markgildi af þessu tagi:

Ef fyrir öll $x \neq a, f (x) = g (x)$ á einhverju opnu bili sem inniheldur a, þá er $lim_{x \to a} f (x) = lim_{x \to a} g (x) .$

Til að skilja þessa hugmynd betur skulum við skoða markgildið $lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} .$

Fallið

\begin{matrix} f (x) & = \frac{x^{2} - 1}{x - 1} \\ = \frac{(x - 1) (x + 1)}{x - 1} \end{matrix}

og fallið $g (x) = x + 1$ eru eins fyrir öll $x \neq 1 .$ Gröf þessara tveggja falla eru sýnd á mynd 2.24.

Tvö gröf hlið við hlið. Fyrra grafið sýnir g(x) = x + 1, sem er línulegt fall og sker y-ásinn í (0,1) og x-ásinn í (-1,0). Síðara grafið sýnir f(x) = (x^2 – 1) / (x – 1). Gröfin eru eins fyrir öll x ≠ 1, en á síðara grafinu er opinn hringur í (1,2). — **Mynd 2.24.** Gröf fallanna 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ og 𝑔⁡(𝑥) $g (x)$ eru eins fyrir öll 𝑥≠1. $x \neq 1 .$ Markgildi þeirra þegar x nálgast 1 eru jöfn.

Við sjáum að

\begin{matrix} lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} & = lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x + 1)}{x - 1} \\ = lim_{x \to 1} (x + 1) \\ = 2 . \end{matrix}

Markgildið er af gerðinni $lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)},$ þar sem $lim_{x \to a} f (x) = 0$ og $lim_{x \to a} g (x) = 0 .$ (Í þessu tilviki segjum við að $f (x) / g (x)$ hafi óákveðnu gerðina $0 / 0 .)$ Lausnaraðferðin hér á eftir gefur almennt yfirlit yfir hvernig reikna má markgildi af þessari gerð.

Aðferð við lausn verkefna

Útreikningur markgildis þegar $f (x) / g (x)$ er af óákveðnu gerðinni 0/0

Fyrst þurfum við að ganga úr skugga um að fallið sé á viðeigandi formi og að ekki sé hægt að reikna markgildi þess strax með markgildisreglunum.
Þá þurfum við að finna fall sem er jafnt ℎ⁡(𝑥)=𝑓⁡(𝑥)/𝑔⁡(𝑥)h⁡(x)=f⁡(x)/g⁡(x) fyrir öll 𝑥≠𝑎x≠a á einhverju bili sem inniheldur a. Til þess gætum við þurft að prófa eitt eða fleiri eftirfarandi skref: Ef
1. 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ og 𝑔⁡(𝑥) $g (x)$ eru margliður ættum við að þátta hvort fall um sig og stytta
2. alla sameiginlega þætti. Ef teljarinn eða nefnarinn inniheldur mismun þar sem kvaðratrót kemur fyrir ættum við að reyna að margfalda teljarann og nefnarann með samoka segðarinnar sem inniheldur kvaðratrótina. Ef
3. 𝑓⁡(𝑥)/𝑔⁡(𝑥) $f (x) / g (x)$ er brotabrot byrjum við á að einfalda það.
Að lokum beitum við markgildisreglunum.

Næstu dæmi sýna hvernig þessari lausnaraðferð er beitt. Dæmi 2.17 sýnir þáttunar- og styttingaraðferðina; dæmi 2.18 sýnir margföldun með samoka. Í dæmi 2.19 skoðum við einföldun brotabrots.

Dæmi 2.17

Útreikningur markgildis með þáttun og styttingu

Reiknið $lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 3 x}{2 x^{2} - 5 x - 3} .$

Lausn

Skref 1. Fallið 𝑓⁡(𝑥)=𝑥2−3⁢𝑥2⁢𝑥2−5⁢𝑥−3 $f (x) = \frac{x^{2} - 3 x}{2 x^{2} - 5 x - 3}$ er óskilgreint þegar 𝑥=3. $x = 3 .$ Ef við setjum 3 inn í fallið fáum við raunar 0/0, $0 / 0,$ sem er óákveðið form. Góð aðferð er að þátta og stytta:

lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 3 x}{2 x^{2} - 5 x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{x (x - 3)}{(x - 3) (2 x + 1)}

Skref 2. Fyrir öll 𝑥≠3,𝑥2−3⁢𝑥2⁢𝑥2−5⁢𝑥−3=𝑥2⁢𝑥+1. $x \neq 3, \frac{x^{2} - 3 x}{2 x^{2} - 5 x - 3} = \frac{x}{2 x + 1} .$ Því gildir:

lim_{x \to 3} \frac{x (x - 3)}{(x - 3) (2 x + 1)} = lim_{x \to 3} \frac{x}{2 x + 1} .

Skref 3. Reiknið markgildið með markgildisreglunum:

lim_{x \to 3} \frac{x}{2 x + 1} = \frac{3}{7} .

Dæmi 2.18

Útreikningur markgildis með því að margfalda með samoka

Reiknið $lim_{x \to −1} \frac{\sqrt{x + 2} - 1}{x + 1} .$

Lausn

Skref 1. √𝑥+2−1𝑥+1 $\frac{\sqrt{x + 2} - 1}{x + 1}$ er af gerðinni 0/0 $0 / 0$ þegar x = −1. Byrjum á því að margfalda bæði teljara og nefnara með √𝑥+2+1, $\sqrt{x + 2} + 1,$ sem er samoki √𝑥+2−1, $\sqrt{x + 2} - 1,$ eins og hér er sýnt:

lim_{x \to −1} \frac{\sqrt{x + 2} - 1}{x + 1} = lim_{x \to −1} \frac{\sqrt{x + 2} - 1}{x + 1} \cdot \frac{\sqrt{x + 2} + 1}{\sqrt{x + 2} + 1} .

Skref 2. Síðan margföldum við upp úr svigunum í teljaranum. Við margföldum ekki upp úr svigunum í nefnaranum því að við vonumst til þess að þátturinn (𝑥+1) $(x + 1)$ í nefnaranum styttist út að lokum:

= lim_{x \to −1} \frac{x + 1}{(x + 1) (\sqrt{x + 2} + 1)} .

Skref 3. Síðan styttum við út:

= lim_{x \to −1} \frac{1}{\sqrt{x + 2} + 1} .

Skref 4. Að lokum beitum við markgildisreglunum:

lim_{x \to −1} \frac{1}{\sqrt{x + 2} + 1} = \frac{1}{2} .

Dæmi 2.19

Útreikningur markgildis með einföldun brotabrots

Reiknið $lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{2}}{x - 1} .$

Lausn

Skref 1. $\frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{2}}{x - 1}$ er á forminu $0 / 0$ við 1. Við einföldum algebrubrotið með því að margfalda með $2 (x + 1) / 2 (x + 1) :$

lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{2}}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{2}}{x - 1} \cdot \frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)} .

Skref 2. Næst margföldum við saman þættina í teljurunum. Við margföldum ekki saman þættina í nefnurunum því að við viljum geta stytt út þáttinn (𝑥−1): $(x - 1) :$

= lim_{x \to 1} \frac{2 - (x + 1)}{2 (x - 1) (x + 1)} .

Skref 3. Síðan einföldum við teljarann:

= lim_{x \to 1} \frac{- x + 1}{2 (x - 1) (x + 1)} .

Skref 4. Nú tökum við −1 út fyrir sviga í teljaranum:

= lim_{x \to 1} \frac{- (x - 1)}{2 (x - 1) (x + 1)} .

Skref 5. Síðan styttum við út sameiginlega þáttinn (𝑥−1): $(x - 1) :$

= lim_{x \to 1} \frac{−1}{2 (x + 1)} .

Skref 6. Að lokum reiknum við markgildið með því að beita markgildisreglunum:

lim_{x \to 1} \frac{−1}{2 (x + 1)} = - \frac{1}{4} .

Dæmi 2.20 fellur ekki auðveldlega að engu þeirra mynstra sem komu fram í dæmunum hér á undan. Með örlitlu hugmyndaflugi getum við þó beitt sömu aðferðum.

Dæmi 2.20

Útreikningur markgildis þegar markgildisreglurnar eiga ekki við

Reiknið $lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} + \frac{5}{x (x - 5)}) .$

Lausn

Hvorki 1/𝑥 $1 / x$ né 5/𝑥⁢(𝑥−5) $5 / x (x - 5)$ hefur markgildi í núlli. Þar sem hvorugt fallanna tveggja hefur markgildi í núlli getum við ekki beitt summureglunni fyrir markgildi; við verðum að nota aðra aðferð. Í þessu tilviki finnum við markgildið með því að leggja fyrst saman og beita síðan einni af fyrri aðferðum okkar. Athugið að

\begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{5}{x (x - 5)} & = \frac{x - 5 + 5}{x (x - 5)} \\ = \frac{x}{x (x - 5)} . \end{matrix}

Því fæst

\begin{matrix} lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} + \frac{5}{x (x - 5)}) & = lim_{x \to 0} \frac{x}{x (x - 5)} \\ = lim_{x \to 0} \frac{1}{x - 5} \\ = - \frac{1}{5} . \end{matrix}

Snúum okkur nú aftur að einhliða markgildum. Með einföldum breytingum á markgildisreglunum má beita þeim á einhliða markgildi. Til að beita markgildisreglunum á markgildi af gerðinni $lim_{x \to a^{-}} h (x),$ þarf fallið $h (x)$ til dæmis að vera skilgreint á opnu bili af gerðinni $(b, a);$ en fyrir markgildi af gerðinni $lim_{x \to a^{+}} h (x),$ þarf fallið $h (x)$ að vera skilgreint á opnu bili af gerðinni $(a, c) .$ Dæmi 2.21 varpar ljósi á þetta atriði.

Dæmi 2.21

Útreikningur einhliða markgildis með markgildisreglunum

Reiknið hvert markgildanna hér á eftir, ef unnt er.

lim𝑥→3−⁢√𝑥−3 $lim_{x \to 3^{-}} \sqrt{x - 3}$
lim𝑥→3+⁢√𝑥−3 $lim_{x \to 3^{+}} \sqrt{x - 3}$

Lausn

Mynd 2.25 sýnir fallið $f (x) = \sqrt{x - 3}$ og auðveldar okkur að skilja þessi markgildi.

Graf fallsins f(x) = sqrt(x-3). Grafið lítur út eins og efri helmingur fleygboga sem opnast til hægri og hefur topppunkt í (3,0). — **Mynd 2.25.** Grafið sýnir fallið f ⁡ ( x ) = x − 3 .

Fallið 𝑓⁡(𝑥)=√𝑥−3 $f (x) = \sqrt{x - 3}$ er skilgreint á bilinu [3,+∞). $[3, + \infty) .$ Þar sem þetta fall er ekki skilgreint vinstra megin við 3 getum við ekki beitt markgildisreglunum til að reikna út lim𝑥→3−⁢√𝑥−3. $lim_{x \to 3^{-}} \sqrt{x - 3} .$ Þar sem 𝑓⁡(𝑥)=√𝑥−3 $f (x) = \sqrt{x - 3}$ er óskilgreint vinstra megin við 3 er lim𝑥→3−⁢√𝑥−3 $lim_{x \to 3^{-}} \sqrt{x - 3}$ raunar ekki til.
Þar sem $f (x) = \sqrt{x - 3}$ er skilgreint hægra megin við 3, gilda markgildisreglurnar um $lim_{x \to 3^{+}} \sqrt{x - 3} .$ Með því að beita þessum markgildisreglum fáum við $lim_{x \to 3^{+}} \sqrt{x - 3} = 0 .$

Í dæmi 2.22 skoðum við einhliða markgildi hlutskilgreinds falls og notum þau til að draga ályktun um tvíhliða markgildi sama falls.

Dæmi 2.22

Útreikningur tvíhliða markgildis með markgildisreglunum

Fyrir 𝑓⁡(𝑥)={4⁢𝑥−3ef𝑥<2(𝑥−3)₂ef𝑥≥2, $f (x) = {\begin{matrix} 4 x - 3 & ef x < 2 \\ {(x - 3)}^{2} & ef x \geq 2 \end{matrix},$ reiknið hvert eftirfarandi markgilda:

lim𝑥→2−⁢𝑓⁡(𝑥) $lim_{x \to 2^{-}} f (x)$
lim𝑥→2+⁢𝑓⁡(𝑥) $lim_{x \to 2^{+}} f (x)$
lim𝑥→2⁢𝑓⁡(𝑥) $lim_{x \to 2} f (x)$

Lausn

Mynd 2.26 sýnir fallið $f (x)$ og auðveldar okkur að skilja þessi markgildi.

Graf hlutskilgreinds falls með tveimur hlutum. Fyrir x<2 er fallið línulegt og hefur jöfnuna 4x-3. Opinn hringur er í punktinum (2,5). Seinni hlutinn er fleygbogi sem er skilgreindur fyrir x>=2 og hefur jöfnuna (x-3)^2. Fylltur hringur er í punktinum (2,1). Toppunktur fleygbogans er í punktinum (3,0). — **Mynd 2.26.** Þetta graf sýnir fall f ⁡ ( x ) .

Þar sem $f (x) = 4 x - 3$ fyrir öll x í $(− \infty, 2),$ skiptum $f (x)$ út fyrir $4 x - 3$ í markgildinu og beitum markgildisreglunum:

$lim_{x \to 2^{-}} f (x) = lim_{x \to 2^{-}} (4 x - 3) = 5 .$
Þar sem 𝑓⁡(𝑥)=(𝑥−3)₂ $f (x) = {(x - 3)}^{2}$ fyrir öll x í (2,+∞), $(2, + \infty),$ skiptum við 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ í markgildinu út fyrir (𝑥−3)₂ ${(x - 3)}^{2}$ og beitum markgildisreglunum:

lim𝑥→2+⁢𝑓⁡(𝑥)=lim𝑥→2+⁢(𝑥−3)₂=1. $lim_{x \to 2^{+}} f (x) = lim_{x \to 2^{+}} {(x - 3)}^{2} = 1 .$
Þar sem $lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 5$ og $lim_{x \to 2^{+}} f (x) = 1,$ drögum við þá ályktun að $lim_{x \to 2} f (x)$ sé ekki til.

Við beinum nú sjónum okkar að markgildi af gerðinni $lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)},$ þar sem $lim_{x \to a} f (x) = K,$ $K \neq 0$ og $lim_{x \to a} g (x) = 0 .$ Með öðrum orðum er $f (x) / g (x)$ af gerðinni $K / 0, K \neq 0$ í punktinum a.

Dæmi 2.23

Útreikningur markgildis af gerðinni K / 0 , K ≠ 0 með markgildisreglunum

Reiknið $lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x} .$

Lausn

Skref 1. Þegar 𝑥=2, $x = 2,$ er sett inn sjáum við að þetta markgildi er af gerðinni −1/0. $−1 / 0 .$ Það er að segja: Þegar x stefnir á 2 frá vinstri stefnir teljarinn á −1 en nefnarinn á 0. Þar af leiðandi verður algildi 𝑥−3𝑥⁢(𝑥−2) $\frac{x - 3}{x (x - 2)}$ óendanlega stórt. Til að átta okkur betur á markgildinu þurfum við að þátta nefnarann:

lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x} = lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x (x - 2)} .

Skref 2. Þar sem 𝑥−2 $x - 2$ er eini þáttur nefnarans sem verður núll þegar 2 er sett inn einangrum við síðan þáttinn 1/(𝑥−2) $1 / (x - 2)$ frá öðrum þáttum fallsins:

= lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x} \cdot \frac{1}{x - 2} .

Skref 3. $lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x} = - \frac{1}{2}$ og $lim_{x \to 2^{-}} \frac{1}{x - 2} = − \infty .$ Því hefur margfeldi $(x - 3) / x$ og $1 / (x - 2)$ markgildið $+∞:$

lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x} = + \infty .

Klemmureglan

Aðferðirnar sem við höfum þróað hingað til nýtast mjög vel fyrir algebruföll, en við getum enn ekki reiknað markgildi mjög einfaldra hornafalla. Næsta setning, sem nefnist klemmureglan, reynist mjög gagnleg við að ákvarða grundvallarmarkgildi hornafalla. Setningin gerir okkur kleift að reikna markgildi með því að „klemma“ fall, sem hefur óþekkt markgildi í punktinum a, á milli tveggja falla sem hafa sama þekkta markgildi í a. Mynd 2.27 sýnir þessa hugmynd.

Graf þriggja falla á litlu bili. Gröf allra þriggja fallanna eru sveigð. Á þessu bili er fallið g(x) klemmt á milli fallanna h(x), sem gefur hærri y-gildi fyrir sömu x-gildi, og f(x), sem gefur lægri y-gildi fyrir sömu x-gildi. Föllin nálgast öll sama markgildið þegar x=a. — **Mynd 2.27.** Klemmureglunni má beita þegar $f (x) \leq g (x) \leq h (x)$ og $lim_{x \to a} f (x) = lim_{x \to a} h (x) .$

Dæmi 2.24

Beiting klemmureglunnar

Beitið klemmureglunni til að reikna $lim_{x \to 0} x cos x .$

Lausn

Þar sem −1≤cos⁡𝑥≤1 $−1 \leq cos x \leq 1$ fyrir öll x höfum við −|𝑥|≤𝑥⁢cos⁡𝑥≤|𝑥| $- | x | \leq x cos x \leq | x |$ . Þar sem lim𝑥→0⁢(−|𝑥|)=0=lim𝑥→0⁢|𝑥|, $lim_{x \to 0} (- | x |) = 0 = lim_{x \to 0} | x |,$ leiðir af klemmureglunni að lim𝑥→0⁢𝑥⁢cos⁡𝑥=0. $lim_{x \to 0} x cos x = 0 .$ Gröf fallanna 𝑓⁡(𝑥)=−|𝑥|,𝑔⁡(𝑥)=𝑥⁢cos⁡𝑥, $f (x) = - | x |, g (x) = x cos x,$ og ℎ⁡(𝑥)=|𝑥| $h (x) = | x |$ eru sýnd á mynd 2.28.

Gröf þriggja falla: h(x) = x, f(x) = -x og g(x) = xcos(x). Fyrsta fallið, h(x) = x, er línulegt fall með hallatöluna 1 og liggur um upphafspunktinn. Annað fallið, f(x), er einnig línulegt fall með hallatöluna −1 og liggur um upphafspunktinn. Þriðja fallið, g(x) = xcos(x), sveigist milli hinna tveggja og liggur um upphafspunktinn. Graf þess sveigist upp þegar x>0 og niður þegar x<0. — **Mynd 2.28.** Gröf f ⁡ ( x ) , g ⁡ ( x ) , og h ⁡ ( x ) eru sýnd í grennd við punktinn x = 0 .

Við notum nú klemmuregluna til að ákvarða nokkur mjög mikilvæg markgildi. Þótt þessi umfjöllun sé nokkuð ítarleg reynast þessi markgildi ómetanleg við þróun efnisins bæði í næsta undirkafla og næsta kafla. Fyrsta markgildið er $lim_{θ \to 0} sin θ .$ Skoðum einingarhringinn sem sýndur er á mynd 2.29. Á myndinni sjáum við að $sin θ$ er y-hnitið á einingarhringnum og samsvarar línustrikinu sem sýnt er með bláum lit. Stærð hornsins θ í bogaeiningum er lengd bogans sem hornið afmarkar á einingarhringnum. Því sjáum við að þegar $0 < θ < \frac{π}{2}, 0 < sin θ < θ .$

Mynd af einingarhringnum í xy-planinu – hringurinn hefur geislann 1 og miðju í upphafspunktinum. Tiltekinn punktur (cos(theta), sin(theta)) er merktur í fyrsta fjórðungi á hringferlinum. Punkturinn er einn hornpunkta rétthyrnds þríhyrnings innan hringsins en hinir hornpunktarnir eru í upphafspunktinum og (cos(theta), 0). Lengd grunnlínunnar er því cos(theta) og hæðin sin(theta), þar sem theta er hornið milli langhliðarinnar og grunnlínunnar. Stærð hornsins theta í bogaeiningum er lengd bogans sem hornið afmarkar á einingarhringnum. Myndin sýnir að þegar 0 < theta < pi/2 gildir 0 < sin(theta) < theta. — **Mynd 2.29.** Sínusfallið er sýnt sem lína á einingarhringnum.

Þar sem $lim_{θ \to 0^{+}} 0 = 0$ og $lim_{θ \to 0^{+}} θ = 0,$ ályktum við með klemmureglunni að

lim_{θ \to 0^{+}} sin θ = 0 .

Til að sjá að $lim_{θ \to 0^{-}} sin θ = 0$ gildi einnig athugum við að fyrir $- \frac{π}{2} < θ < 0, 0 < − θ < \frac{π}{2}$ og því $0 < sin (- θ) < − θ .$ Þar af leiðandi er $0 < - sin θ < − θ .$ Af því leiðir að $0 > sin θ > θ .$ Með því að beita klemmureglunni fæst markgildið sem leitað er að. Þar sem $lim_{θ \to 0^{+}} sin θ = 0$ og $lim_{θ \to 0^{-}} sin θ = 0,$

\lim 0 \sin = 0

(2.16)

Næst notum við samsemdina $cos θ = \sqrt{1 - {sin}^{2} θ}$ fyrir $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2},$ og sjáum að

lim_{θ \to 0} cos θ = lim_{θ \to 0} \sqrt{1 - {sin}^{2} θ} = 1 .

(2.17)

Nú skoðum við markgildi sem gegnir mikilvægu hlutverki í síðari köflum — nefnilega $lim_{θ \to 0} \frac{sin θ}{θ} .$ Til að reikna þetta markgildi notum við einingarhringinn á mynd 2.30. Takið eftir að á þessari mynd hefur einum þríhyrningi verið bætt við mynd 2.30. Við sjáum að lengd hliðarinnar sem er mótlæg horninu θ í þessum nýja þríhyrningi er $tan θ .$ Því sjáum við að fyrir $0 < θ < \frac{π}{2}, sin θ < θ < tan θ .$

Sama mynd og sú fyrri. Þríhyrningurinn hefur þó verið stækkaður. Grunnlínan liggur nú frá upphafspunktinum að (1,0). Hæðin liggur frá (1,0) að (1, tan(theta)). Langhliðin liggur frá upphafspunktinum að (1, tan(theta)). Hæðin er því nú tan(theta). Myndin sýnir að þegar 0 < theta < pi/2 gildir sin(theta) < theta < tan(theta). — **Mynd 2.30.** Sínus- og tangensföllin eru sýnd sem línur á einingarhringnum.

Með því að deila með $sin θ$ í öllum hlutum ójöfnunnar fáum við

1 < \frac{θ}{sin θ} < \frac{1}{cos θ} .

Jafngilt er að skrifa

1 > \frac{sin θ}{θ} > cos θ .

Þar sem $lim_{θ \to 0^{+}} 1 = 1 = lim_{θ \to 0^{+}} cos θ,$ ályktum við að $lim_{θ \to 0^{+}} \frac{sin θ}{θ} = 1 .$ Með sams konar umritun og notuð var til að sýna að $lim_{θ \to 0^{-}} sin θ = 0,$ má sýna að $lim_{θ \to 0^{-}} \frac{sin θ}{θ} = 1 .$ Því gildir

lim_{θ \to 0} \frac{sin θ}{θ} = 1 .

(2.18)

Í dæmi 2.25 notum við þetta markgildi til að sýna fram á $lim_{θ \to 0} \frac{1 - cos θ}{θ} = 0 .$ Þetta markgildi kemur einnig að gagni í síðari köflum.

Dæmi 2.25

Útreikningur mikilvægs markgildis hornafalls

Reiknið $lim_{θ \to 0} \frac{1 - cos θ}{θ} .$

Lausn

Í fyrsta skrefinu margföldum við með samokunni svo að við getum notað hornafallasamsemd til að breyta kósínusnum í teljaranum í sínus:

\begin{matrix} lim_{θ \to 0} \frac{1 - cos θ}{θ} & = lim_{θ \to 0} \frac{1 - cos θ}{θ} \cdot \frac{1 + cos θ}{1 + cos θ} \\ = lim_{θ \to 0} \frac{1 - {cos}^{2} θ}{θ (1 + cos θ)} \\ = lim_{θ \to 0} \frac{{sin}^{2} θ}{θ (1 + cos θ)} \\ = lim_{θ \to 0} \frac{sin θ}{θ} \cdot \frac{sin θ}{1 + cos θ} \\ = 1 \cdot \frac{0}{2} = 0 . \end{matrix}

Því fæst

lim_{θ \to 0} \frac{1 - cos θ}{θ} = 0 .

(2.19)

Nemendaverkefni

Útleiðsla formúlunnar fyrir flatarmál hrings

Sumar þeirra rúmfræðiformúla sem við teljum sjálfsagðar nú á dögum voru fyrst leiddar út með aðferðum sem voru undanfari sumra aðferða stærðfræðigreiningar. Gríski stærðfræðingurinn Arkímedes (um 287−212; f.Kr.) var sérlega hugmyndaríkur og notaði marghyrninga sem innritaðir voru í hringi til að nálga flatarmál hringsins eftir því sem hliðum marghyrningsins fjölgaði. Hann setti hugmyndina um markgildi aldrei fram, en með henni getum við kannað hvaða niðurstöðu mætti leiða af rúmfræðilegum smíðum hans.

Við getum áætlað flatarmál hrings með því að reikna flatarmál reglulegs marghyrnings sem er innritaður í hringinn. Líta má á reglulega marghyrninginn sem samsettan úr n þríhyrningum. Með því að taka markgildið þegar topphorn þessara þríhyrninga stefna á núll má finna flatarmál hringsins. Til að sjá þetta skuluð þið framkvæma eftirfarandi skref:

Tjáið hæðina h og grunnlínuna b í jafnarma þríhyrningnum á mynd 2.31 sem föll af 𝜃 $θ$ og r.

Mynd 2.31
Notið segðirnar sem þið fenguð í skrefi 1 til að lýsa flatarmáli jafnarma þríhyrningsins sem falli af θ og
r. (Setjið (1/2)⁢sin⁡𝜃 $(1 / 2) sin θ$ í stað sin⁡(𝜃/2)⁢cos⁡(𝜃/2) $sin (θ / 2) cos (θ / 2)$ í segð ykkar.)
Ef reglulegur n-hyrningur er innritaður í hring með geisla r, finnið samband milli θ og n. Leysið sambandið fyrir n. Hafið í huga að í heilum hring eru 2π radíanar. (Notið radíana, ekki gráður.)
Finnið segð fyrir flatarmál n-hyrningsins sem fall af r og θ.
Til að finna formúlu fyrir flatarmál hringsins skal finna markgildi segðarinnar í skrefi 4 þegar θ stefnir á núll. (Vísbending: lim𝜃→0⁢(sin⁡𝜃)𝜃=1). $lim_{θ \to 0} \frac{(sin θ)}{θ} = 1).$

Aðferðin við að áætla flatarmál svæða með marghyrningum er tekin aftur fyrir í kaflanum Inngangur að heildun.

Æfingar úr kafla 2.3

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota markgildisreglurnar til að reikna hvert markgildi. Rökstyðjið hvert skref með því að tilgreina viðeigandi markgildisreglu eða -reglur.

83.

lim𝑥→0⁢(4⁢𝑥2−2⁢𝑥+3) $lim_{x \to 0} (4 x^{2} - 2 x + 3)$

84.

lim𝑥→1⁢𝑥3+3⁢𝑥2+54−7⁢𝑥 $lim_{x \to 1} \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 5}{4 - 7 x}$

85.

lim𝑥→−2⁢√𝑥2−6⁢𝑥+3 $lim_{x \to −2} \sqrt{x^{2} - 6 x + 3}$

86.

lim𝑥→−1⁢(9⁢𝑥+1)₂ $lim_{x \to −1} {(9 x + 1)}^{2}$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota beina innsetningu til að reikna hvert markgildi.

87.

lim𝑥→7⁢𝑥2 $lim_{x \to 7} x^{2}$

88.

lim𝑥→−2⁢(4⁢𝑥2−1) $lim_{x \to −2} (4 x^{2} - 1)$

89.

lim𝑥→0⁢11+sin⁡𝑥 $lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + sin x}$

90.

lim𝑥→2⁢𝑒2⁢𝑥−𝑥2 $lim_{x \to 2} e^{2 x - x^{2}}$

91.

lim𝑥→1⁢2−7⁢𝑥𝑥+6 $lim_{x \to 1} \frac{2 - 7 x}{x + 6}$

92.

lim𝑥→3⁢ln⁡𝑒3⁢𝑥 $lim_{x \to 3} ln e^{3 x}$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota beina innsetningu til að sýna að hvert markgildi gefur óákveðna formið $0 / 0 .$ Reiknið síðan markgildið.

93.

lim𝑥→4⁢𝑥2−16𝑥−4 $lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 16}{x - 4}$

94.

lim𝑥→2⁢𝑥−2𝑥2−2⁢𝑥 $lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{x^{2} - 2 x}$

95.

lim𝑥→6⁢3⁢𝑥−182⁢𝑥−12 $lim_{x \to 6} \frac{3 x - 18}{2 x - 12}$

96.

limℎ→0⁢(1+ℎ)₂−1ℎ $lim_{h \to 0} \frac{{(1 + h)}^{2} - 1}{h}$

97.

lim𝑡→9⁢𝑡−9√𝑡−3 $lim_{t \to 9} \frac{t - 9}{\sqrt{t} - 3}$

98.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}}{h},$ þar sem a er rauntölufasti sem er ekki núll

99.

lim𝜃→𝜋⁢sin⁡𝜃tan⁡𝜃 $lim_{θ \to π} \frac{sin θ}{tan θ}$

100.

lim𝑥→1⁢𝑥3−1𝑥2−1 $lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$

101.

lim𝑥→1/2⁢2⁢𝑥2+3⁢𝑥−22⁢𝑥−1 $lim_{x \to 1 / 2} \frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{2 x - 1}$

102.

lim𝑥→−3⁢√𝑥+4−1𝑥+3 $lim_{x \to −3} \frac{\sqrt{x + 4} - 1}{x + 3}$

Í eftirfarandi æfingum skal nota beina innsetningu til að fá óskilgreinda segð. Notið síðan aðferðina í dæmi 2.23 til að einfalda fallið og auðvelda þannig ákvörðun markgildisins.

103.

lim𝑥→−2−⁢2⁢𝑥2+7⁢𝑥−4𝑥2+𝑥−2 $lim_{x \to {−2}^{-}} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + x - 2}$

104.

lim𝑥→−2+⁢2⁢𝑥2+7⁢𝑥−4𝑥2+𝑥−2 $lim_{x \to {−2}^{+}} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + x - 2}$

105.

lim𝑥→1−⁢2⁢𝑥2+7⁢𝑥−4𝑥2+𝑥−2 $lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + x - 2}$

106.

lim𝑥→1+⁢2⁢𝑥2+7⁢𝑥−4𝑥2+𝑥−2 $lim_{x \to 1^{+}} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + x - 2}$

Í eftirfarandi æfingum skal gera ráð fyrir að $lim_{x \to 6} f (x) = 4, lim_{x \to 6} g (x) = 9,$ og $lim_{x \to 6} h (x) = 6 .$ Notið þessar þrjár staðreyndir og markgildisreglurnar til að reikna hvert markgildi.

107.

lim𝑥→6⁢2⁢𝑓⁡(𝑥)⁢𝑔⁡(𝑥) $lim_{x \to 6} 2 f (x) g (x)$

108.

lim𝑥→6⁢𝑔⁡(𝑥)−1𝑓⁡(𝑥) $lim_{x \to 6} \frac{g (x) - 1}{f (x)}$

109.

lim𝑥→6⁢(𝑓⁡(𝑥)+13⁢𝑔⁡(𝑥)) $lim_{x \to 6} (f (x) + \frac{1}{3} g (x))$

110.

lim𝑥→6⁢(ℎ⁡(𝑥))₃₂ $lim_{x \to 6} \frac{{(h (x))}^{3}}{2}$

111.

lim𝑥→6⁢√𝑔⁡(𝑥)−𝑓⁡(𝑥) $lim_{x \to 6} \sqrt{g (x) - f (x)}$

112.

lim𝑥→6⁢𝑥·ℎ⁡(𝑥) $lim_{x \to 6} x \cdot h (x)$

113.

lim𝑥→6⁢[(𝑥+1)·𝑓⁡(𝑥)] $lim_{x \to 6} [(x + 1) \cdot f (x)]$

114.

lim𝑥→6⁢(𝑓⁡(𝑥)·𝑔⁡(𝑥)−ℎ⁡(𝑥)) $lim_{x \to 6} (f (x) \cdot g (x) - h (x))$

[T] Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota reiknivél til að teikna graf hvers hlutskilgreinds falls og skoða grafið til að reikna tilgreind markgildi.

115.

𝑓⁡(𝑥)={𝑥2,𝑥≤3𝑥+4,𝑥>3 $f (x) = {\begin{cases} x^{2}, & x \leq 3 \\ x + 4, & x > 3 \end{cases}$

lim𝑥→3−⁢𝑓⁡(𝑥) $lim_{x \to 3^{-}} f (x)$
lim𝑥→3+⁢𝑓⁡(𝑥) $lim_{x \to 3^{+}} f (x)$

116.

𝑔⁡(𝑥)={𝑥3−1,𝑥≤01,𝑥>0 $g (x) = {\begin{cases} x^{3} - 1, & x \leq 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$

lim𝑥→0−⁢𝑔⁡(𝑥) $lim_{x \to 0^{-}} g (x)$
lim𝑥→0+⁢𝑔⁡(𝑥) $lim_{x \to 0^{+}} g (x)$

117.

ℎ⁡(𝑥)={𝑥2−2⁢𝑥+1,𝑥<23−𝑥,𝑥≥2 $h (x) = {\begin{cases} x^{2} - 2 x + 1, & x < 2 \\ 3 - x, & x \geq 2 \end{cases}$

lim𝑥→2−⁢ℎ⁡(𝑥) $lim_{x \to 2^{-}} h (x)$
lim𝑥→2+⁢ℎ⁡(𝑥) $lim_{x \to 2^{+}} h (x)$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota gröfin hér á eftir og markgildisreglurnar til að reikna hvert markgildi.

Tvö gröf hlutskilgreindra falla. Efra grafið sýnir f(x), sem hefur tvo línulega hluta. Fyrri hlutinn er lína með neikvæða hallatölu sem er skilgreind fyrir x < -3. Hún stefnir á punktinn (-3,0) þegar x= -3. Næsti hluti hefur jákvæða hallatölu og stefnir á punktinn (-3,-2) þegar x=-3. Hann er skilgreindur fyrir x > -3. Aðrir lykilpunktar eru (0, 1), (-5,2), (1,2), (-7, 4) og (-9,6). Neðra hlutskilgreinda fallið hefur línulegan hluta og sveigðan hluta. Línulegi hlutinn er skilgreindur fyrir x < -3 og hefur neikvæða hallatölu. Hann stefnir á (-3,-2) þegar x=-3. Sveigði hlutinn virðist vera hægri helmingur fleygboga sem opnast niður. Hann stefnir á topppunktinn (-3,2) þegar x=-3. Hann sker y-ásinn örlítið neðan við y=-2. Aðrir lykilpunktar eru (0, -7/3), (-5,0), (1,-5), (-7, 2) og (-9, 4).

118.

lim𝑥→−3+⁢(𝑓⁡(𝑥)+𝑔⁡(𝑥)) $lim_{x \to {−3}^{+}} (f (x) + g (x))$

119.

lim𝑥→−3−⁢(𝑓⁡(𝑥)−3⁢𝑔⁡(𝑥)) $lim_{x \to {−3}^{-}} (f (x) - 3 g (x))$

120.

lim𝑥→0⁢𝑓⁡(𝑥)⁢𝑔⁡(𝑥)₃ $lim_{x \to 0} \frac{f (x) g (x)}{3}$

121.

lim𝑥→−5⁢2+𝑔⁡(𝑥)𝑓⁡(𝑥) $lim_{x \to −5} \frac{2 + g (x)}{f (x)}$

122.

lim𝑥→1⁢(𝑓⁡(𝑥))₂ $lim_{x \to 1} {(f (x))}^{2}$

123.

lim𝑥→1⁢3√𝑓⁡(𝑥)−𝑔⁡(𝑥) $lim_{x \to 1} \sqrt[3]{f (x) - g (x)}$

124.

lim𝑥→−7⁢(𝑥·𝑔⁡(𝑥)) $lim_{x \to −7} (x \cdot g (x))$

125.

lim𝑥→−9⁢[𝑥·𝑓⁡(𝑥)+2·𝑔⁡(𝑥)] $lim_{x \to −9} [x \cdot f (x) + 2 \cdot g (x)]$

Í eftirfarandi dæmum skal reikna markgildið með klemmureglunni. Notið reiknivél til að teikna gröf fallanna $f (x), g (x),$ og $h (x)$ þegar þess er kostur.

126.

[T] Satt eða ósatt? Ef 2⁢𝑥−1≤𝑔⁡(𝑥)≤𝑥2−2⁢𝑥+3, $2 x - 1 \leq g (x) \leq x^{2} - 2 x + 3,$ þá gildir lim𝑥→2⁢𝑔⁡(𝑥)=0. $lim_{x \to 2} g (x) = 0 .$

127.

[T] lim𝜃→0⁢𝜃2⁢cos⁡(1𝜃) $lim_{θ \to 0} θ^{2} cos (\frac{1}{θ})$

128.

lim𝑥→0⁢𝑓⁡(𝑥), $lim_{x \to 0} f (x),$ þar sem 𝑓⁡(𝑥)={0,𝑥er ræð tala𝑥2,𝑥er óræð tala $f (x) = {\begin{cases} 0, & x er ræð tala \\ x^{2}, & x er óræð tala \end{cases}$

129.

[T] Í eðlisfræði er rafsviðsstyrkurinn sem punktahleðsla myndar í fjarlægð r í tómarúmi gefinn með lögmáli Coulombs: 𝐸⁡(𝑟)=𝑞4⁢𝜋⁢𝜀0⁢𝑟2, $E (r) = \frac{q}{4 π ε_{0} r^{2}},$ þar sem E táknar rafsviðsstyrkinn, q er hleðsla agnarinnar, r er fjarlægðin milli agnarinnar og punktsins þar sem rafsviðsstyrkurinn er mældur og 14⁢𝜋⁢𝜀0 $\frac{1}{4 π ε_{0}}$ er fasti Coulombs: 8.988 $\times ⁠$ 109N·m2/C2. $8.988 \times 10^{9} N \cdot m^{2} / C^{2} .$

Notið grafreikni til að teikna graf 𝐸⁡(𝑟) $E (r)$ að því gefnu að hleðsla agnarinnar sé 𝑞=10−10. $q = 10^{−10} .$
Reiknið $lim_{r \to 0^{+}} E (r) .$ Hver er eðlisfræðileg merking þessarar stærðar? Hefur hún eðlisfræðilega þýðingu? Hvers vegna reiknið þið frá hægri?

130.

[T] Eðlismassi hlutar fæst með því að deila massa hans með rúmmáli hans: $ρ = m / V .$

Notið reiknivél til að teikna graf rúmmálsins sem falls af eðlismassanum $(V = m / ρ),$ að því gefnu að þið séuð að skoða hlut sem hefur massann 8 kg ( $m = 8).$
Reiknið $lim_{ρ \to 0^{+}} V (ρ)$ og útskýrið eðlisfræðilega merkingu.