Yfirlitsverkefni

Ef $f(x)>0,f^{\prime }\text{(}x)>0$ fyrir öll $x,$ þá gefur reglan um hægri endapunkta of lágt mat á heildinu ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)}.$ Notið graf til að rökstyðja svarið.

∫𝑏𝑎𝑓⁡(𝑥)₂⁢𝑑⁢𝑥=⁢∫𝑏𝑎𝑓⁡(𝑥)𝑑𝑥⁢∫𝑏𝑎𝑓⁡(𝑥)𝑑𝑥${\displaystyle {\int }_a^{b}f{(x)}^{2}dx=}{\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}{\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}$

Ef $f\left(x\right)\le g\left(x\right)$ fyrir öll $x\in \left[a,b\right],$ þá ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)}\le {\displaystyle {\int }_a^{b}g\left(x\right)}.$

Öll samfelld föll eiga sér stofnfall.

$y=3x^2-2x+1$ á bilinu $\left[\mathrm{-1},1\right]$

$y=\text{ln}\left(x^2+1\right)$ á bilinu $\left[0,e\right]$

$y=x^2\text{sin}x$ á bilinu $\left[0,\pi \right]$

$y=\sqrt{x}+\frac{1}{x}$ á bilinu $\left[1,4\right]$

∫1−1(𝑥3−2⁢𝑥2+4⁢𝑥)𝑑𝑥${\displaystyle {\int }_{\mathrm{-1}}^1\left(x^3-2x^2+4x\right)dx}$

⌠⎮⌡403⁢𝑡√1+6⁢𝑡2𝑑𝑡${\displaystyle {\int }_0^4\frac{3t}{\sqrt{1+6t^2}}dt}$

∫𝜋/2𝜋/32⁢sec⁡(2⁢𝜃)⁢tan⁡(2⁢𝜃)⁢𝑑⁢𝜃${\displaystyle {\int }_{\pi \text{/}3}^{\pi \text{/}2}2\text{sec}\left(2\theta \right)}\text{tan}\left(2\theta \right)d\theta$

∫𝜋/40𝑒cos2⁢𝑥⁢sin⁡𝑥⁢cos⁡𝑥𝑑⁢𝑥${\displaystyle {\int }_0^{\pi \text{/}4}{e}^{{\text{cos}}^{2}x}}\text{sin}x\text{cos}xdx$

⌠⎮ ⎮⌡𝑑𝑥(𝑥+4)₃${\displaystyle \int \frac{dx}{{\left(x+4\right)}^3}}$

∫𝑥⁢ln⁡(𝑥2)𝑑𝑥${\displaystyle \int x\text{ln}\left(x^2\right)dx}$

⌠⎮⌡4⁢𝑥2√1−𝑥6𝑑𝑥${\displaystyle \int \frac{4x^2}{\sqrt{1-x^6}}dx}$

⌠⎮⌡𝑒2⁢𝑥1+𝑒4⁢𝑥𝑑𝑥${\displaystyle \int \frac{e^{2x}}{1+e^{4x}}dx}$

𝑑𝑑⁢𝑡⁢⌠⎮⌡𝑡0sin⁡𝑥√1+𝑥2𝑑𝑥$\frac{d}{dt}{\displaystyle {\int }_0^t\frac{\text{sin}x}{\sqrt{1+x^2}}dx}$

𝑑𝑑⁢𝑥⁢∫𝑥31√4−𝑡2𝑑𝑡$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_1^{x^3}\sqrt{4-t^2}dt}$

𝑑𝑑⁢𝑥⁢∫ln⁡(𝑥)₁(4⁢𝑡+𝑒𝑡)𝑑𝑡$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_1^{\text{ln}\left(x\right)}\left(4t+e^t\right)dt}$

𝑑𝑑⁢𝑥⁢∫cos⁡𝑥0𝑒𝑡2⁢𝑑⁢𝑡$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_0^{\text{cos}x}{e}^{t^2}}dt$

Ef meðalkostnaður á hvert gígabæti vinnsluminnis árið 2010 er $12, finnið þá meðalkostnaðinn á hvert gígabæti vinnsluminnis árið 1980.

Lýsa má meðalkostnaði á hvert gígabæti vinnsluminnis með nálgunarfallinu $C\left(t\right)=8,500,000{\left(0.65\right)}^t,$ þar sem $t$ táknar fjölda ára frá 1980 og $C$ er kostnaðurinn í Bandaríkjadölum. Finnið meðalkostnaðinn á hvert gígabæti vinnsluminnis á tímabilinu frá 1980 til 2010.

Finnið meðalkostnað á eitt gígabæti vinnsluminnis á tímabilinu frá 2005 til 2010.

Lýsa má hraða kúlu sem skotið er úr riffli með nálgunarfallinu $v\left(t\right)=6400t^2-6505t+2686,$ þar sem $t$ táknar tímann í sekúndum frá því að skotinu er hleypt af og $v$ er hraðinn í fetum á sekúndu. Jafnan lýsir aðeins hraðanum fyrstu hálfu sekúnduna eftir að skotinu er hleypt af: $0\le t\le 0.5.$ Hversu langt fer kúlan samtals á 0.5 sekúndum?

Hver er meðalhraði kúlunnar á fyrstu hálfu sekúndunni?