55 Heildun

5.5 Innsetning

Námsmarkmið

5.5.1 Notið innsetningu til að reikna óákveðin heildi.
5.5.2 Notið innsetningu til að reikna ákveðin heildi.

Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar gaf okkur aðferð til að reikna heildi án þess að nota Riemann-summur. Ókostur aðferðarinnar er þó sá að við verðum að geta fundið stofnfall, sem er ekki alltaf auðvelt. Í þessum undirkafla skoðum við aðferð sem nefnist heildun með innsetningu og auðveldar okkur að finna stofnföll. Nánar tiltekið nýtist aðferðin þegar heildisstofninn verður til við deildun með keðjureglunni.

Í fyrstu er ef til vill ekki augljóst hvernig beita skuli innsetningu. Aðferðin byggist þó fyrst og fremst á því að koma auga á rétt mynstur: heildisstofninn gefur vísbendingu um hvað gera á. Við leitum að heildisstofni af gerðinni $f [g (x)] g^{'} (x) d x .$ Í heildinu $\int {(x^{2} - 3)}^{3} 2 x d x,$ eru til dæmis $f (x) = x^{3}, g (x) = x^{2} - 3,$ og $g' (x) = 2 x .$ Þá

f [g (x)] g^{'} (x) = {(x^{2} - 3)}^{3} (2 x),

og heildisstofninn er því á réttu formi.

Aðferðin nefnist innsetning vegna þess að hluta heildisstofnsins er skipt út fyrir breytuna u og öðrum hluta hans fyrir du. Hún er einnig nefnd breytuskipti, enda skiptum við um breytu til að fá segð sem auðveldara er að vinna með þegar heildunarreglunum er beitt.

Sönnun

Látum f, g, u og F vera eins og tilgreint er í setningunni. Þá er

\begin{matrix} \frac{d}{d x} F (g (x)) & = F^{'} (g (x)) g^{'} (x) \\ = f [g (x)] g^{'} (x) . \end{matrix}

Með því að heilda báðar hliðar með tilliti til x fæst

\int f [g (x)] g^{'} (x) d x = F (g (x)) + C .

Ef við setjum nú inn $u = g (x),$ og $d u = g' (x) d x,$ fæst

\begin{matrix} \int f [g (x)] g^{'} (x) d x & = \int f (u) d u \\ = F (u) + C \\ = F (g (x)) + C . \end{matrix}

□

Snúum aftur að verkefninu sem við skoðuðum í upphafi og setjum $u = x^{2} - 3$ og síðan $d u = 2 x d x .$ Endurritum heildið með tilliti til u:

\int {\underset{u}{\underset{⏟}{(x^{2} - 3)}}}^{3} \underset{d u}{\underset{⏟}{(2 x d x)}} = \int u^{3} d u .

Samkvæmt veldisreglunni fyrir heildi fæst

\int u^{3} d u = \frac{u^{4}}{4} + C .

Setjum upphaflegu segðina, sem rituð er með x, aftur inn í lausnina:

\frac{u^{4}}{4} + C = \frac{{(x^{2} - 3)}^{4}}{4} + C .

Alhæfa má aðferðina með eftirfarandi lausnarleið.

Dæmi 5.30

Innsetning notuð til að finna stofnfall

Notið innsetningu til að finna stofnfallið $\int 6 x {(3 x^{2} + 4)}^{4} d x .$

Lausn

Fyrsta skrefið er að velja segð fyrir u. Við veljum 𝑢=3⁢𝑥2+4 $u = 3 x^{2} + 4$ því þá er 𝑑⁢𝑢=6⁢𝑥⁢𝑑⁢𝑥, $d u = 6 x d x,$ og du er þegar hluti af heildisstofninum. Ritum heildið með tilliti til u:

\int 6 x {(3 x^{2} + 4)}^{4} d x = \int u^{4} d u .

Munið að du er afleiða segðarinnar sem valin er fyrir u, óháð því hvað annað er í heildisstofninum. Nú getum við reiknað heildið með tilliti til u:

\begin{array}{l} \int u^{4} d u & = \frac{u^{5}}{5} + C \\ = \frac{{(3 x^{2} + 4)}^{5}}{5} + C . \end{array}

Greining

Við getum sannreynt svarið með því að deilda niðurstöðuna. Þá ættum við að fá heildisstofninn. Veljum C = 1 og látum 𝑦=15⁢(3⁢𝑥2+4)₅+1. $y = \frac{1}{5} {(3 x^{2} + 4)}^{5} + 1 .$ Þá fæst

y = \frac{1}{5} {(3 x^{2} + 4)}^{5} + 1,

því

\begin{matrix} y^{'} & = (\frac{1}{5}) 5 {(3 x^{2} + 4)}^{4} 6 x \\ = 6 x {(3 x^{2} + 4)}^{4} . \end{matrix}

Þetta er nákvæmlega segðin sem var í heildisstofninum í upphafi.

Stundum þarf að laga fastana í heildinu þegar þeir samsvara ekki nákvæmlega segðunum sem settar eru inn.

Dæmi 5.31

Innsetning með aðlögun

Notið innsetningu til að finna $\int z \sqrt{z^{2} - 5} d z .$

Lausn

Umritum heildið sem ∫𝑧⁢(𝑧2−5)₁/2𝑑𝑧. $\int z {(z^{2} - 5)}^{1 / 2} d z .$ Látum 𝑢=𝑧2−5 $u = z^{2} - 5$ og 𝑑⁢𝑢=2⁢𝑧𝑑⁢𝑧. $d u = 2 z d z .$ Nú kemur upp vandamál: 𝑑⁢𝑢=2⁢𝑧𝑑⁢𝑧 $d u = 2 z d z$ en í upphaflegu segðinni er aðeins 𝑧𝑑⁢𝑧. $z d z .$ Breyta þarf segðinni fyrir du eða heildinu, því annars verður heildið með tilliti til u tvöfalt stærra en það á að vera. Vandann má leysa með því að margfalda báðar hliðar du-jöfnunnar með 12. $\frac{1}{2} .$ Þá fæst

\begin{matrix} u & = z^{2} - 5 \\ d u & = 2 z d z \\ \frac{1}{2} d u & = \frac{1}{2} (2 z) d z = z d z . \end{matrix}

Ritið heildið með tilliti til u og færið 12 $\frac{1}{2}$ út fyrir heildistáknið:

\int z {(z^{2} - 5)}^{1 / 2} d z = \frac{1}{2} \int u^{1 / 2} d u .

Heildið segðina með tilliti til u:

\begin{matrix} \frac{1}{2} \int u^{1 / 2} d u & = (\frac{1}{2}) \frac{u^{3 / 2}}{\frac{3}{2}} + C \\ = (\frac{1}{2}) (\frac{2}{3}) u^{3 / 2} + C \\ = \frac{1}{3} u^{3 / 2} + C \\ = \frac{1}{3} {(z^{2} - 5)}^{3 / 2} + C . \end{matrix}

Dæmi 5.32

Innsetning í heildum hornafalla

Notið innsetningu til að reikna heildið $\int \frac{sin t}{{cos}^{3} t} d t .$

Lausn

Afleiða cos⁡𝑡 $cos t$ er −sin⁡𝑡, $− sin t,$ og því setjum við 𝑢=cos⁡𝑡. $u = cos t .$ Þá er 𝑑⁢𝑢=−sin⁡𝑡⁢𝑑⁢𝑡. $d u = − sin t d t .$ Með innsetningu í heildið fæst

\int \frac{sin t}{{cos}^{3} t} d t = − \int \frac{d u}{u^{3}} .

Þegar heildið er reiknað fæst

\begin{matrix} − \int \frac{d u}{u^{3}} & = − \int u^{−3} d u \\ = − (- \frac{1}{2}) u^{−2} + C . \end{matrix}

Þegar svarið er aftur sett fram með tilliti til t fæst

\begin{matrix} \int \frac{sin t}{{cos}^{3} t} d t & = \frac{1}{2 u^{2}} + C \\ = \frac{1}{2 {cos}^{2} t} + C . \end{matrix}

Stundum þarf að umrita heildi á flóknari hátt en með því einu að margfalda eða deila með fasta. Fjarlægja þarf allar segðir í heildisstofninum sem eru settar fram með upphaflegu breytunni. Að því loknu á u að vera eina breytan í heildisstofninum. Í sumum tilvikum þarf því að einangra upphaflegu breytuna og rita hana með tilliti til u. Næsta dæmi skýrir þessa aðferð.

Dæmi 5.33

Stofnfall fundið með u-innsetningu

Notið innsetningu til að finna stofnfallið $\int \frac{x}{\sqrt{x - 1}} d x .$

Lausn

Ef við látum 𝑢=𝑥−1, $u = x - 1,$ fæst 𝑑⁢𝑢=𝑑⁢𝑥. $d u = d x .$ Þá hefur x í teljara heildisstofnsins þó ekki verið tekið með. Við þurfum því að rita x með tilliti til u. Þar sem 𝑢=𝑥−1, $u = x - 1,$ er 𝑥=𝑢+1. $x = u + 1 .$ Nú getum við umritað heildið með tilliti til u:

\begin{array}{l} \int \frac{x}{\sqrt{x - 1}} d x & = \int \frac{u + 1}{\sqrt{u}} d u \\ = \int \sqrt{u} + \frac{1}{\sqrt{u}} d u \\ = \int (u^{1 / 2} + u^{−1 / 2}) d u . \end{array}

Síðan heildum við á venjulegan hátt, setjum upphaflegu segðina í stað u og þáttum og einföldum niðurstöðuna. Þá fæst

\begin{matrix} \int (u^{1 / 2} + u^{−1 / 2}) d u & = \frac{2}{3} u^{3 / 2} + 2 u^{1 / 2} + C \\ = \frac{2}{3} {(x - 1)}^{3 / 2} + 2 {(x - 1)}^{1 / 2} + C \\ = {(x - 1)}^{1 / 2} [\frac{2}{3} (x - 1) + 2] + C \\ = {(x - 1)}^{1 / 2} (\frac{2}{3} x - \frac{2}{3} + \frac{6}{3}) + C \\ = {(x - 1)}^{1 / 2} (\frac{2}{3} x + \frac{4}{3}) + C \\ = \frac{2}{3} {(x - 1)}^{1 / 2} (x + 2) + C . \end{matrix}

Innsetning í ákveðnum heildum

Einnig má nota innsetningu í ákveðnum heildum. Þegar ákveðið heildi er reiknað með innsetningu þarf þó að breyta heildismörkunum. Ef skipt er um breytu í heildisstofninum breytast heildismörkin jafnframt.

Við sönnum setninguna ekki formlega en rökstyðjum hana með nokkrum útreikningum. Ef $F (x)$ er stofnfall $f (x),$ fæst samkvæmt innsetningarreglunni fyrir óákveðin heildi

\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = F (g (x)) + C .

Þá

\begin{matrix} \int_{a}^{b} f [g (x)] g^{'} (x) d x & = {F (g (x)) |}_{x = a}^{x = b} \\ = F (g (b)) - F (g (a)) \\ = {F (u) |}_{u = g (a)}^{u = g (b)} \\ = \int_{g (a)}^{g (b)} f (u) d u, \end{matrix}

(5.20)

og þar með fæst niðurstaðan sem sýna átti.

Dæmi 5.34

Ákveðið heildi reiknað með innsetningu

Notið innsetningu til að reikna $\int_{0}^{1} x^{2} {(1 + 2 x^{3})}^{5} d x .$

Lausn

Setjum 𝑢=1+2⁢𝑥3, $u = 1 + 2 x^{3},$ þannig að 𝑑⁢𝑢=6⁢𝑥2⁢𝑑⁢𝑥. $d u = 6 x^{2} d x .$ Þar sem upphaflegi heildisstofninn inniheldur þáttinn x 2 ^og 𝑑⁢𝑢=6⁢𝑥2⁢𝑑⁢𝑥, $d u = 6 x^{2} d x,$ margföldum við báðar hliðar du-jöfnunnar með 1/6. $1 / 6 .$ Þá fæst

\begin{matrix} d u & = & 6 x^{2} d x \\ \frac{1}{6} d u & = & x^{2} d x . \end{matrix}

Til að breyta heildismörkunum athugum við að þegar $x = 0, u = 1 + 2 (0) = 1,$ og þegar $x = 1, u = 1 + 2 (1) = 3 .$ Þá

\int_{0}^{1} x^{2} {(1 + 2 x^{3})}^{5} d x = \frac{1}{6} \int_{1}^{3} u^{5} d u .

Þegar gildi þessarar segðar er reiknað fæst

\begin{matrix} \frac{1}{6} \int_{1}^{3} u^{5} d u & = (\frac{1}{6}) (\frac{u^{6}}{6}) |_{1}^{3} \\ = \frac{1}{36} [{(3)}^{6} - {(1)}^{6}] \\ = \frac{182}{9} . \end{matrix}

Dæmi 5.35

Innsetning notuð með vísisfalli

Notið innsetningu til að reikna $\int_{0}^{1} x e^{4 x^{2} + 3} d x .$

Lausn

Látum $u = 4 x^{2} + 3 .$ Þá er $d u = 8 x d x .$ Til að laga heildismörkin að innsetningunni athugum við að þegar $x = 0, u = 3,$ og þegar $x = 1, u = 7 .$ Innsetningin gefur því

\begin{matrix} \int_{0}^{1} x e^{4 x^{2} + 3} d x & = \frac{1}{8} \int_{3}^{7} e^{u} d u \\ = \frac{1}{8} e^{u} |_{3}^{7} \\ = \frac{e^{7} - e^{3}}{8} \\ \approx 134.568. \end{matrix}

Innsetning kann að vera aðeins ein af þeim aðferðum sem þarf til að reikna ákveðið heildi. Eiginleikar og reglur heildunar gilda óháð innsetningunni og hugsanlega þarf að umrita hornaföll með hornafallasamsemd áður en henni er beitt. Einnig má setja upphaflegu segðina aftur í stað u eftir að stofnfallið hefur verið fundið; þá þarf ekki að breyta heildismörkunum. Þessar tvær leiðir eru sýndar í dæmi 5.36.

Dæmi 5.36

Hornafallsheildi reiknað með innsetningu

Notið innsetningu til að reikna $\int_{0}^{π / 2} {cos}^{2} θ d θ .$

Lausn

Notum fyrst hornafallasamsemd til að umrita heildið. Með samsemdinni cos2⁢𝜃=1+cos⁡2⁢𝜃2 ${cos}^{2} θ = \frac{1 + cos 2 θ}{2}$ má umrita heildið sem

\int_{0}^{π / 2} {cos}^{2} θ d θ = \int_{0}^{π / 2} \frac{1 + cos 2 θ}{2} d θ .

Þá,

\begin{matrix} \int_{0}^{π / 2} (\frac{1 + cos 2 θ}{2}) d θ & = \int_{0}^{π / 2} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos 2 θ) d θ \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{π / 2} d θ + \frac{1}{2} \int_{0}^{π / 2} cos 2 θ d θ . \end{matrix}

Fyrra heildið má reikna eins og það stendur en nota þarf innsetningu til að reikna það síðara. Látum 𝑢=2⁢𝜃. $u = 2 θ .$ Þá er 𝑑⁢𝑢=2⁢𝑑⁢𝜃, $d u = 2 d θ,$ eða 12⁢𝑑⁢𝑢=𝑑⁢𝜃. $\frac{1}{2} d u = d θ .$ Þegar 𝜃=0,𝑢=0, $θ = 0, u = 0,$ og þegar 𝜃=𝜋/2,𝑢=𝜋. $θ = π / 2, u = π .$ Ef síðara heildið er ritað með u fæst

\begin{matrix} \frac{1}{2} \int_{0}^{π / 2} d θ + \frac{1}{2} \int_{0}^{π / 2} cos 2 θ d θ & = \frac{1}{2} \int_{0}^{π / 2} d θ + \frac{1}{2} (\frac{1}{2}) \int_{0}^{π} cos u d u \\ = \frac{θ}{2} |_{θ = 0}^{θ = π / 2} + \frac{1}{4} sin u |_{u = 0}^{u = π} \\ = (\frac{π}{4} - 0) + (0 - 0) = \frac{π}{4} . \end{matrix}

Æfingar í undirkafla 5.5

254.

Hvers vegna er u-innsetning einnig nefnd breytuskipti?

255.

2. Ef $f = g \circ h,$ þegar keðjureglunni er beitt öfugt, $\frac{d}{d x} (g \circ h) (x) = g^{'} (h (x)) h^{'} (x),$ ættuð þið að velja $u = g (x)$ eða $u = h (x) ?$

Í eftirfarandi æfingum skal sannreyna hverja samsemd með deildun. Notið síðan tilgreinda u-innsetningu og ákvarðið f þannig að heildið verði á forminu $\int f (u) d u .$

256.

∫𝑥⁢√𝑥+1⁢𝑑⁢𝑥=215⁢(𝑥+1)₃/2⁢(3⁢𝑥−2)+𝐶;𝑢=𝑥+1 $\int x \sqrt{x + 1} d x = \frac{2}{15} {(x + 1)}^{3 / 2} (3 x - 2) + C; u = x + 1$

257.

Fyrir $x > 1 : \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x - 1}} d x = \frac{2}{15} \sqrt{x - 1} (3 x^{2} + 4 x + 8) + C; u = x - 1$

258.

∫𝑥⁢√4⁢𝑥2+9⁢𝑑⁢𝑥=112⁢(4⁢𝑥2+9)₃/2+𝐶;𝑢=4⁢𝑥2+9 $\int x \sqrt{4 x^{2} + 9} d x = \frac{1}{12} {(4 x^{2} + 9)}^{3 / 2} + C; u = 4 x^{2} + 9$

259.

⌠⎮⌡𝑥√4⁢𝑥2+9⁢𝑑⁢𝑥=14⁢√4⁢𝑥2+9+𝐶;𝑢=4⁢𝑥2+9 $\int \frac{x}{\sqrt{4 x^{2} + 9}} d x = \frac{1}{4} \sqrt{4 x^{2} + 9} + C; u = 4 x^{2} + 9$

260.

⌠⎮ ⎮⌡𝑥(4⁢𝑥2+9)₂⁢𝑑⁢𝑥=−18⁢(4⁢𝑥2+9);𝑢=4⁢𝑥2+9 $\int \frac{x}{{(4 x^{2} + 9)}^{2}} d x = - \frac{1}{8 (4 x^{2} + 9)}; u = 4 x^{2} + 9$

Finnið stofnfallið í eftirfarandi æfingum með tilgreindri innsetningu.

261.

∫(𝑥+1)₄𝑑𝑥;𝑢=𝑥+1 $\int {(x + 1)}^{4} d x; u = x + 1$

262.

∫(𝑥−1)₅𝑑𝑥;𝑢=𝑥−1 $\int {(x - 1)}^{5} d x; u = x - 1$

263.

∫(2⁢𝑥−3)−7𝑑𝑥;𝑢=2⁢𝑥−3 $\int {(2 x - 3)}^{−7} d x; u = 2 x - 3$

264.

∫(3⁢𝑥−2)−11𝑑𝑥;𝑢=3⁢𝑥−2 $\int {(3 x - 2)}^{−11} d x; u = 3 x - 2$

265.

⌠⎮⌡𝑥√𝑥2+1𝑑𝑥;𝑢=𝑥2+1 $\int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x; u = x^{2} + 1$

266.

⌠⎮⌡𝑥√1−𝑥2𝑑𝑥;𝑢=1−𝑥2 $\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x; u = 1 - x^{2}$

267.

∫(𝑥−1)⁢(𝑥2−2⁢𝑥)₃𝑑𝑥;𝑢=𝑥2−2⁢𝑥 $\int (x - 1) {(x^{2} - 2 x)}^{3} d x; u = x^{2} - 2 x$

268.

∫(𝑥2−2⁢𝑥)⁢(𝑥3−3⁢𝑥2)₂𝑑𝑥;𝑢=𝑥3–3⁢𝑥2 $\int (x^{2} - 2 x) {(x^{3} - 3 x^{2})}^{2} d x; u = x^{3} - 3 x^{2}$

269.

∫cos3⁢𝜃𝑑𝜃;𝑢=sin⁡𝜃 $\int {cos}^{3} θ d θ; u = sin θ$ (𝐻⁡𝑖⁢𝑛⁢𝑡:cos2⁢𝜃=1−sin2⁢𝜃) $(H i n t : {cos}^{2} θ = 1 - {sin}^{2} θ)$

270.

∫sin3⁢𝜃𝑑𝜃;𝑢=cos⁡𝜃 $\int {sin}^{3} θ d θ; u = cos θ$ (𝐻⁡𝑖⁢𝑛⁢𝑡:sin2⁢𝜃=1−cos2⁢𝜃) $(H i n t : {sin}^{2} θ = 1 - {cos}^{2} θ)$

Notið viðeigandi breytuskipti í eftirfarandi æfingum til að reikna óákveðna heildið.

271.

∫𝑥⁢(1−𝑥)₉₉𝑑𝑥 $\int x {(1 - x)}^{99} d x$

272.

∫𝑡⁢(1−𝑡2)₁₀𝑑𝑡 $\int t {(1 - t^{2})}^{10} d t$

273.

∫(11⁢𝑥−7)−3𝑑𝑥 $\int {(11 x - 7)}^{−3} d x$

274.

∫(7⁢𝑥−11)₄𝑑𝑥 $\int {(7 x - 11)}^{4} d x$

275.

∫cos3⁢𝜃⁢sin⁡𝜃⁢𝑑⁢𝜃 $\int {cos}^{3} θ sin θ d θ$

276.

∫sin7⁢𝜃⁢cos⁡𝜃⁢𝑑⁢𝜃 $\int {sin}^{7} θ cos θ d θ$

277.

∫cos2⁢(𝜋⁢𝑡)⁢sin⁡(𝜋⁢𝑡)𝑑𝑡 $\int {cos}^{2} (π t) sin (π t) d t$

278.

∫sin2⁢𝑥⁢cos3⁢𝑥𝑑𝑥 $\int {sin}^{2} x {cos}^{3} x d x$ (𝐻⁡𝑖⁢𝑛⁢𝑡:sin2⁢𝑥+cos2⁢𝑥=1) $(H i n t : {sin}^{2} x + {cos}^{2} x = 1)$

279.

∫𝑡⁢sin⁡(𝑡2)⁢cos⁡(𝑡2)𝑑𝑡 $\int t sin (t^{2}) cos (t^{2}) d t$

280.

∫𝑡2⁢cos2⁢(𝑡3)⁢sin⁡(𝑡3)⁢𝑑⁢𝑡 $\int t^{2} {cos}^{2} (t^{3}) sin (t^{3}) d t$

281.

⌠⎮ ⎮⌡𝑥2(𝑥3−3)₂𝑑𝑥 $\int \frac{x^{2}}{{(x^{3} - 3)}^{2}} d x$

282.

⌠⎮⌡𝑥3√1−𝑥2𝑑𝑥 $\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

283.

⌠⎮ ⎮⌡𝑦5(1−𝑦3)₃/2𝑑𝑦 $\int \frac{y^{5}}{{(1 - y^{3})}^{3 / 2}} d y$

284.

∫cos⁡𝜃⁢(1−cos⁡𝜃)₉₉sin⁡𝜃⁢𝑑⁢𝜃 ${\int cos θ (1 - cos θ)}^{99} sin θ d θ$

285.

∫(1−cos3⁢𝜃)₁₀cos2⁢𝜃⁢sin⁡𝜃⁢𝑑⁢𝜃 ${\int (1 - {cos}^{3} θ)}^{10} {cos}^{2} θ sin θ d θ$

286.

∫(cos⁡𝜃−1)⁢(cos2⁢𝜃−2⁢cos⁡𝜃)₃⁢sin⁡𝜃⁢𝑑⁢𝜃 $\int (cos θ - 1) {({cos}^{2} θ - 2 cos θ)}^{3} sin θ d θ$

287.

∫(sin2⁢𝜃−2⁢sin⁡𝜃)⁢(sin3⁢𝜃−3⁢sin2⁢𝜃)₃⁢cos⁡𝜃⁢𝑑⁢𝜃 $\int ({sin}^{2} θ - 2 sin θ) {({sin}^{3} θ - 3 {sin}^{2} θ)}^{3} cos θ d θ$

Notið reiknivél í eftirfarandi æfingum til að áætla flatarmálið undir ferlinum með vinstri Riemann-summu með 50 liðum. Notið síðan innsetningu til að finna nákvæmt svar.

288.

[T] $y = 3 {(1 - x)}^{2}$ á bilinu $[0, 2]$

289.

[T] $y = x {(1 - x^{2})}^{3}$ á bilinu $[−1, 2]$

290.

[T] $y = sin x {(1 - cos x)}^{2}$ á bilinu $[0, π]$

291.

[T] $y = \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ á bilinu $[−1, 1]$

Notið breytuskipti til að reikna ákveðnu heildin í eftirfarandi æfingum.

292.

∫10𝑥⁢√1−𝑥2⁢𝑑⁢𝑥 $\int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x^{2}} d x$

293.

⌠⎮⌡10𝑥√1+𝑥2𝑑𝑥 $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

294.

⌠⎮⌡20𝑡√5+𝑡2𝑑𝑡 $\int_{0}^{2} \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}} d t$

295.

⌠⎮⌡10𝑡2√1+𝑡3𝑑𝑡 $\int_{0}^{1} \frac{t^{2}}{\sqrt{1 + t^{3}}} d t$

296.

∫𝜋/40sec2⁢𝜃⁢tan⁡𝜃⁢𝑑⁢𝜃 $\int_{0}^{π / 4} {sec}^{2} θ tan θ d θ$

297.

∫𝜋/40sin⁡𝜃cos4⁢𝜃𝑑𝜃 $\int_{0}^{π / 4} \frac{sin θ}{{cos}^{4} θ} d θ$

Í eftirfarandi æfingum skal reikna óákveðna heildið $\int f (x) d x$ með u-innsetningu og velja $C = 0$ . Teiknið síðan graf fallsins og stofnfallsins á tilgreindu bilinu. Áætlið, ef unnt er, hvaða gildi C þarf að bæta við stofnfallið svo að það verði jafnt fallinu $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t,$ þar sem a er vinstri endapunktur bilsins.

298.

[T] $\int (2 x + 1) e^{x^{2} + x - 6} d x$ á bilinu $[−3, 2]$

299.

[T] ∫cos⁡(ln⁡(2⁢𝑥))𝑥𝑑𝑥 $\int \frac{cos (ln (2 x))}{x} d x$ á bilinu [0,2] $[0, 2]$

300.

[T] $\int \frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{\sqrt{x^{3} + x^{2} + x + 4}} d x$ á bilinu $[−1, 2]$

301.

[T] $\int \frac{sin x}{{cos}^{3} x} d x$ á bilinu $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$

302.

[T] $\int (x + 2) e^{− x^{2} - 4 x + 3} d x$ á bilinu $[−5, 1]$

303.

[T] $\int 3 x^{2} \sqrt{2 x^{3} + 1} d x$ á bilinu $[0, 1]$

304.

Ef ℎ⁡(𝑎)=ℎ⁡(𝑏) $h (a) = h (b)$ í heildinu ∫𝑏𝑎𝑔 ′(ℎ⁡(𝑥))⁢ℎ ′(𝑥)⁢𝑑⁢𝑥, $\int_{a}^{b} g' (h (x)) h' (x) d x,$ hvað má þá segja um gildi þess?

305.

Er innsetningin 𝑢=1−𝑥2 $u = 1 - x^{2}$ leyfileg í ákveðna heildinu ∫20𝑥1−𝑥2𝑑𝑥 $\int_{0}^{2} \frac{x}{1 - x^{2}} d x$ ? Ef ekki, hvers vegna?

Notið breytuskipti í eftirfarandi æfingum til að sýna að hvert ákveðið heildi sé núll.

306.

∫𝜋0cos2⁢(2⁢𝜃)⁢sin⁡(2⁢𝜃)𝑑𝜃 $\int_{0}^{π} {cos}^{2} (2 θ) sin (2 θ) d θ$

307.

∫√𝜋0𝑡⁢cos⁡(𝑡2)⁢sin⁡(𝑡2)𝑑𝑡 $\int_{0}^{\sqrt{π}} t cos (t^{2}) sin (t^{2}) d t$

308.

∫10(1−2⁢𝑡)𝑑𝑡 $\int_{0}^{1} (1 - 2 t) d t$

309.

⌠⎮ ⎮ ⎮⌡101−2⁢𝑡(1+(𝑡−12)₂)𝑑𝑡 $\int_{0}^{1} \frac{1 - 2 t}{(1 + {(t - \frac{1}{2})}^{2})} d t$

310.

∫𝜋0sin⁡((𝑡−𝜋2)₃)⁢cos⁡(𝑡−𝜋2)𝑑𝑡 $\int_{0}^{π} sin ({(t - \frac{π}{2})}^{3}) cos (t - \frac{π}{2}) d t$

311.

∫20(1−𝑡)⁢cos⁡(𝜋⁢𝑡)𝑑𝑡 $\int_{0}^{2} (1 - t) cos (π t) d t$

312.

∫3⁢𝜋/4𝜋/4sin2⁢𝑡⁢cos⁡𝑡⁢𝑑⁢𝑡 $\int_{π / 4}^{3 π / 4} {sin}^{2} t cos t d t$

313.

Sýnið að meðalgildi 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ á bilinu [𝑎,𝑏] $[a, b]$ sé sama og meðalgildi 𝑓⁡(𝑐⁢𝑥) $f (c x)$ á bilinu [𝑎𝑐,𝑏𝑐] $[\frac{a}{c}, \frac{b}{c}]$ þegar 𝑐>0. $c > 0 .$

314.

Finnið flatarmálið undir grafi 𝑓⁡(𝑡)=𝑡(1+𝑡2)𝑎 $f (t) = \frac{t}{{(1 + t^{2})}^{a}}$ á bilinu frá 𝑡=0 $t = 0$ til 𝑡=𝑥 $t = x$ , þar sem a er fasti, 𝑎>0 $a > 0$ og 𝑎≠1 $a \neq 1$ , og reiknið markgildið þegar 𝑥→∞. $x \to \infty .$

315.

Finnið flatarmálið undir grafi 𝑔⁡(𝑡)=𝑡(1−𝑡2)𝑎 $g (t) = \frac{t}{{(1 - t^{2})}^{a}}$ á bilinu frá 𝑡=0 $t = 0$ til 𝑡=𝑥, $t = x,$ þar sem 0<𝑥<1 $0 < x < 1$ , a er fasti og 𝑎>0 $a > 0$ . Reiknið markgildið þegar 𝑥→1. $x \to 1 .$

316.

Flatarmál hálfhrings með geisla 1 má rita sem $\int_{−1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x .$ Notið innsetninguna $x = cos t$ til að rita flatarmál hálfhrings sem heildi hornafalls. Ekki þarf að reikna heildið.

317.

Flatarmál efri helmings sporbaugs, sem hefur langás eftir x-ásnum frá 𝑥=−𝑎 $x = - a$ til 𝑥=𝑎 $x = a$ og skammás eftir y-ásnum frá 𝑦=−𝑏 $y = − b$ til 𝑦=𝑏 $y = b$ , má rita sem ⌠⎮ ⎮⌡𝑎−𝑎𝑏⁢√1−𝑥2𝑎2𝑑𝑥. $\int_{− a}^{a} b \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}} d x .$ Notið innsetninguna 𝑥=𝑎⁢cos⁡𝑡 $x = a cos t$ til að rita flatarmálið sem heildi hornafalls. Ekki þarf að reikna heildið.

318.

[T] Eftirfarandi graf sýnir fall af gerðinni 𝑓⁡(𝑡)=𝑎⁢sin⁡(𝑛⁢𝑡)+𝑏⁢sin⁡(𝑚⁢𝑡). $f (t) = a sin (n t) + b sin (m t) .$ Áætlið stuðlana a og b og tíðnistikana n og m. Notið áætluðu gildin til að nálga ∫𝜋0𝑓⁡(𝑡)𝑑𝑡. $\int_{0}^{π} f (t) d t .$

Graf falls af gefinni gerð á bilinu [0, 2π] hefur sex vendipunkta. Þeir eru rétt á undan π/4, rétt á eftir π/2, milli 3π/4 og π, milli π og 5π/4, rétt á undan 3π/2 og rétt á eftir 7π/4; fallgildin eru um það bil 3, −2, 1, −1, 2 og −3. Grafið hefst í upphafspunktinum og endar í (2π, 0). Það sker x-ásinn milli π/4 og π/2, rétt á undan 3π/4, við π, rétt á eftir 5π/4 og milli 3π/2 og 4π/4.

319.

[T] Eftirfarandi graf sýnir fall af gerðinni 𝑓⁡(𝑥)=𝑎⁢cos⁡(𝑛⁢𝑡)+𝑏⁢cos⁡(𝑚⁢𝑡). $f (x) = a cos (n t) + b cos (m t) .$ Áætlið stuðlana a og b og tíðnistikana n og m. Notið áætluðu gildin til að nálga ∫𝜋20𝑓⁡(𝑡)𝑑𝑡. $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (t) d t .$