4.8 Regla l’Hôpital

Ef $\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=L_1\text{og}\underset{x\to a}{\text{lim}}g\left(x\right)=L_2\ne 0,$ þá

En hvað gerist ef $\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=0$ og $\underset{x\to a}{\text{lim}}g\left(x\right)=0?$ Við köllum þetta eitt óákveðnu formanna, af gerðinni $\frac{0}{0}.$ Þetta telst óákveðið form vegna þess að án frekari greiningar getum við ekki ákvarðað nákvæma hegðun $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ þegar $x\to a$ . Við höfum áður séð dæmi um þetta í textanum. Skoðum til dæmis

Fyrir $\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{\text{sin}x}{x}$ gátum við sýnt með rúmfræðilegum rökum að

Hugmyndina að baki reglu l’Hôpital má skýra með staðbundnum línulegum nálgunum. Lítum á deildanlegu föllin $f$ og $g$ þannig að $\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=0=\underset{x\to a}{\text{lim}}g\left(x\right)$ og þannig að $g^{\prime }\left(a\right)\ne 0$. Þegar $x$ er nálægt $a,$ getum við ritað

Þar sem $f$ er deildanlegt í $a,$ er $f$ samfellt í $a,$ og því er $f\left(a\right)=\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=0.$ Á sama hátt er $g\left(a\right)=\underset{x\to a}{\text{lim}}g\left(x\right)=0.$ Ef við gerum einnig ráð fyrir að $f^{\prime }$ og $g^{\prime }$ séu samfelld í $x=a,$ er $f^{\prime }\left(a\right)=\underset{x\to a}{\text{lim}}{f}^{\prime }\left(x\right)$ og $g^{\prime }\left(a\right)=\underset{x\to a}{\text{lim}}{g}^{\prime }\left(x\right).$ Með hliðsjón af þessu ályktum við að

Athugið að unnt er að slaka á þeirri forsendu að $f^{\prime }$ og $g^{\prime }$ séu samfelld í $a$ og $g^{\prime }\left(a\right)\ne 0$. Við setjum nú reglu l’Hôpital fram með formlegum hætti fyrir óákveðna formið $\frac{0}{0}.$ Athugið einnig að táknunin $\frac{0}{0}$ merkir ekki að núlli sé í raun deilt með núlli. Þess í stað notum við táknunina $\frac{0}{0}$ til að tákna kvóta markgilda sem hvort um sig er núll.

Við sönnum setninguna í því sértilviki að $f,g,f^{\prime },$ sem og $g^{\prime }$ séu öll samfelld á opnu bili sem inniheldur $a.$ Þar sem $\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=0=\underset{x\to a}{\text{lim}}g\left(x\right)$ og $f$ og $g$ eru samfelld í $a,$ gildir $f\left(a\right)=0=g\left(a\right).$ Því

Athugið að samkvæmt reglu l’Hôpital má reikna markgildi kvóta $\frac{f}{g}$ með því að skoða markgildi kvóta afleiðnanna $\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}.$ Mikilvægt er að gera sér grein fyrir því að við erum ekki að reikna afleiðu kvótans $\frac{f}{g}.$

Við getum einnig notað reglu l’Hôpital til að reikna markgildi kvóta $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ þar sem $f\left(x\right)\to \text{±}\infty$ og $g\left(x\right)\to \text{±}\infty .$ Markgildi af þessu tagi eru óákveðin form af gerðinni $\infty \text{/}\infty .$ Athugið aftur að við erum í raun ekki að deila $\infty$ með $\infty .$ Þar sem $\infty$ er ekki rauntala er slík deiling ómöguleg; þess í stað notum við táknið $\infty \text{/}\infty .$ Það táknar kvóta falla sem hvort um sig stefnir á $\infty$ eða $\text{−}\infty .$

Eins og áður hefur komið fram er regla l’Hôpital afar gagnlegt tæki til að reikna markgildi. Reglu l’Hôpital má þó aðeins beita á kvótann $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)},$ að því gefnu að markgildi $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ sé af gerðinni $\frac{0}{0}$ eða $\infty \text{/}\infty .$ Lítum á eftirfarandi dæmi.

Regla l’Hôpital er mjög gagnleg við að ákvarða markgildi sem fela í sér óákveðnu formin $\frac{0}{0}$ og $\infty \text{/}\infty .$ Reglu l’Hôpital má einnig nota til að ákvarða markgildi sem fela í sér önnur óákveðin form. Stæðurnar $0·\infty ,$ $\infty -\infty ,$ $1^{\infty },$ ${\infty }^0,$ auk $0^0$ teljast allar óákveðin form. Þessar stæður eru ekki rauntölur heldur tákna form sem koma fram þegar tiltekin markgildi eru reiknuð. Næst skoðum við hvers vegna formin eru óákveðin og hvernig beita má reglu l’Hôpital í þessum tilvikum. Meginhugmyndin er að umrita þau þannig að úr verði óákveðna formið $\frac{0}{0}$ eða $\infty \text{/}\infty .$

Gerum ráð fyrir að við viljum meta $\underset{x\to a}{\text{lim}}\left(f\left(x\right)·g\left(x\right)\right),$ þar sem $f\left(x\right)\to 0$ og $g\left(x\right)\to \infty$ (eða $\text{−}\infty )$ þegar $x\to a.$ Þegar annar þátturinn nálgast núll en tölugildi hins vex án takmarka getur margfeldið haft ólík markgildi. Táknunin $0·\infty$ lýsir því formi. Formið $0·\infty$ er óákveðið því án frekari greiningar getum við ekki ákvarðað hegðun margfeldisins $f\left(x\right)g\left(x\right)$ þegar $x\to a.$ Látum til dæmis $n$ vera jákvæða heiltölu og skoðum

Þegar $x\to \infty ,$ $f\left(x\right)\to 0$ og $g\left(x\right)\to \infty .$ Þegar $x\to \infty$ er markgildi fallsins $f\left(x\right)g\left(x\right)=\frac{3x^2}{\left(x^n+1\right)}$ breytilegt og ræðst af $n.$ Þegar $n=2,$ er $\underset{x\to \infty }{\text{lim}}f\left(x\right)g\left(x\right)=3.$ Þegar $n=1,$ er $\underset{x\to \infty }{\text{lim}}f\left(x\right)g\left(x\right)=\infty .$ Þegar $n=3,$ er $\underset{x\to \infty }{\text{lim}}f\left(x\right)g\left(x\right)=0.$ Hér skoðum við annað markgildi sem felur í sér óákveðna formið $0·\infty$ og sýnum hvernig umrita má fallið sem kvóta til að beita reglu l’Hôpital.

Önnur gerð óákveðins forms er $\infty -\infty .$ Skoðum eftirfarandi dæmi. Látum $n$ vera jákvæða heiltölu og látum $f\left(x\right)=3x^n$ og $g\left(x\right)=3x^2+5.$ Þegar $x\to \infty ,$ $f\left(x\right)\to \infty$ og $g\left(x\right)\to \infty .$ Við viljum kanna $\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right).$ Eftir því hvort $f\left(x\right)$ vex hraðar, $g\left(x\right)$ vex hraðar eða föllin vaxa jafnhratt getur markgildið tekið ólík gildi, eins og fram kemur hér á eftir. Þar sem $f\left(x\right)\to \infty$ og $g\left(x\right)\to \infty ,$ ritum við $\infty -\infty$ til að lýsa formi markgildisins. Eins og önnur óákveðin form hefur $\infty -\infty$ enga merkingu eitt og sér; greina þarf markgildið nánar til að ákvarða gildi þess. Til dæmis, ef veldisvísirinn $n$ í fallinu $f\left(x\right)=3x^n$ er $n=3,$ fæst

Á hinn bóginn, ef $n=2,$ þá

Hins vegar, ef $n=1,$ þá

Því er ekki hægt að ákvarða markgildið með því að skoða aðeins $\infty -\infty .$ Næst sjáum við hvernig umrita má stæðu sem felur í sér óákveðna formið $\infty -\infty$ sem brot svo beita megi reglu l’Hôpital.

Önnur gerð óákveðins forms sem kemur fyrir þegar markgildi eru reiknuð tengist veldisvísum. Stæðurnar $0^0,$ ${\infty }^0,$ auk $1^{\infty }$ eru allar óákveðin form. Ein og sér hafa þessi form enga merkingu, því ekki er hægt að reikna gildi þeirra á sama hátt og gildi stæðu með rauntölum. Þess í stað tákna þau form sem koma upp þegar markgildi eru fundin. Nú skoðum við hvernig nota má reglu l’Hôpital til að reikna markgildi sem fela í sér þessi óákveðnu form.

Þar sem regla l’Hôpital á við um kvóta notum við náttúrulega logrann og eiginleika hans til að breyta markgildisverkefni með veldi í hliðstætt verkefni um markgildi kvóta. Gerum til dæmis ráð fyrir að við viljum reikna $\underset{x\to a}{\text{lim}}f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}$ og fáum óákveðna formið ${\infty }^0.$ (Óákveðnu formin $0^0$ og $1^{\infty }$ má meðhöndla á svipaðan hátt.) Við höldum áfram sem hér segir. Látum

Þar sem $\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=\infty ,$ vitum við að $\underset{x\to a}{\text{lim}}\text{ln}\left(f\left(x\right)\right)=\infty .$ Því er $\underset{x\to a}{\text{lim}}g\left(x\right)\text{ln}\left(f\left(x\right)\right)$ á óákveðna forminu $0·\infty ,$ svo að við getum beitt aðferðunum sem lýst var hér að framan til að umrita stæðuna $g\left(x\right)\text{ln}\left(f\left(x\right)\right)$ þannig að beita megi reglu l’Hôpital. Gerum ráð fyrir að $\underset{x\to a}{\text{lim}}g\left(x\right)\text{ln}\left(f\left(x\right)\right)=L,$ þar sem $L$ getur verið $\infty$ eða $\text{−}\infty .$ Þá

Gerum ráð fyrir að föllin $f$ og $g$ stefni bæði á óendanlegt þegar $x\to \infty .$ Þótt gildi beggja fallanna geti orðið eins stór og óskað er þegar $x$ verður nægilega stórt, vex annað fallið stundum hraðar en hitt. Til dæmis stefna $f\left(x\right)=x^2$ og $g\left(x\right)=x^3$ bæði á óendanlegt þegar $x\to \infty .$ Eins og eftirfarandi tafla sýnir vaxa gildi $x^3$ þó mun hraðar en gildi $x^2.$

Því segjum við að $x^3$ vaxi hraðar en $x^2$ þegar $x\to \infty .$ Ef hins vegar $f\left(x\right)=x^2$ og $g\left(x\right)=3x^2+4x+1,$ eru gildi $g\left(x\right)$ alltaf stærri en gildi $f\left(x\right)$ þegar $x>0,$ en hlutfallið milli gildis $g\left(x\right)$ og samsvarandi gildis $f\left(x\right)$ nálgast 3 þegar $x\to \infty ,$ eins og eftirfarandi tafla sýnir. Raunar

Í þessu tilviki segjum við að $x^2$ og $3x^2+4x+1$ vaxi jafnhratt þegar $x\to \infty .$

Almennt gerum við ráð fyrir að $f$ og $g$ séu tvö föll sem stefna á óendanlegt þegar $x\to \infty .$ Við segjum að $g$ vaxi hraðar en $f$ þegar $x\to \infty$ ef

Hins vegar, ef til er fasti $M\ne 0$ þannig að

segjum við að $f$ og $g$ vaxi jafnhratt þegar $x\to \infty .$