55 Heildun

5.6 Heildi vísis- og lografalla

5.6 Heildi sem innihalda vísis- og lograföll

Námsmarkmið

5.6.1 Heilda föll sem innihalda vísisföll.
5.6.2 Heilda föll sem innihalda lograföll.

Vísis- og lograföll eru meðal annars notuð til að lýsa fólksfjölgun, frumuvexti og fjárhagslegum vexti, svo og afskriftum, geislavirkri hrörnun og auðlindanotkun. Í þessum undirkafla skoðum við heildun falla sem innihalda vísis- og lograföll.

Heildi vísisfalla

Vísisfallið er ef til vill meðfærilegasta fallið í stærðfræðigreiningu. Fallið $y = e^{x},$ er bæði eigin afleiða og eigið stofnfall.

Dæmi 5.37

Stofnfall vísisfalls fundið

Finnið stofnfall vísisfallsins e^−x.

Lausn

Notið innsetningu og setjið 𝑢=−𝑥, $u = − x,$ og síðan 𝑑⁢𝑢=−1⁢𝑑⁢𝑥. $d u = −1 d x .$ Margfaldið du-jöfnuna með −1 þannig að −𝑑⁢𝑢=𝑑⁢𝑥. $− d u = d x .$ Þá fæst

\begin{matrix} \int e^{− x} d x & = − \int e^{u} d u \\ = − e^{u} + C \\ = − e^{− x} + C . \end{matrix}

Algeng mistök við meðferð vísissegða eru að fara með veldisvísi e eins og veldisvísi í margliðusegð. Ekki má beita veldisreglunni á veldisvísi e. Þetta getur valdið sérstökum ruglingi þegar sama segð inniheldur bæði vísisfall og margliðu, eins og í stöðumatsverkefninu hér á undan. Í slíkum tilvikum ætti alltaf að ganga úr skugga um að réttri reglu sé beitt á hvert fall sem á að heilda.

Dæmi 5.38

Kvaðratrót vísisfalls

Finnið stofnfall vísisfallsins $e^{x} \sqrt{1 + e^{x}} .$

Lausn

Umritið verkefnið fyrst með ræðum veldisvísi:

\int e^{x} \sqrt{1 + e^{x}} d x = \int e^{x} {(1 + e^{x})}^{1 / 2} d x .

Notum innsetningu og veljum 𝑢=1+𝑒𝑥. $u = 1 + e^{x} .$ Þá er 𝑑⁢𝑢=𝑒𝑥⁢𝑑⁢𝑥. $d u = e^{x} d x .$ Við fáum því (mynd 5.37)

\int e^{x} {(1 + e^{x})}^{1 / 2} d x = \int u^{1 / 2} d u .

Þá fæst

\int u^{1 / 2} d u = \frac{u^{3 / 2}}{3 / 2} + C = \frac{2}{3} u^{3 / 2} + C = \frac{2}{3} {(1 + e^{x})}^{3 / 2} + C .

Graf fallsins f(x) = e^x * sqrt(1 + e^x), sem er vaxandi og kúptur ferill, á bilinu [-3, 1]. Ferillinn hefst nálægt x-ásnum í öðrum fjórðungi, sker y-ásinn í punktinum (0, sqrt(2)) og heldur síðan áfram að vaxa hratt. — **Mynd 5.37.** Grafið sýnir margfeldi vísisfalls og kvaðratrótar vísisfalls.

Dæmi 5.39

Innsetning með vísisfalli

Notið innsetningu til að reikna óákveðna heildið $\int 3 x^{2} e^{2 x^{3}} d x .$

Lausn

Hér látum við u tákna segðina í veldisvísi e. Setjum $u = 2 x^{3}$ og $d u = 6 x^{2} d x . .$ Aftur du er frábrugðið samsvarandi þætti upphaflega fallsins um fastan margfaldara; upphaflega fallið inniheldur þáttinn 3x², en ekki 6x². Margföldum báðar hliðar jöfnunnar með $\frac{1}{2}$ svo að heildisstofninn sem fall af u samsvari heildisstofninum sem falli af x. Þá fæst

\int 3 x^{2} e^{2 x^{3}} d x = \frac{1}{2} \int e^{u} d u .

Heildið segðina með tilliti til u og setjið síðan upphaflegu segðina í x aftur í stað u:

\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \frac{1}{2} e^{u} + C = \frac{1}{2} e^{2 x^{3}} + C .

Eins og fram kom í upphafi þessa undirkafla eru vísisföll notuð við margs konar hagnýt viðfangsefni. Talan e tengist oft samsettum eða sífellt hraðari vexti, eins og við höfum séð í fyrri undirköflum um afleiður. Afleiða táknar breytingar- eða vaxtarhraða en heildi táknar heildarbreytingu eða heildarvöxt. Skoðum dæmi þar sem heildun vísisfalls leysir algengt viðfangsefni úr viðskiptalífinu.

Verð–eftirspurnarfall lýsir sambandi eftirspurðs magns vöru og verðs hennar. Almennt lækkar verðið þegar eftirspurt magn eykst. Jaðarverð–eftirspurnarfallið er afleiða verð–eftirspurnarfallsins og sýnir hve hratt verðið breytist við tiltekið framleiðslustig. Slík föll eru notuð í viðskiptum til að ákvarða verðteygni eftirspurnar og meta hvort breyting á framleiðslustigi yrði arðbær.

Dæmi 5.40

Verð-eftirspurnarjafna fundin

Finnið verð-eftirspurnarjöfnu fyrir tiltekið vörumerki tannkrems í stórmarkaðskeðju þegar eftirspurnin er 50 túpur á viku við verðið $2.35 á túpu, að því gefnu að jaðarverð-eftirspurnarfallið $p^{'} (x),$ þar sem x táknar fjölda túpa á viku, sé gefið með

p' (x) = −0.015 e^{−0.01 x} .

Hvaða verð ætti stórmarkaðskeðjan að setja ef hún selur 100 túpur á viku?

Lausn

Heildum jaðarverð-eftirspurnarfallið til að finna verð-eftirspurnarjöfnuna. Finnum fyrst stofnfallið og beitum síðan gefnu skilyrðunum. Þá fæst

\begin{matrix} p (x) & = \int −0.015 e^{−0.01 x} d x \\ = −0.015 \int e^{−0.01 x} d x . \end{matrix}

Við innsetningu setjum $u = −0.01 x$ og $d u = −0.01 d x .$ Deilum síðan báðum hliðum jöfnunnar fyrir du með −0.01. Þá fæst

\begin{matrix} \frac{−0.015}{−0.01} \int e^{u} d u & = 1.5 \int e^{u} d u \\ = 1.5 e^{u} + C \\ = 1.5 e^{−0.01 x} + C . \end{matrix}

Næsta skref er að einangra C. Við vitum að þegar verðið er $2.35 á túpu er eftirspurnin 50 túpur á viku. Það merkir að

\begin{matrix} p (50) & = 1.5 e^{−0.01 (50)} + C \\ = 2.35 . \end{matrix}

Nú er aðeins eftir að finna C:

\begin{matrix} C & = 2.35 - 1.5 e^{−0.5} \\ = 2.35 - 0.91 \\ = 1.44 . \end{matrix}

Því fæst

p (x) = 1.5 e^{−0.01 x} + 1.44 .

Ef stórmarkaðurinn selur 100 tannkremstúpur á viku er verðið

p (100) = 1.5 e^{−0.01 (100)} + 1.44 = 1.5 e^{−1} + 1.44 \approx 1.99 .

Stórmarkaðurinn ætti að taka $1.99 fyrir hverja túpu ef hann selur 100 túpur á viku.

Dæmi 5.41

Ákveðið heildi með vísisfalli reiknað

Reiknið ákveðna heildið $\int_{1}^{2} e^{1 - x} d x .$

Lausn

Beitum aftur innsetningu. Látum $u = 1 - x,$ þannig að $d u = −1 d x$ eða $− d u = d x .$ Þá er $\int e^{1 - x} d x = − \int e^{u} d u .$ Næst breytum við heildismörkunum. Þegar notuð er jafnan $u = 1 - x,$ fáum við

\begin{matrix} u = 1 - (1) = 0 \\ u = 1 - (2) = −1 . \end{matrix}

Heildið verður þá

\begin{matrix} \int_{1}^{2} e^{1 - x} d x & = − \int_{0}^{−1} e^{u} d u \\ = \int_{−1}^{0} e^{u} d u \\ = {e^{u} |}_{−1}^{0} \\ = e^{0} - (e^{−1}) \\ = − e^{−1} + 1. \end{matrix}

Sjá mynd 5.38.

Graf fallsins f(x) = e^(1-x) á bilinu [0, 3]. Ferillinn sker y-ásinn í punktinum (0, e), er minnkandi og kúptur og nálgast 0 aðfellulega þegar x stefnir á óendanlegt. — **Mynd 5.38.** Reikna má sýnda flatarmálið með ákveðnu heildi og innsetningu.

Dæmi 5.42

Vöxtur bakteríuræktar

Gerum ráð fyrir að vaxtarhraði baktería í ræktunarskál sé 𝑞⁡(𝑡)=3𝑡, $q (t) = 3^{t},$ þar sem t er mælt í klukkustundum og 𝑞⁡(𝑡) $q (t)$ í þúsundum baktería á klukkustund. Ef 10.000 bakteríur eru í ræktuninni í upphafi skal finna fallið 𝑄⁡(𝑡) $Q (t)$ sem gefur fjölda baktería á hverjum tíma t. Hve margar bakteríur eru í skálinni eftir 2 klukkustundir?

Lausn

Við höfum

Q (t) = \int 3^{t} d t = \frac{3^{t}}{ln 3} + C .

Þegar 𝑡=0 $t = 0$ fæst 𝑄⁡(0)=10=1ln⁡3+𝐶, $Q (0) = 10 = \frac{1}{ln 3} + C,$ svo 𝐶≈9.090 $C \approx 9.090$ og þar með

Q (t) = \frac{3^{t}}{ln 3} + 9.090 .

Þegar $t = 2,$ fæst

Q (2) = \frac{3^{2}}{ln 3} + 9.090

= 17.282 .

Eftir 2 klukkustundir eru 17.282 bakteríur í skálinni.

Dæmi 5.43

Stofnvöxtur ávaxtaflugna

Gerum ráð fyrir að stofn ávaxtaflugna vaxi með hraðanum $g (t) = 2 e^{0.02 t},$ mældum í flugum á dag. Hve margar flugur verða í stofninum eftir 10 daga ef þær eru 100 í upphafi?

Lausn

Látum 𝐺⁡(𝑡) $G (t)$ tákna fjölda flugna í stofninum við tímann t. Með setningunni um heildarbreytingu fæst

\begin{matrix} G (10) & = G (0) + \int_{0}^{10} 2 e^{0.02 t} d t \\ = 100 + {[\frac{2}{0.02} e^{0.02 t}] |}_{0}^{10} \\ = 100 + {[100 e^{0.02 t}] |}_{0}^{10} \\ = 100 + 100 e^{0.2} - 100 \\ \approx 122 . \end{matrix}

Í stofninum eru 122 flugur eftir 10 daga.

Dæmi 5.44

Ákveðið heildi reiknað með innsetningu

Reiknið ákveðna heildið með innsetningu: $\int_{1}^{2} \frac{e^{1 / x}}{x^{2}} d x .$

Lausn

Umrita þarf dæmið nokkuð svo auðveldara sé að beita reglunum. Fyrst ritum við veldisvísi e sem veldi af x og færum síðan x² úr nefnaranum upp í teljarann með neikvæðum veldisvísi. Þá fæst

\int_{1}^{2} \frac{e^{1 / x}}{x^{2}} d x = \int_{1}^{2} e^{x^{−1}} x^{−2} d x .

Setjum $u = x^{−1},$ þar sem þetta er veldisvísir e. Þá fæst

\begin{matrix} d u & = − x^{−2} d x \\ - d u & = x^{−2} d x . \end{matrix}

Þegar mínusmerkið er tekið út fyrir heildistáknið verður dæmið

− \int e^{u} d u .

Næst breytum við heildismörkunum:

\begin{array}{l} u = {(1)}^{−1} = 1 \\ u = {(2)}^{−1} = \frac{1}{2} . \end{array}

Takið eftir að neðri heildismörkin eru nú hærri talan. Því þarf að margfalda með −1 og víxla heildismörkunum. Þá fæst

\begin{array}{l} − \int_{1}^{1 / 2} e^{u} d u & = \int_{1 / 2}^{1} e^{u} d u \\ = e^{u} |_{1 / 2}^{1} \\ = e - e^{1 / 2} \\ = e - \sqrt{e} . \end{array}

Heildi sem innihalda lograföll

Heildun falls af gerðinni $f (x) = x^{−1}$ gefur náttúrlega logrann af algildi breytunnar, eins og eftirfarandi regla sýnir. Reglan sýnir einnig heildunarformúlur fyrir $f (x) = ln x$ og $f (x) = {log}_{a} x,$ auk formúlunnar hér að framan.

Dæmi 5.45

Að finna stofnfall sem inniheldur ln ⁡ x

Finnið stofnfall fallsins $\frac{3}{x - 10} .$

Lausn

Takið fyrst stuðulinn 3 út fyrir heildistáknið. Notið síðan u−1-regluna. Þá fæst

\begin{array}{l} \int \frac{3}{x - 10} d x & = 3 \int \frac{1}{x - 10} d x \\ = 3 \int \frac{d u}{u} \\ = 3 ln | u | + C \\ = 3 ln | x - 10 | + C, x \neq 10 . \end{array}

Sjá mynd 5.39.

Graf fallsins f(x) = 3 / (x − 10). Lóðfella er við x = 10. Vinstri grein grafsins er minnkandi og hvelfd niður; hún stefnir á 0 þegar x stefnir á mínus óendanlegt og á mínus óendanlegt þegar x stefnir á 10. Hægri greinin er minnkandi og hvelfd upp; hún stefnir á óendanlegt þegar x stefnir á 10 og á 0 þegar x stefnir á óendanlegt. — **Mynd 5.39.** Skilgreiningarmengi þessa falls er x ≠ 10 .

Dæmi 5.46

Stofnfall ræðs falls fundið

Finnið stofnfall $\frac{2 x^{3} + 3 x}{x^{4} + 3 x^{2}} .$

Lausn

Umrita má heildið sem $\int (2 x^{3} + 3 x) {(x^{4} + 3 x^{2})}^{−1} d x .$ Notum innsetningu og setjum $u = x^{4} + 3 x^{2},$ en þá er $d u = 4 x^{3} + 6 x .$ Tökum stuðulinn 2 út fyrir sviga í jöfnunni fyrir du. Þá fæst

\begin{matrix} d u & = & (4 x^{3} + 6 x) d x \\ = & 2 (2 x^{3} + 3 x) d x \\ \frac{1}{2} d u & = & (2 x^{3} + 3 x) d x . \end{matrix}

Umritið heildisstofninn með tilliti til u:

\int (2 x^{3} + 3 x) {(x^{4} + 3 x^{2})}^{−1} d x = \frac{1}{2} \int u^{−1} d u .

Þá fæst

\begin{array}{l} \frac{1}{2} \int u^{−1} d u & = \frac{1}{2} ln | u | + C \\ = \frac{1}{2} ln | x^{4} + 3 x^{2} | + C . \end{array}

Dæmi 5.47

Stofnfall lografalls fundið

Finnið stofnfall lografallsins ${log}_{2} x .$

Lausn

Fylgjum framsetningu formúlunnar í reglunni um heildunarformúlur fyrir lograföll. Þá fæst

\int {log}_{2} x d x = \frac{x}{ln 2} (ln x - 1) + C .

Dæmi 5.48 fjallar um ákveðið heildi hornafalls. Þegar unnið er með hornaföll þarf oft að beita eiginleika eða samsemd hornafalla áður en lengra er haldið. Lykillinn að greiðri heildun er yfirleitt að koma heildisstofninum á rétt form.

Dæmi 5.48

Ákveðið heildi reiknað

Reiknið ákveðna heildið $\int_{0}^{π / 2} \frac{sin x}{1 + cos x} d x .$

Lausn

Nota þarf innsetningu til að reikna heildið. Látum 𝑢=1+cos⁡𝑥,, $u = 1 + cos x,,$ , þannig að 𝑑⁢𝑢=−sin⁡𝑥𝑑⁢𝑥. $d u = − sin x d x .$ Ritum heildið með tilliti til u og breytum jafnframt heildismörkunum. Þá fæst

\begin{matrix} u = 1 + cos (0) = 2 \\ u = 1 + cos (\frac{π}{2}) = 1 . \end{matrix}

Þá fæst

\begin{matrix} \int_{0}^{π / 2} \frac{sin x}{1 + cos x} & = − \int_{2}^{1} u^{−1} d u \\ = \int_{1}^{2} u^{−1} d u \\ = {ln | u | |}_{1}^{2} \\ = [ln 2 - ln 1] \\ = ln 2. \end{matrix}

Æfingar í undirkafla 5.6

Reiknið hvert óákveðið heildi í eftirfarandi æfingum.

320.

∫𝑒2⁢𝑥⁢𝑑⁢𝑥 $\int e^{2 x} d x$

321.

∫𝑒−3⁢𝑥⁢𝑑⁢𝑥 $\int e^{−3 x} d x$

322.

∫2𝑥⁢𝑑⁢𝑥 $\int 2^{x} d x$

323.

∫3−𝑥⁢𝑑⁢𝑥 $\int 3^{− x} d x$

324.

∫12⁢𝑥⁢𝑑⁢𝑥 $\int \frac{1}{2 x} d x$

325.

∫2𝑥⁢𝑑⁢𝑥 $\int \frac{2}{x} d x$

326.

∫1𝑥2⁢𝑑⁢𝑥 $\int \frac{1}{x^{2}} d x$

327.

⌠⎮⌡1√𝑥⁢𝑑⁢𝑥 $\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Finnið hvert óákveðið heildi í eftirfarandi æfingum með viðeigandi innsetningu.

328.

∫ln⁡𝑥𝑥⁢𝑑⁢𝑥 $\int \frac{ln x}{x} d x$

329.

⌠⎮ ⎮⌡𝑑𝑥𝑥⁢(ln⁡𝑥)₂ $\int \frac{d x}{x {(ln x)}^{2}}$

330.

∫𝑑𝑥𝑥⁢ln⁡𝑥 ⁢(𝑥>1) $\int \frac{d x}{x ln x} (x > 1)$

331.

∫𝑑𝑥𝑥⁢ln⁡𝑥⁢ln⁡(ln⁡𝑥) $\int \frac{d x}{x ln x ln (ln x)}$

332.

∫tan⁡𝜃𝑑⁢𝜃 $\int tan θ d θ$

333.

∫cos⁡𝑥−𝑥⁢sin⁡𝑥𝑥⁢cos⁡𝑥𝑑𝑥 $\int \frac{cos x - x sin x}{x cos x} d x$

334.

∫ln⁡(sin⁡𝑥)tan⁡𝑥𝑑𝑥 $\int \frac{ln (sin x)}{tan x} d x$

335.

∫ln⁡(cos⁡𝑥)⁢tan⁡𝑥⁢𝑑⁢𝑥 $\int ln (cos x) tan x d x$

336.

∫𝑥⁢𝑒−𝑥2⁢𝑑⁢𝑥 $\int x e^{− x^{2}} d x$

337.

∫𝑥2⁢𝑒−𝑥3⁢𝑑⁢𝑥 $\int x^{2} e^{− x^{3}} d x$

338.

∫𝑒sin⁡𝑥⁢cos⁡𝑥⁢𝑑⁢𝑥 $\int e^{sin x} cos x d x$

339.

∫𝑒tan⁡𝑥⁢sec2⁢𝑥⁢𝑑⁢𝑥 $\int e^{tan x} {sec}^{2} x d x$

340.

∫𝑒ln⁡𝑥⁢𝑑⁢𝑥𝑥 $\int e^{ln x} \frac{d x}{x}$

341.

⌠⎮⌡𝑒ln⁡(1−𝑡)₁−𝑡⁢𝑑⁢𝑡 $\int \frac{e^{ln (1 - t)}}{1 - t} d t$

Í eftirfarandi æfingum skal fyrst sannreyna með deildun að $\int ln x d x = x (ln x - 1) + C,$ og nota síðan viðeigandi breytuskipti til að reikna heildið.

342.

∫𝑥 ln ⁡𝑥⁢𝑑⁢𝑥 $\int x ln x d x$ (𝐻⁡𝑖⁢𝑛⁢𝑡: ∫𝑥 ln ⁡𝑥⁢𝑑⁢𝑥 =12⁢∫𝑥 ln⁡(𝑥2)⁢𝑑⁢𝑥) $(Vísbending : \int x ln x d x = \frac{1}{2} \int x ln (x^{2}) d x)$

343.

∫𝑥2ln(𝑥2) 𝑑⁢𝑥 $\int x^{2} ln(x^{2}) d x$

344.

∫ln⁡𝑥𝑥2⁢𝑑⁢𝑥 $\int \frac{ln x}{x^{2}} d x$ (𝐻⁡𝑖⁢𝑛⁢𝑡:Látum𝑢=1𝑥.) $(Vísbending : Látum u = \frac{1}{x} .)$

345.

⌠⎮⌡ln⁡𝑥√𝑥𝑑𝑥 $\int \frac{ln x}{\sqrt{x}} d x$ (𝐻⁡𝑖⁢𝑛⁢𝑡:Látum𝑢=√𝑥.) $(Vísbending : Látum u = \sqrt{x} .)$

346.

Ritið heildi sem lýsir flatarmálinu undir grafi 𝑦=1𝑡 $y = \frac{1}{t}$ frá 𝑡=1 $t = 1$ ^tilex og reiknið það.

347.

Ritið heildi sem lýsir flatarmálinu undir grafi 𝑦=𝑒𝑡 $y = e^{t}$ frá 𝑡=0 $t = 0$ til 𝑡=ln⁡𝑥, $t = ln x,$ og reiknið það.

Notið viðeigandi innsetningar í eftirfarandi æfingum til að setja hornafallsheildin fram með samsetningum lografalla.

348.

∫tan⁡(2⁢𝑥)𝑑𝑥 $\int tan (2 x) d x$

349.

∫sin⁡(3⁢𝑥)−cos⁡(3⁢𝑥)sin⁡(3⁢𝑥)+cos⁡(3⁢𝑥)𝑑𝑥 $\int \frac{sin (3 x) - cos (3 x)}{sin (3 x) + cos (3 x)} d x$

350.

⌠⎮⌡𝑥⁢sin⁡(𝑥2)cos⁡(𝑥2)𝑑𝑥 $\int \frac{x sin (x^{2})}{cos (x^{2})} d x$

351.

∫𝑥⁢csc⁡(𝑥2)𝑑𝑥 $\int x csc (x^{2}) d x$

352.

∫ln⁡(cos⁡𝑥)⁢tan⁡𝑥𝑑⁢𝑥 $\int ln (cos x) tan x d x$

353.

∫ln⁡(csc⁡𝑥)⁢cot⁡𝑥⁢𝑑⁢𝑥 $\int ln (csc x) cot x d x$

354.

∫𝑒𝑥−𝑒−𝑥𝑒𝑥+𝑒−𝑥𝑑𝑥 $\int \frac{e^{x} - e^{− x}}{e^{x} + e^{− x}} d x$

Reiknið ákveðna heildið í eftirfarandi æfingum.

355.

⌠⎮⌡211+2⁢𝑥+𝑥23⁢𝑥+3⁢𝑥2+𝑥3𝑑𝑥 $\int_{1}^{2} \frac{1 + 2 x + x^{2}}{3 x + 3 x^{2} + x^{3}} d x$

356.

∫𝜋/40tan⁡𝑥𝑑⁢𝑥 $\int_{0}^{π / 4} tan x d x$

357.

∫𝜋/30sin⁡𝑥−cos⁡𝑥sin⁡𝑥+cos⁡𝑥𝑑𝑥 $\int_{0}^{π / 3} \frac{sin x - cos x}{sin x + cos x} d x$

358.

∫𝜋/2𝜋/6csc⁡𝑥⁢𝑑⁢𝑥 $\int_{π / 6}^{π / 2} csc x d x$

359.

∫𝜋/3𝜋/4cot⁡𝑥⁢𝑑⁢𝑥 $\int_{π / 4}^{π / 3} cot x d x$

Heildið í eftirfarandi æfingum með tilgreindri innsetningu.

360.

∫𝑥𝑥−100𝑑𝑥;𝑢=𝑥−100 $\int \frac{x}{x - 100} d x; u = x - 100$

361.

∫𝑦−1𝑦+1𝑑𝑦;𝑢=𝑦+1 $\int \frac{y - 1}{y + 1} d y; u = y + 1$

362.

⌠⎮⌡1−𝑥23⁢𝑥−𝑥3𝑑𝑥;𝑢=3⁢𝑥−𝑥3 $\int \frac{1 - x^{2}}{3 x - x^{3}} d x; u = 3 x - x^{3}$

363.

∫sin⁡𝑥+cos⁡𝑥sin⁡𝑥−cos⁡𝑥𝑑𝑥;𝑢=sin⁡𝑥−cos⁡𝑥 $\int \frac{sin x + cos x}{sin x - cos x} d x; u = sin x - cos x$

364.

∫𝑒2⁢𝑥⁢√1−𝑒2⁢𝑥⁢𝑑⁢𝑥;𝑢=𝑒2⁢𝑥 $\int e^{2 x} \sqrt{1 - e^{2 x}} d x; u = e^{2 x}$

365.

⌠⎮ ⎮ ⎮⌡ln⁡(𝑥)⁢√1−(ln⁡𝑥)₂𝑥𝑑𝑥;𝑢=ln⁡𝑥 $\int ln (x) \frac{\sqrt{1 - {(ln x)}^{2}}}{x} d x; u = ln x$

Ofmetur eða vanmetur nálgunin með hægri endapunktum nákvæmt flatarmál í eftirfarandi æfingum? Reiknið matið með hægri endapunktum, R50, og finnið nákvæma flatarmálið.

366.

[T] $y = e^{x}$ á bilinu $[0, 1]$

367.

[T] $y = e^{− x}$ á bilinu $[0, 1]$

368.

[T] $y = ln (x)$ á bilinu $[1, 2]$

369.

[T] $y = \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x + 6}$ á bilinu $[0, 1]$

370.

[T] $y = 2^{x}$ á bilinu $[−1, 0]$

371.

[T] $y = − 2^{− x}$ á bilinu $[0, 1]$

Í eftirfarandi æfingum er $f (x) \geq 0$ þegar $a \leq x \leq b .$ Finnið með heildun flatarmálið undir grafi $f (x)$ milli gefinna gilda a og b.

372.

𝑓⁡(𝑥)=log10⁢(𝑥)𝑥;𝑎=10,𝑏=100 $f (x) = \frac{{log}_{10} (x)}{x}; a = 10, b = 100$

373.

𝑓⁡(𝑥)=log2⁢(𝑥)𝑥;𝑎=32,𝑏=64 $f (x) = \frac{{log}_{2} (x)}{x}; a = 32, b = 64$

374.

𝑓⁡(𝑥)=2−𝑥;𝑎=1,𝑏=2 $f (x) = 2^{− x}; a = 1, b = 2$

375.

𝑓⁡(𝑥)=2−𝑥;𝑎=3,𝑏=4 $f (x) = 2^{− x}; a = 3, b = 4$

376.

Finnið flatarmálið undir grafi fallsins 𝑓⁡(𝑥)=𝑥⁢𝑒−𝑥2 $f (x) = x e^{− x^{2}}$ frá 𝑥=0 $x = 0$ til 𝑥=5. $x = 5 .$

377.

Reiknið heildi 𝑓⁡(𝑥)=𝑥⁢𝑒−𝑥2 $f (x) = x e^{− x^{2}}$ og finnið minnsta gildi N þannig að flatarmálið undir grafi 𝑓⁡(𝑥)=𝑥⁢𝑒−𝑥2 $f (x) = x e^{− x^{2}}$ frá 𝑥=𝑁 $x = N$ til 𝑥=𝑁+1 $x = N + 1$ sé í mesta lagi 0,01.

378.

Látum N stefna á óendanlegt. Finnið markgildi flatarmálsins undir grafi $f (x) = x e^{− x^{2}}$ frá $x = 0$ til $x = N .$

379.

Sýnið að $\int_{a}^{b} \frac{d t}{t} = \int_{1 / b}^{1 / a} \frac{d t}{t}$ þegar $0 < a \leq b .$

380.

Gerum ráð fyrir að $f (x) > 0$ fyrir öll x og að f og g séu deildanleg. Notið samsemdina $f^{g} = e^{g ln f}$ og keðjuregluna til að finna afleiðu $f^{g} .$

381.

Notið fyrri æfinguna til að finna stofnfall fallsins $h (x) = x^{x} (1 + ln x)$ og reiknið $\int_{2}^{3} x^{x} (1 + ln x) d x .$

382.

Sýnið að ef $c > 0,$ þá er heildið af $1 / x$ frá ac til bc $(0 < a < b)$ jafnt heildinu af $1 / x$ frá a til b.

Í eftirfarandi æfingum eru grunneiginleikar náttúrlega logranns leiddir af skilgreiningunni $ln (x) = \int_{1}^{x} \frac{d t}{t},$ með því að nota eiginleika ákveðna heildisins og án annarra forsendna.

383.

Notið samsemdina $ln (x) = \int_{1}^{x} \frac{d t}{t}$ til að leiða út samsemdina $ln (\frac{1}{x}) = − ln x .$

384.

Notið breytuskipti í heildinu $\int_{1}^{x y} \frac{1}{t} d t$ til að sýna að $ln x y = ln x + ln y þegar x, y > 0 .$

385.

Notið samsemdina ln⁡𝑥=∫𝑥1𝑑𝑡𝑡 $ln x = \int_{1}^{x} \frac{d t}{t}$ til að sýna að ln⁡(𝑥) $ln (x)$ sé vaxandi fall á [0,∞), $[0, \infty),$ og fyrri æfingar til að sýna að myndmengi ln⁡(𝑥) $ln (x)$ sé (−∞,∞). $(− \infty, \infty) .$ Af þessu leiðir án frekari forsenda að ln⁡(𝑥) $ln (x)$ á sér andhverft fall sem er skilgreint á (−∞,∞). $(− \infty, \infty) .$

386.

Gerum um stund ráð fyrir að við vitum ekki að $e^{x}$ sé andhverft fall við $ln (x),$ en höfum í huga að $ln (x)$ á sér andhverft fall sem er skilgreint á $(− \infty, \infty) .$ Köllum fallið E. Notið samsemdina $ln x y = ln x + ln y$ til að leiða út að $E (a + b) = E (a) E (b)$ fyrir allar rauntölur a og b.

387.

Gerum um stund ráð fyrir að við vitum ekki að $e^{x}$ sé andhverft fall við $ln x,$ en höfum í huga að $ln x$ á sér andhverft fall sem er skilgreint á $(− \infty, \infty) .$ Köllum fallið E. Sýnið að $E' (t) = E (t) .$

388.

Sínusheildið er skilgreint með $S (x) = \int_{0}^{x} \frac{sin t}{t} d t$ og er mikilvæg stærð í verkfræði. Þótt engin einföld lokuð formúla sé til fyrir það má áætla hegðun þess þegar x er stórt. Sýnið að $k \geq 1, | S (2 π k) - S (2 π (k + 1)) | \leq \frac{1}{k (2 k + 1) π} .$ $(Vísbending : sin (t + π) = − sin t)$

389.

[T] Normaldreifingin í líkindafræði er gefin með $p (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{− {(x - μ)}^{2} / 2 σ^{2}},$ þar sem σ er staðalfrávikið og μ er meðaltalið. Staðlaða normaldreifingin í líkindafræði, $p_{s},$ samsvarar $μ = 0 og σ = 1 .$ Reiknið nálganir með hægri endapunktum $R_{10} og R_{100}$ fyrir $\int_{−1}^{1} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{− \frac{x^{2}}{2}} d x .$

390.

[T] Reiknið nálganir með hægri endapunktum $R_{50} og R_{100}$ fyrir $\int_{−3}^{5} \frac{1}{2 \sqrt{2 π}} e^{− {(x - 1)}^{2} / 8} .$