5.4 Heildunarreglur og setningin um heildarbreytingu

⌠⎮⌡(√𝑥−1√𝑥)𝑑𝑥${\displaystyle \int \left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx}$

∫(𝑒2⁢𝑥−12⁢𝑒𝑥/2)𝑑𝑥${\displaystyle \int \left(e^{2x}-\frac{1}{2}{e}^{x\text{/}2}\right)dx}$

∫𝑑𝑥2⁢𝑥${\displaystyle \int \frac{dx}{2x}}$

∫𝑥−1𝑥2𝑑𝑥${\displaystyle \int \frac{x-1}{x^2}dx}$

∫𝜋0(sin⁡𝑥−cos⁡𝑥)𝑑𝑥${\displaystyle {\int }_0^{\pi }\left(\text{sin}x-\text{cos}x\right)dx}$

∫𝜋/20(𝑥−sin⁡𝑥)𝑑𝑥${\displaystyle {\int }_0^{\pi \text{/}2}\left(x-\text{sin}x\right)dx}$

Skrifið heildi sem lýsir aukningu ummáls 𝑃⁡(𝑠)$P\left(s\right)$ fernings þegar hliðarlengd hans s eykst úr 2 einingum í 4 einingar og reiknið heildið.

Ritið heildi sem lýsir breytingu flatarmáls 𝐴⁡(𝑠)=𝑠2$A\left(s\right)=s^2$ fernings þegar hliðarlengdin tvöfaldast úr S einingum í 2S einingar og reiknið heildið.

Reglulegur N-hyrningur, það er N-hliða marghyrningur með jafnlangar hliðar s, svo sem fimmhyrningur eða sexhyrningur, hefur ummálið Ns. Ritið heildi sem lýsir aukningu ummáls reglulegs N-hyrnings þegar lengd hverrar hliðar eykst úr 1 einingu í 2 einingar og reiknið heildið.

Flatarmál reglulegs fimmhyrnings með hliðarlengd $a>0$ er pa² þar sem $p=\frac{1}{4}\sqrt{5\left(5+2\sqrt{5}\right)}.$ Pentagon-byggingin í Washington, DC, hefur innri hliðar sem eru 360 fet að lengd og ytri hliðar sem eru 920 fet að lengd. Setjið fram heildi sem lýsir flatarmáli þaks Pentagon-byggingarinnar samkvæmt þessum málum og reiknið flatarmálið.

Tólfflötungur er reglulegur margflötungur og yfirborð hans samanstendur af 12 fimmhyrningum sem allir hafa sama flatarmál. Hve mikið vex yfirborðsflatarmál tólfflötungs þegar hliðarlengd hvers fimmhyrnings tvöfaldast úr 1 einingu í 2 einingar?

Tuttuguflötungur er reglulegur margflötungur og yfirborð hans samanstendur af 20 jafnhliða þríhyrningum. Hve mikið vex yfirborðsflatarmál tuttuguflötungs þegar hliðarlengd hvers þríhyrnings tvöfaldast úr a einingum í 2a einingar?

Ritið heildi sem lýsir breytingu yfirborðsflatarmáls tenings þegar hliðarlengd hans tvöfaldast úr s einingum í 2s einingar og reiknið heildið.

Ritið heildi sem lýsir aukningu rúmmáls tenings þegar hliðarlengdin tvöfaldast úr s einingum í 2s einingar og reiknið heildið.

Ritið heildi sem lýsir aukningu yfirborðsflatarmáls kúlu þegar geisli hennar tvöfaldast úr R einingum í 2R einingar og reiknið heildið.

Skrifið heildi sem lýsir aukningu rúmmáls kúlu þegar geisli hennar tvöfaldast úr R einingum í 2R einingar og reiknið heildið.

Gerum ráð fyrir að ögn hreyfist eftir beinni línu með hraðanum 𝑣⁡(𝑡)=4−2⁢𝑡,$v\left(t\right)=4-2t,$ þar sem 0≤𝑡≤2$0\le t\le 2$ (í metrum á sekúndu). Finnið færslu agnarinnar við tímann t og heildarvegalengdina sem hún hefur farið fram að 𝑡=2.$t=2.$

Gerum ráð fyrir að ögn hreyfist eftir beinni línu með hraða sem er skilgreindur með $v\left(t\right)=t^2-3t-18,$ þar sem $0\le t\le 6$ (í metrum á sekúndu). Finnið færsluna á tímanum t og heildarvegalengdina sem farin hefur verið fram að $t=6.$

Gerum ráð fyrir að ögn hreyfist eftir beinni línu með hraða sem skilgreindur er með $v\left(t\right)=\left|2t-6\right|,$ þar sem $0\le t\le 6$ (í metrum á sekúndu). Finnið færsluna á tímanum t og heildarvegalengdina sem farin hefur verið fram að $t=6.$

Gerum ráð fyrir að ögn hreyfist eftir beinni línu með hröðun sem er skilgreind með $a\left(t\right)=t-3,$ þar sem $0\le t\le 6$ (í metrum á sekúndu). Finnið hraðann og færsluna á tímanum t og heildarvegalengdina sem ögnin hefur farið fram að $t=6$ ef $v\left(0\right)=3$ og $d\left(0\right)=0.$

Bolta er kastað upp á við úr 1,5 m hæð með upphafshraðanum 40 m/sek. Hröðunin af völdum þyngdaraflsins er −9,8 m/sek.². Ef loftmótstaða er vanrækt skal finna hraða boltans 𝑣⁡(𝑡)$v\left(t\right)$ og hæð hans ℎ⁡(𝑡)$h\left(t\right)$ þegar t sekúndur eru liðnar frá kastinu og áður en hann lendir aftur á jörðinni.

Bolta er kastað upp á við úr 3 m hæð með upphafshraðanum 60 m/sek. Hröðunin af völdum þyngdaraflsins er −9,8 m/sek.². Ef loftmótstaða er vanrækt skal finna hraða boltans 𝑣⁡(𝑡)$v\left(t\right)$ og hæð hans ℎ⁡(𝑡)$h\left(t\right)$ þegar t sekúndur eru liðnar frá kastinu og áður en hann lendir aftur á jörðinni.

Flatarmál 𝐴⁡(𝑡)$A\left(t\right)$ hringslaga flatar vex með jöfnum hraða. Ef flatarmálið eykst úr 4π einingum í 9π einingar frá 𝑡=2$t=2$ til 𝑡=3,$t=3,$ skal finna heildarbreytingu geislans á því tímabili.

Kúlulaga blaðra er blásin upp með jöfnum hraða. Ef rúmmál hennar breytist úr 36π tom.^{3 í} 288π tom.³ frá 𝑡=30$t=30$ til 𝑡=60$t=60$ sekúndna skal finna heildarbreytingu geisla blöðrunnar á því tímabili.

Vatn rennur í keilulaga tank með þverskurðarflatarmálið πx2 í hæðinni x og rúmmálið 𝜋⁢𝑥33$\frac{\pi x^3}{3}$ upp að hæðinni x. Ef vatn rennur í tankinn með ^{rennslishraðanum} 1 m³/mín. skal finna hæð vatnsins eftir 5 mín. Finnið einnig hæðarbreytinguna frá 5 mín. til 10 mín.

Láréttur sívalningslaga tankur hefur þverskurðarflatarmálið 𝐴⁡(𝑥)=4⁢(6⁢𝑥−𝑥2)⁢𝑚2$A\left(x\right)=4\left(6x-x^2\right)m^2$ í x metra hæð yfir botninum þegar 𝑥≤3.$x\le 3.$

1. Rúmmálið V milli hæðanna a og b er ∫𝑏𝑎𝐴⁡(𝑥)𝑑𝑥.${\displaystyle {\int }_a^{b}A\left(x\right)dx}.$ Finnið rúmmálið milli hæðanna 2 m og 3 m.
2. Gerum ráð fyrir að olíu sé dælt í tankinn með rennslishraðanum 50 L/mín. Notið keðjuregluna 𝑑⁢𝑥𝑑⁢𝑡=𝑑⁢𝑥𝑑⁢𝑉𝑑⁢𝑉𝑑⁢𝑡,$\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{dV}\frac{dV}{dt},$ og finnið, sem fall af x, hve hratt hæð olíunnar í tankinum breytist í metrum á mínútu þegar hæðin er x metrar.
3. Hve lengi tekur að fylla tankinn upp að 3 m þegar upphafshæð vökvans er 2 m?

Eftirfarandi tafla sýnir rafaflið í gígavöttum — það er að segja hversu hratt orka er notuð — í tiltekinni borg á mismunandi tímum dags á dæmigerðu 24 klukkustunda tímabili, þar sem klukkustund 1 samsvarar tímanum frá miðnætti til kl. 1 að morgni.

Finnið heildarorkumagnið í gígavattstundum (GWst.) sem borgin notar á dæmigerðu 24 klukkustunda tímabili.

Meðalrafaflsnotkun heimilis á klukkustund, í hundruðum vatta, er sýnd í eftirfarandi töflu.

1. Reiknið meðalheildarorkunotkun á dag í kílóvattstundum (kWst.).
2. Ef eitt tonn af kolum gefur 1842 kWst., hve lengi tekur meðalheimili að nota orku sem samsvarar einu tonni af kolum?
3. Útskýrið hvers vegna gögnunum gæti verið lýst með grafi fallsins 𝑝⁡(𝑡)=11.5−7.5⁢sin⁡(𝜋⁢𝑡12).$p\left(t\right)=11.5-7.5\text{sin}\left(\frac{\pi t}{12}\right).$

Gögnin í eftirfarandi töflu eru notuð til að áætla meðalafl Peters Sagans á hverri af síðustu 18 sekúndunum í 1. áfanga Tour de France árið 2012.

Áætlið nettóorkunotkunina í kílójúlum (kJ) og meðalafl Sagans á þessu tímabili. Hafið í huga að 1 W = 1 J/s.

Gögnin í eftirfarandi töflu eru notuð til að áætla meðalafl Peters Sagans á hverju 15 mínútna tímabili í 1. áfanga Tour de France árið 2012.

Áætlið nettóorkunotkunina í kílójúlum og hafið í huga að 1W = 1 J/s.

Tekjudreifing í Bandaríkjunum árið 2012, flokkuð í 5.000 dollara þrep, er sýnd í eftirfarandi töflu. Lína k sýnir hlutfall heimila með tekjur frá $5000⁢𝑥⁢𝑘$\mathrm{\$5000}xk$ til 5000⁢𝑥⁢𝑘+4999.$5000xk+4999.$ Línan 𝑘=40$k=40$ nær yfir öll heimili með tekjur á bilinu $200,000 til $250,000.

1. Áætlið hversu mörg prósent heimila í Bandaríkjunum höfðu tekjur undir $55,000 árið 2012.
2. Hversu hátt hlutfall heimila var með tekjur yfir $85,000?
3. Teiknið gögnin upp og reynið að laga lögun þeirra að grafi af gerðinni $a\left(x+c\right)e^{\text{−}b\left(x+e\right)}$ fyrir viðeigandi $a,b,c.$

Þyngdarlögmál Newtons segir að þyngdarkrafturinn sem hlutur með massann M verkar á hlut með massann m, þegar fjarlægðin milli miðja þeirra er r, sé $F=G\frac{mM}{r^2},$ þar sem G er reynslufasti $G=6.67x{10}^{\mathrm{-11}}{m}^3\text{/}\left(kg·s^2\right).$ Vinnan sem breytilegur kraftur vinnur á bili $\left[a,b\right]$ er skilgreind sem $W={\displaystyle {\int }_a^{b}F\left(x\right)dx}.$ Ef massi jarðar er $5.97219\times {10}^{24}$ og geisli hennar 6371 km skal reikna vinnuna sem þarf til að lyfta 1400 kg veðurgervitungli á pólbraut upp í 850 km brautarhæð yfir jörðu.

Fyrir tiltekið vélknúið ökutæki er mesta mögulega hraðaminnkun við hemlun um 7 m/sek.² á þurri ^steinsteypu en um 2,5 m/sek.² á blautu malbiki. Þar sem 1 míla/klst. samsvarar 0,447 m/sek. skal finna heildarvegalengdina í metrum sem bíll ekur á þurri steinsteypu frá því að hemlum er beitt þar til hann stöðvast alveg, annars vegar þegar hraðinn í upphafi hemlunar er 67 mílur/klst. (30 m/sek.) og hins vegar þegar hann er 56 mílur/klst. (25 m/sek.). Finnið samsvarandi vegalengdir á hálu, blautu malbiki.

John er 25 ára maður sem vegur 160 pund. Þegar hann hjólar í t klukkustundir brennir hann 500−50⁢𝑡$500-50t$ hitaeiningum á klukkustund. Hver hafrakaka inniheldur 55 hitaeiningar og á t-tu klukkustundinni borðar John kökur með hraðanum 4t kökur á klukkustund. Hvert er nettótap hans á hitaeiningum eftir að hann hefur hjólað í 3 klukkustundir?

Sandra er 25 ára kona sem vegur 120 pund. Þegar hún gengur á hlaupabretti brennir hún 300−50⁢𝑡$300-50t$ hitaeiningum á klukkustund. Á t-tu klukkustundinni fær hún 100t hitaeiningar á klukkustund úr Gatorade-drykk. Hvert er nettótap hennar á hitaeiningum eftir 3 klukkustunda göngu?

Vélknúið ökutæki nær mestri eldsneytisnýtni, 33 mílum á gallon, við jafnan aksturshraða sem nemur 40 mílum/klst. Eldsneytisnýtnin minnkar um 0,1 mílu á gallon fyrir hverja mílu/klst. sem hraðinn eykst úr 40 í 50 mílur/klst. og um 0,4 mílur á gallon fyrir hverja mílu/klst. sem hraðinn eykst úr 50 í 80 mílur/klst. Hver er eldsneytisnýtnin í mílum á gallon þegar bílnum er ekið á 50 mílna/klst. hraða? En á 80 mílna/klst. hraða? Ef bensín kostar $3.50 á gallon, hver er eldsneytiskostnaðurinn við að aka 50 mílur á 40, 50 og 80 mílna/klst. hraða?

Þótt sumar vélar nýti eldsneyti betur en aðrar við sama hestaflafjölda minnkar eldsneytisnýtni að meðaltali um 1/25$1\text{/}25$ mílu á gallon fyrir hvert hestafl sem bætist við. Ef dæmigerð 50 hestafla vél hefur meðaleldsneytisnýtni upp á 32 mílur á gallon, hver er þá meðaleldsneytisnýtni 150, 300 og 450 hestafla véla?

[T] Eftirfarandi tafla sýnir skattþrep alríkistekjuskatts árið 2013 eftir skattskyldum tekjum.

Gerum ráð fyrir að Steve hafi nýlega fengið $10,000 launahækkun. Hversu mikið stendur eftir af þessari hækkun að frádregnum alríkissköttum ef laun Steve fyrir hækkunina voru $40,000? En ef þau voru $90,000? En ef þau voru $385,000?

[T] Eftirfarandi tafla sýnir ímynduð gögn um þjónustustig tiltekins þjóðvegar.

1. Teiknið fjölda ökutækja á klukkustund á hverri akrein á x-ásinn og hraða á þjóðveginum á y-ásinn.
2. Reiknið meðallækkun hraða, í mílum á klukkustund, fyrir hverja einingu sem umferðarþunginn eykst um, mældan í ökutækjum á klukkustund á hverri akrein, þegar hann eykst úr 600 í 1000, úr 1000 í 1500 og úr 1500 í 2100. Er línulegt samband milli hraðalækkunarinnar og fjölgunar ökutækja á klukkustund á hverri akrein?
3. Teiknið mínútur á mílu, það er 60 sinnum margföldunarandhverfu hraðans í mílum á klukkustund, sem fall af fjölda ökutækja á klukkustund á hverri akrein. Er þetta fall línulegt?

[T] Grafið hér að neðan sýnir annars stigs fallið 𝑝⁡(𝑡)=6.48⁢𝑡2−80.3 ⁢1⁢𝑡+585.69$p\left(t\right)=6.48t^2-80.31t+585.69$ ásamt gögnunum í töflunni hér á undan, þar sem 𝑡=0$t=0$ samsvarar árinu 1963. Áætlið meðalfjölda skallaarna á ári á þessu 37 ára tímabili með því að reikna meðalgildi p á bilinu [0,37].$\left[0,37\right].$

[T] Grafið hér að neðan sýnir þriðja stigs fallið 𝑝⁡(𝑡)=0.07⁢𝑡3+2.42⁢𝑡2−25.63⁢𝑡+521.23$p\left(t\right)=0.07t^3+2.42t^2-25.63t+521.23$ ásamt gögnunum í töflunni hér á undan, þar sem 𝑡=0$t=0$ samsvarar árinu 1963. Áætlið meðalfjölda skallaarna á ári á þessu 37 ára tímabili með því að reikna meðalgildi p á bilinu [0,37].$\left[0,37\right].$

[T] Gerum ráð fyrir að þið farið í bílferð og skráið hraðann á hálftíma fresti, eins og tekið er saman í eftirfarandi töflu. Besta annars stigs aðfellan að gögnunum er $q\left(t\right)=5x^2-11x+49\text{,}$ sem sýnd er á meðfylgjandi grafi. Heildið q til að áætla heildarvegalengdina sem ekin er á þessum 3 klukkustundum.

[T] Meðfylgjandi graf sýnir bestu annars stigs aðfelluna að gögnunum í töflunni á undan, 𝑎⁡(𝑡)=−0.70⁢𝑡2+1.44⁢𝑡+10.44,$a\left(t\right)=\mathrm{-0.70}{t}^2+1.44t+10.44,$ . Reiknið meðalgildi 𝑎⁡(𝑡)$a\left(t\right)$ til að meta meðalhröðunina á bilinu frá 𝑡=0$t=0$ til 𝑡=5.$t=5.$

[T] Notið hröðunarjöfnuna úr fyrra verkefni til að finna samsvarandi hraðajöfnu. Gerið ráð fyrir að upphafshraðinn sé 65 mílur/klst. og finnið hraðann við 𝑡=0.$t=0.$

[T] Notið hraðajöfnuna úr fyrri æfingunni til að finna samsvarandi vegalengdarjöfnu og gerið ráð fyrir að upphafsvegalengdin sé 0 mílur. Hve langt ókuð þið meðan bíllinn jók hraðann? (Vísbending: Umreikna þarf tímaeiningarnar.)

[T] Fjöldi hamborgara sem veitingastaður selur á einum degi er sýndur í eftirfarandi töflu. Meðfylgjandi graf sýnir bestu þriðja stigs aðfelluna að gögnunum, 𝑏⁡(𝑡)=0.12⁢𝑡3−2.13⁢𝑡2+12.13⁢𝑡+3.91,$b\left(t\right)=0.12t^3-2.13t^2+12.13t+3.91,$ þar sem 𝑡=0$t=0$ samsvarar kl. 9 að morgni og 𝑡=12$t=12$ kl. 9 að kvöldi. Reiknið meðalgildi 𝑏⁡(𝑡)$b\left(t\right)$ til að áætla meðalfjölda seldra hamborgara á klukkustund.

[T] Íþróttakona hleypur fram hjá hreyfiskynjara sem skráir hraða hennar eins og sýnt er í eftirfarandi töflu. Besta línulega aðfellan að þessum gögnum, ℓ⁡(𝑡)=−0.068⁢𝑡+5.14,$\ell \left(t\right)=\mathrm{-0.068}t+5.14\text{,}$ er sýnd á meðfylgjandi grafi. Notið meðalgildi ℓ⁡(𝑡)$\ell (t)$ á bilinu frá 𝑡=0$t=0$ til 𝑡=40$t=40$ til að áætla meðalhraða hlaupakonunnar.