5.1 Nálgun flatarmáls

Arkímedes hafði mikinn áhuga á að reikna flatarmál ýmissa forma—með öðrum orðum, stærð þess flatar sem formið afmarkar. Hann beitti ferli sem síðar varð þekkt sem tæmingaraðferðin. Í henni voru sífellt minni form, sem unnt var að reikna flatarmálið á nákvæmlega, notuð til að fylla óreglulegt svæði og fá þannig sífellt nákvæmari nálganir á heildarflatarmáli þess. Í þessu ferli er svæði, sem afmarkast af ferlum, fyllt með rétthyrningum, þríhyrningum og öðrum formum sem hafa nákvæmar flatarmálsformúlur. Flatarmál þessara forma eru síðan lögð saman til að nálga flatarmál svæðisins sem afmarkast af ferlunum.

Í þessum undirkafla þróum við aðferðir til að nálga flatarmálið milli ferils sem lýst er með fallinu $f\left(x\right),$ og x-ássins á lokaða bilinu $\left[a,b\right].$ Líkt og Arkímedes nálgum við flatarmálið undir ferlinum fyrst með formum sem hafa þekkt flatarmál, nánar tiltekið rétthyrningum. Eftir því sem rétthyrningarnir verða minni verður nálgunin nákvæmari. Með því að láta nálgunargildin stefna að markgildi getum við reiknað flatarmálið undir ferlinum nákvæmlega.

Byrjum á að kynna rithátt sem einfaldar útreikningana. Síðan skoðum við tilvikið þegar $f\left(x\right)$ er samfellt og óneikvætt. Síðar í kaflanum drögum við úr sumum þessara takmarkana og þróum aðferðir sem eiga við um almennari tilvik.

Eins og áður hefur komið fram notum við flatarmyndir með þekkt flatarmál til að nálga flatarmál óreglulegs svæðis sem afmarkast af ferlum. Við það þarf oft að leggja saman langar talnarunur. Til að auðvelda ritun slíkra summa kynnum við hér sigma-táknun, sem einnig nefnist summutáknun. Gríski hástafurinn sigma, $\Sigma ,$ er notaður til að tákna langar summur á hnitmiðaðan hátt. Ef við viljum til dæmis leggja saman allar heiltölur frá 1 til 20 án sigma-táknunar þurfum við að skrifa

þar sem $a_i$ táknar liðina sem á að leggja saman og i kallast vísir. Gildi hvers liðar er reiknað og síðan eru gildin lögð saman, frá $i=1$ til og með $i=n.$ Stæða á borð við ${\displaystyle \sum _{i=2}^7{s}_i}$ táknar því $s_2+s_3+s_4+s_5+s_6+s_7.$ Athugið að vísirinn er aðeins notaður til að halda utan um liðina sem á að leggja saman; hann kemur ekki við sögu í sjálfum útreikningi summunnar. Vísirinn kallast því gervibreyta. Nota má hvaða bókstaf sem er sem vísi. Stærðfræðingar nota yfirleitt i, j, k, m og n sem vísa.

Nú þegar nauðsynleg táknun liggur fyrir snúum við okkur aftur að viðfangsefninu: að nálga flatarmálið undir ferli. Látum $f\left(x\right)$ vera samfellt, óneikvætt fall sem er skilgreint á lokaða bilinu $\left[a,b\right].$ Við viljum nálga flatarmálið A sem afmarkast að ofan af $f\left(x\right)$ , að neðan af x-ásnum, til vinstri af línunni $x=a$ og til hægri af línunni $x=b$ (mynd 5.2).

Hvernig nálgum við flatarmálið undir þessum ferli? Aðferðin byggist á rúmfræði. Með því að skipta svæði í mörg lítil form, sem þekktar flatarmálsformúlur gilda um, getum við lagt flatarmál þeirra saman og fengið viðunandi mat á raunverulegu flatarmáli svæðisins. Við byrjum á því að skipta bilinu $\left[a,b\right]$ í n jafnbreið hlutbil, $\frac{b-a}{n}.$ Við gerum þetta með því að velja punkta með jöfnu millibili $x_0,x_1,x_2\text{,…,}{x}_n$ með $x_0=a,x_n=b,$ og

fyrir $i=1,2,3\text{,…,}n.$

Við táknum breidd hvers hlutbils með tákninu Δx, þannig að $\text{Δ}x=\frac{b-a}{n}$ og

fyrir $i=1,2,3\text{,…,}n.$ Oft þarf að skipta bili $\left[a,b\right]$ í hlutbil með því að velja punkta á bilinu þegar flatarmál undir ferli er nálgað. Því skulum við skilgreina nokkur hugtök sem tengjast slíkri skiptingu.

Gröfin á mynd 5.5 sýna ferilinn $f\left(x\right)=\frac{x^2}{2}.$ Á grafi (a) skiptum við svæðinu yfir bilinu $\left[0,3\right]$ í sex hlutbil sem hvert hefur breiddina 0.5. Því er $\text{Δ}x=0.5.$ Síðan myndum við sex rétthyrninga með því að draga lóðrétta línu upp frá $x_{i-1},$ vinstri endapunkti hvers hlutbils. Hæð hvers rétthyrnings fæst með því að reikna $f\left(x_{i-1}\right)$ fyrir $i=1,2,3,4,5,6.$ Hlutbilin eru $\left[0,0.5\right],\left[0.5,1\right],\left[1,1.5\right],\left[1.5,2\right],\left[2,2.5\right],\left[2.5,3\right].$ Flatarmál hvers rétthyrnings fæst með því að margfalda hæð hans með breiddinni. Summa flatarmála rétthyrninganna nálgar þá flatarmálið milli $f\left(x\right)$ og x-ássins. Þegar hæðirnar eru reiknaðar í vinstri endapunktum fæst nálgun með vinstri endapunktum. Því er

Á mynd 5.5(b) drögum við lóðréttar línur upp frá punktinum $x_i$, þar sem $x_i$ er hægri endapunktur hvers hlutbils, og reiknum $f\left(x_i\right)$ fyrir $i=1,2,3,4,5,6.$ Við margföldum $f\left(x_i\right)$ með Δx til að finna flatarmál rétthyrninganna og leggjum þau síðan saman. Þannig fæst nálgun með hægri endapunktum á flatarmálinu undir $f\left(x\right).$ Því er

Á mynd 5.5 og gröfunum í dæmi 5.4 sést að þegar fá hlutbil eru notuð gefur hvorki nálgun með vinstri né hægri endapunktum sérlega nákvæmt mat á flatarmálinu undir ferlinum. Rökrétt er þó að ætla að matið á A batni þegar punktum skiptingarinnar er fjölgað. Þá fjölgar rétthyrningunum en hver þeirra verður mjórri og fellur því betur að ferlinum.

Með dæmi má sýna hvernig nálgunin batnar þegar hlutbilin eru gerð mjórri. Við aukum n, fyrst í nálgun með vinstri endapunktum og fjórum rétthyrningum, síðan átta rétthyrningum og loks 32 rétthyrningum. Síðan gerum við hið sama fyrir sama svæði með hægri endapunktum og sömu hlutbilum. Mynd 5.8 sýnir svæðið undir ferlinum $f\left(x\right)={\left(x-1\right)}^3+4$ á bilinu $\left[0,2\right]$ nálgað með vinstri endapunktum þegar $n=4.$ Breidd hvers rétthyrnings er

Mynd 5.9 sýnir sama feril skipt í átta hlutbil. Þegar grafið með fjórum rétthyrningum á mynd 5.8 er borið saman við þetta graf með átta rétthyrningum virðist minna autt svæði vera undir ferlinum þegar $n=8.$ Þetta auða svæði er sá hluti flatarmálsins undir ferlinum sem við getum ekki tekið með í nálguninni. Flatarmál rétthyrninganna er

Grafið á mynd 5.10 sýnir sama fall með 32 rétthyrningum innrituðum undir ferilinn. Svo virðist sem lítið autt svæði sé eftir. Flatarmálið sem rétthyrningarnir þekja er

Sams konar aðferð má beita við nálgun með hægri endapunktum. Þegar sami ferill er nálgaður með hægri endapunktum og fjórum rétthyrningum (mynd 5.11) fæst flatarmálið

Ef svæðinu yfir bilinu $\left[0,2\right]$ er skipt í átta rétthyrninga fæst $\text{Δ}x=\frac{2-0}{8}=0.25.$ Grafið er sýnt á mynd 5.12. Flatarmálið er

Að lokum er nálgunin með hægri endapunktum þegar $n=32$ nærri raunverulega flatarmálinu (mynd 5.13). Flatarmálið er um það bil

Myndirnar og útreikningarnir benda til þess að við séum á réttri leið: rétthyrningarnir nálga flatarmálið undir ferlinum betur eftir því sem n hækkar. Jafnframt stefna bæði nálgunargildin, með vinstri og hægri endapunktum, að 8 ferningseiningum þegar n hækkar. Í töflu 5.1 eru aðferðirnar bornar saman tölulega. Sú grundvallarhugmynd að nálgun flatarmáls undir ferli batni þegar n hækkar verður nú skoðuð nánar.

Hingað til höfum við nálgað flatarmál undir ferli með rétthyrningum. Hæð hvers rétthyrnings hefur ráðist af fallsgildinu annaðhvort í hægri eða vinstri endapunkti hlutbilsins $\left[x_{i-1},x_i\right].$ Engin ástæða er þó til að einskorða valið við þessa tvo punkta. Reikna má fallsgildið í hvaða punkti $x_i^{*}$ sem er á hlutbilinu $\left[x_{i-1},x_i\right],$ og nota $f\left(x_i^{*}\right)$ sem hæð rétthyrningsins. Þá fæst flatarmálsnálgun á forminu

Minnumst þess að nálganir með vinstri og hægri endapunktum virðast batna eftir því sem n hækkar. Hið sama á við um Riemann-summur: stærra gildi n gefur betri nálgun. Nú getum við skilgreint flatarmálið undir ferli með Riemann-summum.

Í þessu sambandi er vert að ræða nokkur atriði. Í fyrsta lagi skal hafa í huga að það er dálítið annað að finna markgildi summu en að finna markgildi falls $f\left(x\right)$ þegar x stefnir á óendanlegt. Fjallað er ítarlega um markgildi summa í kaflanum um Runur og raðir; að svo stöddu getum við þó gert ráð fyrir að reikniaðferðirnar sem við notuðum til að reikna markgildi falla megi einnig nota til að reikna markgildi summa.

Í öðru lagi verðum við að íhuga hvað gera skuli ef stæðan stefnir á mismunandi markgildi eftir því hvernig $\left\{x_i^{*}\right\}.$ eru valin. Sem betur fer gerist það ekki. Þótt sönnunin sé utan við efni þessarar bókar má sýna fram á að ef $f\left(x\right)$ er samfellt á lokaða bilinu $\left[a,b\right],$ þá er $\underset{n\to \infty }{\text{lim}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f\left(x_i^{*}\right)\text{Δ}x}$ til og ótvírætt (með öðrum orðum, það er óháð valinu á $\left\{x_i^{*}\right\}\text{).}$

Við skoðum brátt nokkur dæmi. En áður en að því kemur skulum við staldra við og ræða nokkur tiltekin val á $\left\{x_i^{*}\right\}.$ Þótt sérhvert val á $\left\{x_i^{*}\right\}$ gefi okkur nálgun á flatarmálinu undir ferlinum vitum við ekki endilega hvort nálgunin er of há (ofmat) eða of lág (vanmat). Ef mikilvægt er að vita hvort nálgunin okkar er of há eða of lág getum við valið gildi $\left\{x_i^{*}\right\}$ þannig að annað hvort sé tryggt.

Viljum við til dæmis fá ofmat getum við valið $\left\{x_i^{*}\right\}$ þannig að fyrir $i=1,2,3\text{,…,}n,f\left(x_i^{*}\right)\ge f\left(x\right)$ fyrir öll $x\in \left[x_{i-1},x_i\right].$ Með öðrum orðum veljum við $\left\{x_i^{*}\right\}$ þannig að fyrir $i=1,2,3\text{,…,}n,f\left(x_i^{*}\right)$ sé hámarksgildi fallsins á bilinu $\left[x_{i-1},x_i\right].$ Ef við veljum $\left\{x_i^{*}\right\}$ með þessum hætti, þá er Riemann-summan ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f\left(x_i^{*}\right)\text{Δ}x}$ kölluð efri summa. Á sama hátt getum við, ef við viljum fá vanmat, valið $\left\{x_i^{*}\right\}$ þannig að fyrir $i=1,2,3\text{,…,}n,f\left(x_i^{*}\right)$ sé lágmarksgildi fallsins á bilinu $\left[x_{i-1},x_i\right].$ Samsvarandi Riemann-summa kallast þá neðri summa. Athugið að ef $f\left(x\right)$ er annaðhvort vaxandi eða minnkandi á öllu bilinu $\left[a,b\right],$ þá koma hámarks- og lágmarksgildi fallsins fyrir í endapunktum hlutbilanna, þannig að efri og neðri summur eru einfaldlega nálganir með vinstri og hægri endapunktum.