Yfirlitsverkefni

Ef $f\left(\mathrm{-1}\right)=\mathrm{-6}$ og $f\left(1\right)=2,$ þá er til að minnsta kosti einn punktur $x\in \left[\mathrm{-1},1\right]$ þannig að $f^{\prime }\left(x\right)=4.$

Ef $f^{\prime }\left(c\right)=0,$ þá hefur fallið hágildi eða lággildi í $x=c.$

Til er fall þar sem $f\left(x\right)<0,f^{\prime }\left(x\right)>0,$ auk þess sem $f^{″}\left(x\right)<0.$ (Myndræn „sönnun“ telst fullnægjandi svar við þessu verkefni.)

Til er fall sem hefur bæði beygjuskilapunkt og stöðupunkt í sama punktinum $x=a.$

Á myndinni sést graf af $f^{\prime },$ sem nota skal til að ákvarða hvar $f$ er vaxandi og hvar fallið er minnkandi.

Graf fallsins $f$ er sýnt hér að neðan. Teiknið $f^{\prime }.$

Finnið línulegu nálgunina $L\left(x\right)$ fyrir fallið $y=x^2+\text{tan}\left(\pi x\right)$ í grennd við $x=\frac{1}{4}.$

Finnið deildi fallsins $y=x^2-5x-6$ og reiknið gildi þess fyrir $x=2$ með $dx=0.1.$

$f\left(x\right)=x+{\text{sin}}^2\left(x\right)$ á bilinu $\left[0,\pi \right]$

𝑓⁡(𝑥)=3⁢𝑥4−4⁢𝑥3−12⁢𝑥2+6$f\left(x\right)=3x^4-4x^3-12x^2+6$ á bilinu [−3,3]$\left[\mathrm{-3},3\right]$

𝑥⁡(𝑡)=3⁢𝑡4−8⁢𝑡3−18⁢𝑡2$x\left(t\right)=3t^4-8t^3-18t^2$

𝑦=𝑥+sin⁡(𝜋⁢𝑥)$y=x+\text{sin}\left(\pi x\right)$

𝑔⁡(𝑥)=𝑥−√𝑥$g\left(x\right)=x-\sqrt{x}$

𝑓⁡(𝜃)=sin⁡(3⁢𝜃)$f\left(\theta \right)=\text{sin}\left(3\theta \right)$

lim𝑥→∞⁢3⁢𝑥⁢√𝑥2+1√𝑥4−1$\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\frac{3x\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^4-1}}$

lim𝑥→∞⁢cos⁡(1𝑥)$\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\text{cos}\left(\frac{1}{x}\right)$

lim𝑥→1⁢𝑥−1sin⁡(𝜋⁢𝑥)$\underset{x\to 1}{\text{lim}}\frac{x-1}{\text{sin}\left(\pi x\right)}$

lim𝑥→∞⁢(3⁢𝑥)₁/𝑥$\underset{x\to \infty }{\text{lim}}{\left(3x\right)}^{1\text{/}x}$

𝑦=𝑥3+1,𝑥0=0.5$y=x^3+1,x_0=0.5$

𝑦 =1𝑥+1=12,𝑥0=0$y=\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2},x_0=0$

𝑔⁡(𝑥)=√𝑥−1𝑥2$g\left(x\right)=\sqrt{x}-\frac{1}{x^2}$

𝑓⁡(𝑥)=2⁢𝑥+6⁢cos⁡𝑥,𝐹⁡(𝜋)=𝜋2+2$f\left(x\right)=2x+6\text{cos}x,F\left(\pi \right)={\pi }^2+2$

𝑦=1𝑥⁢(𝑥+1)₂$y=\frac{1}{x{\left(x+1\right)}^2}$

𝑦=𝑥−√4−𝑥2$y=x-\sqrt{4-x^2}$

Bifreið er pressuð saman í rétthyrndan ferstrending. Rúmmálið minnkar með hraðanum $2$ m³/sek. Lengd og breidd pressunnar eru jafnar, en hæðin er önnur. Ef veggirnir sem afmarka lengd og breidd færast inn á við með hraðanum $0.25$ m/sek., finnið hve hratt hæðin breytist þegar lengdin og breiddin eru $2$ m og hæðin er $1.5$ m.

Eldflaug er skotin út í geim; hreyfiorka hennar er gefin með $K\left(t\right)=\left(\frac{1}{2}\right)m\left(t\right)v{\left(t\right)}^2,$ þar sem $K$ er hreyfiorkan í júlum, $m$ er massi eldflaugarinnar í kílógrömmum og $v$ er hraði eldflaugarinnar í metrum á sekúndu. Gerið ráð fyrir að hraði eldflaugarinnar aukist með hröðuninni $15$ m/s² og að massi hennar minnki um $10$ kg/s vegna bruna eldsneytis. Hversu hratt breytist hreyfiorka eldflaugarinnar þegar massinn er $2000$ kg og hraðinn er $5000$ m/s? Gefið svarið í megajúlum á sekúndu (MJ/s), sem jafngildir ${10}^6$ J/s.

Hið þekkta bestunarverkefni Regiomontanusar um sjónarhorn var sett fram á 15. öld. Málverk hangir á vegg þannig að neðri brún þess er í $a$ feta hæð yfir augnhæð og efri brúnin í $b$ feta hæð yfir augnhæð. Í hvaða fjarlægð $x$ (í fetum) frá veggnum ætti áhorfandinn að standa til að hámarka sjónarhornið $\theta ?$

Flugfélag selur flugmiða frá Tókýó til Detroit fyrir $\text{\$}1200.$ Alls eru $500$ sæti í boði og að jafnaði eru $350$ sæti bókuð í hvert flug. Í hvert sinn sem fargjaldið er lækkað um $\text{\$}10$ seljast fimm sæti til viðbótar. Hvert ætti fargjaldið að vera til að hámarka hagnað? Hversu margir farþegar yrðu um borð?