44 Notkun afleiða

4.6 Markgildi þegar x stefnir á óendanlegt og aðfellur

Námsmarkmið

4.6.1 Reikna markgildi falls þegar x vex eða minnkar án takmarka.
4.6.2 Þekkja lárétta aðfellu á grafi falls.
4.6.3 Áætla endahegðun falls þegar x vex eða minnkar án takmarka.
4.6.4 Bera kennsl á skáfellu á grafi falls.
4.6.5 Greina fall og afleiður þess til að teikna graf þess.

Við hö $f$ um sýnt hvernig nota má $f$ yrstu og aðra afleiðu falls til að lýsa lögun grafs. Til að teikna graf falls f sem er skilgreint á ótakmörkuðu skilgreiningarmengi þurfum við einnig að þekkja hegðun f þegar $x \to ± \infty .$ Í þessum undirkafla skilgreinum við markgildi þegar x stefnir á óendanlegt og sýnum hvernig þau hafa áhrif á graf falls. Í lok undirkaflans lýsum við aðferð til að teikna graf ótiltekins falls $f .$

Markgildi þegar x stefnir á óendanlegt

Við byrjum á að kanna hvað felst í því að fall hafi endanlegt markgildi þegar x stefnir á óendanlegt. Síðan skoðum við hugmyndina um fall sem hefur óendanlegt markgildi þegar x stefnir á óendanlegt. Fyrr í Inngangi að föllum og gröfum skoðuðum við lóðfellur; í þessum undirkafla fjöllum við um láréttar aðfellur og skáfellur.

Markgildi þegar x stefnir á óendanlegt og láréttar aðfellur

Rifjum upp að $lim_{x \to a} f (x) = L$ merkir að $f (x)$ verður eins nálægt $L$ og óskað er, svo framarlega sem $x$ er nægilega nálægt $a .$ Við getum yfirfært þessa hugmynd á markgildi þegar x stefnir á óendanlegt. Skoðum til dæmis fallið $f (x) = 2 + \frac{1}{x} .$ Eins og sjá má af grafinu á mynd 4.40 og tölugildunum í töflu 4.2 verða gildi $x$ stærri og gildi $f (x)$ nálgast $2 .$ Við segjum að þegar $x$ stefnir á $\infty$ sé markgildi $f (x)$ jafnt $2$ og ritum $lim_{x \to \infty} f (x) = 2 .$ Á sama hátt, þegar $x < 0,$ verður $| x |$ stærra og gildi $f (x)$ nálgast $2 .$ Við segjum að þegar $x$ stefnir á $− \infty$ sé markgildi $f (x)$ jafnt $2$ og ritum $lim_{x \to - \infty} f (x) = 2 .$

Graf fallsins f(x) 2 + 1/x er sýnt. Fallið byrjar með neikvæð gildi nálægt y = 2 en minnkar síðan og stefnir á −∞ nálægt x = 0. Fallið minnkar síðan frá ∞ nálægt x = 0 og nálgast y = 2 eftir því sem x stækkar. Lárétt lína táknar aðfelluna y = 2. — **Mynd 4.40.** Fallið nálgast aðfelluna $y = 2$ þegar $x$ nálgast $± \infty .$

𝑥 x	1 0 10	1 0 0 100	1 , 0 0 0 1,000	1 0 , 0 0 0 10,000
2 + 1 𝑥 2 + 1/x	2 . 1 2.1	2 . 0 1 2.01	2 . 0 0 1 2.001	2 . 0 0 0 1 2.0001
𝑥 x	− 1 0 −10	− 1 0 0 −100	− 1 0 0 0 −1000	− 1 0 , 0 0 0 −10,000
2 + 1 𝑥 2 + 1/x	1 . 9 1.9	1 . 9 9 1.99	1 . 9 9 9 1.999	1 . 9 9 9 9 1.9999

Almennt segjum við, fyrir sérhvert fall $f,$ að þegar $x \to \infty$ sé markgildi $f (x)$ jafnt $L$ ef $f (x)$ verður eins nálægt $L$ og óskað er þegar $x$ er nægilega stórt. Þá ritum við $lim_{x \to \infty} f (x) = L .$ Á sama hátt segjum við að þegar $x \to − \infty$ sé markgildi $f (x)$ jafnt $L$ ef $f (x)$ verður eins nálægt $L$ og óskað er þegar $x < 0$ og $| x |$ sé nægilega stórt. Þá ritum við $lim_{x \to − \infty} f (x) = L .$ Nú skoðum við skilgreininguna á því að fall hafi markgildi þegar x stefnir á óendanlegt.

Ef gildin $f (x)$ nálgast eitthvert endanlegt gildi $L$ þegar $x \to \infty$ eða $x \to − \infty,$ nálgast graf $f$ línuna $y = L .$ Í því tilviki er línan $y = L$ lárétt aðfella grafs $f$ (mynd 4.41). Til dæmis gildir fyrir fallið $f (x) = \frac{1}{x},$ þar sem $lim_{x \to \infty} f (x) = 0,$ að línan $y = 0$ er lárétt aðfella grafs fallsins $f (x) = \frac{1}{x} .$

Myndinni er skipt í tvær myndir, merktar a og b. Mynd a sýnir fall f(x) sem nálgast lárétta strikalínu merkta L ofan frá án þess að snerta hana. Mynd b sýnir fall f(x) sem nálgast lárétta strikalínu merkta M neðan frá án þess að snerta hana. — **Mynd 4.41.** (a) Þegar 𝑥→∞, $x \to \infty,$ verða gildi 𝑓 $f$ eins nálægt 𝐿. $L .$ og óskað er. Línan 𝑦=𝐿 $y = L$ er lárétt aðfella fallsins 𝑓. $f .$ (b) Þegar 𝑥→−∞, $x \to − \infty,$ verða gildi 𝑓 $f$ eins nálægt 𝑀. $M .$ og óskað er. Línan 𝑦=𝑀 $y = M$ er lárétt aðfella fallsins 𝑓. $f .$

Fall getur ekki farið yfir lóðfellu því grafið verður að stefna á óendanlegt gildi (eða $− \infty)$ úr að minnsta kosti einni átt þegar $x$ nálgast lóðfelluna. Fall getur hins vegar farið yfir lárétta aðfellu. Reyndar getur fall farið yfir lárétta aðfellu ótakmarkað oft. Til dæmis sker fallið $f (x) = \frac{(cos x)}{x} + 1$ sem sýnt er á mynd 4.42 láréttu aðfelluna $y = 1$ óendanlega oft þegar það sveiflast umhverfis aðfelluna með sífellt minnkandi útslagi.

Fallið f(x) = (cos x)/x + 1 er sýnt. Það minnkar frá (0, ∞) og sveiflast síðan umhverfis y = 1 með minnkandi útslagi. — **Mynd 4.42.** Graf fallsins $f (x) = (cos x) / x + 1$ sker láréttu aðfelluna $y = 1$ óendanlega oft.

Algebrulegu markgildisreglurnar og klemmureglan sem við kynntum í Inngangi að markgildum gilda einnig um markgildi þegar breytan stefnir á óendanlegt. Við sýnum hvernig nota má þessar reglur til að reikna nokkur slík markgildi.

Dæmi 4.21

Útreikningur markgilda þegar x stefnir á óendanlegt

Fyrir hvert eftirfarandi fall 𝑓, $f,$ reiknið lim𝑥→∞⁢𝑓⁡(𝑥) $lim_{x \to \infty} f (x)$ og lim𝑥→−∞⁢𝑓⁡(𝑥). $lim_{x \to − \infty} f (x) .$ Ákvarðið láréttu aðfelluna eða aðfellurnar fyrir 𝑓. $f .$

𝑓⁡(𝑥)=5−2𝑥2 $f (x) = 5 - \frac{2}{x^{2}}$
𝑓⁡(𝑥)=sin⁡𝑥𝑥 $f (x) = \frac{sínus x}{x}$
𝑓⁡(𝑥)=tan−1⁢(𝑥) $f (x) = {tan}^{−1} (x)$

Lausn

Með reiknireglum algebru fyrir markgildi fæst $\underset{x \to \infty}{markgildi} (5 - \frac{2}{x^{2}}) = \underset{x \to \infty}{markgildi} 5 - 2 (\underset{x \to \infty}{markgildi} \frac{1}{x}) . (\underset{x \to \infty}{markgildi} \frac{1}{x}) = 5 - 2 \cdot 0 = 5 .$
Á sama hátt fæst $lim_{x \to - \infty} f (x) = 5 .$ Því hefur fallið $f (x) = 5 - \frac{2}{x^{2}}$ láréttu aðfelluna $y = 5$ og $f$ nálgast þessa láréttu aðfellu þegar $x \to ± \infty$ eins og sýnt er á eftirfarandi grafi.

Mynd 4.43 Þetta fall nálgast lárétta aðfellu þegar $x \to ± \infty .$
Þar sem $−1 \leq sínus x \leq 1$ fyrir öll $x,$ fæst

$\frac{−1}{x} \leq \frac{sínus x}{x} \leq \frac{1}{x}$

fyrir öll $x \neq 0 .$ Þar að auki, þar sem

$lim_{x \to \infty} \frac{−1}{x} = 0 = lim_{x \to \infty} \frac{1}{x},$

getum við beitt klemmureglunni og ályktað að

$lim_{x \to \infty} \frac{sin x}{x} = 0 .$

Á sama hátt gildir

$lim_{x \to − \infty} \frac{sin x}{x} = 0 .$

Því hefur $f (x) = \frac{sin x}{x}$ láréttu aðfelluna $y = 0$ og $f (x)$ nálgast þessa láréttu aðfellu þegar $x \to ± \infty$ eins og sýnt er á eftirfarandi grafi.

Mynd 4.44 Þetta fall sker láréttu aðfelluna sína margsinnis.
Til að reikna lim𝑥→∞⁢tan−1⁢(𝑥) $lim_{x \to \infty} {tan}^{−1} (x)$ og lim𝑥→−∞⁢tan−1⁢(𝑥), $lim_{x \to − \infty} {tan}^{−1} (x),$ skoðum við fyrst graf fallsins 𝑦=tan⁡(𝑥) $y = tan (x)$ á bilinu (−𝜋/2,𝜋/2) $(− π / 2, π / 2)$ , eins og sýnt er á eftirfarandi grafi.

Mynd 4.45 Graf fallsins tan⁡𝑥 $tan x$ hefur lóðfellur við 𝑥=±𝜋2 $x = ± \frac{π}{2}$

Þar sem

lim_{x \to {(π / 2)}^{-}} tan x = \infty,

af því leiðir að

lim_{x \to \infty} {tan}^{−1} (x) = \frac{π}{2} .

Á sama hátt, þar sem

lim_{x \to {(–π / 2)}^{+}} tan x = − \infty,

af því leiðir að

lim_{x \to − \infty} {tan}^{−1} (x) = - \frac{π}{2} .

Af því leiðir að $y = \frac{π}{2}$ og $y = - \frac{π}{2}$ eru láréttar aðfellur fallsins $f (x) = {tan}^{−1} (x)$ eins og sýnt er á grafinu hér á eftir.

Fallið f(x) = tan−1 x er sýnt. Það vex frá (−∞, −π/2), fer í gegnum upphafspunkt hnitakerfisins og vex síðan í átt að (∞, π/2). Láréttar strikalínur marka y = ±π/2. — **Mynd 4.46.** Þetta fall hefur tvær láréttar aðfellur.

Óendanleg markgildi þegar x stefnir á óendanlegt

Stundum verða gildi fallsins $f$ ótakmarkað stór þegar $x \to \infty$ (eða þegar $x \to − \infty) .$ Í þessu tilviki ritum við $lim_{x \to \infty} f (x) = \infty$ (eða $lim_{x \to − \infty} f (x) = \infty) .$ Hins vegar, ef gildi $f$ eru neikvæð en algildi þeirra verða ótakmarkað stór þegar $x \to \infty$ (eða þegar $x \to − \infty),$ ritum við $lim_{x \to \infty} f (x) = − \infty$ (eða $lim_{x \to − \infty} f (x) = − \infty) .$

Lítum til dæmis á fallið $f (x) = x^{3} .$ Eins og sést í töflu 4.3 og á mynd 4.47, gildir þegar $x \to \infty$ að gildin $f (x)$ verða ótakmarkað stór. Því er $lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty .$ Þegar $x \to − \infty,$ eru gildi $f (x) = x^{3}$ hins vegar neikvæð en verða ótakmarkað stór að algildi. Þar af leiðandi er $lim_{x \to − \infty} x^{3} = − \infty .$

𝑥 x	1 0 10	2 0 20	5 0 50	1 0 0 100	1 0 0 0 1000
𝑥 3 x 3	1 0 0 0 1000	8 0 0 0 8000	1 2 5 , 0 0 0 125,000	1 , 0 0 0 , 0 0 0 1,000,000	1 , 0 0 0 , 0 0 0 , 0 0 0 1,000,000,000
𝑥 x	− 1 0 −10	− 2 0 −20	− 5 0 −50	− 1 0 0 −100	− 1 0 0 0 −1000
𝑥 3 x 3	− 1 0 0 0 −1000	− 8 0 0 0 −8000	− 1 2 5 , 0 0 0 −125,000	− 1 , 0 0 0 , 0 0 0 −1,000,000	− 1 , 0 0 0 , 0 0 0 , 0 0 0 −1,000,000,000

Graf fallsins f(x) = x3 er sýnt. Ljóst er að fallið vex hratt án takmarka þegar x stefnir á óendanlegt. — **Mynd 4.47.** Fyrir þetta fall verða fallgildin ótakmörkuð þegar $x \to ± \infty .$

Formlegar skilgreiningar

Áður notuðum við orðasamböndin eins nálægt og óskað er, eins stórt og óskað er, og nægilega stórt til að skilgreina óformlega markgildi þegar breytan stefnir á óendanlegt. Þótt þessi orðasambönd lýsi slíkum markgildum rétt eru þau ekki stærðfræðilega nákvæm. Hér eru formlegri skilgreiningar á markgildum þegar breytan stefnir á óendanlegt. Síðan skoðum við hvernig nota má þessar skilgreiningar til að sanna niðurstöður sem varða slík markgildi.

Graf fallsins f(x) er sýnt ásamt láréttri aðfellu þess, y = L. Á y-ásnum eru L, L + ε og L − ε merkt. Á x-ásnum er N merkt við það x-gildi þar sem f(x) = L + ε. — **Mynd 4.48.** Ef fall hefur markgildi þegar x stefnir á óendanlegt og $x > N,$ þá gildir $| f (x) - L | < ε .$

Fyrr í þessum undirkafla notuðum við myndrænar vísbendingar á mynd 4.40 og tölulegar vísbendingar í töflu 4.2 til að álykta að $lim_{x \to \infty} (2 + \frac{1}{x}) = 2 .$ Hér notum við formlega skilgreiningu á markgildi þegar x stefnir á óendanlegt til að sanna þessa niðurstöðu með ströngum stærðfræðilegum rökum.

Dæmi 4.22

Dæmi um endanlegt markgildi þegar x stefnir á óendanlegt

Notið formlega skilgreiningu á markgildi þegar x stefnir á óendanlegt til að sanna að $lim_{x \to \infty} (2 + \frac{1}{x}) = 2 .$

Lausn

Látum 𝜀>0. $ε > 0 .$ Látum 𝑁=1𝜀. $N = \frac{1}{ε} .$ Því gildir fyrir öll 𝑥>𝑁, $x > N,$ að

| 2 + \frac{1}{x} - 2 | = | \frac{1}{x} | = \frac{1}{x} < \frac{1}{N} = ε .

Nú beinum við sjónum okkar að nákvæmari skilgreiningu á óendanlegu markgildi þegar x stefnir á óendanlegt.

Graf fallsins f(x) er sýnt. Fallið heldur áfram að vaxa hratt eftir x = N, og f(N) = M. — **Mynd 4.49.** Ef fall hefur óendanlegt markgildi þegar x stefnir á óendanlegt og $x > N,$ þá gildir $f (x) > M .$

Áður notuðum við myndrænar vísbendingar (mynd 4.47) og tölulegar vísbendingar (tafla 4.3) til að álykta að $lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty .$ Hér notum við formlegu skilgreininguna á óendanlegu markgildi þegar x stefnir á óendanlegt til að sanna þessa niðurstöðu.

Dæmi 4.23

Óendanlegt markgildi þegar x stefnir á óendanlegt

Notið formlegu skilgreininguna á óendanlegu markgildi þegar x stefnir á óendanlegt til að sanna að $lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty .$

Lausn

Látum 𝑀>0. $M > 0 .$ Látum 𝑁=3√𝑀. $N = \sqrt[3]{M} .$ Þá gildir fyrir öll 𝑥>𝑁, $x > N,$ að

x^{3} > N^{3} = {(\sqrt[3]{M})}^{3} = M .

Því er $lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty .$

Endahegðun

Hegðun falls þegar $x \to ± \infty$ nefnist endahegðun fallsins. Við hvorn enda fallsins getur það sýnt eina af eftirfarandi gerðum hegðunar:

Fallið $f (x)$ nálgast lárétta aðfellu $y = L .$
Fyrir fallið gildir 𝑓⁡(𝑥)→∞ $f (x) \to \infty$ eða 𝑓⁡(𝑥)→−∞. $f (x) \to − \infty .$
Fallið stefnir hvorki á endanlegt markgildi né á $\infty$ eða $− \infty .$ Í þessu tilviki getur fallið sýnt sveifluhegðun.

Við skulum hér skoða nokkra flokka falla og kanna mismunandi hegðun þeirra í óendanleikanum.

Endahegðun margliðufalla

Skoðum veldisfallið $f (x) = x^{n}$ þar sem $n$ er jákvæð heiltala. Á myndum 4.50 og 4.51 sjáum við að

lim_{x \to \infty} x^{n} = \infty; n = 1, 2, 3,…

lim_{x \to − \infty} x^{n} = {\begin{matrix} \infty; n = 2, 4, 6,… \\ − \infty; n = 1, 3, 5,… \end{matrix} .

Föllin x2, x4 og x6 eru sýnd á grafi og greinilegt er að eftir því sem veldisvísirinn stækkar vaxa föllin hraðar. — **Mynd 4.50.** Ef veldisfall hefur veldisvísi $n,$ sem er slétt tala, gildir $lim_{x \to \infty} x^{n} = \infty = lim_{x \to − \infty} x^{n} .$

Föllin x, x3 og x5 eru sýnd á grafi og greinilegt er að eftir því sem veldisvísirinn stækkar vaxa föllin hraðar. — **Mynd 4.51.** Ef veldisfall hefur veldisvísi $n,$ sem er oddatala, gildir $lim_{x \to \infty} x^{n} = \infty$ og $lim_{x \to − \infty} x^{n} = − \infty .$

Með hliðsjón af þessum staðreyndum er ekki erfitt að reikna $lim_{x \to \infty} c x^{n}$ og $lim_{x \to − \infty} c x^{n},$ þar sem $c$ er ótiltekinn fasti og $n$ er jákvæð heiltala. Ef $c > 0,$ er graf $y = c x^{n}$ fengið með lóðréttri teygingu eða þjöppun á grafi $y = x^{n},$ og því

lim_{x \to \infty} c x^{n} = lim_{x \to \infty} x^{n} og lim_{x \to − \infty} c x^{n} = lim_{x \to − \infty} x^{n} if c > 0 .

Ef $c < 0,$ er graf $y = c x^{n}$ lóðrétt teygt eða þjappað og jafnframt speglað um $x$ -ásinn og því

lim_{x \to \infty} c x^{n} = − lim_{x \to \infty} x^{n} og lim_{x \to − \infty} c x^{n} = − lim_{x \to − \infty} x^{n} if c < 0 .

Ef $c = 0, y = c x^{n} = 0,$ og í því tilviki er $lim_{x \to \infty} c x^{n} = 0 = lim_{x \to − \infty} c x^{n} .$

Dæmi 4.24

Markgildi þegar x stefnir á óendanlegt fyrir veldisföll

Fyrir hvert fall $f,$ reiknið $lim_{x \to \infty} f (x)$ og $lim_{x \to − \infty} f (x) .$

𝑓⁡(𝑥)=−5⁢𝑥3 $f (x) = −5 x^{3}$
𝑓⁡(𝑥)=2⁢𝑥4 $f (x) = 2 x^{4}$

Lausn

Þar sem stuðullinn við 𝑥3 $x^{3}$ er −5, $−5,$ fæst graf fallsins 𝑓⁡(𝑥)=−5⁢𝑥3 $f (x) = −5 x^{3}$ með því að teygja graf fallsins 𝑦=𝑥3 $y = x^{3}$ lóðrétt og spegla það um 𝑥 $x$ -ásinn. Því er lim𝑥→∞⁢(−5⁢𝑥3)=−∞ $lim_{x \to \infty} (−5 x^{3}) = − \infty$ og lim𝑥→−∞⁢(−5⁢𝑥3)=∞. $lim_{x \to − \infty} (−5 x^{3}) = \infty .$
Þar sem stuðullinn við 𝑥4 $x^{4}$ er 2, $2,$ fæst graf fallsins 𝑓⁡(𝑥)=2⁢𝑥4 $f (x) = 2 x^{4}$ með því að teygja graf fallsins 𝑦=𝑥4. $y = x^{4} .$ lóðrétt. Því er lim𝑥→∞⁢2⁢𝑥4=∞ $lim_{x \to \infty} 2 x^{4} = \infty$ og lim𝑥→−∞⁢2⁢𝑥4=∞. $lim_{x \to − \infty} 2 x^{4} = \infty .$

Við skoðum nú hvernig nota má markgildi veldisfalla í óendanleika til að ákvarða $lim_{x \to ± \infty} f (x)$ fyrir sérhvert margliðufall $f .$ Skoðum margliðufall

f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + … + a_{1} x + a_{0}

af stigi $n \geq 1$ þannig að $a_{n} \neq 0 .$ Með þáttun sjáum við að

f (x) = a_{n} x^{n} (1 + \frac{a_{n - 1}}{a_{n}} \frac{1}{x} + … + \frac{a_{1}}{a_{n}} \frac{1}{x^{n - 1}} + \frac{a_{0}}{a_{n}} \frac{1}{x^{n}}) .

Þegar $x \to ± \infty,$ nálgast allir liðirnir innan sviganna núll nema fyrsti liðurinn. Við ályktum að

lim_{x \to ± \infty} f (x) = lim_{x \to ± \infty} a_{n} x^{n} .

Til dæmis er hegðun fallsins $f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{2} + 4$ svipuð hegðun fallsins $g (x) = 5 x^{3}$ þegar $x \to ± \infty$ , eins og sýnt er á mynd 4.52 og í töflu 4.4.

Gröf beggja fallanna f(x) = 5x3 – 3x2 + 4 og g(x) = 5x3 eru teiknuð. Hegðun þeirra verður æ líkari fyrir stórar jákvæðar og stórar neikvæðar tölur. — **Mynd 4.52.** Endahegðun margliðu ákvarðast af hegðun liðarins með hæsta veldisvísinum.

𝑥 x	1 0 10	1 0 0 100	1 0 0 0 1000
𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = 5 ⁢ 𝑥 3 − 3 ⁢ 𝑥 2 + 4 f ⁡ ( x ) = 5 ⁢ x 3 − 3 ⁢ x 2 + 4	4 7 0 4 4704	4 , 9 7 0 , 0 0 4 4,970,004	4 , 9 9 7 , 0 0 0 , 0 0 4 4,997,000,004
𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) = 5 ⁢ 𝑥 3 g ⁡ ( x ) = 5 ⁢ x 3	5 0 0 0 5000	5 , 0 0 0 , 0 0 0 5,000,000	5 , 0 0 0 , 0 0 0 , 0 0 0 5,000,000,000
𝑥 x	− 1 0 −10	− 1 0 0 −100	− 1 0 0 0 −1000
𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = 5 ⁢ 𝑥 3 − 3 ⁢ 𝑥 2 + 4 f ⁡ ( x ) = 5 ⁢ x 3 − 3 ⁢ x 2 + 4	− 5 2 9 6 −5296	− 5 , 0 2 9 , 9 9 6 −5,029,996	− 5 , 0 0 2 , 9 9 9 , 9 9 6 −5,002,999,996
𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) = 5 ⁢ 𝑥 3 g ⁡ ( x ) = 5 ⁢ x 3	− 5 0 0 0 −5000	− 5 , 0 0 0 , 0 0 0 −5,000,000	− 5 , 0 0 0 , 0 0 0 , 0 0 0 −5,000,000,000

Hegðun algebrufalla við óendanleikann

Endahegðun ræðra falla og falla sem fela í sér rætur er nokkru flóknari en endahegðun margliðufalla. Í dæmi 4.25 sýnum við að markgildi ræðs falls $f (x) = \frac{p (x)}{q (x)}$ í óendanleika ráðast af sambandinu milli stigs teljarans og stigs nefnarans. Til að reikna markgildi ræðs falls í óendanleika deilum við teljaranum og nefnaranum með hæsta veldi $x$ sem kemur fyrir í nefnaranum. Þannig kemur í ljós hvaða liður í stæðunni ræður hegðun fallsins fyrir stór algildi $x .$

Dæmi 4.25

Ákvörðun á hegðun ræðra falla í óendanleika

Ákvarðið fyrir hvert eftirfarandi fall markgildin þegar 𝑥→∞ $x \to \infty$ og 𝑥→−∞. $x \to − \infty .$ Notið síðan þessar upplýsingar til að lýsa endahegðun fallsins.

$f (x) = \frac{3 x - 1}{2 x + 5}$ (Athugið: Teljari og nefnari eru af sama stigi.)
$f (x) = \frac{3 x^{2} + 2 x}{4 x^{3} - 5 x + 7}$ (Athugið: Stig teljarans er lægra en stig nefnarans.)
$f (x) = \frac{3 x^{2} + 4 x}{x + 2}$ (Athugið: Stig teljarans er hærra en stig nefnarans.)

Lausn

Hæsta veldi 𝑥 $x$ í nefnaranum er 𝑥. $x .$ Með því að deila teljaranum og nefnaranum með 𝑥 $x$ og beita reiknireglum algebrunnar um markgildi sjáum við að

lim𝑥→±∞⁢3⁢𝑥−12⁢𝑥+5=lim𝑥→±∞⁢3−1/𝑥2+5/𝑥=lim𝑥→±∞⁢(3−1/𝑥)lim𝑥→±∞⁢(2+5/𝑥)=lim𝑥→±∞⁢3−lim𝑥→±∞⁢1/𝑥lim𝑥→±∞⁢2+lim𝑥→±∞⁢5/𝑥=3−02+0=32. $\begin{matrix} lim_{x \to ± \infty} \frac{3 x - 1}{2 x + 5} & = lim_{x \to ± \infty} \frac{3 - 1 / x}{2 + 5 / x} \\ = \frac{lim_{x \to ± \infty} (3 - 1 / x)}{lim_{x \to ± \infty} (2 + 5 / x)} \\ = \frac{lim_{x \to ± \infty} 3 - lim_{x \to ± \infty} 1 / x}{lim_{x \to ± \infty} 2 + lim_{x \to ± \infty} 5 / x} \\ = \frac{3 - 0}{2 + 0} = \frac{3}{2} . \end{matrix}$

Þar sem lim𝑥→±∞⁢𝑓⁡(𝑥)=32, $lim_{x \to ± \infty} f (x) = \frac{3}{2},$ vitum við að 𝑦=32 $y = \frac{3}{2}$ er lárétt aðfella fallsins, eins og sýnt er á eftirfarandi grafi.

Mynd 4.53 Graf þessa ræðafalls nálgast lárétta aðfellu þegar 𝑥→±∞. $x \to ± \infty .$
Þar sem hæsta veldi 𝑥 $x$ sem kemur fyrir í nefnaranum er 𝑥3, $x^{3},$ deilum við teljaranum og nefnaranum með 𝑥3. $x^{3} .$ Að því loknu beitum við reiknireglum algebrunnar um markgildi og fáum

lim𝑥→±∞⁢3⁢𝑥2+2⁢𝑥4⁢𝑥3−5⁢𝑥+7=lim𝑥→±∞⁢3/𝑥+2/𝑥24−5/𝑥2+7/𝑥3=3⁢(0)+2⁢(0)₄−5⁢(0)+7⁢(0)=0. $lim_{x \to ± \infty} \frac{3 x^{2} + 2 x}{4 x^{3} - 5 x + 7} = lim_{x \to ± \infty} \frac{3 / x + 2 / x^{2}}{4 - 5 / x^{2} + 7 / x^{3}} = \frac{3 (0) + 2 (0)}{4 - 5 (0) + 7 (0)} = 0 .$

Því he 𝑓 $f$ ur f lárétta aðfellu 𝑦=0 $y = 0$ eins og sýnt er á eftirfarandi grafi.

Mynd 4.54 Graf þessa ræðafalls nálgast láréttu aðfelluna 𝑦=0 $y = 0$ þegar 𝑥→±∞. $x \to ± \infty .$
Með því að deila teljaranum og nefnaranum með $x,$ fæst

$lim_{x \to ± \infty} \frac{3 x^{2} + 4 x}{x + 2} = lim_{x \to ± \infty} \frac{3 x + 4}{1 + 2 / x} .$

Þegar $x \to ± \infty,$ stefnir nefnarinn á $1 .$ Þegar $x \to \infty,$ stefnir teljarinn á $+ \infty .$ Þegar $x \to − \infty,$ stefnir teljarinn á $− \infty .$ Því er $lim_{x \to \infty} f (x) = \infty,$ en $lim_{x \to − \infty} f (x) = − \infty$ eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Mynd 4.55 Þegar $x \to \infty,$ gildir $f (x) \to \infty .$ Þegar $x \to − \infty,$ gildir $f (x) \to − \infty .$

Áður en lengra er haldið skulum við skoða graf fallsins $f (x) = \frac{(3 x^{2} + 4 x)}{(x + 2)}$ sem sýnt er á mynd 4.56. Þegar $x \to \infty$ og $x \to − \infty,$ virðist graf fallsins $f$ nánast línulegt. Þótt $f$ sé vissulega ekki línulegt fall könnum við nú hvers vegna graf fallsins $f$ virðist nálgast línulegt fall. Fyrst getum við með langdeilingu margliða ritað

f (x) = \frac{3 x^{2} + 4 x}{x + 2} = 3 x - 2 + \frac{4}{x + 2} .

Þar sem $\frac{4}{(x + 2)} \to 0$ þegar $x \to ± \infty,$ ályktum við að

lim_{x \to ± \infty} (f (x) - (3 x - 2)) = lim_{x \to ± \infty} \frac{4}{x + 2} = 0 .

Því nálgast graf $f$ línuna $y = 3 x - 2$ þegar $x \to ± \infty .$ Þessi lína nefnist skáfella fyrir $f$ (Mynd 4.56).

Graf fallsins f(x) = (3x2 + 4x)/(x + 2) er teiknað ásamt skáfellunni y = 3x – 2. — **Mynd 4.56.** Graf ræðfallsins $f (x) = (3 x^{2} + 4 x) / (x + 2)$ nálgast skáfelluna $y = 3 x - 2 þegar x \to ± \infty .$

Við getum tekið saman niðurstöður dæmis 4.25 og dregið af þeim eftirfarandi ályktun um hegðun ræðra falla í endum. Lítum á rætt fall

f (x) = \frac{p (x)}{q (x)} = \frac{a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + … + a_{1} x + a_{0}}{b_{m} x^{m} + b_{m - 1} x^{m - 1} + … + b_{1} x + b_{0}},

þar sem $a_{n} \neq 0 og b_{m} \neq 0 .$

Ef stig teljarans er hið sama og stig nefnarans (𝑛=𝑚), $(n = m),$ þá he 𝑓 $f$ ur f láréttu aðfelluna 𝑦=𝑎𝑛/𝑏𝑚 $y = a_{n} / b_{m}$ þegar 𝑥→±∞. $x \to ± \infty .$
Ef stig teljarans er lægra en stig nefnarans (𝑛<𝑚), $(n < m),$ þá he 𝑓 $f$ ur f láréttu aðfelluna 𝑦=0 $y = 0$ þegar 𝑥→±∞. $x \to ± \infty .$
Ef stig teljarans er hærra en stig nefnarans (𝑛>𝑚), $(n > m),$ þá he 𝑓 $f$ ur f enga lárétta aðfellu. Hvort markgildi um sig, þegar x stefnir á óendanlegt, er annaðhvort jákvæður eða neikvæður óendanleiki, eftir formerkjum forystuliðanna. Með langri deilingu má auk þess umrita fallið sem

𝑓⁡(𝑥)=𝑝⁡(𝑥)𝑞⁡(𝑥)=𝑔⁡(𝑥)+𝑟⁡(𝑥)𝑞⁡(𝑥), $f (x) = \frac{p (x)}{q (x)} = g (x) + \frac{r (x)}{q (x)},$

þar sem stig 𝑟⁡(𝑥) $r (x)$ er lægra en stig 𝑞⁡(𝑥). $q (x) .$ Þar af leiðandi gildir lim𝑥→±∞⁢𝑟⁡(𝑥)/𝑞⁡(𝑥)=0. $lim_{x \to ± \infty} r (x) / q (x) = 0 .$ Gildi [𝑓⁡(𝑥)−𝑔⁡(𝑥)] $[f (x) - g (x)]$ nálgast því núll þegar 𝑥→±∞. $x \to ± \infty .$ Ef stig 𝑝⁡(𝑥) $p (x)$ er nákvæmlega einu hærra en stig 𝑞⁡(𝑥) $q (x)$ (𝑛=𝑚+1), $(n = m + 1),$ er fallið 𝑔⁡(𝑥) $g (x)$ línulegt fall. Í þessu tilviki köllum við 𝑔⁡(𝑥) $g (x)$ skáfellu. Skoðum nú
hegðun falla sem fela í sér rót þegar breytan stefnir á óendanlegt.
$f (x) = \frac{p (x)}{q (x)} = g (x) + \frac{r (x)}{q (x)},$

Dæmi 4.26

Ákvörðun á hegðun falls sem inniheldur rót þegar breytan stefnir á óendanlegt

Finnið markgildin þegar $x \to \infty$ og $x \to − \infty$ fyrir $f (x) = \frac{3 x - 2}{\sqrt{4 x^{2} + 5}}$ og lýsið endahegðun fallsins $f .$

Lausn

Notum sömu aðferð og við notuðum fyrir ræð föll: deilum teljara og nefnara með veldi af 𝑥. $x .$ Til að ákvarða viðeigandi veldi af 𝑥, $x,$ skoðum stæðuna √4⁢𝑥2+5 $\sqrt{4 x^{2} + 5}$ í nefnaranum. Þar sem

\sqrt{4 x^{2} + 5} \approx \sqrt{4 x^{2}} = 2 | x |

fyrir stór gildi 𝑥 $x$ kemur 𝑥 $x$ í raun aðeins fyrir í fyrsta veldi í nefnaranum. Því deilum við bæði teljarann og nefnarann með |𝑥|. $| x | .$ Síðan notum við þá staðreynd að |𝑥|=𝑥 $| x | = x$ fyrir 𝑥>0, $x > 0,$ |𝑥|=−𝑥 $| x | = − x$ fyrir 𝑥<0, $x < 0,$ og |𝑥|=√𝑥2 $| x | = \sqrt{x^{2}}$ fyrir öll 𝑥, $x,$ og reiknum markgildin á eftirfarandi hátt:

\begin{matrix} lim_{x \to \infty} \frac{3 x - 2}{\sqrt{4 x^{2} + 5}} & = & lim_{x \to \infty} \frac{(1 / | x |) (3 x - 2)}{(1 / | x |) \sqrt{4 x^{2} + 5}} \\ = & lim_{x \to \infty} \frac{(1 / x) (3 x - 2)}{\sqrt{(1 / x^{2}) (4 x^{2} + 5)}} \\ = & lim_{x \to \infty} \frac{3 - 2 / x}{\sqrt{4 + 5 / x^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2} \\ lim_{x \to − \infty} \frac{3 x - 2}{\sqrt{4 x^{2} + 5}} & = & lim_{x \to − \infty} \frac{(1 / | x |) (3 x - 2)}{(1 / | x |) \sqrt{4 x^{2} + 5}} \\ = & lim_{x \to − \infty} \frac{(−1 / x) (3 x - 2)}{\sqrt{(1 / x^{2}) (4 x^{2} + 5)}} \\ = & lim_{x \to − \infty} \frac{−3 + 2 / x}{\sqrt{4 + 5 / x^{2}}} = \frac{−3}{\sqrt{4}} = \frac{−3}{2} . \end{matrix}

Þar af leiðandi nálgast 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ láréttu aðfelluna 𝑦=32 $y = \frac{3}{2}$ þegar 𝑥→∞ $x \to \infty$ og láréttu aðfelluna 𝑦=−32 $y = - \frac{3}{2}$ þegar 𝑥→−∞ $x \to − \infty$ , eins og sýnt er á eftirfarandi grafi.

Graf fallsins f(x) = (3x − 2)/√(4x² + 5) er teiknað. Fallið hefur tvær láréttar aðfellur, y = ±3/2, og graf þess sker y = −3/2 áður en það nálgast aðfelluna neðan frá. — **Mynd 4.57.** Þetta fall hefur tvær láréttar aðfellur og graf þess sker aðra þeirra.

Ákvörðun á hegðun torræðra falla þegar breytan stefnir á óendanlegt

Grunnhornaföllin sex eru lotubundin og nálgast ekki endanlegt markgildi þegar $x \to ± \infty .$ Til dæmis sveiflast $sin x$ á milli $1 og −1$ (mynd 4.58). Tangensfallið með breytunni $x$ hefur óendanlega margar lóðfellur þegar $x \to ± \infty;$ nálgast því hvorki endanlegt markgildi né $± \infty$ þegar $x \to ± \infty$ , eins og sýnt er á mynd 4.59.

Graf fallsins f(x) = sin x er teiknað. — **Mynd 4.58.** Fallið $f (x) = sin x$ sveiflast á milli $1 og −1$ þegar $x \to ± \infty$

Graf fallsins f(x) = tan x er teiknað. — **Mynd 4.59.** Fallið $f (x) = tan x$ nálgast ekki markgildi og nálgast ekki $± \infty$ þegar $x \to ± \infty$

Minnumst þess að fyrir sérhverja grunntölu $b > 0, b \neq 1,$ er fallið $y = b^{x}$ vísisfall með skilgreiningarmengið $(− \infty, \infty)$ og myndmengið $(0, \infty) .$ Ef $b > 1, y = b^{x}$ er vaxandi á $` (− \infty, \infty) .$ Ef $0 < b < 1,$ $y = b^{x}$ er minnkandi á $(− \infty, \infty) .$ Fyrir náttúrulega vísisfallið $f (x) = e^{x},$ þar sem $e \approx 2.718 > 1 .$ Því er $f (x) = e^{x}$ vaxandi á $` (− \infty, \infty)$ og hefur myndmengið $` (0, \infty) .$ Vísisfallið $f (x) = e^{x}$ stefnir á $\infty$ þegar $x \to \infty$ og stefnir á $0$ þegar $x \to − \infty$ , eins og sýnt er í töflu 4.5 og á mynd 4.60.

𝑥 x	− 5 −5	− 2 −2	0 0	2 2	5 5
𝑒 𝑥 e x	0 . 0 0 6 7 4 0.00674	0 . 1 3 5 0.135	1 1	7 . 3 8 9 7.389	1 4 8 . 4 1 3 148.413

Graf fallsins f(x) = ex er sýnt. — **Mynd 4.60.** Vísisfallið stefnir á núll þegar $x \to − \infty$ og stefnir á $\infty$ þegar $x \to \infty .$

Rifjum upp að náttúrulega lografallið $f (x) = ln (x)$ er andhverfa náttúrulega vísisfallsins $y = e^{x} .$ Því er skilgreiningarmengi $f (x) = ln (x)$ jafnt $(0, \infty)$ og myndmengið er $(− \infty, \infty) .$ Graf $f (x) = ln (x)$ er spegilmynd grafs $y = e^{x}$ um línuna $y = x .$ Þar af leiðandi gildir $ln (x) \to − \infty$ þegar $x \to 0^{+}$ og $ln (x) \to \infty$ þegar $x \to \infty$ , eins og sýnt er á mynd 4.61 og í töflu 4.6.

𝑥 x	0 . 0 1 0.01	0 . 1 0.1	1 1	1 0 10	1 0 0 100
l n ⁡ ( 𝑥 ) ln ⁡ ( x )	− 4 . 6 0 5 −4.605	− 2 . 3 0 3 −2.303	0 0	2 . 3 0 3 2.303	4 . 6 0 5 4.605

Graf fallsins f(x) = ln(x) er sýnt. — **Mynd 4.61.** Náttúrulega lografallið nálgast ∞ $\infty$ þegar 𝑥→∞. $x \to \infty .$

Dæmi 4.27

Ákvörðun á hegðun torræðs falls þegar breytan stefnir á óendanlegt

Finnið markgildin þegar $x \to \infty$ og $x \to − \infty$ fyrir $f (x) = \frac{(2 + 3 e^{x})}{(7 - 5 e^{x})}$ og lýsið endahegðun $f .$

Lausn

Til að finna markgildið þegar 𝑥→∞, $x \to \infty,$ deilum við teljara og nefnara með 𝑒𝑥: $e^{x} :$

\begin{matrix} lim_{x \to \infty} f (x) & = lim_{x \to \infty} \frac{2 + 3 e^{x}}{7 - 5 e^{x}} \\ = lim_{x \to \infty} \frac{(2 / e^{x}) + 3}{(7 / e^{x}) - 5} . \end{matrix}

Á mynd 4.60 sést að $e^{x} \to \infty$ þegar $x \to \infty .$ Því gildir

lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^{x}} = 0 = lim_{x \to \infty} \frac{7}{e^{x}} .

Við ályktum að $lim_{x \to \infty} f (x) = - \frac{3}{5},$ og graf $f$ nálgist láréttu aðfelluna $y = - \frac{3}{5}$ þegar $x \to \infty .$ Til að finna markgildið þegar $x \to − \infty,$ notum við þá staðreynd að $e^{x} \to 0$ þegar $x \to − \infty$ og ályktum að $lim_{x \to \infty} f (x) = \frac{2}{7},$ og því nálgast graf f láréttu aðfelluna $y = \frac{2}{7}$ þegar $x \to − \infty .$

Leiðbeiningar um teikningu grafs falls

Við höfum nú yfir að ráða nægilegum greiningaraðferðum til að teikna gröf margs konar algebrufalla og torræðra falla. Áður en við sýnum hvernig teikna má gröf tiltekinna falla skulum við skoða almenna aðferð sem beita má við teikningu grafs hvaða falls sem er.

Aðferð við lausn verkefna

Teiknun grafs falls

Þegar fall, táknað með $f,$ er gefið skal nota eftirfarandi skref til að skissa graf $f :$

Ákvarðið skilgreiningarmengi fallsins.
Finnið skurðpunktana við $x$ - og $y$ -ásana.
Reiknið $lim_{x \to \infty} f (x)$ og $lim_{x \to − \infty} f (x)$ til að ákvarða hegðun fallsins þegar breytan stefnir á óendanlegt. Ef annað þessara markgilda er endanleg tala $L,$ þá er $y = L$ lárétt aðfella. Ef annað þessara markgilda er $\infty$ eða $− \infty,$ skal ákvarða hvort $f$ hafi skáfellu. Ef $f$ er rætt fall þannig að $f (x) = \frac{p (x)}{q (x)},$ þar sem stig teljarans er hærra en stig nefnarans, þá má rita $f$ sem

$f (x) = \frac{p (x)}{q (x)} = g (x) + \frac{r (x)}{q (x)},$

þar sem stig $r (x)$ er lægra en stig $q (x) .$ Gildi $f (x)$ nálgast gildi $g (x)$ þegar $x \to ± \infty .$ Ef $g (x)$ er línulegt fall kallast það skáfella.
Ákvarðið hvort $f$ hafi einhverjar lóðfellur.
Reiknið $f^{'} .$ Finnið alla stöðupunkta og ákvarðið bilin þar sem $f$ er vaxandi og þar sem $f$ er minnkandi. Ákvarðið hvort $f$ hafi einhver staðbundin útgildi.
Reiknið $f^{″} .$ Ákvarðið bilin þar sem $f$ er kúpt og bilin þar sem $f$ er hvelft. Notið þessar upplýsingar til að ákvarða hvort $f$ hafi einhverja beygjuskilapunkta. Einnig má nota aðra afleiðuna til að ákvarða eða staðfesta að $f$ hafi staðbundið útgildi í stöðupunkti.

Nú skulum við nota þessa aðferð til að teikna gröf nokkurra ólíkra falla. Við byrjum á því að teikna graf margliðufalls.

Dæmi 4.28

Að teikna graf margliðu

Teiknið graf fallsins 𝑓⁡(𝑥)=(𝑥−1)₂⁢(𝑥+2). $f (x) = {(x - 1)}^{2} (x + 2) .$

Lausn

Þar sem $f$ er margliða er skilgreiningarmengið mengi allra rauntalna.
Við fáum $x = 0, f (x) = 2 .$ Því er $y$ -skurðpunkturinn $(0, 2) .$ Til að finna $x$ -skurðpunktana þurfum við að leysa jöfnuna ${(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0,$ sem gefur okkur $x$ -skurðpunktana $(1, 0)$ og $(−2, 0)$
Við þurfum að meta endahegðun 𝑓. $f .$ Þegar 𝑥→∞, $x \to \infty,$ (𝑥−1)₂→∞ ${(x - 1)}^{2} \to \infty$ og (𝑥+2)→∞. $(x + 2) \to \infty .$ Því er lim𝑥→∞⁢𝑓⁡(𝑥)=∞. $lim_{x \to \infty} f (x) = \infty .$ Þegar 𝑥→−∞, $x \to − \infty,$ (𝑥−1)₂→∞ ${(x - 1)}^{2} \to \infty$ og (𝑥+2)→−∞. $(x + 2) \to − \infty .$ Því er lim𝑥→−∞⁢𝑓⁡(𝑥)=−∞. $lim_{x \to − \infty} f (x) = − \infty .$ Til að 𝑓, $f,$ á enn frekari upplýsingar um endahegðun f getum við margfaldað saman þætti 𝑓. $f .$ Þegar það er gert sjáum við að

f (x) = {(x - 1)}^{2} (x + 2) = x^{3} - 3 x + 2 .

Þar sem forystuliður $f$ er $x^{3},$ ályktum við að $f$ hegði sér eins og $y = x^{3}$ þegar $x \to ± \infty .$

Skref 4. Þar sem $f$ er margliðufall hefur það engar lóðfellur.

Skre 𝑓 $f$ 5. Fyrsta afleiða f er

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 .

Því he 𝑓 $f$ ur f tvo stöðupunkta: 𝑥=1,−1. $x = 1, −1 .$ Skiptið bilinu (−∞,∞) $(− \infty, \infty)$ í þrjú minni bil: (−∞,−1), $(− \infty, −1),$ (−1,1), $(−1, 1),$ og (1,∞). $(1, \infty) .$ Veljið síðan prófunarpunktana 𝑥=−2, $x = −2,$ 𝑥=0, $x = 0,$ og 𝑥=2 $x = 2$ úr þessum bilum og ákvarðið formerki 𝑓′⁡(𝑥) $f^{'} (x)$ í hverjum þessara prófunarpunkta, eins og sýnt er í eftirfarandi töflu.

Bil	Prófunarpunktur	Formerki afleiðu f ′ ( x ) = 3 ⁢ x² − 3 = 3 ⁢ ( x − 1 ) ⁢ ( x + 1 )	Niðurstaða
( − ∞ , − 1 ) ( − ∞ , −1 )	𝑥 = − 2 x = −2	( + ) ⁢ ( − ) ⁢ ( − ) = + ( + ) ⁢ ( − ) ⁢ ( − ) = +	f er vaxandi.
( − 1 , 1 ) ( −1 , 1 )	𝑥 = 0 x = 0	( + ) ⁢ ( − ) ⁢ ( + ) = − ( + ) ⁢ ( − ) ⁢ ( + ) = −	f er minnkandi.
( 1 , ∞ ) ( 1 , ∞ )	𝑥 = 2 x = 2	( + ) ⁢ ( + ) ⁢ ( + ) = + ( + ) ⁢ ( + ) ⁢ ( + ) = +	f er vaxandi.

Af töflunni sjáum við að $f$ hefur staðbundið hágildi í $x = −1$ og staðbundið lággildi í $x = 1 .$ Með því að reikna gildi $f (x)$ í þessum tveimur punktum komumst við að því að staðbundna hágildið er $f (−1) = 4$ og staðbundna lággildið er $f (1) = 0 .$

Skref 6. Önnur afleiða $f$ er

f^{″} (x) = 6 x .

Önnur afleiðan er núll í 𝑥=0. $x = 0 .$ Til að ákvarða kúpni 𝑓, $f,$ þarf því að skipta bilinu (−∞,∞) $(− \infty, \infty)$ í minni bilin (−∞,0) $(− \infty, 0)$ og (0,∞), $(0, \infty),$ og velja prófunarpunkta 𝑥=−1 $x = −1$ og 𝑥=1 $x = 1$ til að ákvarða kúpni 𝑓 $f$ á hverju þessara minni bila, eins og sýnt er í eftirfarandi töflu.

Bil	Prófunarpunktur	Formerki 𝑓 ″ ⁡ ( 𝑥 ) = 6 ⁢ 𝑥 f ″ ⁡ ( x ) = 6 ⁢ x	Niðurstaða
( − ∞ , 0 )	𝑥 = − 1 x = −1	− −	f er hvelft.
( 0 , ∞ ) ( 0 , ∞ )	𝑥 = 1 x = 1	+ +	f er kúpt.

Við tökum eftir að upplýsingarnar í töflunni hér á undan staðfesta þá niðurstöðu úr skrefi $5,$ að $f$ hefur staðbundið hágildi í $x = −1$ og staðbundið lággildi í $x = 1 .$ Auk þess staðfesta upplýsingarnar úr skrefi $5$ —þ.e. að $f$ hefur staðbundið hágildi í $x = −1$ og staðbundið lággildi í $x = 1,$ og $f^{'} (x) = 0$ í þessum punktum—ásamt þeirri staðreynd að $f^{″}$ skiptir aðeins um formerki í $x = 0$ niðurstöðurnar úr skrefi $6$ um kúpni $f .$

Þegar þessar upplýsingar eru teknar saman fæst grafið af $f (x) = {(x - 1)}^{2} (x + 2)$ sem sýnt er á eftirfarandi mynd.

Graf fallsins f(x) = (x −1)2 (x + 2) er sýnt. Það sker x-ásinn þegar x = −2 og snertir x-ásinn þegar x = 1.

Dæmi 4.29

Teikning grafs ræðs falls

Teiknið graf fallsins 𝑓⁡(𝑥)=𝑥2(1−𝑥2). $f (x) = \frac{x^{2}}{(1 - x^{2})} .$

Lausn

Skre 𝑓 $f$ 1. Fallið f er skilgreint þegar nefnarinn er ekki núll. Því er skilgreiningarmengið mengi allra rauntalna 𝑥 $x$ nema 𝑥=±1. $x = ± 1 .$

Skref 2. Finnið skurðpunktana. Ef $x = 0,$ þá er $f (x) = 0,$ og því er $0$ skurðpunktur. Ef $y = 0,$ þá er $\frac{x^{2}}{(1 - x^{2})} = 0,$ sem leiðir af sér að $x = 0 .$ Því er $(0, 0)$ eini skurðpunkturinn.

Skre 𝑓 $f$ 3. Reiknið markgildin þegar x stefnir á óendanlegt. Þar sem f er rætt fall skal deila teljaranum og nefnaranum með hæsta veldinu í nefnaranum: 𝑥2. $x^{2} .$ Við fáum

lim_{x \to ± \infty} \frac{x^{2}}{1 - x^{2}} = lim_{x \to ± \infty} \frac{1}{\frac{1}{x^{2}} - 1} = −1 .

Því hefur $f$ lárétta aðfellu $y = −1$ þegar $x \to \infty$ og $x \to − \infty .$

4. skref. Til að ákvarða hvort $f$ hafi einhverjar lóðfellur athugum við fyrst hvort nefnarinn hafi einhverjar núllstöðvar. Við sjáum að nefnarinn er núll þegar $x = ± 1 .$ Til að ákvarða hvort línurnar $x = 1$ eða $x = −1$ séu lóðfellur $f,$ reiknum við $lim_{x \to 1} f (x)$ og $lim_{x \to − 1} f (x) .$ Með því að skoða hvert einhliða markgildi þegar $x \to 1,$ sjáum við að

lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2}}{1 - x^{2}} = − \infty og lim_{x \to 1^{-}} \frac{x^{2}}{1 - x^{2}} = \infty .

Þegar við skoðum hvert einhliða markgildi um sig þegar 𝑥→−1, $x \to − 1,$ komumst við einnig að eftirfarandi:

lim_{x \to − 1^{+}} \frac{x^{2}}{1 - x^{2}} = \infty og lim_{x \to − 1^{-}} \frac{x^{2}}{1 - x^{2}} = − \infty .

Skref 5. Reiknið fyrstu afleiðuna:

f^{'} (x) = \frac{(1 - x^{2}) (2 x) - x^{2} (−2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} = \frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}} .

Stöðupunktar eru þeir punktar $x$ þar sem $f^{'} (x) = 0$ eða $f^{'} (x)$ er óskilgreint. Við sjáum að $f^{'} (x) = 0$ þegar $x = 0 .$ Afleiðan $f^{'}$ er skilgreind alls staðar á skilgreiningarmengi $f .$ Hins vegar tilheyra gildin $x = ± 1$ ekki skilgreiningarmengi $f .$ Til þess að ákvarða hvar $f$ er vaxandi og hvar $f$ er minnkandi skiptum við bilinu $(− \infty, \infty)$ í fjögur minni bil: $(− \infty, −1),$ $(−1, 0),$ $(0, 1),$ og $(1, \infty),$ og veljum prófunarpunkt á hverju bili til að ákvarða formerki $f^{'} (x)$ á hverju þessara bila. Gildin $x = −2,$ $x = - \frac{1}{2},$ $x = \frac{1}{2},$ og $x = 2$ henta vel sem prófunarpunktar, eins og sýnt er í eftirfarandi töflu.

Bil	Prófunarpunktur	Formerki 𝑓 ′ ⁡ ( 𝑥 ) = 2 ⁢ 𝑥 ( 1 − 𝑥 2 ) 2 f ′ ⁡ ( x ) = 2 ⁢ x/( 1 − x² ) 2	Niðurstaða
( − ∞ , − 1 ) ( − ∞ , −1 )	𝑥 = − 2 x = −2	− / + = − − / + = −	f er minnkandi.
( − 1 , 0 ) ( −1 , 0 )	𝑥 = − $\frac{1}{2}$ x = − $\frac{1}{2}$	− / + = − − / + = −	f er minnkandi.
( 0 , 1 ) ( 0 , 1 )	𝑥 = $\frac{1}{2}$ x = $\frac{1}{2}$	+ / + = + + / + = +	f er vaxandi.
( 1 , ∞ ) ( 1 , ∞ )	𝑥 = 2 x = 2	+ / + = + + / + = +	f er vaxandi.

Af þessari greiningu ályktum við að $f$ hafi staðbundið lággildi í $x = 0$ en ekkert staðbundið hágildi.

Skref 6. Reiknið aðra afleiðu:

\begin{matrix} f^{″} (x) & = \frac{{(1 - x^{2})}^{2} (2) - 2 x (2 (1 - x^{2}) (−2 x))}{{(1 - x^{2})}^{4}} \\ = \frac{(1 - x^{2}) [2 (1 - x^{2}) + 8 x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{4}} \\ = \frac{2 (1 - x^{2}) + 8 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \\ = \frac{6 x^{2} + 2}{{(1 - x^{2})}^{3}} . \end{matrix}

Til að ákvarða bilin þar sem $f$ er kúpt og þar sem $f$ er hvelft þurfum við fyrst að finna alla punkta $x$ þar sem $f^{″} (x) = 0$ eða $f^{″} (x)$ er óskilgreint. Þar sem teljarinn $6 x^{2} + 2 \neq 0$ fyrir sérhvert $x,$ $f^{″} (x)$ er aldrei núll. Auk þess er $f^{″}$ skilgreint fyrir sérhvert $x$ í skilgreiningarmengi $f .$ Eins og áður hefur komið fram eru $x = ± 1$ ekki í skilgreiningarmengi $f .$ Til að ákvarða kúpni $f,$ skiptum við því bilinu $(− \infty, \infty)$ í smærri bilin þrjú $(− \infty, −1),$ $(−1, −1),$ og $(1, \infty),$ og veljum prófunarpunkt á hverju þessara bila til að kanna formerki $f^{″} (x) .$ Gildin $x = −2,$ $x = 0,$ og $x = 2$ eru mögulegir prófunarpunktar, eins og sýnt er í eftirfarandi töflu.

Bil	Prófunarpunktur	Formerki 𝑓 ″ ⁡ ( 𝑥 ) = 6 ⁢ 𝑥 2 + 2 ( 1 − 𝑥 2 ) 3 f ″ ⁡ ( x ) = 6 ⁢ x² + 2/( 1 − x² ) 3	Niðurstaða
( − ∞ , − 1 ) ( − ∞ , −1 )	𝑥 = − 2 x = −2	+ / − = − + / − = −	f er hvelft.
( − 1 , − 1 ) ( −1 , −1 )	𝑥 = 0 x = 0	+ / + = + + / + = +	f er kúpt.
( 1 , ∞ ) ( 1 , ∞ )	𝑥 = 2 x = 2	+ / − = − + / − = −	f er hvelft.

Þegar allar þessar upplýsingar eru teknar saman 𝑓 $f$ áum við gra 𝑓 $f$ f sem sýnt er hér að neðan. Athugið að þótt kúpni f breytist við 𝑥=−1 $x = −1$ og 𝑥=1, $x = 1,$ er hvorugur þessara punkta beygjuskilapunktur, þar sem 𝑓 $f$ er hvorki samfellt í 𝑥=−1 $x = −1$ né 𝑥=1. $x = 1 .$

Graf fallsins f(x) = x2/(1 − x2) er sýnt. Aðfellur fallsins eru y = −1, x = −1 og x = 1.

Dæmi 4.30

Graf ræðs falls með skáfellu

Teiknið graf fallsins 𝑓⁡(𝑥)=𝑥2(𝑥−1) $f (x) = \frac{x^{2}}{(x - 1)}$

Lausn

Skilgreiningarmengi $f$ er mengi allra rauntalna $x$ nema $x = 1 .$
Finnið skurðpunktana. Við sjáum að þegar $x = 0,$ $f (x) = 0,$ og því er $(0, 0)$ eini skurðpunkturinn.
Reiknið markgildin þegar x stefnir á óendanlegt. Þar sem stig teljarans er einum hærra en stig nefnarans, $f$ hlýtur að hafa skáfellu. Til að finna skáfelluna skal nota langdeilingu margliða til að rita

f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1} .

Þar sem $1 / (x - 1) \to 0$ þegar $x \to ± \infty,$ $f (x)$ nálgast línuna $y = x + 1$ þegar $x \to ± \infty .$ Línan $y = x + 1$ er skáfella fyrir $f .$

Skref 4. Til að athuga hvort lóðfellur séu til staðar skuluð þið kanna hvar nefnarinn er núll. Hér er nefnarinn núll þegar 𝑥=1. $x = 1 .$ Þegar við skoðum bæði einhliða markgildin þegar 𝑥→1, $x \to 1,$ sjáum við að

lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2}}{x - 1} = \infty og lim_{x \to 1^{-}} \frac{x^{2}}{x - 1} = − \infty .

Því er 𝑥=1 $x = 1$ lóð 𝑓 $f$ ella og við höfum ákvarðað hegðun f þegar 𝑥 $x$ stefnir á 1 $1$ annars vegar frá hægri og hins vegar frá vinstri.

Skref 5. Reiknið fyrstu afleiðuna:

f^{'} (x) = \frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} (1)}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}} .

Við höfum $f^{'} (x) = 0$ þegar $x^{2} - 2 x = x (x - 2) = 0 .$ Því eru $x = 0$ og $x = 2$ stöðupunktar. Þar sem $f$ er óskilgreint í $x = 1,$ þurfum við að skipta bilinu $(− \infty, \infty)$ í smærri bilin $(− \infty, 0),$ $(0, 1),$ $(1, 2),$ og $(2, \infty),$ og velja prófunarpunkt úr hverju bili til að ákvarða formerki $f^{'} (x)$ á hverju þessara smærri bila. Látum til dæmis $x = −1,$ $x = \frac{1}{2},$ $x = \frac{3}{2},$ og $x = 3$ vera prófunarpunktana sem sýndir eru í eftirfarandi töflu.

Bil	Prófunarpunktur	Formerki f ′ ( x ) = x² − 2 ⁢ x/( x − 1 ) 2 = x ⁢ ( x − 2 )/( x − 1 ) 2	Niðurstaða
( − ∞ , 0 )	𝑥 = − 1 x = −1	( − ) ⁢ ( − ) / + = + ( − ) ⁢ ( − ) / + = +	f er vaxandi.
( 0 , 1 ) ( 0 , 1 )	𝑥 = $\frac{1}{2}$ x = $\frac{1}{2}$	( + ) ⁢ ( − ) / + = − ( + ) ⁢ ( − ) / + = −	f er minnkandi.
( 1 , 2 ) ( 1 , 2 )	𝑥 = $\frac{3}{2}$ x = $\frac{3}{2}$	( + ) ⁢ ( − ) / + = − ( + ) ⁢ ( − ) / + = −	f er minnkandi.
( 2 , ∞ ) ( 2 , ∞ )	𝑥 = 3 x = 3	( + ) ⁢ ( + ) / + = + ( + ) ⁢ ( + ) / + = +	f er vaxandi.

Af þessari töflu sjáum við að 𝑓 $f$ hefur staðbundið hágildi í 𝑥=0 $x = 0$ og staðbundið lággildi í 𝑥=2. $x = 2 .$ Staðbundið hágildi 𝑓 $f$ er 𝑓⁡(0)=0 $f (0) = 0$ og staðbundið lággildi 𝑓 $f$ er 𝑓⁡(2)=4. $f (2) = 4 .$ Því eru (0,0) $(0, 0)$ og (2,4) $(2, 4)$ mikilvægir punktar á grafinu.

Skref 6. Reiknið aðra afleiðuna:

\begin{matrix} f^{″} (x) & = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}} \\ = \frac{(x - 1) [(x - 1) (2 x - 2) - 2 (x^{2} - 2 x)]}{{(x - 1)}^{4}} \\ = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 (x^{2} - 2 x)}{{(x - 1)}^{3}} \\ = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - (2 x^{2} - 4 x)}{{(x - 1)}^{3}} \\ = \frac{2}{{(x - 1)}^{3}} . \end{matrix}

Við sjáum að $f^{″} (x)$ er aldrei núll né óskilgreint fyrir $x$ í skilgreiningarmengi $f .$ Þar sem $f$ er óskilgreint þegar $x = 1,$ nægir okkur til að kanna kúpnina að skipta bilinu $(− \infty, \infty)$ í tvö minni bilin $(− \infty, 1)$ og $(1, \infty),$ og velja prófunarpunkt úr hvoru bili til að ákvarða formerki $f^{″} (x)$ á hvoru þessara bila. Gildin $x = 0$ og $x = 2$ koma til greina sem prófunarpunktar, eins og sýnt er í eftirfarandi töflu.

Bil	Prófunarpunktur	Formerki 𝑓 ″ ⁡ ( 𝑥 ) = 2 ( 𝑥 − 1 ) 3 f ″ ⁡ ( x ) = 2/( x − 1 ) 3	Niðurstaða
( − ∞ , 1 )	𝑥 = 0 x = 0	+ / − = − + / − = −	f er hvelft.
( 1 , ∞ ) ( 1 , ∞ )	𝑥 = 2 x = 2	+ / + = + + / + = +	f er kúpt.

Með hliðsjón af þessum upplýsingum fáum við eftirfarandi graf fallsins 𝑓. $f .$

Fallið f(x) = x2/(x − 1) er sýnt á grafi. Aðfellur þess eru y = x + 1 og x = 1.

Dæmi 4.31

Graf falls með broddpunkti teiknað

Teiknið graf af $f (x) = {(x - 1)}^{2 / 3} .$

Lausn

Þar sem teningsrótarfallið er skilgreint fyrir allar rauntölur $x$ og ${(x - 1)}^{2 / 3} = {(\sqrt[3]{x - 1})}^{2},$ er skilgreiningarmengi $f$ mengi allra rauntalna.
Til að finna 𝑦 $y$ -skurðpunktinn reiknum við 𝑓⁡(0). $f (0) .$ Þar sem 𝑓⁡(0)=1, $f (0) = 1,$ er 𝑦 $y$ -skurðpunkturinn (0,1). $(0, 1) .$ Til að finna 𝑥 $x$ -skurðpunktinn leysum við (𝑥−1)₂/3=0. ${(x - 1)}^{2 / 3} = 0 .$ Lausn þessarar jöfnu er 𝑥=1, $x = 1,$ og því er 𝑥 $x$ -skurðpunkturinn (1,0). $(1, 0) .$
Þar sem $lim_{x \to ± \infty} {(x - 1)}^{2 / 3} = \infty,$ verða fallgildi þess ótakmörkuð þegar $x \to \infty$ og $x \to − \infty .$
Fallið hefur engar lóðfellur.
Til að ákvarða hvar $f$ er vaxandi eða minnkandi skal reikna $f^{'} .$ Við fáum

f^{'} (x) = \frac{2}{3} {(x - 1)}^{−1 / 3} = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{1 / 3}} .

Þetta fall er hvergi núll en það er óskilgreint þegar 𝑥=1. $x = 1 .$ Því er eini stöðupunkturinn 𝑥=1. $x = 1 .$ Skiptið bilinu (−∞,∞) $(− \infty, \infty)$ í smærri bilin (−∞,1) $(− \infty, 1)$ og (1,∞), $(1, \infty),$ og veljið einn prófunarpunkt á hvoru bili til að ákvarða formerki 𝑓′⁡(𝑥) $f^{'} (x)$ á hvoru þessara bila. Látum 𝑥=0 $x = 0$ og 𝑥=2 $x = 2$ vera prófunarpunktana, eins og sýnt er í eftirfarandi töflu.

Bil	Prófunarpunktur	Formerki 𝑓 ′ ⁡ ( 𝑥 ) = 2 3 ⁢ ( 𝑥 − 1 ) $\frac{1}{3}$ f ′ ⁡ ( x ) = $\frac{2}{3}$ ⁢ ( x − 1 ) $\frac{1}{3}$	Niðurstaða
( − ∞ , 1 )	𝑥 = 0 x = 0	+ / − = − + / − = −	f er minnkandi.
( 1 , ∞ ) ( 1 , ∞ )	𝑥 = 2 x = 2	+ / + = + + / + = +	f er vaxandi.

Við ályktum að $f$ hafi staðbundið lággildi í $x = 1 .$ Þegar $f$ er reiknað í $x = 1,$ kemur í ljós að gildi $f$ í staðbundna lággildinu er núll. Athugið að $f^{'} (1)$ er óskilgreint. Til að ákvarða hegðun fallsins í þessum stöðupunkti þurfum við því að skoða $lim_{x \to 1} f^{'} (x) .$ Þegar einhliða markgildin eru skoðuð fæst

lim_{x \to 1^{+}} \frac{2}{3 {(x - 1)}^{1 / 3}} = \infty og lim_{x \to 1^{-}} \frac{2}{3 {(x - 1)}^{1 / 3}} = − \infty .

Því he 𝑓 $f$ ur f broddpunkt í 𝑥=1. $x = 1 .$

Skref 6: Til að ákvarða kúpni reiknum við aðra afleiðu $f :$

f^{″} (x) = - \frac{2}{9} {(x - 1)}^{−4 / 3} = \frac{−2}{9 {(x - 1)}^{4 / 3}} .

Við komumst að því að $f^{″} (x)$ er ekki núll fyrir neitt $x,$ en er óskilgreint þegar $x = 1 .$ Skiptum því bilinu $(− \infty, \infty)$ í minni bilin $(− \infty, 1)$ og $(1, \infty),$ og veljum prófunarpunkta til að ákvarða formerki $f^{″} (x)$ á hverju þessara bila. Eins og áður látum við $x = 0$ og $x = 2$ vera prófunarpunkta eins og sýnt er í eftirfarandi töflu.

Bil	Prófunarpunktur	Formerki f ″ ⁡ ( x ) = − $\frac{2}{9}$ ⁢ ( x − 1 ) $\frac{4}{3}$	Niðurstaða
( − ∞ , 1 )	𝑥 = 0 x = 0	− / + = − − / + = −	f er hvelft.
( 1 , ∞ ) ( 1 , ∞ )	𝑥 = 2 x = 2	− / + = − − / + = −	f er hvelft.

Af þessari töflu ályktum við að 𝑓 $f$ sé hvelft alls staðar þar sem það er skilgreint. Þegar allar þessar upplýsingar eru teknar saman fáum við eftirfarandi graf fallsins 𝑓. $f .$

Graf fallsins f(x) = (x − 1)2/3 er sýnt. Það snertir x-ásinn í x = 1, þar sem það myndar nokkuð hvassan odd og breiðir síðan úr sér til beggja hliða.

Æfingar í kafla 4.6

Skoðið gröfin í eftirfarandi æfingum. Finnið hvar lóðfellurnar liggja.

251.

Graf fallsins lækkar mjög hratt þegar það nálgast x = 1 frá vinstri. Hinum megin við x = 1 virðist grafið byrja nærri óendanlegu gildi og lækka síðan hratt.

252.

Graf fallsins hækkar mjög hratt þegar það nálgast x = −3 frá vinstri. Hinum megin við x = −3 virðist grafið byrja nærri mínus óendanlegu gildi og hækka síðan hratt þannig að það myndar eins konar U-lögun sem snýr niður, en hin hlið U-lögunarinnar er við x = 2. Hinum megin við x = 2 virðist grafið byrja nærri óendanlegu gildi og lækka síðan hratt.

253.

Graf fallsins lækkar mjög hratt þegar það nálgast x = −1 frá vinstri. Hinum megin við x = −1 virðist grafið byrja nærri mínus óendanlegu gildi og hækka síðan hratt þannig að það myndar eins konar U-lögun sem snýr niður, en hin hlið U-lögunarinnar er við x = 2. Hinum megin við x = 2 virðist grafið byrja nærri óendanlegu gildi og lækka síðan hratt.

254.

Graf fallsins lækkar mjög hratt þegar það nálgast x = 0 frá vinstri. Hinum megin við x = 0 virðist grafið byrja nærri óendanlegu gildi og lækka síðan hratt þannig að það myndar eins konar U-lögun sem snýr upp, en hin hlið U-lögunarinnar er við x = 1. Hinum megin við x = 1 er önnur U-lögun sem snýr niður, en hin hlið hennar er við x = 2. Hinum megin við x = 2 virðist grafið byrja nærri mínus óendanlegu gildi og hækka síðan hratt.

255.

Graf fallsins lækkar mjög hratt þegar x nálgast 0 frá vinstri. Hægra megin við x = 0 virðist grafið byrja við mjög hátt gildi og lækka síðan hratt þannig að það myndar U-laga feril sem opnast upp. Hinn armur ferilsins heldur síðan áfram yfir allt bilið sem myndin sýnir.

Ákvarðið fyrir hvert eftirfarandi fall $f (x),$ hvort lóðfella sé við $x = a .$ Rökstyðjið svarið án þess að nota reiknivél til að teikna graf.

256.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥+1𝑥2+5⁢𝑥+4,𝑎=−1 $f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 5 x + 4}, a = −1$

257.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥𝑥−2,𝑎=2 $f (x) = \frac{x}{x - 2}, a = 2$

258.

𝑓⁡(𝑥)=(𝑥+2)₃/2,𝑎=−2 $f (x) = {(x + 2)}^{3 / 2}, a = −2$

259.

𝑓⁡(𝑥)=(𝑥−1)−1/3,𝑎=1 $f (x) = {(x - 1)}^{−1 / 3}, a = 1$

260.

𝑓⁡(𝑥)=1+𝑥−2/5,𝑎=1 $f (x) = 1 + x^{−2 / 5}, a = 1$

Í eftirfarandi æfingum skal reikna markgildið.

261.

lim𝑥→∞⁢13⁢𝑥+6 $lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 6}$

262.

lim𝑥→∞⁢2⁢𝑥−54⁢𝑥 $lim_{x \to \infty} \frac{2 x - 5}{4 x}$

263.

lim𝑥→∞⁢𝑥2−2⁢𝑥+5𝑥+2 $lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 2 x + 5}{x + 2}$

264.

lim𝑥→−∞⁢3⁢𝑥3−2⁢𝑥𝑥2+2⁢𝑥+8 $lim_{x \to − \infty} \frac{3 x^{3} - 2 x}{x^{2} + 2 x + 8}$

265.

lim𝑥→−∞⁢𝑥4−4⁢𝑥3+12−2⁢𝑥2−7⁢𝑥4 $lim_{x \to − \infty} \frac{x^{4} - 4 x^{3} + 1}{2 - 2 x^{2} - 7 x^{4}}$

266.

lim𝑥→∞⁢3⁢𝑥√𝑥2+1 $lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

267.

lim𝑥→−∞⁢√4⁢𝑥2−1𝑥+2 $lim_{x \to − \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} - 1}}{x + 2}$

268.

lim𝑥→∞⁢4⁢𝑥√𝑥2−1 $lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

269.

lim𝑥→−∞⁢4⁢𝑥√𝑥2−1 $lim_{x \to − \infty} \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

270.

lim𝑥→∞⁢2⁢√𝑥𝑥−√𝑥+1 $lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1}$

Finnið láréttu aðfellurnar og lóðfellurnar í eftirfarandi æfingum.

271.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥−9𝑥 $f (x) = x - \frac{9}{x}$

272.

𝑓⁡(𝑥)=11−𝑥2 $f (x) = \frac{1}{1 - x^{2}}$

273.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥34−𝑥2 $f (x) = \frac{x^{3}}{4 - x^{2}}$

274.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥2+3𝑥2+1 $f (x) = \frac{x^{2} + 3}{x^{2} + 1}$

275.

𝑓⁡(𝑥)=sin⁡(𝑥)⁢sin⁡(2⁢𝑥) $f (x) = sin (x) sin (2 x)$

276.

𝑓⁡(𝑥)=cos⁡𝑥+cos⁡(3⁢𝑥)+cos⁡(5⁢𝑥) $f (x) = cos x + cos (3 x) + cos (5 x)$

277.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥⁢sin⁡(𝑥)𝑥2−1 $f (x) = \frac{x sin (x)}{x^{2} - 1}$

278.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥sin⁡(𝑥) $f (x) = \frac{x}{sin (x)}$

279.

𝑓⁡(𝑥)=1𝑥3+𝑥2 $f (x) = \frac{1}{x^{3} + x^{2}}$

280.

𝑓⁡(𝑥)=1𝑥−1−2⁢𝑥 $f (x) = \frac{1}{x - 1} - 2 x$

281.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥3+1𝑥3−1 $f (x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}$

282.

𝑓⁡(𝑥)=sin⁡𝑥+cos⁡𝑥sin⁡𝑥−cos⁡𝑥 $f (x) = \frac{sin x + cos x}{sin x - cos x}$

283.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥−sin⁡𝑥 $f (x) = x - sin x$

284.

𝑓⁡(𝑥)=1𝑥−√𝑥 $f (x) = \frac{1}{x} - \sqrt{x}$

Í eftirfarandi æfingum skal setja fram fall $f (x)$ sem hefur gefnar aðfellur.

285.

$x = 1$ og $y = 2$

286.

$x = 1$ og $y = 0$

287.

𝑦=4, $y = 4,$ 𝑥=−1 $x = −1$

288.

𝑥=0 $x = 0$

Í eftirfarandi æfingum skal teikna graf fallsins með grafískri reiknivél í glugganum $x = [−5, 5]$ og áætla láréttu aðfelluna eða markgildið. Reiknið síðan nákvæmt gildi láréttu aðfellunnar eða markgildisins.

289.

[T] 𝑓⁡(𝑥)=1𝑥+10 $f (x) = \frac{1}{x + 10}$

290.

[T] 𝑓⁡(𝑥)=𝑥+1𝑥2+7⁢𝑥+6 $f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 7 x + 6}$

291.

[T] lim𝑥→−∞⁢𝑥2+10⁢𝑥+25 $lim_{x \to − \infty} x^{2} + 10 x + 25$

292.

[T] lim𝑥→−∞⁢𝑥+2𝑥2+7⁢𝑥+6 $lim_{x \to − \infty} \frac{x + 2}{x^{2} + 7 x + 6}$

293.

[T] lim𝑥→∞⁢3⁢𝑥+2𝑥+5 $lim_{x \to \infty} \frac{3 x + 2}{x + 5}$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið teikna gröf fallanna án þess að nota reiknivél. Gætið þess að taka eftir öllum mikilvægum einkennum grafanna: staðbundnum hágildum og lággildum, beygjuskilapunktum og hegðun við aðfellur.

294.

𝑦=3⁢𝑥2+2⁢𝑥+4 $y = 3 x^{2} + 2 x + 4$

295.

𝑦=𝑥3−3⁢𝑥2+4 $y = x^{3} - 3 x^{2} + 4$

296.

𝑦=2⁢𝑥+1𝑥2+6⁢𝑥+5 $y = \frac{2 x + 1}{x^{2} + 6 x + 5}$

297.

𝑦=𝑥3+4⁢𝑥2+3⁢𝑥3⁢𝑥+9 $y = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x}{3 x + 9}$

298.

𝑦=𝑥2+𝑥−2𝑥2−3⁢𝑥−4 $y = \frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} - 3 x - 4}$

299.

𝑦=√𝑥2−5⁢𝑥+4 $y = \sqrt{x^{2} - 5 x + 4}$

300.

𝑦=2⁢𝑥⁢√16−𝑥2 $y = 2 x \sqrt{16 - x^{2}}$

301.

$y = \frac{cos x}{x},$ á $x = [−2 π, 2 π]$

302.

𝑦 =√𝑥2+2𝑥+1 $y = \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{x + 1}$

303.

𝑦=𝑥⁢tan⁡𝑥,𝑥=[−𝜋,𝜋] $y = x tan x, x = [− π, π]$

304.

𝑦=𝑥⁢ln⁡(𝑥),𝑥>0 $y = x ln (x), x > 0$

305.

𝑦=𝑥2⁢sin⁡(𝑥),𝑥=[−2⁢𝜋,2⁢𝜋] $y = x^{2} sin (x), x = [−2 π, 2 π]$

306.

Til þess að $f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}$ hafi lárétta aðfellu við $y = 2$ þarf ákveðið samband að gilda milli margliðanna $P (x)$ og $Q (x)$ . Hvert er sambandið?

307.

Til þess að $f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}$ hafi lóðfellu við $x = 0,$ þarf ákveðið samband að gilda milli margliðanna $P (x)$ og $Q (x) .$ Hvert er innbyrðis samband þeirra?

308.

Ef $f^{'} (x)$ hefur aðfellur við $y = 3$ og $x = 1,$ hvaða aðfellur hefur þá $f (x)$ ?

309.

Bæði $f (x) = \frac{1}{(x - 1)}$ og $g (x) = \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ hafa aðfellur við $x = 1$ og $y = 0 .$ Hver er augljósasti munurinn á þessum tveimur föllum?

310.

Satt eða ósatt: Sérhvert hlutfall tveggja margliða hefur lóðfellur.