44 Notkun afleiða

4.10 Stofnföll

Námsmarkmið

4.10.1 Finna almennt stofnfall gefins falls.
4.10.2 Útskýra hugtökin og táknunina sem notuð eru um óákveðin heildi.
4.10.3 Setja fram veldisregluna fyrir heildi.
4.10.4 Nota stofnföll til að leysa einföld upphafsgildisverkefni.

Hingað til höfum við séð hvernig reikna má afleiður margra falla og kynnst ýmiss konar notkun þeirra. Nú snúum við ferlinu við. Skoðum fallið $f,$ sem er gefið. Við viljum finna fall sem hefur afleiðuna $f$ . Hvers vegna höfum við áhuga á slíku falli?

Fyrri hluta spurningarinnar svörum við með skilgreiningu stofnfalls. Stofnfall falls $f$ er fall sem hefur afleiðuna $f .$ Hvers vegna skipta stofnföll máli? Stofnfalla er þörf við fjölmargar aðstæður og ýmis dæmi verða skoðuð síðar í bókinni. Hér skoðum við dæmi um hreyfingu eftir beinni línu. Í umfjölluninni um afleiður hreyfingar eftir beinni línu sýndum við að ef staðsetningarfall hlutar, $s (t)$ , er þekkt, er hraðafall hans $v (t)$ afleiða staðsetningarfallsins $s (t)$ — það er $v (t) = s^{'} (t) .$ Hröðunin $a (t)$ er aftur afleiða hraðafallsins $v (t)$ — það er $a (t) = v^{'} (t) = s^{″} (t) .$ Gerum nú ráð fyrir að gefið sé hröðunarfall $a,$ en hvorki hraðafallið $v$ né staðsetningarfallið $s .$ Þar sem $a (t) = v^{'} (t),$ finnum við hraðafallið með því að finna stofnfall hröðunarfallsins. Þar sem $v (t) = s^{'} (t),$ finnum við síðan staðsetningarfallið með því að finna stofnfall hraðafallsins. Hreyfing eftir beinni línu er aðeins eitt dæmi um aðstæður þar sem stofnfalla er þörf. Mun fleiri dæmi koma fyrir síðar í bókinni. Skoðum nú hugtakanotkun og táknun stofnfalla og finnum stofnföll nokkurra gerða falla. Síðar í bókinni kynnumst við ýmsum aðferðum við að finna stofnföll flóknari falla (Inngangur að heildunaraðferðum).

Andhverfa deildunar

Nú kunnum við að finna afleiður ýmissa falla og snúum því spurningunni við. Skoðum fallið $f,$ sem er gefið. Hvernig finnum við þá fall sem hefur afleiðuna $f ?$ Ef til er fall $F$ sem hefur afleiðuna $f,$ þá köllum við $F$ stofnfall fallsins $f .$

Skoðum fallið $f (x) = 2 x .$ Með hliðsjón af veldisreglunni fyrir deildun ályktum við að $F (x) = x^{2}$ sé stofnfall $f$ þar sem $F^{'} (x) = 2 x .$ Eru til önnur stofnföll $f ?$ Já; þar sem afleiða sérhvers fasta $C$ er núll, er $x^{2} + C$ einnig stofnfall $2 x .$ Því eru $x^{2} + 5$ og $x^{2} - \sqrt{2}$ einnig stofnföll. Eru til einhver önnur sem eru ekki á forminu $x^{2} + C$ fyrir einhvern fasta $C ?$ Svarið er nei. Af fylgisetningu $2$ við meðalgildissetninguna vitum við að ef $F$ og $G$ eru deildanleg föll þannig að $F^{'} (x) = G^{'} (x),$ þá er $F (x) - G (x) = C$ fyrir einhvern fasta $C .$ Þessi staðreynd leiðir til eftirfarandi mikilvægrar setningar.

Við notum þessa staðreynd og þekkingu okkar á afleiðum til að finna öll stofnföll nokkurra falla.

Dæmi 4.50

Að finna stofnföll

Finnið öll stofnföll fyrir hvert eftirfarandi fall.

𝑓⁡(𝑥)=3⁢𝑥2 $f (x) = 3 x^{2}$
𝑓⁡(𝑥)=1𝑥 $f (x) = \frac{1}{x}$
𝑓⁡(𝑥)=cos⁡𝑥 $f (x) = cos x$
𝑓⁡(𝑥)=𝑒𝑥 $f (x) = e^{x}$

Lausn

Þar sem

𝑑𝑑⁢𝑥⁢(𝑥3)=3⁢𝑥2 $\frac{d}{d x} (x^{3}) = 3 x^{2}$

er 𝐹⁡(𝑥)=𝑥3 $F (x) = x^{3}$ stofnfall fyrir 3⁢𝑥2. $3 x^{2} .$ Því er sérhvert stofnfall fyrir 3⁢𝑥2 $3 x^{2}$ af gerðinni 𝑥3+𝐶 $x^{3} + C$ fyrir einhvern fasta 𝐶, $C,$ og sérhvert fall af gerðinni 𝑥3+𝐶 $x^{3} + C$ er stofnfall fyrir 3⁢𝑥2. $3 x^{2} .$
Látum 𝑓⁡(𝑥)=ln⁡|𝑥|. $f (x) = ln | x | .$ Fyrir 𝑥>0,𝑓⁡(𝑥)=ln⁡(𝑥) $x > 0, f (x) = ln (x)$ og

𝑑𝑑⁢𝑥⁢(ln⁡𝑥)=1𝑥. $\frac{d}{d x} (ln x) = \frac{1}{x} .$

Fyrir 𝑥<0,𝑓⁡(𝑥)=ln⁡(−𝑥) $x < 0, f (x) = ln (− x)$ og

𝑑𝑑⁢𝑥⁢(ln⁡(−𝑥))=−1−𝑥=1𝑥. $\frac{d}{d x} (ln (− x)) = - \frac{1}{− x} = \frac{1}{x} .$

Þar af leiðandi er

𝑑𝑑⁢𝑥⁢(ln⁡|𝑥|)=1𝑥. $\frac{d}{d x} (ln | x |) = \frac{1}{x} .$

Því er 𝐹⁡(𝑥)=ln⁡|𝑥| $F (x) = ln | x |$ stofnfall fyrir 1𝑥. $\frac{1}{x} .$ Þar af leiðandi er sérhvert stofnfall fyrir 1𝑥 $\frac{1}{x}$ af gerðinni ln⁡|𝑥|+𝐶 $ln | x | + C$ fyrir einhvern fasta 𝐶 $C$ og sérhvert fall af gerðinni ln⁡|𝑥|+𝐶 $ln | x | + C$ er stofnfall fyrir 1𝑥. $\frac{1}{x} .$
Þar sem

$\frac{d}{d x} (sin x) = cos x,$

er $F (x) = sin x$ stofnfall fyrir $cos x .$ Því er sérhvert stofnfall fyrir $cos x$ af gerðinni $sin x + C$ fyrir einhvern fasta $C$ og sérhvert fall af gerðinni $sin x + C$ er stofnfall fyrir $cos x .$
Þar sem

$\frac{d}{d x} (e^{x}) = e^{x},$

er $F (x) = e^{x}$ stofnfall fyrir $e^{x} .$ Því er sérhvert stofnfall fyrir $e^{x}$ af gerðinni $e^{x} + C$ fyrir einhvern fasta $C$ og sérhvert fall af gerðinni $e^{x} + C$ er stofnfall fyrir $e^{x} .$

Óákveðin heildi

Nú skoðum við formlegu táknunina fyrir stofnföll og nokkra eiginleika þeirra. Með þessum eiginleikum getum við fundið stofnföll flóknari falla. Fyrir fallið $f,$ sem hér er gefið, notum við táknin $f^{'} (x)$ og $\frac{d f}{d x}$ fyrir afleiðu $f .$ Hér innleiðum við táknun fyrir stofnföll. Ef $F$ er stofnfall fyrir $f,$ segjum við að $F (x) + C$ sé almennasta stofnfallið fyrir $f$ og ritum

\int f (x) d x = F (x) + C .

Táknið $\int$ kallast heildismerki og $\int f (x) d x$ kallast óákveðið heildi fallsins $f .$

Samkvæmt hugtakanotkuninni í þessari skilgreiningu er það að finna stofnföll fallsins $f$ yfirleitt nefnt að heilda fallið $f .$

Látum $f$ vera fall og $F,$ eitt stofnfall þess. Föllin $F (x) + C,$ þar sem $C$ er hvaða rauntala sem er, mynda stofnfallafjölskyldu fallsins $f .$ Þar sem $x^{2}$ er stofnfall fyrir $2 x$ og sérhvert stofnfall fyrir $2 x$ er af gerðinni $x^{2} + C,$ ritum við

\int 2 x d x = x^{2} + C .

Safn allra falla af gerðinni $x^{2} + C,$ þar sem $C$ er hvaða rauntala sem er, nefnist fjölskylda stofnfalla fallsins $2 x .$ Mynd 4.85 sýnir graf þessarar stofnfallafjölskyldu.

Gröfin fyrir y = x2 + 2, y = x2 + 1, y = x2, y = x2 − 1 og y = x2 − 2 eru sýnd. — **Mynd 4.85.** Fjölskylda stofnfalla fallsins 2⁢𝑥 $2 x$ samanstendur af öllum föllum á forminu 𝑥2+𝐶, $x^{2} + C,$ þar sem 𝐶 $C$ er hvaða rauntala sem er.

Fyrir sum föll fæst útreikningur óákveðinna heilda beint af eiginleikum afleiða. Til dæmis, fyrir $n \neq − 1,$

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C,

sem fæst beint af

\frac{d}{d x} (\frac{x^{n + 1}}{n + 1}) = (n + 1) \frac{x^{n}}{n + 1} = x^{n} .

Þessi staðreynd er þekkt sem veldisreglan fyrir heildi.

Einnig er einfalt að reikna óákveðin heildi nokkurra annarra falla. Í eftirfarandi töflu eru talin upp óákveðin heildi nokkurra algengra falla. Ítarlegri listi er í viðauka A.

Deildunarformúla	Óákveðið heildi
𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( 𝑘 ) = 0 d/d ⁢ x ⁢ ( k ) = 0	∫ 𝑘 ⁢ 𝑑 ⁢ 𝑥 = ∫ 𝑘 ⁢ 𝑥 0 𝑑 𝑥 = 𝑘 ⁢ 𝑥 + 𝐶 ∫ k ⁢ d ⁢ x = ∫ k ⁢ x 0 d x = k ⁢ x + C
𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( 𝑥 𝑛 ) = 𝑛 ⁢ 𝑥 𝑛 − 1 d/d ⁢ x ⁢ ( x n ) = n ⁢ x n − 1	∫ x n d x = x n + 1/n + 1 + C fyrir n ≠ − 1
$\frac{𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( l n ⁡ \| 𝑥 \| ) = 1 𝑥 d}{d ⁢ x ⁢ ( ln ⁡ \| x \| )} = \frac{1}{x}$	∫ 1 𝑥 ⁢ 𝑑 ⁢ 𝑥 = l n ⁡ \| 𝑥 \| + 𝐶 ∫ 1/x ⁢ d ⁢ x = ln ⁡ \| x \| + C
𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( 𝑒 𝑥 ) = 𝑒 𝑥 d/d ⁢ x ⁢ ( e x ) = e x	∫ 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶 ∫ e x d x = e x + C
𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( s i n ⁡ 𝑥 ) = c o s ⁡ 𝑥 d/d ⁢ x ⁢ ( sin ⁡ x ) = cos ⁡ x	∫ c o s ⁡ 𝑥 𝑑 ⁢ 𝑥 = s i n ⁡ 𝑥 + 𝐶 ∫ cos ⁡ x d ⁢ x = sin ⁡ x + C
𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( c o s ⁡ 𝑥 ) = − s i n ⁡ 𝑥 d/d ⁢ x ⁢ ( cos ⁡ x ) = − sin ⁡ x	∫ s i n ⁡ 𝑥 𝑑 ⁢ 𝑥 = − c o s ⁡ 𝑥 + 𝐶 ∫ sin ⁡ x d ⁢ x = − cos ⁡ x + C
𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( t a n ⁡ 𝑥 ) = s e c 2 ⁢ 𝑥 d/d ⁢ x ⁢ ( tan ⁡ x ) = sec 2 ⁢ x	∫ s e c 2 ⁢ 𝑥 𝑑 ⁢ 𝑥 = t a n ⁡ 𝑥 + 𝐶 ∫ sec 2 ⁢ x d ⁢ x = tan ⁡ x + C
𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( c s c ⁡ 𝑥 ) = − c s c ⁡ 𝑥 ⁢ c o t ⁡ 𝑥 d/d ⁢ x ⁢ ( csc ⁡ x ) = − csc ⁡ x ⁢ cot ⁡ x	∫ c s c ⁡ 𝑥 ⁢ c o t ⁡ 𝑥 𝑑 ⁢ 𝑥 = − c s c ⁡ 𝑥 + 𝐶 ∫ csc ⁡ x ⁢ cot ⁡ x d ⁢ x = − csc ⁡ x + C
𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( s e c ⁡ 𝑥 ) = s e c ⁡ 𝑥 ⁢ t a n ⁡ 𝑥 d/d ⁢ x ⁢ ( sec ⁡ x ) = sec ⁡ x ⁢ tan ⁡ x	∫ s e c ⁡ 𝑥 ⁢ t a n ⁡ 𝑥 𝑑 ⁢ 𝑥 = s e c ⁡ 𝑥 + 𝐶 ∫ sec ⁡ x ⁢ tan ⁡ x d ⁢ x = sec ⁡ x + C
𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( c o t ⁡ 𝑥 ) = − c s c 2 ⁢ 𝑥 d/d ⁢ x ⁢ ( cot ⁡ x ) = − csc 2 ⁢ x	∫ c s c 2 ⁢ 𝑥 𝑑 ⁢ 𝑥 = − c o t ⁡ 𝑥 + 𝐶 ∫ csc 2 ⁢ x d ⁢ x = − cot ⁡ x + C
$\frac{𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( s i n − 1 ⁢ 𝑥 ) = 1 √ 1 − 𝑥 2 d}{d ⁢ x ⁢ ( sin −1 ⁢ x )} = \frac{1}{1 − x 2}$	∫ 1 √ 1 − 𝑥 2 ⁢ 𝑑 ⁢ 𝑥 = s i n − 1 ⁢ 𝑥 + 𝐶 ∫ 1/1 − x 2 ⁢ d ⁢ x = sin −1 ⁢ x + C
$\frac{𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( t a n − 1 ⁢ 𝑥 ) = 1 1 + 𝑥 2 d}{d ⁢ x ⁢ ( tan −1 ⁢ x )} = \frac{1}{1 + x 2}$	∫ 1 1 + 𝑥 2 ⁢ 𝑑 ⁢ 𝑥 = t a n − 1 ⁢ 𝑥 + 𝐶 ∫ 1/1 + x 2 ⁢ d ⁢ x = tan −1 ⁢ x + C
$\frac{𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( s e c − 1 ⁢ 𝑥 ) = 1 𝑥 ⁢ √ 𝑥 2 − 1 d}{d ⁢ x ⁢ ( sec −1 ⁢ x )} = \frac{1}{x ⁢ x 2 − 1}$	∫ 1 𝑥 ⁢ √ 𝑥 2 − 1 ⁢ 𝑑 ⁢ 𝑥 = s e c − 1 ⁢ 𝑥 + 𝐶 ∫ 1/x ⁢ x 2 − 1 ⁢ d ⁢ x = sec −1 ⁢ x + C

Samkvæmt skilgreiningu óákveðins heildis fallsins $f,$ vitum við

\int f (x) d x = F (x) + C

þá og því aðeins að $F$ sé stofnfall fyrir $f .$ Þegar fullyrt er að

\int f (x) d x = F (x) + C

þarf því að kanna hvort fullyrðingin sé rétt með því að sannreyna að $F^{'} (x) = f (x) .$

Dæmi 4.51

Sannprófun óákveðins heildis

Allar eftirfarandi fullyrðingar eru á forminu ∫𝑓⁡(𝑥)⁢𝑑⁢𝑥=𝐹⁡(𝑥)+𝐶. $\int f (x) d x = F (x) + C .$ Sannreynið hverja þeirra með því að sýna að 𝐹′⁡(𝑥)=𝑓⁡(𝑥). $F^{'} (x) = f (x) .$

∫(𝑥+𝑒𝑥)⁢𝑑⁢𝑥=𝑥22+𝑒𝑥+𝐶 $\int (x + e^{x}) d x = \frac{x^{2}}{2} + e^{x} + C$
∫𝑥⁢𝑒𝑥𝑑𝑥=𝑥⁢𝑒𝑥−𝑒𝑥+𝐶 $\int x e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C$

Lausn

Þar sem

𝑑𝑑⁢𝑥⁢(𝑥22+𝑒𝑥+𝐶)=𝑥+𝑒𝑥, $\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2} + e^{x} + C) = x + e^{x},$

er fullyrðingin

∫(𝑥+𝑒𝑥)⁢𝑑⁢𝑥=𝑥22+𝑒𝑥+𝐶 $\int (x + e^{x}) d x = \frac{x^{2}}{2} + e^{x} + C$

rétt. Athugið
að hér er óákveðið heildi summu sannreynt. Enn fremur eru 𝑥22 $\frac{x^{2}}{2}$ og 𝑒𝑥 $e^{x}$ stofnföll fallanna 𝑥 $x$ og 𝑒𝑥, $e^{x},$ hvort um sig, og summa stofnfallanna er stofnfall summunnar. Við fjöllum aftur um þessa staðreynd síðar í þessum undirkafla.
Með því að beita margfeldisreglunni sjáum við að

𝑑𝑑⁢𝑥⁢(𝑥⁢𝑒𝑥−𝑒𝑥+𝐶)=𝑒𝑥+𝑥⁢𝑒𝑥−𝑒𝑥=𝑥⁢𝑒𝑥. $\frac{d}{d x} (x e^{x} - e^{x} + C) = e^{x} + x e^{x} - e^{x} = x e^{x} .$

Því er fullyrðingin

∫𝑥⁢𝑒𝑥𝑑𝑥=𝑥⁢𝑒𝑥−𝑒𝑥+𝐶 $\int x e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C$

rétt.
Athugið að hér er óákveðið heildi margfeldis sannreynt. Stofnfallið 𝑥⁢𝑒𝑥−𝑒𝑥 $x e^{x} - e^{x}$ er ekki margfeldi stofnfallanna. Enn fremur er margfeldi stofnfallanna, 𝑥2⁢𝑒𝑥/2 $x^{2} e^{x} / 2$ , ekki stofnfall fyrir 𝑥⁢𝑒𝑥 $x e^{x}$ þar sem

𝑑𝑑⁢𝑥⁢(𝑥2⁢𝑒𝑥2)=𝑥⁢𝑒𝑥+𝑥2⁢𝑒𝑥2≠𝑥⁢𝑒𝑥. $\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} e^{x}}{2}) = x e^{x} + \frac{x^{2} e^{x}}{2} \neq x e^{x} .$

Almennt er margfeldi stofnfalla ekki stofnfall fyrir margfeldi.

Í töflu 4.13 tókum við saman óákveðin heildi margra einfaldra falla. Beinum nú sjónum að því að reikna óákveðin heildi flóknari falla. Skoðum til dæmis hvernig finna má stofnfall summunnar $f + g .$ Í dæmi 4.51a sýndum við að stofnfall summunnar $x + e^{x}$ er summan $(\frac{x^{2}}{2}) + e^{x}$ . Það er að segja að stofnfall summu fæst sem summa stofnfalla. Þessi niðurstaða einskorðast ekki við þetta dæmi. Almennt gildir að ef $F$ og $G$ eru stofnföll fallanna $f$ og $g,$ í sömu röð, þá

\frac{d}{d x} (F (x) + G (x)) = F^{'} (x) + G^{'} (x) = f (x) + g (x) .

Því er $F (x) + G (x)$ stofnfall fyrir $f (x) + g (x)$ og þá gildir

\int (f (x) + g (x)) d x = F (x) + G (x) + C .

Á sama hátt gildir

\int (f (x) - g (x)) d x = F (x) - G (x) + C .

Skoðum jafnframt hvernig finna má stofnfall fyrir $k f (x),$ þar sem $k$ er rauntala. Þar sem

\frac{d}{d x} (k f (x)) = k \frac{d}{d x} F (x) = k f^{'} (x)

fyrir sérhverja rauntölu $k,$ ályktum við að

\int k f (x) d x = k F (x) + C .

Þessir eiginleikar eru teknir saman hér á eftir.

Með þessari setningu getum við reiknað sérhvert heildi sem felur í sér summu, mismun eða fastamargfeldi falla með þekkt stofnföll. Flóknara er að reikna heildi sem fela í sér margfeldi, kvóta eða samskeytingar (sjá dæmi 4.51b., þar sem fjallað er um stofnfall margfeldis). Við skoðum og reiknum heildi sem fela í sér þessi flóknari föll í Inngangi að heildun. Í næsta dæmi skoðum við hvernig nota má þessa setningu til að reikna óákveðin heildi nokkurra falla.

Dæmi 4.52

Útreikningur óákveðinna heilda

Reiknið hvert eftirfarandi óákveðið heildi:

∫(5⁢𝑥3−7⁢𝑥2+3⁢𝑥+4)𝑑𝑥 $\int (5 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x + 4) d x$
∫𝑥2+4⁢3√𝑥𝑥⁢𝑑⁢𝑥 $\int \frac{x^{2} + 4 \sqrt[3]{x}}{x} d x$
∫41+𝑥2⁢𝑑⁢𝑥 $\int \frac{4}{1 + x^{2}} d x$
∫tan⁡𝑥⁢cos⁡𝑥𝑑⁢𝑥 $\int tan x kósínus x d x$

Lausn

Með því að nota eiginleika óákveðinna heilda getum við heildað hvern hinna fjögurra liða í heildisstofninum fyrir sig. Við fáum

∫(5⁢𝑥3−7⁢𝑥2+3⁢𝑥+4)𝑑𝑥=∫5⁢𝑥3⁢𝑑⁢𝑥−⁢∫7⁢𝑥2𝑑𝑥+∫3⁢𝑥𝑑𝑥+∫4𝑑𝑥. $\int (5 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x + 4) d x = \int 5 x^{3} d x - \int 7 x^{2} d x + \int 3 x d x + \int 4 d x .$

Af síðari hluta eiginleika óákveðinna heilda leiðir að rita má hvern stuðul framan við heildismerkið, sem gefur

∫5⁢𝑥3⁢𝑑⁢𝑥−⁢∫7⁢𝑥2𝑑𝑥+∫3⁢𝑥𝑑𝑥+∫4𝑑𝑥=5⁢∫𝑥3⁢𝑑⁢𝑥−7⁢∫𝑥2𝑑𝑥+3⁢∫𝑥𝑑𝑥+4⁢∫1⁢𝑑⁢𝑥. $\int 5 x^{3} d x - \int 7 x^{2} d x + \int 3 x d x + \int 4 d x = 5 \int x^{3} d x - 7 \int x^{2} d x + 3 \int x d x + 4 \int 1 d x .$
Með því að nota veldisregluna fyrir heildi ályktum við að

∫(5⁢𝑥3−7⁢𝑥2+3⁢𝑥+4)𝑑𝑥=54⁢𝑥4−73⁢𝑥3+32⁢𝑥2+4⁢𝑥+𝐶. $\int (5 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x + 4) d x = \frac{5}{4} x^{4} - \frac{7}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + C .$
Umritum heildisstofninn sem

$\frac{x^{2} + 4 \sqrt[3]{x}}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{4 \sqrt[3]{x}}{x} .$

Til að reikna heildið heildum við síðan hvern þessara liða fyrir sig. Með því að nota veldisregluna fáum við

$\begin{matrix} \int (x + \frac{4}{x^{2 / 3}}) d x & = \int x d x + 4 \int x^{−2 / 3} d x \\ = \frac{1}{2} x^{2} + 4 \frac{1}{(\frac{−2}{3}) + 1} x^{(−2 / 3) + 1} + C \\ = \frac{1}{2} x^{2} + 12 x^{1 / 3} + C . \end{matrix}$
Notið eiginleika óákveðinna heilda til að rita heildið sem

$4 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x .$

Notið síðan þá staðreynd að ${tan}^{−1} (x)$ er stofnfall fyrir $\frac{1}{(1 + x^{2})}$ og ályktið að

$\int \frac{4}{1 + x^{2}} d x = 4 {tan}^{−1} (x) + C .$
Umritum heildisstofninn sem

$tan x cos x = \frac{sin x}{cos x} cos x = sin x .$

Því er

$\tan x \cos x = \sin x = - \cos x + C tanxcosx = sinx = - cosx + C$

Upphafsgildisverkefni

Síðar í bókinni skoðum við aðferðir til að heilda fjölbreytt föll sem fela í sér margfeldi, kvóta og samskeytingar. Hér snúum við okkur að einni algengri notkun stofnfalla sem kemur oft við sögu í margvíslegum verkefnum: að leysa deildajöfnur.

Deildajafna er jafna sem tengir óþekkt fall og eina eða fleiri afleiður þess. Jafnan

\frac{d y}{d x} = f (x)

(4.9)

er einfalt dæmi um deildajöfnu. Að leysa þessa jöfnu felst í að finna fall $y$ með afleiðuna $f .$ Lausnir jöfnu 4.9 eru því stofnföll fyrir $f .$ Ef $F$ er stofnfall fyrir $f,$ er sérhvert fall af gerðinni $y = F (x) + C$ lausn þeirrar deildajöfnu. Til dæmis eru lausnir

\frac{d y}{d x} = 6 x^{2}

eru gefnar með

y = \int 6 x^{2} d x = 2 x^{3} + C .

Stundum viljum við ákvarða hvort tiltekinn lausnarferill liggi um ákveðinn punkt $(x_{0}, y_{0})$ — það er að segja, $y (x_{0}) = y_{0} .$ Verkefnið felst í að finna fall $y$ sem uppfyllir deildajöfnu

\frac{d y}{d x} = f (x)

(4.10)

með viðbótarskilyrðinu

y (x_{0}) = y_{0}

(4.11)

er dæmi um upphafsgildisverkefni. Skilyrðið $y (x_{0}) = y_{0}$ er kallað upphafsskilyrði. Til dæmis má leita að falli $y$ sem uppfyllir deildajöfnuna

\frac{d y}{d x} = 6 x^{2}

og upphafsskilyrðið

y (1) = 5

er dæmi um upphafsgildisverkefni. Þar sem lausnir deildajöfnunnar eru $y = 2 x^{3} + C,$ þurfum við, til að finna fall $y$ sem uppfyllir einnig upphafsskilyrðið, að finna $C$ þannig að $y (1) = 2 {(1)}^{3} + C = 5 .$ Af þessari jöfnu sjáum við að $C = 3,$ og við ályktum að $y = 2 x^{3} + 3$ sé lausn þessa upphafsgildisverkefnis, eins og sýnt er á grafinu hér á eftir.

Gröfin fyrir y = 2x3 + 6, y = 2x3 + 3, y = 2x3 og y = 2x3 − 3 eru sýnd. — **Mynd 4.86.** Nokkrir lausnarferlar deildajöfnunnar $\frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$ eru sýndir. Fallið $y = 2 x^{3} + 3$ uppfyllir deildajöfnuna og upphafsskilyrðið $y (1) = 5 .$

Dæmi 4.53

Lausn upphafsgildisverkefnis

Leysið upphafsgildisverkefnið

\frac{d y}{d x} = sin x, y (0) = 5 .

Lausn

Fyrst þurfum við að leysa deildajöfnuna. Ef $\frac{d y}{d x} = sin x,$ þá

y = \sin (x) dx = - \cos x + C

Næst þurfum við að finna lausn 𝑦 $y$ sem uppfyllir upphafsskilyrðið. Upphafsskilyrðið 𝑦⁡(0)=5 $y (0) = 5$ merkir að finna þarf fasta 𝐶 $C$ þannig að −cos⁡𝑥+𝐶=5. $− cos x + C = 5 .$ Af þessu fæst

C = 5 + \cos (0) = 6 C = 5 + \cos (0) = 6

Lausn upphafsgildisverkefnisins er $y = − cos x + 6 .$

Upphafsgildisverkefni koma fyrir í fjölmörgum hagnýtum viðfangsefnum. Næst skoðum við verkefni þar sem ökumaður hemlar bifreið og könnum hve langan tíma hún þarf til að stöðvast. Munum að hraðafallið $v (t)$ er afleiða staðsetningarfallsins $s (t),$ og hröðunin $a (t)$ er afleiða hraðafallsins. Í fyrri dæmum í bókinni reiknuðum við hraðann út frá staðsetningunni og síðan hröðunina út frá hraðanum. Í næsta dæmi förum við öfuga leið: Við reiknum hraðafallið út frá gefnu hröðunarfalli og notum það síðan til að ákvarða staðsetningarfallið.

Dæmi 4.54

Bíll hægir á sér

Bíll ekur á hraðanum $88$ fet/sek. $(60$ mílur/klst.) þegar hemlað er. Hraði bílsins minnkar jafnt um $15$ fet/sek^².

Hversu margar sekúndur líða áður en bíllinn stöðvast?
Hversu langt ekur bíllinn á þeim tíma?

Lausn

Fyrst skilgreinum við breyturnar sem notaðar verða í verkefninu. Látum $t$ tákna tímann (í sekúndum) frá því að fyrst er hemlað. Látum $a (t)$ tákna hröðun bílsins (í fetum á sekúndu í öðru veldi) á tíma $t .$ Látum $v (t)$ tákna hraða bílsins (í fetum á sekúndu) á tíma $t .$ Látum $s (t)$ tákna staðsetningu bílsins (í fetum) miðað við punktinn þar sem hemlað var, á tíma $t .$
Bíllinn ekur á hraðanum $88 fet/sek .$ Því er upphafshraðinn $v (0) = 88$ fet/sek. Þar sem bíllinn hægir á sér er hröðunin

$a (t) = −15 {fet/sek}^{2} .$

Hröðun er afleiða hraða og því er

$v^{'} (t) = −15 .$

Við þurfum því að leysa eftirfarandi upphafsgildisverkefni:

$v^{'} (t) = −15, v (0) = 88 .$

Með heildun fæst

$v (t) = −15 t + C .$

Þar sem $v (0) = 88, C = 88 .$ Því er hraðafallið

$v (t) = −15 t + 88 .$

Til að finna hve langan tíma bíllinn þarf til að stöðvast þurfum við að finna þann tíma $t$ þegar hraðinn er núll. Með því að leysa $−15 t + 88 = 0,$ fáum við $t = \frac{88}{15}$ sek.
Til að finna vegalengdina sem bíllinn ekur á þessum tíma þurfum við að ákvarða staðsetningu hans eftir 8815 $\frac{88}{15}$ sek. Við vitum að hraðafallið 𝑣⁡(𝑡) $v (t)$ er afleiða staðsetningarfallsins 𝑠⁡(𝑡). $s (t) .$ Látum upphafsstaðsetninguna vera 𝑠⁡(0)=0. $s (0) = 0 .$ Því þurfum við að leysa upphafsgildisverkefnið

𝑠′⁡(𝑡)=−15⁢𝑡+88,𝑠⁡(0)=0. $s^{'} (t) = −15 t + 88, s (0) = 0 .$

Með heildun fæst

𝑠⁡(𝑡)=−152⁢𝑡2+88⁢𝑡+𝐶. $s (t) = - \frac{15}{2} t^{2} + 88 t + C .$

Þar sem 𝑠⁡(0)=0, $s (0) = 0,$ fæst 𝐶=0. $C = 0 .$ Því er staðsetningarfallið

𝑠⁡(𝑡)=−152⁢𝑡2+88⁢𝑡. $s (t) = - \frac{15}{2} t^{2} + 88 t .$

Eftir 𝑡=8815 $t = \frac{88}{15}$ sek. hefur bíllinn því ekið 𝑠⁡(8815)≈258.133 $s (\frac{88}{15}) \approx 258.133$ fet.

Æfingar í kafla 4.10

Sýnið í eftirfarandi dæmum að $F (x)$ sé stofnfall $f (x) .$

465.

𝐹⁡(𝑥)=5⁢𝑥3+2⁢𝑥2+3⁢𝑥+1,𝑓⁡(𝑥)=15⁢𝑥2+4⁢𝑥+3 $F (x) = 5 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 1, f (x) = 15 x^{2} + 4 x + 3$

466.

𝐹⁡(𝑥)=𝑥2+4⁢𝑥+1,𝑓⁡(𝑥)=2⁢𝑥+4 $F (x) = x^{2} + 4 x + 1, f (x) = 2 x + 4$

467.

𝐹⁡(𝑥)=𝑥2⁢𝑒𝑥,𝑓⁡(𝑥)=𝑒𝑥⁢(𝑥2+2⁢𝑥) $F (x) = x^{2} e^{x}, f (x) = e^{x} (x^{2} + 2 x)$

468.

𝐹⁡(𝑥)=cos⁡𝑥,𝑓⁡(𝑥)=−sin⁡𝑥 $F (x) = cos x, f (x) = − sin x$

469.

𝐹⁡(𝑥)=𝑒𝑥,𝑓⁡(𝑥)=𝑒𝑥 $F (x) = e^{x}, f (x) = e^{x}$

Í eftirfarandi æfingum skal finna almennt form stofnfalls fallsins.

470.

𝑓⁡(𝑥)=1𝑥2+𝑥 $f (x) = \frac{1}{x^{2}} + x$

471.

𝑓⁡(𝑥)=𝑒𝑥−3⁢𝑥2+sin⁡𝑥 $f (x) = e^{x} - 3 x^{2} + sin x$

472.

𝑓⁡(𝑥)=𝑒𝑥+3⁢𝑥−𝑥2 $f (x) = e^{x} + 3 x - x^{2}$

473.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥−1+4⁢sin⁡(2⁢𝑥) $f (x) = x - 1 + 4 sin (2 x)$

Í eftirfarandi æfingum skal finna almennt form stofnfallsins $F (x)$ fyrir hvert fall $f (x) .$

474.

𝑓⁡(𝑥)=5⁢𝑥4+4⁢𝑥5 $f (x) = 5 x^{4} + 4 x^{5}$

475.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥+12⁢𝑥2 $f (x) = x + 12 x^{2}$

476.

𝑓⁡(𝑥)=1√𝑥 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

477.

𝑓⁡(𝑥)=(√𝑥)₃ $f (x) = {(\sqrt{x})}^{3}$

478.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥1/3+(2⁢𝑥)₁/3 $f (x) = x^{1 / 3} + {(2 x)}^{1 / 3}$

479.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥1/3𝑥2/3 $f (x) = \frac{x^{1 / 3}}{x^{2 / 3}}$

480.

𝑓⁡(𝑥)=2⁢sin⁡(𝑥)+sin⁡(2⁢𝑥) $f (x) = 2 sin (x) + sin (2 x)$

481.

𝑓⁡(𝑥)=sec2⁢(𝑥)+1 $f (x) = {sec}^{2} (x) + 1$

482.

𝑓⁡(𝑥)=sin⁡𝑥⁢cos⁡𝑥 $f (x) = sin x cos x$

483.

𝑓⁡(𝑥)=sin2⁢(𝑥)⁢cos⁡(𝑥) $f (x) = {sin}^{2} (x) cos (x)$

484.

𝑓⁡(𝑥)=0 $f (x) = 0$

485.

𝑓⁡(𝑥)=12⁢csc2⁢(𝑥)+1𝑥2 $f (x) = \frac{1}{2} {csc}^{2} (x) + \frac{1}{x^{2}}$

486.

𝑓⁡(𝑥)=csc⁡𝑥⁢cot⁡𝑥+3⁢𝑥 $f (x) = csc x cot x + 3 x$

487.

𝑓⁡(𝑥)=4⁢csc⁡𝑥⁢cot⁡𝑥−sec⁡𝑥⁢tan⁡𝑥 $f (x) = 4 csc x cot x - sec x tan x$

488.

𝑓⁡(𝑥)=8⁢sec⁡𝑥⁢(sec⁡𝑥−4⁢tan⁡𝑥) $f (x) = 8 sec x (sec x - 4 tan x)$

489.

𝑓⁡(𝑥)=12⁢𝑒−4⁢𝑥+sin⁡𝑥 $f (x) = \frac{1}{2} e^{−4 x} + sin x$

Í eftirfarandi æfingum skal reikna heildið.

490.

∫(−1)𝑑𝑥 $\int (−1) d x$

491.

∫sin⁡𝑥𝑑⁢𝑥 $\int sin x d x$

492.

∫(4⁢𝑥+√𝑥)𝑑𝑥 $\int (4 x + \sqrt{x}) d x$

493.

∫3⁢𝑥2+2𝑥2𝑑𝑥 $\int \frac{3 x^{2} + 2}{x^{2}} d x$

494.

∫(sec⁡𝑥⁢tan⁡𝑥+4⁢𝑥)𝑑𝑥 $\int (sec x tan x + 4 x) d x$

495.

∫(4⁢√𝑥+4√𝑥)𝑑𝑥 $\int (4 \sqrt{x} + \sqrt[4]{x}) d x$

496.

∫(𝑥−1/3−𝑥2/3)⁢𝑑⁢𝑥 $\int (x^{−1 / 3} - x^{2 / 3}) d x$

497.

∫14⁢𝑥3+2⁢𝑥+1𝑥3𝑑𝑥 $\int \frac{14 x^{3} + 2 x + 1}{x^{3}} d x$

498.

∫(𝑒𝑥+𝑒−𝑥)⁢𝑑⁢𝑥 $\int (e^{x} + e^{− x}) d x$

Leysið upphafsgildisverkefnið í eftirfarandi æfingum.

499.

𝑓′⁡(𝑥)=𝑥−3,𝑓⁡(1)=1 $f^{'} (x) = x^{−3}, f (1) = 1$

500.

𝑓′⁡(𝑥)=√𝑥+𝑥2,𝑓⁡(0)=2 $f^{'} (x) = \sqrt{x} + x^{2}, f (0) = 2$

501.

𝑓′⁡(𝑥)=cos⁡𝑥+sec2⁢(𝑥),𝑓⁡(𝜋4)=2+√22 $f^{'} (x) = cos x + {sec}^{2} (x), f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

502.

𝑓′⁡(𝑥)=𝑥3−8⁢𝑥2+16⁢𝑥+1,𝑓⁡(0)=0 $f^{'} (x) = x^{3} - 8 x^{2} + 16 x + 1, f (0) = 0$

503.

𝑓′⁡(𝑥)=2𝑥2−𝑥22,𝑓⁡(1)=0 $f^{'} (x) = \frac{2}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{2}, f (1) = 0$

Í eftirfarandi æfingum skal finna tvö möguleg föll $f$ út frá gefinni annarri eða þriðju afleiðu.

504.

𝑓″⁡(𝑥)=𝑥2+2 $f^{″} (x) = x^{2} + 2$

505.

𝑓″⁡(𝑥)=𝑒−𝑥 $f^{″} (x) = e^{− x}$

506.

𝑓″⁡(𝑥)=1+𝑥 $f^{″} (x) = 1 + x$

507.

𝑓‴(𝑥)=cos⁡𝑥 $f ‴ (x) = cos x$

508.

𝑓‴(𝑥)=8⁢𝑒−2⁢𝑥−sin⁡𝑥 $f ‴ (x) = 8 e^{−2 x} - sin x$

509.

Bíl er ekið á hraðanum 40 $40$ mílur/klst. þegar hemlað er. Hraði bílsins minnkar jafnt um 10 $10$ fet/sek². ^Hvelangur tími líður þar til bíllinn stöðvast?

510.

Reiknið út frá verkefninu hér á undan hve langt bifreiðin ekur áður en hún stöðvast.

511.

Bíll tekur af stað inn á hraðbraut með fastri hröðun sem nemur 12 $12$ fet/sek². Hve langan tíma þarf hann til að ná hraðanum 60 $60$ mílur/klst.?

512.

Notið niðurstöðu fyrra verkefnis til að finna hve langt bíllinn ekur áður en hann nær þeim hraða sem þarf til að komast inn í umferðina á hraðbrautinni.

513.

Bílaframleiðandi vill tryggja að nýjasta gerð fyrirtækisins geti stöðvast á 8 $8$ sekúndum þegar ekið er á hraðanum 75 $75$ mílur/klst. Gerið ráð fyrir fastri hraðaminnkun og finnið gildið sem þarf til þess.

514.

Bílaframleiðandi vill tryggja að nýjasta gerð fyrirtækisins geti stöðvast á vegalengd innan við 450 $450$ fet þegar ekið er á 60 $60$ mílur/klst. Gerið ráð fyrir fastri hraðaminnkun og finnið gildið sem uppfyllir þetta skilyrði.

Finnið stofnfall fallsins í eftirfarandi æfingum og gerið ráð fyrir að $F (0) = 0 .$

515.

[T] 𝑓⁡(𝑥)=𝑥2+2 $f (x) = x^{2} + 2$

516.

[T] 𝑓⁡(𝑥)=4⁢𝑥−√𝑥 $f (x) = 4 x - \sqrt{x}$

517.

[T] 𝑓⁡(𝑥)=sin⁡𝑥+2⁢𝑥 $f (x) = sin x + 2 x$

518.

[T] 𝑓⁡(𝑥)=𝑒𝑥 $f (x) = e^{x}$

519.

[T] 𝑓⁡(𝑥)=1(𝑥+1)₂ $f (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

520.

[T] 𝑓⁡(𝑥)=𝑒−2⁢𝑥+3⁢𝑥2 $f (x) = e^{−2 x} + 3 x^{2}$

Í eftirfarandi æfingum skal ákvarða hvort fullyrðingin sé sönn eða ósönn. Sannið að hún sé sönn eða finnið mótdæmi ef hún er ósönn.

521.

Ef $f (x)$ er stofnfall fyrir $v (x),$ þá er $2 f (x)$ stofnfall fyrir $2 v (x) .$

522.

Ef 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ er stofnfall fyrir 𝑣⁡(𝑥), $v (x),$ þá er 𝑓⁡(2⁢𝑥) $f (2 x)$ stofnfall fyrir 𝑣⁡(2⁢𝑥). $v (2 x) .$

523.

Ef $f (x)$ er stofnfall fyrir $v (x),$ þá er $f (x) + 1$ stofnfall fyrir $v (x) + 1 .$

524.

Ef $f (x)$ er stofnfall fyrir $v (x),$ þá er ${(f (x))}^{2}$ stofnfall fyrir ${(v (x))}^{2} .$