Á mörgum sviðum hreinnar og hagnýttrar stærðfræði höfum við áhuga á að finna lausnir á jöfnu af gerðinni Fyrir flest föll er þó erfitt — ef ekki ómögulegt — að reikna núllstöðvar þeirra nákvæmlega. Í þessum undirkafla skoðum við mjög skilvirka aðferð til að nálga núllstöðvar falla. Aðferðin byggist á nálgunum með snertlum og liggur að baki þeirri aðferð sem reiknivélar og tölvur nota oft til að finna núllstöðvar.
Lýsing á aðferð Newtons
Lítum á það verkefni að finna lausnir jöfnunnar Ef er fyrsta stigs margliðan fæst lausn jöfnunnar með formúlunni Ef er annars stigs margliðan má finna lausnir jöfnunnar með lausnarformúlu annars stigs jöfnu. Fyrir margliður af stigi eða hærra verður þó flóknara að finna núllstöðvar fallsins . Þótt til séu formúlur fyrir margliður af þriðja og fjórða stigi eru þær býsna flóknar. Ef er margliða af stigi eða hærra er jafnframt vitað að engar slíkar formúlur eru til. Lítum til dæmis á fallið
Engin formúla er til sem gerir okkur kleift að finna lausnir jöfnunnar Svipaðir erfiðleikar koma upp þegar um er að ræða föll sem eru ekki margliðuföll. Skoðum til dæmis það verkefni að finna lausnir jöfnunnar Engin einföld formúla er til fyrir lausnir þessarar jöfnu. Í slíkum tilvikum getum við notað aðferð Newtons til að nálga núllstöðvarnar.
Aðferð Newtons byggist á eftirfarandi hugmynd til að nálga lausnir jöfnunnar Ef við teiknum grafið fyrir fallið getum við áætlað núllstöð jöfnunnar Köllum þetta áætlaða gildi Síðan teiknum við snertil við graf í Ef sker snertillinn -ásinn í punkti Látum nú vera næsta nálgunargildi fyrir raunverulegu núllstöðina. Yfirleitt er nær raunverulegri núllstöð en . Því næst teiknum við snertil við graf í Ef sker snertillinn einnig -ásinn og gefur þannig annað nálgunargildi, Við höldum áfram með sama hætti og fáum eftirfarandi runu nálgunargilda: Yfirleitt nálgast tölurnar hratt þá raunverulegu núllstöð sem við táknum með eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.
Mynd 4.77. Nálgunargildin nálgast raunverulegu núllstöðina Nálgunargildin eru fundin með því að skoða snertla við graf
Nú skulum við skoða hvernig nálgunargildin eru reiknuð. Ef er fyrsta nálgunargildið okkar er skilgreint með því að láta vera skurðpunkt -ássins og snertilsins við graf í Jafna snertilsins er
Því verður að uppfylla
Með því að leysa þessa jöfnu fyrir komumst við að þeirri niðurstöðu að
Á sama hátt er punkturinn skurðpunktur -ássins og snertilsins við graf í Því uppfyllir eftirfarandi jöfnu
Almennt gildir að þegar uppfyllir eftirfarandi jöfnu
(4.8)
Næst skoðum við hvernig nota má þessa aðferð til að nálga núllstöð margliðunnar
Dæmi 4.46
Að finna núllstöð margliðu
Notið aðferð Newtons til að nálga núllstöð á bilinu Látið og reiknið gildin ásamt
Lausn
Af mynd 4.78 sjáum við að hefur eina núllstöð á bilinu Því virðist vera skynsamlegt fyrsta nálgunargildi. Til að finna næsta nálgunargildi notum við jöfnu 4.8. Þar sem fallið er gefið með fæst afleiðan Með því að nota jöfnu 4.8 þegar (ásamt reiknivél sem sýnir tölustafi) fáum við
Til að finna næstu nálgun notum við jöfnu 4.8 með og gildi sem vistað er í reiknivélinni. Við fáum að
Með því að halda áfram á þennan hátt fáum við eftirfarandi niðurstöður:
Við tökum eftir að við fengum sama gildi fyrir og Því mun frekari beiting aðferðar Newtons að öllum líkindum gefa sama gildi fyrir
Mynd 4.78. Fallið f ( x ) = x3 − 3 x + 1 hefur eina núllstöð á bilinu [ 1 , 2 ] .
Aðferð Newtons má einnig nota til að nálga kvaðratrætur. Hér sýnum við hvernig nálga má Þessari aðferð má breyta til að nálga kvaðratrót sérhverrar jákvæðrar tölu.
Dæmi 4.47
Ákvörðun kvaðratrótar
Notið aðferð Newtons til að nálga (sjá mynd 4.79). Látið veljið og reiknið (Athugið að þar sem hefur núllstöð í er upphafsgildið skynsamlegt val til að nálga
Lausn
Fyrir 𝑓(𝑥)=𝑥2−2,𝑓′(𝑥)=2𝑥. Af jöfnu 4.8 vitum við að
Því fæst
Með því að halda áfram á þennan hátt fáum við að
Þar sem við fengum sama gildið fyrir og er ólíklegt að gildið breytist við frekari beitingu aðferðar Newtons. Við ályktum að
Mynd 4.79. Við getum notað aðferð Newtons til að finna 2 .
Þegar aðferð Newtons er notuð er hvert nálgunargildi á eftir upphafsgildinu skilgreint út frá fyrra nálgunargildi með sömu formúlu. Með því að skilgreina fallið getum við umritað jöfnu 4.8 sem Ferli af þessu tagi, þar sem hvert er skilgreint út frá með því að beita sama fallinu aftur og aftur, er dæmi um ítrunarferli. Innan skamms skoðum við önnur ítrunarferli. Fyrst skulum við kanna hvers vegna aðferð Newtons getur brugðist þannig að núllstöð finnist ekki.
Tilvik þar sem aðferð Newtons bregst
Aðferð Newtons er yfirleitt notuð til að finna núllstöðvar tiltölulega hratt. Ýmislegt getur þó farið úrskeiðis. Meðal ástæðna fyrir því að aðferð Newtons kann að bregðast eru eftirfarandi:
Við eitt nálgunargildanna, er afleiðan jöfn núlli í en Af þeim sökum sker snertillinn við graf í ekki -ásinn. Því getum við ekki haldið ítrunarferlinu áfram.
Nálgunargildin kunna að nálgast aðra núllstöð. Ef fallið hefur fleiri en eina núllstöð er mögulegt að nálgunargildi okkar nálgist ekki núllstöðina sem við leitum að heldur aðra núllstöð (sjá mynd 4.80). Þetta gerist oftast þegar upphafsgildið er ekki valið nógu nálægt núllstöðinni sem leitað er að.
Nálgunargildin kunna jafnvel að nálgast enga núllstöð. Í dæmi 4.48 skoðum við fall og upphafsgildið þar sem röð nálgunargilda nálgast aldrei núllstöð heldur víxlast sífellt milli tveggja gilda.
Mynd 4.80. Ef upphafsgildið er of fjarri núllstöðinni sem leitað er að geta nálgunargildin nálgast aðra núllstöð.
Dæmi 4.48
Þegar aðferð Newtons bregst
Skoðið fallið Látið Sýnið að runan nálgist ekki núllstöð fallsins
Lausn
Þar sem fallið er gefið með fæst afleiðan Því fæst
Í næsta skrefi,
Þar af leiðandi víxlast tölurnar áfram milli og án þess að nálgast núllstöð fallsins , sem er á bilinu (sjá mynd 4.81). Sem betur fer getum við komist hjá þessu með því að velja upphafsgildið þannig að það sé nær raunverulegu núllstöðinni.
Mynd 4.81. Nálgunargildin halda áfram að skiptast á milli 0 og 1 og nálgast aldrei núllstöð f .
Af dæmi 4.48 sjáum við að aðferð Newtons virkar ekki alltaf. Þegar hún virkar nálgast runa nálgunargildanna hins vegar núllstöðina mjög hratt. Í ritum um tölulega greiningu er fjallað um það hve hratt runa nálgunargilda sem fæst með aðferð Newtons nálgast núllstöð.
Önnur ítrunarferli
Eins og áður kom fram er aðferð Newtons dæmi um ítrunarferli. Nú skoðum við annars konar ítrunarferli.
Lítum á fallið og upphafsgildið Skilgreinum síðan tölurnar með formúlunni Þetta ítrunarferli myndar talnarununa Talnarunan kann að nálgast endanlega tölu þegar vex, en það þarf ekki að gerast. Í dæmi 4.49 sjáum við hvernig fallið og upphafsgildið mynda talnarunu sem nálgast endanlegt gildi.
Dæmi 4.49
Að finna markgildi í ítrunarferli
Látið og veljið Fyrir öll skilgreinið Finnið gildin Setjið fram tilgátu um hvað verði um talnarununa þegar Ef talnarunan nálgast endanlega tölu þá uppfyllir jöfnuna og kallast fastapunktur fallsins
Lausn
Ef þá
Út frá þessari talnarunu setjum við fram þá tilgátu að gildin 𝑥𝑛 nálgist 8.
Mynd 4.82 sýnir myndrænt að gildin nálgast þegar Byrjum í punktinum og drögum lóðrétt strik að punktinum Næsta talan í rununni er Við notum til að reikna Því drögum við lárétt strik frá að punktinum á línunni og síðan lóðrétt strik frá að punktinum Gildið verður Með því að halda áfram á þennan hátt gætum við myndað óendanlega mörg strik. Strikin liggja milli grafanna og Strikin nálgast skurðpunkt grafanna, þar sem Ef við leysum jöfnuna sjáum við að gröfin skerast þegar Myndræna niðurstaðan samræmist tölulegu niðurstöðunni: talnarunan nálgast þegar
Mynd 4.82. Þetta ítrunarferli nálgast gildið x * = 8 .
Æfingar úr kafla 4.9
Í eftirfarandi verkefnum skal rita formúlu Newtons sem til að leysa
406.
𝑓(𝑥)=𝑥2+1
407.
𝑓(𝑥)=𝑥3+2𝑥+1
408.
𝑓(𝑥)=sin𝑥
409.
𝑓(𝑥)=𝑒𝑥
410.
𝑓(𝑥)=𝑥3+3𝑥𝑒𝑥
Í eftirfarandi æfingum skal leysa með ítruninni sem er lítillega frábrugðin aðferð Newtons. Finnið eitt gildi sem virkar og annað gildi sem veldur því að ítrunin samleitar ekki; undanskiljið gildið
411.
með
412.
með
413.
Hvert er gildi „𝑐“ í aðferð Newtons?
Í eftirfarandi æfingum skal byrja við
a. og
b.
Reiknið og með tilgreindri ítrunaraðferð.
414.
𝑥𝑛+1=𝑥𝑛2−12
415.
𝑥𝑛+1=2𝑥𝑛(1−𝑥𝑛)
416.
𝑥𝑛+1=√𝑥𝑛
417.
𝑥𝑛+1=1√𝑥𝑛
418.
𝑥𝑛+1=3𝑥𝑛(1−𝑥𝑛)
419.
𝑥𝑛+1=𝑥𝑛2+𝑥𝑛−2
420.
𝑥𝑛+1=12𝑥𝑛−1
421.
𝑥𝑛+1=|𝑥𝑛|
Leysið eftirfarandi verkefni að fjórum aukastöfum með aðferð Newtons og tölvu eða reiknivél. Veljið eitthvert upphafsgildi sem er ekki nákvæmlega núllstöð.
422.
𝑥2−10=0
423.
𝑥4−100=0
424.
𝑥2−𝑥=0
425.
𝑥3−𝑥=0
426.
𝑥+5cos(𝑥)=0
427.
𝑥+tan(𝑥)=0, veljið 𝑥0∈(−𝜋2,𝜋2)
428.
11−𝑥=2
429.
1+𝑥+𝑥2+𝑥3+𝑥4=2
430.
𝑥3+(𝑥+1)3=103
431.
𝑥=sin2(𝑥)
Í eftirfarandi æfingum skal nota aðferð Newtons til að finna fastapunkta fallsins þar sem námundið að þremur aukastöfum.
432.
sin𝑥
433.
á
434.
𝑒𝑥−2
435.
ln(𝑥)+2
Aðferð Newtons má nota til að finna hágildi og lággildi falla auk núllstöðva þeirra. Í þessu tilviki er aðferð Newtons beitt á afleiðufallið til að finna núllstöðvar þess í stað þess að leita að núllstöðvum upphaflega fallsins. Í eftirfarandi æfingum skal miða við þessa framsetningu aðferðarinnar.
436.
Til að finna möguleg hágildi og lággildi þurfum við að finna stöðupunkta fallsins, þar sem Sýnið að þegar leitað er að stöðupunktum fallsins gefur aðferð Newtons formúluna
437.
Hvaða viðbótarskilyrði þarf að gilda um fallið
Í eftirfarandi æfingum skal nota aðferð Newtons til að ákvarða hvar staðbundin lággildi og/eða hágildi eftirfarandi falla eru; námundið að þremur aukastöfum.
438.
Lággildi
439.
Lággildi 𝑓(𝑥)=3𝑥3+2𝑥2−16
440.
Lággildi
441.
Hágildi
442.
Hágildi
443.
Hágildi
444.
Lággildi fallsins það lággildi sem er ekki í núllpunktinum og er næst
445.
Lággildi
Í eftirfarandi æfingum skal nota tilgreinda aðferð til að leysa jöfnuna. Ef aðferðin virkar ekki skal útskýra hvers vegna.
446.
aðferð Newtons,
447.
aðferð Newtons,
448.
aðferð Newtons, með upphafsgildi
449.
Leysið 𝑥𝑛+1=−𝑥𝑛3 með upphafsgildinu 𝑥0=−1
Í eftirfarandi æfingum skal nota sniðilsaðferðina, sem er ítrunaraðferð sem nota má í stað aðferðar Newtons. Formúlan er
450.
Finnið núllstöð jöfnunnar með þriggja aukastafa nákvæmni.
451.
Finnið núllstöð jöfnunnar 0=sin𝑥+3𝑥 með fjögurra aukastafa nákvæmni.
452.
Finnið núllstöð jöfnunnar 0=𝑒𝑥−2 með fjögurra aukastafa nákvæmni.
453.
Finnið núllstöð jöfnunnar með fjögurra aukastafa nákvæmni.
454.
Hvers vegna ætti að nota sniðilsaðferðina fremur en aðferð Newtons? Hvaða nauðsynlegu skilyrði þurfa að gilda um
Í eftirfarandi verkefnum skal nota bæði aðferð Newtons og sniðilsaðferðina til að reikna núllstöð hverrar jöfnu. Notið reiknivél eða tölvu til að reikna hve margar ítranir þarf með hvorri aðferð til að nálgunin sé rétt með þriggja aukastafa nákvæmni. Fyrir sniðilsaðferðina skal nota fyrsta ágiskunargildið sem valið var fyrir aðferð Newtons.
455.
𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥+1,𝑥0=1
456.
𝑓(𝑥)=𝑥2,𝑥0=1
457.
𝑓(𝑥)=sin𝑥,𝑥0=1
458.
𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−1,𝑥0=2
459.
𝑓(𝑥)=𝑥3+2𝑥+4,𝑥0=0
Í eftirfarandi æfingum er fjallað um jöfnu Keplers fyrir brautir reikistjarna, þar sem táknar meðalfrávikið, táknar hjámiðjufrávikið og táknar hjámiðju brautarinnar.
460.
Notið aðferð Newtons til að finna hjámiðjufrávikið þegar meðalfrávikið er og hjámiðja brautarinnar er námundið að þremur aukastöfum.
461.
Notið aðferð Newtons til að finna hjámiðjufrávikið þegar meðalfrávikið er og hjámiðja brautarinnar er námundið að þremur aukastöfum.
Í næstu tveimur æfingum er fjallað um fjárfestingu í banka. Upphaflega fjárfestingin er Eftir ár hefur fjárfestingin þrefaldast og er orðin
462.
Notið aðferð Newtons til að ákvarða vextina ef þeir eru lagðir við höfuðstól árlega.
463.
Notið aðferð Newtons til að ákvarða vextina ef miðað er við samfellda vaxtavöxtun.
464.
Heildarkostnaði við prentun bóka má lýsa með jöfnunni Notið aðferð Newtons til að finna jafnvægispunktinn ef prentsmiðjan selur hverja bók á
