2.5 Nákvæm skilgreining á markgildi
2.5 Nákvæm skilgreining á markgildi
Námsmarkmið
- 2.5.1 Lýsið epsílon-delta-skilgreiningu markgildis.
- 2.5.2 Beitið epsílon-delta-skilgreiningunni til að finna markgildi falls.
- 2.5.3 Lýsið epsílon-delta-skilgreiningum einhliða markgilda og óendanlegra markgilda.
- 2.5.4 Notið epsílon-delta-skilgreininguna til að sanna reiknireglur fyrir markgildi.
Nú hafið þið farið frá mjög óformlegri skilgreiningu á markgildi í inngangi þessa kafla yfir í innsæislegan skilning á markgildi. Á þessu stigi ættuð þið að hafa skýran innsæislegan skilning á því hvað markgildi falls merkir og hvernig finna má það. Í þessum undirkafla færum við þessa innsæislegu hugmynd um markgildi í formlegan búning með nákvæmu stærðfræðimáli. Formleg skilgreining á markgildi er að öllum líkindum ein erfiðasta skilgreiningin sem þið kynnist á fyrstu stigum náms ykkar í stærðfræðigreiningu. Það er þó vel þess virði að leggja sig fram um að tengja hana við innsæislegan skilning ykkar á markgildi. Skilningur á þessari skilgreiningu er lykillinn að dýpri skilningi á stærðfræðigreiningu.
Töluleg lýsing á nálægð
Áður en við setjum fram formlega skilgreiningu á markgildi þurfum við að kynna nokkrar grunnhugmyndir. Rifjum upp að fjarlægðin milli tveggja punkta a og b á talnalínu er gefin með
Einnig er mikilvægt að skoða eftirfarandi jafngildar framsetningar algildis:
Með þessum skýringum getum við sett fram formlega epsílon-delta-skilgreiningu á markgildi.
Þessi skilgreining kann að virðast fremur flókin frá stærðfræðilegu sjónarmiði, en auðveldara verður að skilja hana ef við greinum hana lið fyrir lið. Staðhæfingin sjálf felur í sér svokallaðan allsherjarmagnara (fyrir sérhvert tilvistarmagnara (til er og að lokum skilyrðissetningu (ef þá Skoðum töflu 2.9, þar sem skilgreiningin er greind í einstaka hluta og hver hluti umorðaður.
| Skilgreining | Þýðing |
|---|---|
| 1. Fyrir sérhvert ε > 0 , | 1. Fyrir sérhverja jákvæða fjarlægð ε frá L, |
| 2. til er δ > 0 , | 2. Til er jákvæð fjarlægð δ frá a, |
| 3. þannig að | 3. þannig að |
| 4. ef 0 < | x − a | < δ , þá | f ( x ) − L | < ε . | 4. ef x er í minni fjarlægð en δ frá a og x ≠ a , þá er f ( x ) í minni fjarlægð en ε frá L. |
Við getum öðlast betri skilning á þessari skilgreiningu með því að skoða hana rúmfræðilega. Mynd 2.39 sýnir möguleg gildi fyrir mismunandi val á fyrir gefið fall gefna tölu a og markgildi L í a. Takið eftir að þegar við veljum sífellt minni gildi ε (fjarlægðina milli fallsins og markgildisins) getum við alltaf fundið nægilega lítið þannig að ef við höfum valið x-gildi í minni fjarlægð en frá a, þá er gildi í minni fjarlægð en ε frá markgildinu L.
Dæmi 2.39 sýnir hvernig nota má þessa skilgreiningu til að sanna fullyrðingu um markgildi tiltekins falls við tiltekið gildi.
Dæmi 2.39
Sönnun fullyrðingar um markgildi tiltekins falls
Lausn
Látum
Fyrsti hluti skilgreiningarinnar hefst á „Fyrir sérhvert Þetta merkir að við verðum að sanna að það sem á eftir kemur sé satt, óháð því hvaða jákvæða gildi ε er valið. Með því að segja „Látum gefum við til kynna að við ætlum að gera það.
Veljið
Skilgreiningin heldur áfram með „til er 𝛿>0.“ Orðasambandið „til er“ í stærðfræðilegri fullyrðingu gefur alltaf til kynna að leit sé fram undan. Með öðrum orðum þurfum við að finna 𝛿. Hvaðan kom 𝛿=𝜀/2 nákvæmlega? Tvær meginaðferðir eru til að finna 𝛿. Önnur aðferðin er algebruleg og hin rúmfræðileg.
Við byrjum á að leysa verkefnið með algebrulegum aðferðum. Þar sem við viljum að lokum að |(2𝑥+1)−3|<𝜀, byrjum við á að umrita þessa stæðu: |(2𝑥+1)−3|<𝜀 jafngildir |2𝑥−2|<𝜀, sem aftur jafngildir |2||𝑥−1|<𝜀. Að lokum jafngildir þetta |𝑥−1|<𝜀/2. Því virðist sem 𝛿=𝜀/2 eigi við.
Við getum einnig fundið með rúmfræðilegum aðferðum. Mynd 2.40 sýnir hvernig þetta er gert.
Gerum ráð fyrir að 0<|𝑥−1|<𝛿. Þegar 𝛿 hefur verið valið er markmið okkar að sýna að ef 0<|𝑥−1|<𝛿, þá |(2𝑥+1)−3|<𝜀. Til að sanna fullyrðingu af gerðinni „Ef þetta, þá hitt“ byrjum við á því að gera ráð fyrir „þessu“ og reynum að leiða út „hitt“.
Því,
|(2𝑥+1)−3|=|2𝑥−2|eiginleiki algildis=|2(𝑥−1)|=|2||𝑥−1||2|=2=2|𝑥−1|<2·𝛿hér notum við forsenduna0<|𝑥−1|<𝛿=2·𝜀2=𝜀hér notum við valið á𝛿=𝜀/2
Greining
Í þessum hluta sönnunarinnar byrjuðum við á og notuðum forsendu okkar á lykilstað í keðju ójafnanna til að sýna að væri minna en ε. Við hefðum alveg eins getað umritað ójöfnuna sem við gengum út frá til að fá á eftirfarandi hátt:
0<|𝑥−1|<𝛿⇒|𝑥−1|<𝛿⇒−𝛿<𝑥−1<𝛿⇒−𝜀2<𝑥−1<𝜀2⇒−𝜀<2𝑥−2<𝜀⇒|2𝑥−2|<𝜀⇒|(2𝑥+1)−3|<𝜀.
Því gildir lim𝑥→1(2𝑥+1)=3. (Nú þegar sönnuninni er lokið setjum við fram það sem við höfum sýnt.)
Þegar öllum athugasemdunum hefur verið sleppt er lokaútgáfa sönnunarinnar þessi:
Látum
Veljið
Gerum ráð fyrir að
Því gildir
|(2𝑥+1)−3|=|2𝑥−2|=|2(𝑥−1)|=|2||𝑥−1|=2|𝑥−1|<2·𝛿=2·𝜀2=𝜀.
Því er lim𝑥→1(2𝑥+1)=3.
Eftirfarandi lausnarstefna dregur saman þá tegund sönnunar sem við útfærðum í dæmi 2.39.
Dæmi 2.40
Sönnun fullyrðingar um markgildi
Lausn
Í dæmum 2.39 og 2.40 voru sannanirnar tiltölulega einfaldar þar sem föllin sem við unnum með voru línuleg. Í dæmi 2.41 sjáum við hvernig breyta má sönnuninni þannig að hún eigi við um ólínulegt fall.
Dæmi 2.41
Sönnun fullyrðingar um markgildi tiltekins falls (rúmfræðileg nálgun)
Lausn
- Látum Fyrsti hluti skilgreiningarinnar hefst á „Fyrir sérhvert og því verðum við að sanna að það sem á eftir kemur sé satt, óháð því hvaða jákvæða gildi ε er valið. Með því að segja „Látum gefum við til kynna að við ætlum að gera það.
- Án þess að skerða almennt gildi skulum við gera ráð fyrir 𝜀≤4. Tvær spurningar vakna: Hvers vegna viljum við að 𝜀≤4 og hvers vegna megum við gera ráð fyrir því? Svarið við fyrri spurningunni er þetta: Þegar lengra er komið og við leysum með tilliti til 𝛿, munum við komast að því að 𝛿 felur í sér stærðina √ √4−𝜀. Þar af leiðandi þarf að gilda að 𝜀≤4. Svarið við síðari spurningunni er þetta: Ef við getum fundið 𝛿>0 sem „dugar“ fyrir 𝜀≤4, þá mun það einnig „duga“ fyrir sérhvert 𝜀>4 . Höfum í huga að þótt alltaf sé í lagi að setja efri mörk fyrir ε er aldrei í lagi að setja neðri mörk (önnur en núll) fyrir ε.
- Veljum 𝛿=min{2−√4−𝜀,√4+𝜀−2}. Mynd 2.41 sýnir hvernig við völdum 𝛿.
Mynd 2.41 Þetta graf sýnir hvernig við finnum δ rúmfræðilega fyrir gefið ε í sönnuninni í dæmi 2.41. - Við verðum að sýna: Ef 0<|𝑥−2|<𝛿, þá |𝑥2−4|<𝜀, og því verðum við að byrja á því að gera ráð fyrir að
0<|𝑥−2|<𝛿.
Við þurfum í raun ekki 0<|𝑥−2| (með öðrum orðum, 𝑥≠2) í þessari sönnun. Þar sem 0<|𝑥−2|<𝛿⇒|𝑥−2|<𝛿, er óhætt að sleppa 0<|𝑥−2|.
|𝑥−2|<𝛿.
Þar af leiðir
−𝛿<𝑥−2<𝛿.
Munum að 𝛿=min{2−√4−𝜀,√4+𝜀−2}. Þá er 𝛿≤2−√4−𝜀 og þar af leiðandi −(2−√4−𝜀)≤−𝛿. Hér notum við einnig 𝛿≤√4+𝜀−2 Við gætum nú spurt: Hvers vegna settum við 2−√4−𝜀 í stað 𝛿 vinstra megin í ójöfnunni og √4+𝜀−2 hægra megin í henni? Ef við skoðum mynd 2.41sjáum við að 2−√4−𝜀 samsvarar fjarlægðinni vinstra megin við 2 á x-ásnum og √4+𝜀−2 samsvarar fjarlægðinni hægra megin. Því er
−(2−√4−𝜀)≤−𝛿<𝑥−2<𝛿≤√4+𝜀−2.
Við einföldum stæðuna vinstra megin:
−2+√4−𝜀<𝑥−2<√4+𝜀−2.
Síðan leggjum við 2 við alla liði ójöfnunnar:
√4−𝜀<𝑥<√4+𝜀.
Við setjum alla liði ójöfnunnar í annað veldi. Það er óhætt þar sem allir liðir hennar eru jákvæðir:
4−𝜀<𝑥2<4+𝜀.
Við drögum 4 frá öllum liðum ójöfnunnar:
−𝜀<𝑥2−4<𝜀.
Að lokum fæst
|𝑥2−4|<𝜀. - Því gildir að
lim𝑥→2𝑥2=4.
Rúmfræðileg aðferð til að sanna að markgildi falls sé tiltekið gildi hentar ágætlega fyrir sum föll. Sú innsýn í formlega skilgreiningu markgildis sem þessi aðferð veitir er einnig ómetanleg. Hins vegar má einnig nálgast sannanir um markgildi með hreinni algebrulegri aðferð. Í mörgum tilvikum getur algebruleg aðferð ekki aðeins veitt okkur frekari innsýn í skilgreininguna heldur einnig reynst einfaldari. Enn fremur er algebruleg aðferð helsta verkfærið sem notað er við sannanir á staðhæfingum um markgildi. Í dæmi 2.42 beitum við hreinni algebrulegri aðferð.
Dæmi 2.42
Sönnun fullyrðingar um markgildi tiltekins falls (algebruleg aðferð)
Lausn
Almennt kemur í ljós að því flóknara sem fall er, þeim mun líklegra er að auðveldast sé að beita algebrulegri aðferð. Algebrulega aðferðin nýtist einnig betur við að sanna fullyrðingar um markgildi.
Sannanir á reiknireglum fyrir markgildi
Við sýnum nú hvernig nota má epsílon-delta-skilgreiningu markgildis til að setja fram stranga sönnun á einni af reiknireglum markgilda. Þríhyrningsójafnan er notuð á lykilstað í sönnuninni og því rifjum við fyrst upp þennan mikilvæga eiginleika algildis.
Sönnun
Við sönnum eftirfarandi markgildisreglu: Ef og þá
Látum
Veljið þannig að ef þá
Veljið þannig að ef þá
Veljum
Gerum ráð fyrir að
Því gildir:
Því gildir:
□
Nú könnum við hvað felst í því að markgildi sé ekki til. Markgildið er ekki til ef engin rauntala L er til þannig að Því gildir um allar rauntölur L, Til að skilja hvað þetta merkir skoðum við hvern lið í skilgreiningunni á ásamt andstæðu hans. Umorðun skilgreiningarinnar er sýnd í töflu 2.10.
| Skilgreining | Neitun |
|---|---|
| 1. Fyrir sérhvert ε > 0 , | 1. Til er ε > 0 þannig að |
| 2. til er δ > 0 , þannig að | 2. fyrir sérhvert δ > 0 , |
| 3. ef 0 < | x − a | < δ , þá | f ( x ) − L | < ε . | 3. Til er x sem uppfyllir 0 < | x − a | < δ þannig að | f ( x ) − L | ≥ ε . |
Að lokum getum við skilgreint hvað það merkir að markgildi sé ekki til. Markgildið er ekki til ef fyrir sérhverja rauntölu L er til rauntala þannig að fyrir öll er til x sem uppfyllir þannig að Beitum þessu í dæmi 2.43 til að sýna að markgildið sé ekki til.
Dæmi 2.43
Sýnt fram á að markgildi sé ekki til
Sýnið að er ekki til. Graf er sýnt hér:
Lausn
Einhliða og óendanleg markgildi
Rétt eins og við öðluðumst fyrst innsæislegan skilning á markgildum og snerum okkur síðan að nákvæmari skilgreiningu á markgildi, beinum við nú sjónum okkar aftur að einhliða markgildum. Til þess að gera það breytum við epsílon-delta-skilgreiningu markgildis þannig að hún gefi formlegar epsílon-delta-skilgreiningar á markgildum frá hægri og vinstri í punkti. Til þess þarf aðeins að breyta skilgreiningu markgildis lítillega. Í skilgreiningunni á markgildi frá hægri kemur ójafnan í stað sem tryggir að við tökum aðeins tillit til þeirra x-gilda sem eru stærri en (hægra megin við) a. Á sama hátt kemur ójafnan í stað í skilgreiningunni á markgildi frá vinstri, sem tryggir að við tökum aðeins tillit til þeirra x-gilda sem eru minni en (vinstra megin við) a.
Dæmi 2.44
Sönnun á fullyrðingu um markgildi frá hægri
Lausn
Látum
Veljum 𝛿=𝜀2. Þar sem við viljum að lokum ∣√𝑥−4−0∣<𝜀, umritum við þessa ójöfnu þannig að við fáum √𝑥−4<𝜀 eða jafngilt, 0<𝑥−4<𝜀2, og því er 𝛿=𝜀2 augljóst val. Við getum einnig ákvarðað 𝛿 rúmfræðilega, eins og sýnt er á mynd 2.42.
Gerum ráð fyrir að Því fæst Þar af leiðir að Að lokum fæst
Því gildir að
Við ljúkum því ferli að færa innsæishugmyndir okkar um ýmsar gerðir markgilda yfir í nákvæmar, formlegar skilgreiningar með því að setja fram formlega skilgreiningu á óendanlegum markgildum. Til að viljum við að gildi fallsins verði sífellt stærri þegar x nálgast a. Í stað þess að krefjast þess að fyrir sérhvert ε, hversu lítið sem það er, þegar fyrir nægilega lítið viljum við að fyrir sérhvert jákvætt M, hversu stórt sem það er, þegar fyrir nægilega lítið Mynd 2.43 sýnir þessa hugmynd með því að sýna gildi fyrir sífellt stærri gildi M.
Æfingar í kafla 2.5
Í eftirfarandi verkefnum skal skrifa viðeigandi - -skilgreiningu fyrir hverja gefna fullyrðingu.
Eftirfarandi graf fallsins f uppfyllir Í eftirfarandi æfingum skal ákvarða gildi sem uppfyllir hverja fullyrðingu.
Eftirfarandi graf fallsins f uppfyllir Í eftirfarandi æfingum skal ákvarða gildi á sem uppfyllir hverja fullyrðingu.
Eftirfarandi graf fallsins f uppfyllir Í eftirfarandi æfingum skal, fyrir hvert gildi ε, finna gildi þannig að nákvæm skilgreining markgildis sé uppfyllt.
