55 Heildun

5.7 Heildi sem gefa andhverf hornaföll

Námsmarkmið

5.7.1 Heilda föll þannig að útkoman verði andhverf hornaföll

Í þessum undirkafla beinum við sjónum að heildum sem gefa andhverf hornaföll. Við höfum áður unnið með þessi föll. Rifjum upp úr kaflanum Föll og gröf að hornaföll eru ekki eintæk nema skilgreiningarmengi þeirra séu takmörkuð. Þegar unnið er með andhverfur hornafalla þarf ávallt að gæta þess að taka tillit til þessara takmarkana. Í kaflanum Afleiður leiddum við einnig út formúlur fyrir afleiður andhverfra hornafalla. Formúlurnar sem þar voru leiddar út leiða beint til heildunarreglna fyrir andhverf hornaföll.

Heildi sem gefa andhverf sínusföll

Við hefjum þennan síðasta undirkafla kaflans með þremur formúlum. Við beitum innsetningu ásamt þessum formúlum til að reikna heildin. Við sönnum formúluna fyrir heildi sem gefur andhverft sínusfall.

Sönnun

Látum $y = {sin}^{−1} \frac{x}{a} .$ Þá er $a sin y = x .$ Notum nú fólgna deildun. Þá fæst

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (a sin y) & = & \frac{d}{d x} (x) \\ a cos y \frac{d y}{d x} & = & 1 \\ \frac{d y}{d x} & = & \frac{1}{a cos y} . \end{matrix}

Fyrir $- \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}, cos y \geq 0 .$ Með því að beita samsemd Pýþagórasar ${sin}^{2} y + {cos}^{2} y = 1,$ fæst $cos y = \sqrt{1 - {sin}^{2} y} .$ Þá fæst

\begin{matrix} \frac{1}{a cos y} & = \frac{1}{a \sqrt{1 - {sin}^{2} y}} \\ = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - a^{2} {sin}^{2} y}} \\ = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} . \end{matrix}

Fyrir $− a \leq x \leq a,$ gildir eftirfarandi. Þegar niðurstaðan er alhæfð fyrir u, fæst

\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - u^{2}}} d u = {sin}^{−1} (\frac{u}{a}) + C .

□

Dæmi 5.49

Ákveðið heildi reiknað með andhverfum hornaföllum

Reiknið ákveðna heildið $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} .$

Lausn

Við getum beitt formúlunni fyrir stofnfallið í reglunni um heildunarformúlur sem gefa andhverf hornaföll og síðan reiknað ákveðna heildið. Þá fæst

\begin{matrix} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} & = {sin}^{−1} x |_{0}^{\frac{1}{2}} \\ = {sin}^{−1} \frac{1}{2} - {sin}^{−1} 0 \\ = \frac{π}{6} - 0 \\ = \frac{π}{6} . \end{matrix}

Dæmi 5.50

Stofnfall með andhverfu hornafalli

Reiknið heildið $\int \frac{d x}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}} .$

Lausn

Notum innsetninguna $u = 3 x .$ Þá er $d u = 3 d x$ og því fæst

\int \frac{d x}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}} = \frac{1}{3} \int \frac{d u}{\sqrt{4 - u^{2}}} .

Beitum formúlunni þar sem $a = 2,$ og fáum

\begin{matrix} \int \frac{d x}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}} & = \frac{1}{3} \int \frac{d u}{\sqrt{4 - u^{2}}} \\ = \frac{1}{3} {sin}^{−1} (\frac{u}{2}) + C \\ = \frac{1}{3} {sin}^{−1} (\frac{3 x}{2}) + C . \end{matrix}

Dæmi 5.51

Ákveðið heildi reiknað

Reiknið ákveðna heildið $\int_{0}^{\sqrt{3} / 2} \frac{d u}{\sqrt{1 - u^{2}}} .$

Lausn

Verkefnið er á því formi sem samsvarar formúlunni fyrir andhverft sínusfall. Því fæst

\begin{matrix} \int_{0}^{\sqrt{3} / 2} \frac{d u}{\sqrt{1 - u^{2}}} & = {sin}^{−1} u |_{0}^{\sqrt{3} / 2} \\ = [{sin}^{−1} (\frac{\sqrt{3}}{2})] - [{sin}^{−1} (0)] \\ = \frac{π}{3} . \end{matrix}

Heildi sem gefa önnur andhverf hornaföll

Andhverfu hornaföllin eru sex. Hins vegar eru aðeins þrjár heildunarformúlur tilgreindar í reglunni um heildunarformúlur sem gefa andhverf hornaföll, því að hinar þrjár eru formerkisandstæður þeirra sem við notum. Eini munurinn er sá hvort heildisstofninn er jákvæður eða neikvæður. Í stað þess að leggja þrjár formúlur til viðbótar á minnið má einfaldlega taka stuðulinn −1 út fyrir heildistáknið ef heildisstofninn er neikvæður og reikna heildið með einni af formúlunum sem þegar hafa verið gefnar. Í lok þessa undirkafla skoðum við eina formúlu til viðbótar: heildið sem gefur andhverft tangensfall.

Dæmi 5.52

Stofnfall með andhverfu tangensfalli

Reiknið heildið $\int \frac{1}{1 + 4 x^{2}} d x .$

Lausn

Þegar verkefnið er borið saman við formúlurnar í reglunni um heildunarformúlur sem gefa andhverf hornaföll sést að heildisstofninn er á sama formi og formúlan fyrir ${tan}^{−1} u + C .$ Við beitum því innsetningu og látum $u = 2 x,$ en þá er $d u = 2 d x$ og $1 / 2 d u = d x .$ Þá fæst

\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u = \frac{1}{2} {tan}^{−1} u + C = \frac{1}{2} {tan}^{−1} (2 x) + C .

Dæmi 5.53

Heildunarformúlunum beitt

Reiknið heildið $\int \frac{1}{9 + x^{2}} d x .$

Lausn

Beitum formúlunni þar sem $a = 3 .$ Þá fæst

\int \frac{d x}{9 + x^{2}} = \frac{1}{3} {tan}^{−1} (\frac{x}{3}) + C .

Dæmi 5.54

Ákveðið heildi reiknað

Reiknið ákveðna heildið $\int_{\sqrt{3} / 3}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1 + x^{2}} .$

Lausn

Notum formúluna fyrir andhverft tangensfall. Þá fæst

\begin{matrix} \int_{\sqrt{3} / 3}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1 + x^{2}} & = {tan}^{−1} x |_{\sqrt{3} / 3}^{\sqrt{3}} \\ = [{tan}^{−1} (\sqrt{3})] - [{tan}^{−1} (\frac{\sqrt{3}}{3})] \\ = \frac{π}{6} . \end{matrix}

Æfingar í undirkafla 5.7

Reiknið hvert heildi í eftirfarandi æfingum og setjið svarið fram á formi andhverfs hornafalls.

391.

⌠⎮⌡√3/20𝑑𝑥√1−𝑥2 $\int_{0}^{\sqrt{3} / 2} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

392.

⌠⎮⌡1/2−1/2𝑑𝑥√1−𝑥2 $\int_{−1 / 2}^{1 / 2} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

393.

∫1√3𝑑𝑥1+𝑥2 $\int_{\sqrt{3}}^{1} \frac{d x}{1 + x^{2}}$

394.

∫√31/√3𝑑𝑥1+𝑥2 $\int_{1 / \sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1 + x^{2}}$

395.

⌠⎮ ⎮⌡√22√3𝑑𝑥|𝑥|⁢√𝑥2−1 $\int_{\frac{2}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{2}} \frac{d x}{| x | \sqrt{x^{2} - 1}}$

396.

⌠⎮ ⎮⌡2√2𝑑𝑥|𝑥|⁢√𝑥2−1 $\int_{\sqrt{2}}^{2} \frac{d x}{| x | \sqrt{x^{2} - 1}}$

Í eftirfarandi æfingum skal finna hvert óákveðið heildi með viðeigandi innsetningu.

397.

⌠⎮⌡𝑑𝑥√9−𝑥2 $\int \frac{d x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$

398.

⌠⎮⌡𝑑𝑥√1−16⁢𝑥2 $\int \frac{d x}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$

399.

∫𝑑𝑥9+𝑥2 $\int \frac{d x}{9 + x^{2}}$

400.

∫𝑑𝑥25+16⁢𝑥2 $\int \frac{d x}{25 + 16 x^{2}}$

401.

⌠⎮ ⎮⌡𝑑𝑥|𝑥|⁢√𝑥2−9 $\int \frac{d x}{| x | \sqrt{x^{2} - 9}}$

402.

⌠⎮ ⎮⌡𝑑𝑥|𝑥|⁢√4⁢𝑥2−16 $\int \frac{d x}{| x | \sqrt{4 x^{2} - 16}}$

403.

Útskýrið sambandið $− {cos}^{−1} t + C = \int \frac{d t}{\sqrt{1 - t^{2}}} = {sin}^{−1} t + C .$ Gildir almennt að ${cos}^{−1} t = − {sin}^{−1} t ?$

404.

Útskýrið sambandið ${sec}^{−1} t + C = \int \frac{d t}{| t | \sqrt{t^{2} - 1}} = − {csc}^{−1} t + C .$ Gildir almennt að ${sec}^{−1} t = − {csc}^{−1} t ?$

405.

Útskýrið hvað er rangt við eftirfarandi heildi: $\int_{1}^{2} \frac{d t}{\sqrt{1 - t^{2}}} .$

406.

Útskýrið hvað er rangt við eftirfarandi heildi: $\int_{−1}^{1} \frac{d t}{| t | \sqrt{t^{2} - 1}} .$

Í eftirfarandi æfingum skal finna stofnfallið $\int f$ fyrir fallið f þegar $C = 0,$ og nota síðan reiknivél til að teikna gröf f og stofnfallsins á tilgreinda bilinu $[a, b] .$ Finnið gildi C þannig að þegar C er lagt við stofnfallið fáist fallið $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t .$

407.

[T] $\int \frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$ á bilinu $[−3, 3]$

408.

[T] $\int \frac{9}{9 + x^{2}} d x$ á bilinu $[−6, 6]$

409.

[T] $\int \frac{cos x}{4 + {sin}^{2} x} d x$ á bilinu $[−6, 6]$

410.

[T] $\int \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}} d x$ á bilinu $[−6, 6]$

Í eftirfarandi æfingum skal reikna stofnfallið með viðeigandi innsetningu.

411.

⌠⎮⌡sin−1⁢𝑡⁢𝑑𝑡√1−𝑡2 $\int \frac{{sin}^{−1} t d t}{\sqrt{1 - t^{2}}}$

412.

⌠⎮⌡𝑑𝑡sin−1⁢𝑡⁢√1−𝑡2 $\int \frac{d t}{{sin}^{−1} t \sqrt{1 - t^{2}}}$

413.

⌠⎮⌡tan−1⁢(2⁢𝑡)₁+4⁢𝑡2𝑑𝑡 $\int \frac{{tan}^{−1} (2 t)}{1 + 4 t^{2}} d t$

414.

⌠⎮⌡𝑡⁢tan−1⁢(𝑡2)₁+𝑡4𝑑𝑡 $\int \frac{t {tan}^{−1} (t^{2})}{1 + t^{4}} d t$

415.

⌠⎮ ⎮⌡sec−1⁢(𝑡2)|𝑡|⁢√𝑡2−4𝑑𝑡 $\int \frac{{sec}^{−1} (\frac{t}{2})}{| t | \sqrt{t^{2} - 4}} d t$

416.

⌠⎮⌡𝑡⁢sec−1⁢(𝑡2)𝑡2⁢√𝑡4−1𝑑𝑡 $\int \frac{t {sec}^{−1} (t^{2})}{t^{2} \sqrt{t^{4} - 1}} d t$

Í eftirfarandi æfingum skal nota reiknivél til að teikna graf stofnfallsins $\int f$ þegar $C = 0$ á tilgreinda bilinu $[a, b] .$ Nálgið, ef unnt er, gildi C þannig að þegar C er lagt við stofnfallið fáist sama fall og $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t .$

417.

[T] $\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4}} d x$ á bilinu $[2, 6]$

418.

[T] $\int \frac{1}{(2 x + 2) \sqrt{x}} d x$ á bilinu $[0, 6]$

419.

[T] $\int \frac{(sin x + x cos x)}{1 + x^{2} {sin}^{2} x} d x$ á bilinu $[−6, 6]$

420.

[T] $\int \frac{2 e^{−2 x}}{\sqrt{1 - e^{−4 x}}} d x$ á bilinu $[0, 2]$

421.

[T] $\int \frac{1}{x + x {ln}^{2} x} d x$ á bilinu $[0, 2]$

422.

[T] $\int \frac{{sin}^{−1} x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ á bilinu $[−1, 1]$

Reiknið hvert heildi í eftirfarandi æfingum með viðeigandi innsetningum.

423.

⌠⎮⌡𝑒𝑡√1−𝑒2⁢𝑡𝑑𝑡 $\int \frac{e^{t}}{\sqrt{1 - e^{2 t}}} d t$

424.

∫𝑒𝑡1+𝑒2⁢𝑡𝑑𝑡 $\int \frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}} d t$

425.

⌠⎮ ⎮⌡𝑑𝑡𝑡⁢√1−ln2⁢𝑡 $\int \frac{d t}{t \sqrt{1 - {ln}^{2} t}}$

426.

⌠⎮ ⎮⌡𝑑𝑡𝑡⁢(1+ln2⁢𝑡) $\int \frac{d t}{t (1 + {ln}^{2} t)}$

427.

⌠⎮⌡cos−1⁢(2⁢𝑡)√1−4⁢𝑡2𝑑𝑡 $\int \frac{{cos}^{−1} (2 t)}{\sqrt{1 - 4 t^{2}}} d t$

428.

⌠⎮⌡𝑒𝑡⁢cos−1⁢(𝑒𝑡)√1−𝑒2⁢𝑡𝑑𝑡 $\int \frac{e^{t} {cos}^{−1} (e^{t})}{\sqrt{1 - e^{2 t}}} d t$

Reiknið hvert ákveðið heildi í eftirfarandi æfingum.

429.

⌠⎮ ⎮⌡1/20tan⁡(sin−1⁢𝑡)√1−𝑡2𝑑𝑡 $\int_{0}^{1 / 2} \frac{tan ({sin}^{−1} t)}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

430.

⌠⎮⌡1/21/4tan⁡(cos−1⁢𝑡)√1−𝑡2𝑑𝑡 $\int_{1 / 4}^{1 / 2} \frac{tan ({cos}^{−1} t)}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

431.

⌠⎮⌡1/20sin⁡(tan−1⁢𝑡)₁+𝑡2𝑑𝑡 $\int_{0}^{1 / 2} \frac{sin ({tan}^{−1} t)}{1 + t^{2}} d t$

432.

⌠⎮⌡1/20cos⁡(tan−1⁢𝑡)₁+𝑡2𝑑𝑡 $\int_{0}^{1 / 2} \frac{cos ({tan}^{−1} t)}{1 + t^{2}} d t$

433.

Ef $A > 0,$ skal reikna $I (A) = \int_{− A}^{A} \frac{d t}{1 + t^{2}}$ og ákvarða markgildið $lim_{A \to \infty} I (A),$ sem gefur flatarmálið undir grafi fallsins $\frac{1}{1 + t^{2}}$ á bilinu $[− \infty, \infty] .$

434.

Ef $1 < B < \infty,$ skal reikna $I (B) = \int_{1}^{B} \frac{d t}{t \sqrt{t^{2} - 1}}$ og ákvarða markgildið $lim_{B \to \infty} I (B),$ sem gefur flatarmálið undir grafi fallsins $\frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1}}$ á bilinu $[1, \infty) .$

435.

Notið innsetninguna $u = \sqrt{2} cot x$ og samsemdina $1 + {cot}^{2} x = {csc}^{2} x$ til að reikna $\int \frac{d x}{1 + {cos}^{2} x} .$ (Vísbending: Margfaldið teljara og nefnara heildisstofnsins með ${csc}^{2} x .)$

436.

[T] Nálgið skurðpunkta grafa fallanna $f (x) = 2 x^{2} - 1$ og $g (x) = {(1 + 4 x^{2})}^{−3 / 2}$ með fjórum aukastöfum og flatarmálið milli grafanna með þremur aukastöfum.

437.

[T] Nálgið skurðpunkta grafa fallanna $f (x) = x^{2} - 1$ og ${g (x) = (x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ með fjórum aukastöfum og flatarmálið milli grafanna með þremur aukastöfum.

438.

Notið eftirfarandi graf til að sanna að $\int_{0}^{x} \sqrt{1 - t^{2}} d t = \frac{1}{2} x \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{1}{2} {sin}^{−1} x .$