55 Heildun

Helstu jöfnur

Eiginleikar sigma-táknunar	𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑐 = 𝑛 ⁢ 𝑐 ∑ i = 1 n c = n ⁢ c 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑐 ⁢ 𝑎 𝑖 = 𝑐 ⁢ 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑎 𝑖 ∑ i = 1 n c ⁢ a i = c ⁢ ∑ i = 1 n a i 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 ( 𝑎 𝑖 + 𝑏 𝑖 ) = 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑎 𝑖 + 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑏 𝑖 ∑ i = 1 n ( a i + b i ) = ∑ i = 1 n a i + ∑ i = 1 n b i 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 ( 𝑎 𝑖 − 𝑏 𝑖 ) = 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑎 𝑖 − 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑏 𝑖 ∑ i = 1 n ( a i − b i ) = ∑ i = 1 n a i − ∑ i = 1 n b i 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑎 𝑖 = 𝑚 ∑ 𝑖 = 1 𝑎 𝑖 + 𝑛 ∑ 𝑖 = 𝑚 + 1 𝑎 𝑖 ∑ i = 1 n a i = ∑ i = 1 m a i + ∑ i = m + 1 n a i
Summur og veldi heiltalna	$\frac{𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑖 = 1 + 2 + ⋯ + 𝑛 = 𝑛 ⁢ ( 𝑛 + 1 ) 2 ∑ i = 1 n i = 1 + 2 + ⋯ + n = n ⁢ ( n + 1 )}{2 𝑛 ∑ 𝑖} = \frac{1 𝑖 2 = 1 2 + 2 2 + ⋯ + 𝑛 2 = 𝑛 ⁢ ( 𝑛 + 1 ) ⁢ ( 2 ⁢ 𝑛 + 1 ) 6 ∑ i = 1 n i 2 = 1 2 + 2 2 + ⋯ + n 2 = n ⁢ ( n + 1 ) ⁢ ( 2 ⁢ n + 1 )}{6 𝑛 ∑ 𝑖 = 0 𝑖 3 = 1 3 + 2 3 + ⋯ + 𝑛 3 = 𝑛 2 ⁢ ( 𝑛 + 1 ) 2 4 ∑ i = 0 n i 3 = 1 3 + 2 3 + ⋯ + n 3 = n 2 ⁢ ( n + 1 ) 2/4}$
Nálgun með vinstri endapunktum	𝐴 ≈ 𝐿 𝑛 = 𝑓 ⁡ ( 𝑥 0 ) Δ 𝑥 + 𝑓 ⁡ ( 𝑥 1 ) Δ 𝑥 + ⋯ + 𝑓 ⁡ ( 𝑥 𝑛 − 1 ) Δ 𝑥 = 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑓 ⁡ ( 𝑥 𝑖 − 1 ) Δ 𝑥 A ≈ L n = f ⁡ ( x 0 ) Δ x + f ⁡ ( x 1 ) Δ x + ⋯ + f ⁡ ( x n − 1 ) Δ x = ∑ i = 1 n f ⁡ ( x i − 1 ) Δ x
Nálgun með hægri endapunktum	𝐴 ≈ 𝑅 𝑛 = 𝑓 ⁡ ( 𝑥 1 ) Δ 𝑥 + 𝑓 ⁡ ( 𝑥 2 ) Δ 𝑥 + ⋯ + 𝑓 ⁡ ( 𝑥 𝑛 ) Δ 𝑥 = 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑓 ⁡ ( 𝑥 𝑖 ) Δ 𝑥 A ≈ R n = f ⁡ ( x 1 ) Δ x + f ⁡ ( x 2 ) Δ x + ⋯ + f ⁡ ( x n ) Δ x = ∑ i = 1 n f ⁡ ( x i ) Δ x

Ákveðið heildi

∫ 𝑏 𝑎 𝑓 ⁡ (𝑥) 𝑑 𝑥 = l i m 𝑛 \to ∞ ⁢ 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑓 ⁡ (𝑥 * 𝑖) Δ 𝑥 ∫ a b f ⁡ (x) d x = lim n \to ∞ ⁢ ∑ i = 1 n f ⁡ (x i *) Δ x

Eiginleikar ákveðins heildis

∫ a a f ⁡ ( x ) ⁢ d ⁢ x = 0 ∫ b a f ⁡ ( x ) d x = − ∫ a b f ⁡ ( x ) d x ∫ a b [ f ⁡ ( x ) + g ⁡ ( x ) ] d x = ∫ a b f ⁡ ( x ) d x + ∫ a b g ⁡ ( x ) d x ∫ a b [ f ⁡ ( x ) − g ⁡ ( x ) ] ⁢ d ⁢ x = ∫ a b f ⁡ ( x ) ⁢ d ⁢ x − ∫ a b g ⁡ ( x ) d x ∫ a b c ⁢ f ⁡ ( x ) d x = c ⁢ ∫ a b f ⁡ ( x ) fyrir fastann c ∫ a b f ⁡ ( x ) d x = ∫ a c f ⁡ ( x ) d x + ∫ c b f ⁡ ( x ) d x

Meðalgildissetningin fyrir heildi	Ef fallið f ⁡ ( x ) er samfellt á bilinu [ a , b ] , þá er til að minnsta kosti einn punktur c ∈ [ a , b ] þannig að f ⁡ ( c ) = 1/b − a ⁢ ∫ a b f ⁡ ( x ) d x .
Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar, fyrri hluti	Ef fallið f ⁡ ( x ) er samfellt á bilinu [ a , b ] , og fallið F ⁡ ( x ) er skilgreint með F ⁡ ( x ) = ∫ a x f ⁡ ( t ) d t , þá er F ′ ⁡ ( x ) = f ⁡ ( x ) .
Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar, síðari hluti	Ef f er samfellt fall á bilinu [ a , b ] og F ⁡ ( x ) er eitthvert stofnfall fallsins f ⁡ ( x ) , þá er ∫ a b f ⁡ ( x ) ⁢ d ⁢ x = F ⁡ ( b ) − F ⁡ ( a ) .

Setningin um heildarbreytingu

F ⁡ ( b ) = F ⁡ ( a ) + ∫ a b F ' ( x ) ⁢ d ⁢ x eða ∫ a b F ' ( x ) ⁢ d ⁢ x = F ⁡ ( b ) − F ⁡ ( a )

Innsetning í óákveðnum heildum	∫ 𝑓 ⁡ [ 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ] ⁢ 𝑔 ′ ⁡ ( 𝑥 ) ⁢ 𝑑 ⁢ 𝑥 = ∫ 𝑓 ⁡ ( 𝑢 ) 𝑑 𝑢 = 𝐹 ⁡ ( 𝑢 ) + 𝐶 = 𝐹 ⁡ ( 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ) + 𝐶 ∫ f ⁡ [ g ⁡ ( x ) ] ⁢ g ′ ⁡ ( x ) ⁢ d ⁢ x = ∫ f ⁡ ( u ) d u = F ⁡ ( u ) + $C = F$ ⁡ ( g ⁡ ( x ) ) + C
Innsetning í ákveðnum heildum	∫ 𝑏 𝑎 𝑓 ⁡ ( 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ) ⁢ 𝑔 ′ ( 𝑥 ) ⁢ 𝑑 ⁢ 𝑥 = ∫ 𝑔 ⁡ ( 𝑏 ) 𝑔 ⁡ ( 𝑎 ) 𝑓 ⁡ ( 𝑢 ) 𝑑 𝑢 ∫ a b f ⁡ ( g ⁡ ( x ) ) ⁢ g ' ( x ) ⁢ d ⁢ x = ∫ g ⁡ ( a ) g ⁡ ( b ) f ⁡ ( u ) d u

Heildi vísisfalla

∫ 𝑒 𝑥 ⁢ 𝑑 ⁢ 𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶 ∫ e x ⁢ d ⁢ x = e x + C ∫ 𝑎 𝑥 ⁢ 𝑑 ⁢ 𝑥 = 𝑎 𝑥 l n ⁡ 𝑎 + 𝐶 ∫ a x ⁢ d ⁢ x = a x/ln ⁡ a + C

Heildunarformúlur fyrir lograföll

∫ 𝑥 − 1 ⁢ 𝑑 ⁢ 𝑥 = l n ⁡ | 𝑥 | + 𝐶 ∫ x −1 ⁢ d ⁢ x = ln ⁡ | x | + C ∫ l n ⁡ 𝑥 𝑑 ⁢ 𝑥 = 𝑥 ⁢ l n ⁡ 𝑥 − 𝑥 + 𝐶 = 𝑥 ⁢ ( l n ⁡ 𝑥 − 1 ) + 𝐶 ∫ ln ⁡ x d ⁢ x = x ⁢ ln ⁡ x − x + C = x ⁢ ( ln ⁡ x − 1 ) + C ∫ l o g 𝑎 𝑥 𝑑 ⁢ 𝑥 = 𝑥 l n ⁡ 𝑎 ⁢ ( l n ⁡ 𝑥 − 1 ) + 𝐶 ∫ log a x d ⁢ x = x/ln ⁡ a ⁢ ( ln ⁡ x − 1 ) + C

Heildi sem gefa andhverf hornaföll

\frac{⌠ ⎮ ⌡ 𝑑 ⁢ 𝑢 √ 𝑎 2 − 𝑢 2 = s i n − 1 ⁢ ( 𝑢 𝑎 ) + 𝐶 ∫ d ⁢ u}{a 2 − u 2} = \frac{sin −1 ⁢ ( u}{a ) + C ∫ 𝑑 ⁢ 𝑢 𝑎 2 + 𝑢 2 = 1 𝑎 t a n − 1 ⁢ ( 𝑢 𝑎 ) + 𝐶 ∫ d ⁢ u/a 2 + u 2 = 1/a tan −1 ⁢ ( u/a ) + C ⌠ ⎮ ⌡ 𝑑 ⁢ 𝑢 𝑢 ⁢ √ 𝑢 2 − 𝑎 2 = 1 𝑎 s e c − 1 ⁢ ( 𝑢 𝑎 ) + 𝐶 ∫ d ⁢ u/u ⁢ u 2 − a 2 = 1/a sec −1 ⁢ ( u/a ) + C}

55 Heildun

Helstu jöfnur

Eiginleikar sigma-táknunar	𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑐 = 𝑛 ⁢ 𝑐 ∑ i = 1 n c = n ⁢ c 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑐 ⁢ 𝑎 𝑖 = 𝑐 ⁢ 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑎 𝑖 ∑ i = 1 n c ⁢ a i = c ⁢ ∑ i = 1 n a i 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 ( 𝑎 𝑖 + 𝑏 𝑖 ) = 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑎 𝑖 + 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑏 𝑖 ∑ i = 1 n ( a i + b i ) = ∑ i = 1 n a i + ∑ i = 1 n b i 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 ( 𝑎 𝑖 − 𝑏 𝑖 ) = 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑎 𝑖 − 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑏 𝑖 ∑ i = 1 n ( a i − b i ) = ∑ i = 1 n a i − ∑ i = 1 n b i 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑎 𝑖 = 𝑚 ∑ 𝑖 = 1 𝑎 𝑖 + 𝑛 ∑ 𝑖 = 𝑚 + 1 𝑎 𝑖 ∑ i = 1 n a i = ∑ i = 1 m a i + ∑ i = m + 1 n a i
Summur og veldi heiltalna	$\frac{𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑖 = 1 + 2 + ⋯ + 𝑛 = 𝑛 ⁢ ( 𝑛 + 1 ) 2 ∑ i = 1 n i = 1 + 2 + ⋯ + n = n ⁢ ( n + 1 )}{2 𝑛 ∑ 𝑖} = \frac{1 𝑖 2 = 1 2 + 2 2 + ⋯ + 𝑛 2 = 𝑛 ⁢ ( 𝑛 + 1 ) ⁢ ( 2 ⁢ 𝑛 + 1 ) 6 ∑ i = 1 n i 2 = 1 2 + 2 2 + ⋯ + n 2 = n ⁢ ( n + 1 ) ⁢ ( 2 ⁢ n + 1 )}{6 𝑛 ∑ 𝑖 = 0 𝑖 3 = 1 3 + 2 3 + ⋯ + 𝑛 3 = 𝑛 2 ⁢ ( 𝑛 + 1 ) 2 4 ∑ i = 0 n i 3 = 1 3 + 2 3 + ⋯ + n 3 = n 2 ⁢ ( n + 1 ) 2/4}$
Nálgun með vinstri endapunktum	𝐴 ≈ 𝐿 𝑛 = 𝑓 ⁡ ( 𝑥 0 ) Δ 𝑥 + 𝑓 ⁡ ( 𝑥 1 ) Δ 𝑥 + ⋯ + 𝑓 ⁡ ( 𝑥 𝑛 − 1 ) Δ 𝑥 = 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑓 ⁡ ( 𝑥 𝑖 − 1 ) Δ 𝑥 A ≈ L n = f ⁡ ( x 0 ) Δ x + f ⁡ ( x 1 ) Δ x + ⋯ + f ⁡ ( x n − 1 ) Δ x = ∑ i = 1 n f ⁡ ( x i − 1 ) Δ x
Nálgun með hægri endapunktum	𝐴 ≈ 𝑅 𝑛 = 𝑓 ⁡ ( 𝑥 1 ) Δ 𝑥 + 𝑓 ⁡ ( 𝑥 2 ) Δ 𝑥 + ⋯ + 𝑓 ⁡ ( 𝑥 𝑛 ) Δ 𝑥 = 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑓 ⁡ ( 𝑥 𝑖 ) Δ 𝑥 A ≈ R n = f ⁡ ( x 1 ) Δ x + f ⁡ ( x 2 ) Δ x + ⋯ + f ⁡ ( x n ) Δ x = ∑ i = 1 n f ⁡ ( x i ) Δ x

Ákveðið heildi

∫ 𝑏 𝑎 𝑓 ⁡ (𝑥) 𝑑 𝑥 = l i m 𝑛 \to ∞ ⁢ 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑓 ⁡ (𝑥 * 𝑖) Δ 𝑥 ∫ a b f ⁡ (x) d x = lim n \to ∞ ⁢ ∑ i = 1 n f ⁡ (x i *) Δ x

Eiginleikar ákveðins heildis

Meðalgildissetningin fyrir heildi	Ef fallið f ⁡ ( x ) er samfellt á bilinu [ a , b ] , þá er til að minnsta kosti einn punktur c ∈ [ a , b ] þannig að f ⁡ ( c ) = 1/b − a ⁢ ∫ a b f ⁡ ( x ) d x .
Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar, fyrri hluti	Ef fallið f ⁡ ( x ) er samfellt á bilinu [ a , b ] , og fallið F ⁡ ( x ) er skilgreint með F ⁡ ( x ) = ∫ a x f ⁡ ( t ) d t , þá er F ′ ⁡ ( x ) = f ⁡ ( x ) .
Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar, síðari hluti	Ef f er samfellt fall á bilinu [ a , b ] og F ⁡ ( x ) er eitthvert stofnfall fallsins f ⁡ ( x ) , þá er ∫ a b f ⁡ ( x ) ⁢ d ⁢ x = F ⁡ ( b ) − F ⁡ ( a ) .

Setningin um heildarbreytingu

F ⁡ ( b ) = F ⁡ ( a ) + ∫ a b F ' ( x ) ⁢ d ⁢ x eða ∫ a b F ' ( x ) ⁢ d ⁢ x = F ⁡ ( b ) − F ⁡ ( a )

Innsetning í óákveðnum heildum	∫ 𝑓 ⁡ [ 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ] ⁢ 𝑔 ′ ⁡ ( 𝑥 ) ⁢ 𝑑 ⁢ 𝑥 = ∫ 𝑓 ⁡ ( 𝑢 ) 𝑑 𝑢 = 𝐹 ⁡ ( 𝑢 ) + 𝐶 = 𝐹 ⁡ ( 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ) + 𝐶 ∫ f ⁡ [ g ⁡ ( x ) ] ⁢ g ′ ⁡ ( x ) ⁢ d ⁢ x = ∫ f ⁡ ( u ) d u = F ⁡ ( u ) + $C = F$ ⁡ ( g ⁡ ( x ) ) + C
Innsetning í ákveðnum heildum	∫ 𝑏 𝑎 𝑓 ⁡ ( 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ) ⁢ 𝑔 ′ ( 𝑥 ) ⁢ 𝑑 ⁢ 𝑥 = ∫ 𝑔 ⁡ ( 𝑏 ) 𝑔 ⁡ ( 𝑎 ) 𝑓 ⁡ ( 𝑢 ) 𝑑 𝑢 ∫ a b f ⁡ ( g ⁡ ( x ) ) ⁢ g ' ( x ) ⁢ d ⁢ x = ∫ g ⁡ ( a ) g ⁡ ( b ) f ⁡ ( u ) d u

Heildi vísisfalla

∫ 𝑒 𝑥 ⁢ 𝑑 ⁢ 𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶 ∫ e x ⁢ d ⁢ x = e x + C ∫ 𝑎 𝑥 ⁢ 𝑑 ⁢ 𝑥 = 𝑎 𝑥 l n ⁡ 𝑎 + 𝐶 ∫ a x ⁢ d ⁢ x = a x/ln ⁡ a + C

Heildunarformúlur fyrir lograföll

Heildi sem gefa andhverf hornaföll

\frac{⌠ ⎮ ⌡ 𝑑 ⁢ 𝑢 √ 𝑎 2 − 𝑢 2 = s i n − 1 ⁢ ( 𝑢 𝑎 ) + 𝐶 ∫ d ⁢ u}{a 2 − u 2} = \frac{sin −1 ⁢ ( u}{a ) + C ∫ 𝑑 ⁢ 𝑢 𝑎 2 + 𝑢 2 = 1 𝑎 t a n − 1 ⁢ ( 𝑢 𝑎 ) + 𝐶 ∫ d ⁢ u/a 2 + u 2 = 1/a tan −1 ⁢ ( u/a ) + C ⌠ ⎮ ⌡ 𝑑 ⁢ 𝑢 𝑢 ⁢ √ 𝑢 2 − 𝑎 2 = 1 𝑎 s e c − 1 ⁢ ( 𝑢 𝑎 ) + 𝐶 ∫ d ⁢ u/u ⁢ u 2 − a 2 = 1/a sec −1 ⁢ ( u/a ) + C}