55 Heildun

Meginatriði

5.1 Nálgun svæða

Sigma-táknun (summutáknun) á forminu $\sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ gerir kleift að setja langar summur gilda fram á knöppu formi.
Fyrir samfellt fall á bilinu $[a, b],$ má nálga flatarmál svæðisins með því að skipta bilinu í n jafna hluta, reisa rétthyrninga upp að grafi fallsins, reikna flatarmál þeirra og leggja þau saman.
Breidd hvers rétthyrnings er $Δ x = \frac{b - a}{n} .$
Riemann-summur eru stæður af gerðinni 𝑛∑𝑖=1𝑓⁡(𝑥*𝑖)Δ𝑥, $\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x,$ og má nota þær til að nálga flatarmálið undir ferlinum 𝑦=𝑓⁡(𝑥). $y = f (x) .$ Nálganir með vinstri og hægri endapunktum eru sérstakar gerðir Riemann-summa þar sem punktarnir {𝑥*𝑖} ${x_{i}^{*}}$ eru valdir sem vinstri eða hægri endapunktar hlutbilanna, eftir því sem við á.
Riemann-summur veita mikið svigrúm við val á punktamenginu {𝑥*𝑖} ${x_{i}^{*}}$ þar sem fallið er metið, oft með það fyrir augum að fá neðri summu eða efri summu.

5.2 Ákveðið heildi

Ákveðið heildi má nota til að reikna samanlagt formerkt flatarmál: flatarmálið ofan x-ássins að frádregnu flatarmálinu neðan x-ássins. Samanlagt formerkt flatarmál getur verið jákvætt, neikvætt eða núll.
Hlutar ákveðins heildis eru heildisstofninn, heildunarbreytan og heildismörkin.
Samfelld föll á lokuðu bili eru heildanleg. Föll sem eru ekki samfelld geta engu að síður verið heildanleg, allt eftir eðli ósamfelldninnar.
Nota má eiginleika ákveðinna heilda til að reikna heildi.
Flatarmálið undir grafi margra falla má reikna með rúmfræðilegum formúlum.
Meðalgildi falls má reikna með ákveðnum heildum.

5.3 Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar

Meðalgildissetningin fyrir heildi segir að fyrir samfellt fall á lokuðu bili sé til punktur c þannig að $f (c)$ sé jafnt meðalgildi fallsins. Sjá meðalgildissetninguna fyrir heildi.
Fyrri hluti undirstöðusetningar stærðfræðigreiningarinnar sýnir sambandið milli afleiðu og heildis. Sjá fyrri hluta undirstöðusetningar stærðfræðigreiningarinnar.
Síðari hluti undirstöðusetningar stærðfræðigreiningarinnar gefur formúlu til að reikna ákveðið heildi út frá stofnfalli heildisstofnsins. Með formúlunni má finna heildarflatarmálið undir ferli. Sjá síðari hluta undirstöðusetningar stærðfræðigreiningarinnar.

5.4 Heildunarreglur og setningin um heildarbreytingu

Setningin um heildarbreytingu segir að þegar stærð breytist sé lokagildi hennar jafnt upphafsgildi hennar að viðbættu heildi breytingarhraðans. Heildarbreytingin getur verið jákvæð tala, neikvæð tala eða núll.
Flatarmálið undir grafi jafnstæðs falls á samhverfu bili má reikna með því að tvöfalda flatarmálið á jákvæða hluta x-ássins. Fyrir oddstætt fall er heildið á samhverfu bili núll þar sem framlögin sitt hvorum megin við y-ásinn hafa gagnstæð formerki.

5.5 Innsetning

Innsetning einfaldar heildun falla sem fást sem afleiður samsettra falla með keðjureglunni. Hugtakið „innsetning“ vísar til breytuskipta eða þess að setja u og du í stað viðeigandi stæða í heildisstofninum.
Þegar innsetning er notuð við ákveðið heildi þarf einnig að breyta heildismörkunum.

5.6 Heildi sem innihalda vísis- og lograföll

Vísis- og lograföll koma víða við sögu í hagnýtum verkefnum, einkum þegar fjallað er um vöxt og hnignun.
Oft er innsetningu beitt til að reikna heildi sem innihalda vísisföll eða logra.

5.7 Heildi sem gefa andhverf hornaföll

Í kaflanum Afleiður vísisfalla og lografalla voru leiddar út formúlur fyrir afleiður andhverfra hornafalla. Af þeim fást beint heildunarformúlur fyrir andhverf hornaföll.
Berið dæmið saman við heildunarformúlurnar fyrir andhverf hornaföll, veljið viðeigandi form og gerið nauðsynlegar breytingar til að leysa dæmið.
Oft þarf að beita innsetningu til að koma heildisstofninum á rétt form.

55 Heildun

Meginatriði

5.1 Nálgun svæða

Sigma-táknun (summutáknun) á forminu $\sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ gerir kleift að setja langar summur gilda fram á knöppu formi.
Fyrir samfellt fall á bilinu $[a, b],$ má nálga flatarmál svæðisins með því að skipta bilinu í n jafna hluta, reisa rétthyrninga upp að grafi fallsins, reikna flatarmál þeirra og leggja þau saman.
Breidd hvers rétthyrnings er $Δ x = \frac{b - a}{n} .$
Riemann-summur eru stæður af gerðinni 𝑛∑𝑖=1𝑓⁡(𝑥*𝑖)Δ𝑥, $\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x,$ og má nota þær til að nálga flatarmálið undir ferlinum 𝑦=𝑓⁡(𝑥). $y = f (x) .$ Nálganir með vinstri og hægri endapunktum eru sérstakar gerðir Riemann-summa þar sem punktarnir {𝑥*𝑖} ${x_{i}^{*}}$ eru valdir sem vinstri eða hægri endapunktar hlutbilanna, eftir því sem við á.
Riemann-summur veita mikið svigrúm við val á punktamenginu {𝑥*𝑖} ${x_{i}^{*}}$ þar sem fallið er metið, oft með það fyrir augum að fá neðri summu eða efri summu.

5.2 Ákveðið heildi

Ákveðið heildi má nota til að reikna samanlagt formerkt flatarmál: flatarmálið ofan x-ássins að frádregnu flatarmálinu neðan x-ássins. Samanlagt formerkt flatarmál getur verið jákvætt, neikvætt eða núll.
Hlutar ákveðins heildis eru heildisstofninn, heildunarbreytan og heildismörkin.
Samfelld föll á lokuðu bili eru heildanleg. Föll sem eru ekki samfelld geta engu að síður verið heildanleg, allt eftir eðli ósamfelldninnar.
Nota má eiginleika ákveðinna heilda til að reikna heildi.
Flatarmálið undir grafi margra falla má reikna með rúmfræðilegum formúlum.
Meðalgildi falls má reikna með ákveðnum heildum.

5.3 Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar

Meðalgildissetningin fyrir heildi segir að fyrir samfellt fall á lokuðu bili sé til punktur c þannig að $f (c)$ sé jafnt meðalgildi fallsins. Sjá meðalgildissetninguna fyrir heildi.
Fyrri hluti undirstöðusetningar stærðfræðigreiningarinnar sýnir sambandið milli afleiðu og heildis. Sjá fyrri hluta undirstöðusetningar stærðfræðigreiningarinnar.
Síðari hluti undirstöðusetningar stærðfræðigreiningarinnar gefur formúlu til að reikna ákveðið heildi út frá stofnfalli heildisstofnsins. Með formúlunni má finna heildarflatarmálið undir ferli. Sjá síðari hluta undirstöðusetningar stærðfræðigreiningarinnar.

5.4 Heildunarreglur og setningin um heildarbreytingu

Setningin um heildarbreytingu segir að þegar stærð breytist sé lokagildi hennar jafnt upphafsgildi hennar að viðbættu heildi breytingarhraðans. Heildarbreytingin getur verið jákvæð tala, neikvæð tala eða núll.
Flatarmálið undir grafi jafnstæðs falls á samhverfu bili má reikna með því að tvöfalda flatarmálið á jákvæða hluta x-ássins. Fyrir oddstætt fall er heildið á samhverfu bili núll þar sem framlögin sitt hvorum megin við y-ásinn hafa gagnstæð formerki.

5.5 Innsetning

Innsetning einfaldar heildun falla sem fást sem afleiður samsettra falla með keðjureglunni. Hugtakið „innsetning“ vísar til breytuskipta eða þess að setja u og du í stað viðeigandi stæða í heildisstofninum.
Þegar innsetning er notuð við ákveðið heildi þarf einnig að breyta heildismörkunum.

5.6 Heildi sem innihalda vísis- og lograföll

Vísis- og lograföll koma víða við sögu í hagnýtum verkefnum, einkum þegar fjallað er um vöxt og hnignun.
Oft er innsetningu beitt til að reikna heildi sem innihalda vísisföll eða logra.

5.7 Heildi sem gefa andhverf hornaföll

Í kaflanum Afleiður vísisfalla og lografalla voru leiddar út formúlur fyrir afleiður andhverfra hornafalla. Af þeim fást beint heildunarformúlur fyrir andhverf hornaföll.
Berið dæmið saman við heildunarformúlurnar fyrir andhverf hornaföll, veljið viðeigandi form og gerið nauðsynlegar breytingar til að leysa dæmið.
Oft þarf að beita innsetningu til að koma heildisstofninum á rétt form.