4.4.3 Setja fram þrjár mikilvægar afleiðingar meðalgildissetningarinnar.
Meðalgildissetningin er ein mikilvægasta setning stærðfræðigreiningar. Við skoðum nokkrar afleiðingar hennar í lok þessa undirkafla. Byrjum þó á sértilviki meðalgildissetningarinnar sem kallast setning Rolle.
Setning Rolle
Óformlega segir setning Rolle að ef gildi deildanlegs falls eru jöfn í endapunktum bils hljóti að vera til innri punktur þar sem Mynd 4.21 sýnir setninguna myndrænt.
Mynd 4.21. Ef deildanlegt fall f uppfyllir þá hlýtur afleiða þess að vera núll í einum eða fleiri punktum milli og
Sönnun
Látum Við skoðum þrjú tilvik:
fyrir öll
Til er þannig að
Til er þannig að
Tilvik 1: Ef fyrir öll þá er fyrir öll
Tilvik 2: Þar sem er samfellt fall á lokaða og takmarkaða bilinu hefur það samkvæmt útgildissetningunni algilt hágildi. Þar sem einnig er til punktur þannig að er algilda hágildið stærra en Það fæst því í hvorugum endapunktinum heldur í innri punkti Þar sem hefur hágildi í innri punkti og er deildanlegt í leiðir af setningu Fermats að
Tilvik 3: Tilvikið þar sem til er punktur þannig að er hliðstætt tilviki 2, með lággildi í stað hágildis.
□
Mikilvægt er að fallið sé deildanlegt svo að setning Rolle eigi við. Ef er ódeildanlegt í einum einasta punkti er ekki víst að niðurstaðan gildi. Til dæmis er fallið samfellt á og en fyrir sérhvert þar sem afleiðan er skilgreind, eins og sýnt er á myndinni hér á eftir.
Mynd 4.22. Þar sem 𝑓(𝑥)=|𝑥|−1 er ekki deildanlegt þegar 𝑥=0, eru skilyrði setningar Rolle ekki uppfyllt. Niðurstaðan gildir heldur ekki hér: Ekkert 𝑐∈(−1,1) er til sem uppfyllir 𝑓′(𝑐)=0.
Skoðum nú föll sem uppfylla skilyrði setningar Rolle og finnum nákvæmlega þau gildi þar sem
Dæmi 4.14
Notkun setningar Rolle
Fyrir hvert fallanna hér á eftir skal sannreyna að það uppfylli skilyrði setningar Rolle og finna öll gildi 𝑐 á gefna bilinu þar sem 𝑓′(𝑐)=0.
𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥 á bilinu [−2,0]
𝑓(𝑥)=𝑥3−4𝑥 á bilinu [−2,2]
Lausn
Þar sem er margliða er hún samfelld og deildanleg alls staðar. Auk þess gildir að Því uppfyllir skilyrði setningar Rolle. Við ályktum að til sé að minnsta kosti eitt gildi þannig að Þar sem sjáum við að hefur í för með sér að eins og sýnt er á grafinu hér á eftir.
Mynd 4.23Fallið er samfellt og deildanlegt á þegar
Eins og í a-lið er margliða og því samfelld og deildanleg alls staðar. Einnig gildir að Því uppfyllir skilyrði setningar Rolle. Með deildun fæst að Því er þegar Báðir punktarnir eru á bilinu og uppfylla því báðir niðurstöðu setningar Rolle, eins og sýnt er á grafinu hér á eftir.
Mynd 4.25. Meðalgildissetningin segir að fyrir fall sem uppfyllir skilyrði hennar sé hallatala snertilsins í einhverjum punkti sú sama og hallatala sniðilsins milli endapunktanna. Fyrir þetta fall eru tvö gildi og þannig að snertillinn við í og hefur sömu hallatölu og sniðillinn.
Sönnun
Sönnunin leiðir af setningu Rolle með því að skilgreina viðeigandi fall sem uppfyllir skilyrði setningar Rolle. Skoðum línuna sem tengir og Þar sem hallatala þeirrar línu er
og línan liggur í gegnum punktinn má rita jöfnu þeirrar línu sem
Látum tákna lóðrétta mismuninn milli punktsins og punktsins á línunni. Því gildir að
Mynd 4.26. Gildið 𝑔(𝑥) er lóðrétti munurinn á punktunum (𝑥,𝑓(𝑥)) og (𝑥,𝑦) , þar sem sá síðarnefndi liggur á sniðlinum sem tengir (𝑎,𝑓(𝑎)) og (𝑏,𝑓(𝑏)).
Þar sem graf sker sniðilinn þegar og sjáum við að Þar sem er deildanlegt á er einnig deildanlegt á Þar sem er samfellt á er einnig samfellt á Því uppfyllir skilyrði setningar Rolle og því er til punktur þannig að Þar sem
sjáum við að
Þar sem ályktum við að
□
Dæmi 4.15
Staðfesting á því að meðalgildissetningin eigi við
Fyrir 𝑓(𝑥)=√𝑥 á bilinu [0,9], skal sýna að 𝑓 uppfylli forsendur meðalgildissetningarinnar og að til sé að minnsta kosti eitt gildi 𝑐∈(0,9) þannig að 𝑓′(𝑐) sé jafnt hallatölu línunnar sem tengir (0,𝑓(0)) og (9,𝑓(9)). Finnið þau gildi 𝑐 sem meðalgildissetningin tryggir að séu til.
Lausn
Við vitum að 𝑓(𝑥)=√𝑥 er samfellt á [0,9] og deildanlegt á (0,9). Því uppfyllir 𝑓 forsendur meðalgildissetningarinnar og til hlýtur að vera að minnsta kosti eitt gildi 𝑐∈(0,9) þannig að 𝑓′(𝑐) er jafnt hallatölu línunnar sem tengir (0,𝑓(0)) og (9,𝑓(9))(mynd 4.27). Til að finna þau gildi 𝑐 sem setningin tryggir að séu til reiknum við fyrst afleiðu 𝑓. Afleiðan er 𝑓′(𝑥)=1(2√𝑥). Hallatala línunnar sem tengir (0,𝑓(0)) og (9,𝑓(9)) er
Við viljum finna 𝑐 þannig að 𝑓′(𝑐)=13. Við leitum því að 𝑐 sem uppfyllir
Þegar þessi jafna er leyst fyrir fæst Í þessum punkti er hallatala snertilsins jöfn hallatölu línunnar sem tengir endapunktana.
Mynd 4.27. Hallatala snertilsins í c = 9 / 4 er sú sama og hallatala línustriksins sem tengir ( 0 , 0 ) og ( 9 , 3 ) .
Dæmi sem varpar ljósi á meðalgildissetninguna tengist hraða. Gerum ráð fyrir að við ökum bíl í 1 h eftir beinum vegi á meðalhraðanum 45 mílur á klukkustund. Látum og tákna staðsetningu og hraða bílsins, í sömu röð, fyrir h. Ef staðsetningarfallið er deildanlegt má beita meðalgildissetningunni og álykta að á einhverjum tíma hafi hraði bílsins verið nákvæmlega
Dæmi 4.16
Meðalgildissetningin og hraði
Ef steini er sleppt úr 100 feta hæð er staðsetning hans að sekúndum liðnum, fram að því að hann lendir á jörðinni, gefin með fallinu
Ákvarðið hve langur tími líður þar til steinninn lendir á jörðinni.
Finnið meðalhraðann frá því að steininum er sleppt þar til hann lendir á jörðinni.
Finnið þann tíma sem meðalgildissetningin tryggir að augnablikshraði steinsins sé jafn
Lausn
Þegar steinninn lendir á jörðinni er staðsetning hans Með því að leysa jöfnuna með tilliti til fæst að Þar sem aðeins er litið til lendir steinninn á jörðinni sek. eftir að honum er sleppt.
Meðalhraðinn er gefinn með
Augnablikshraðinn fæst með afleiðu staðsetningarfallsins. Við þurfum því að finna tíma þannig að Þar sem er samfellt á bilinu og deildanlegt á bilinu tryggir meðalgildissetningin að til sé punktur þannig að
Afleiða staðsetningarfallsins er Jafnan einfaldast því í Þegar jafnan er leyst með tilliti til fæst Þegar sek. er liðin frá því að steininum er sleppt er augnablikshraðinn því jafn meðalhraða steinsins í frjálsa fallinu: fet/sek.
Mynd 4.28Þegar sek. er hraði steinsins jafn meðalhraða hans frá því að honum er sleppt þar til hann lendir á jörðinni.
Fylgisetningar meðalgildissetningarinnar
Lítum nú á þrjár fylgisetningar meðalgildissetningarinnar. Þessar niðurstöður hafa mikilvægar afleiðingar sem við nýtum í köflunum hér á eftir.
Nú vitum við að afleiða sérhvers fasts falls er núll. Meðalgildissetningin sýnir að hið gagnstæða gildir einnig. Nánar tiltekið, ef fyrir öll á bili þá er fast á bilinu. Þessi niðurstaða kann að virðast augljós við fyrstu sýn en hún hefur mikilvægar afleiðingar sem við fjöllum um hér á eftir.
Sönnun
Þar sem er deildanlegt á hlýtur að vera samfellt á Gerum ráð fyrir að sé ekki fast fyrir öll í Þá eru til þar sem og Veljum táknin þannig að Þá gildir að
Þar sem er deildanlegt fall, er samkvæmt meðalgildissetningunni til þannig að
Því er til þannig að sem stangast á við þá forsendu að fyrir öll
Látum Þá er fyrir öll Samkvæmt fylgisetningu 1 er til fasti þannig að fyrir öll Því er fyrir öll
□
Þessi staðreynd er mikilvæg. Hún merkir að fyrir gefið fall er eftirfarandi satt: Ef til er fall þannig að þá eru einu önnur föllin með afleiðuna föll af gerðinni fyrir einhvern fasta Við fjöllum nánar um þessa niðurstöðu síðar í kaflanum.
Þriðja fylgisetning meðalgildissetningarinnar fjallar um það hvenær fall er vaxandi og hvenær það er minnkandi. Rifjum upp að fall er vaxandi á ef þegar en er minnkandi á ef þegar Með hjálp meðalgildissetningarinnar má sýna að fall er vaxandi ef afleiða þess er jákvæð en minnkandi ef afleiðan er neikvæð (mynd 4.29). Við notum þessa staðreynd í næsta undirkafla til að sýna hvernig nota má afleiðu falls til að finna staðbundin hágildi og lággildi og ákvarða lögun grafsins.
Mynd 4.29. Ef fall hefur jákvæða afleiðu á bili er það vaxandi á bilinu Ef afleiðan er neikvæð á bili er fallið minnkandi á bilinu
Sönnun
Við sönnum i-lið; sönnun ii-liðar er sambærileg. Gerum ráð fyrir að sé samfellt og deildanlegt á bili og að fyrir öll . Gerum jafnframt ráð fyrir því í mótsagnarskyni að sé ekki vaxandi á . Þá eru til og í þannig að en . Þar sem er deildanlegt á tryggir meðalgildissetningin að til sé gildi þannig að
Nú er og því . Þar sem er . Kvótinn af og er því neikvæður. Fyrir c gildir því:
Hins vegar er fyrir öll , þar á meðal . Þetta er mótsögn. Forsendan um að sé ekki vaxandi á er röng. Fallið hlýtur því að vera vaxandi á öllu bilinu .
□
Æfingar í kafla 4.4
148.
Hvers vegna er samfelldni nauðsynleg til að beita meðalgildissetningunni? Setjið fram gagndæmi.
149.
Hvers vegna þarf fallið að vera deildanlegt til að hægt sé að beita meðalgildissetningunni? Finnið gagndæmi.
150.
Hvenær eru setning Rolle og meðalgildissetningin jafngildar?
151.
Getur jafnan 𝑓′(𝑐)(𝑏−𝑎)=𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)? gilt þótt fallið sé ósamfellt? Teiknið slíkt dæmi eða sannið að það sé ómögulegt.
Í æfingunum hér á eftir skal ákvarða á hvaða bilum meðalgildissetningin á við, ef einhverjum. Rökstyðjið svarið.
152.
𝑦=sin(𝜋𝑥)
153.
𝑦=1𝑥3
154.
𝑦=√4−𝑥2
155.
𝑦=√𝑥2−4
156.
𝑦=ln(3𝑥−5)
Teiknið gröf fallanna í eftirfarandi verkefnum með reiknivél og dragið sniðilinn sem tengir endapunktana. Áætlið fjölda punkta þannig að
157.
[T] 𝑦=3𝑥3+2𝑥+1 á bilinu [−1,1]
158.
[T] 𝑦=tan(𝜋4𝑥) á bilinu [−32,32]
159.
[T] á
160.
[T] 𝑦=𝑥6−34𝑥5−98𝑥4+1516𝑥3+332𝑥2+316𝑥+132 á bilinu [−1,1]
Í verkefnunum hér á eftir skuluð þið finna öll gildi sem meðalgildissetningin tryggir að séu til og uppfylla
161.
𝑓(𝑥)=𝑥3
162.
𝑓(𝑥)=sin(𝜋𝑥)
163.
𝑓(𝑥)=cos(2𝜋𝑥)
164.
𝑓(𝑥)=1+𝑥+𝑥2
165.
𝑓(𝑥)=(𝑥−1)10
166.
𝑓(𝑥)=(𝑥−1)9
Í æfingunum hér á eftir skal sýna að ekkert sé til þannig að Útskýrið hvers vegna meðalgildissetningin á ekki við á bilinu
167.
𝑓(𝑥)=∣𝑥−12∣
168.
𝑓(𝑥)=1𝑥2
169.
𝑓(𝑥)=√|𝑥|
170.
(Ábending: Þetta kallast gólffallið og það er skilgreint þannig að er stærsta heiltalan sem er minni en eða jöfn
Í eftirfarandi æfingum skal ákvarða hvort meðalgildissetningin eigi við um föllin á gefna bilinu Rökstyðjið svarið.
171.
𝑦=𝑒𝑥 á bilinu [0,1]
172.
𝑦=ln(2𝑥+3) á bilinu [−32,0]
173.
𝑓(𝑥)=tan(2𝜋𝑥) á bilinu [0,2]
174.
𝑦=√9−𝑥2 á bilinu [−3,3]
175.
𝑦=1|𝑥+1| á bilinu [0,3]
176.
𝑦=𝑥3+2𝑥+1 á bilinu [0,6]
177.
𝑦=𝑥2+3𝑥+2𝑥 á bilinu [−1,1]
178.
𝑦=𝑥sin(𝜋𝑥)+1 á bilinu [0,1]
179.
𝑦=ln(𝑥+1) á bilinu [0,𝑒−1]
180.
𝑦=𝑥sin(𝜋𝑥) á bilinu [0,2]
181.
𝑦=5+|𝑥| á bilinu [−1,1]
Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið skoða rætur jöfnunnar.
182.
Sýnið að jafnan hafi nákvæmlega eina rauntölurót. Hver er hún?
183.
Finnið skilyrðin fyrir því að eftirfarandi jafna hafi nákvæmlega eina rót, það er tvöfalda rót:
184.
Finnið skilyrðin fyrir því að fallið 𝑦=𝑒𝑥−𝑏 hafi eina rót. Getur fallið haft fleiri en eina rót?
Í æfingunum hér á eftir skal nota reiknivél til að teikna graf fallsins á bilinu og sniðilinn gegnum punktinn og punktinn Notið reiknivélina til að áætla öll gildi sem meðalgildissetningin tryggir að séu til. Finnið síðan nákvæm gildi ef unnt er. Annars skal skrifa lokajöfnuna og nota reiknivél til að áætla gildin með fjórum aukastöfum.
185.
[T] á
186.
[T] á bilinu
187.
[T] á bilinu
188.
[T] á bilinu
189.
[T] á bilinu
190.
Klukkan 10:17 f.h. akið þið á 55 mílum á klukkustund fram hjá lögreglubíl sem stendur kyrr á hraðbrautinni. Klukkan 10:53 f.h. akið þið aftur á 55 mílum á klukkustund fram hjá öðrum lögreglubíl sem er 39 mílur frá þeim fyrri. Ef hámarkshraðinn er 60 mílur á klukkustund getur lögreglan þá sektað ykkur fyrir hraðakstur?
191.
Tveir bílar aka frá einu umferðarljósi að því næsta. Þeir leggja af stað samtímis og koma samtímis á áfangastað. Er eitthvert augnablik á leiðinni þegar þeir aka á sama hraða? Sannið fullyrðinguna eða hrekjið hana.
192.
Sýnið að og hafi sömu afleiðu. Hvað getið þið sagt um
193.
Sýnið að og hafi sömu afleiðu. Hvað getið þið sagt um
