4.5.1 Útskýra hvernig formerki fyrstu afleiðu hefur áhrif á lögun grafs falls.
4.5.2 Setja fram fyrsta afleiðuprófið fyrir stöðupunkta.
4.5.3 Nota kúpni og beygjuskilapunkta til að útskýra hvernig formerki annarrar afleiðu hefur áhrif á lögun grafs falls.
4.5.4 Útskýra kúpniprófið fyrir fall á opnu bili.
4.5.5 Útskýra samband falls við fyrstu og aðra afleiðu þess.
4.5.6 Setja fram annað afleiðuprófið fyrir staðbundin útgildi.
Fyrr í þessum kafla kom fram að ef fallið hefur staðbundið útgildi í punktinum hlýtur að vera stöðupunktur fallsins Þó er ekki tryggt að fall hafi staðbundið útgildi í sérhverjum stöðupunkti. Til dæmis hefur stöðupunkt þegar þar sem er núll þegar en hefur ekki staðbundið útgildi þegar Með niðurstöðunum úr síðasta undirkafla getum við nú ákvarðað hvort stöðupunktur falls samsvari staðbundnu útgildi. Einnig sjáum við hvernig önnur afleiða veitir upplýsingar um lögun grafs með því að sýna hvort graf falls er kúpt eða hvelft.
Fyrsta afleiðuprófið
Af fylgisetningu við meðalgildissetninguna leiðir að ef afleiða falls er jákvæð á bili er fallið vaxandi á Ef afleiðan er hins vegar neikvæð á bili er fallið minnkandi á eins og sýnt er á myndinni hér á eftir.
Mynd 4.30. Bæði föllin eru vaxandi á bilinu (𝑎,𝑏). Í sérhverjum punkti 𝑥, er 𝑓′(𝑥)>0. Bæði föllin eru minnkandi á bilinu (𝑎,𝑏). Í sérhverjum punkti 𝑥, er 𝑓′(𝑥)<0.
Samfellt fall hefur staðbundið hágildi í punktinum þá og því aðeins að fer úr því að vera vaxandi í það að vera minnkandi í punktinum Á sama hátt hefur staðbundið lággildi í þá og því aðeins að fer úr því að vera minnkandi í það að vera vaxandi í Ef er samfellt fall á bili sem inniheldur og deildanlegt á nema hugsanlega í getur aðeins farið úr því að vera vaxandi í það að vera minnkandi, eða öfugt, í punktinum ef skiptir um formerki þegar vex fram yfir Ef er deildanlegt í getur aðeins skipt um formerki þegar vex fram yfir ef Fyrir fall sem er samfellt á bili sem inniheldur og deildanlegt á nema hugsanlega í getur því aðeins farið úr því að vera vaxandi í það að vera minnkandi, eða öfugt, ef eða er óskilgreint. Til að finna staðbundin útgildi falls leitum við því að gildum í skilgreiningarmengi þar sem eða er óskilgreint. Slík gildi kallast stöðupunktar fallsins
Athugið að þar ekki að ha a staðbundið útgildi í hverjum stöðupunkti; stöðupunktarnir gefa aðeins mögulega staði útgildanna. Á mynd 4.31 sést að staðbundið útgildi samfellds falls hlýtur að vera í stöðupunkti, en ekki er víst að staðbundið útgildi sé í sérhverjum stöðupunkti. Ef f hefur staðbundið útgildi í stöðupunkti skiptir um formerki þegar vex fram yfir punktinn.
Mynd 4.31. Fallið hefur fjóra stöðupunkta: Fallið hefur staðbundin hágildi í og og staðbundið lággildi í Fallið hefur ekki staðbundið útgildi í Formerki breytist við öll staðbundin útgildi.
Mynd 4.31 leiðir til eftirfarandi helstu niðurstaðna um staðbundin útgildi.
E𝑓 samfellt fall f hefur staðbundið útgildi hlýtur það að vera í stöðupunkti 𝑐.
Fallið hefur staðbundið útgildi í stöðupunktinum 𝑐 þá og því aðeins að afleiðan 𝑓′ skipti um formerki þegar 𝑥 vex fram yfir 𝑐.
Til að kanna hvort fall hafi staðbundið útgildi í stöðupunkti verðum við því að ákvarða formerki vinstra og hægra megin við
Þessi niðurstaða nefnist fyrsta afleiðuprófið.
Setja má fyrsta afleiðuprófið fram í stuttu máli sem aðferð til að finna staðbundin útgildi.
Skoðum nú hvernig nota má þessa aðferð til að finna öll staðbundin útgildi tiltekinna falla.
Dæmi 4.17
Notkun fyrsta afleiðuprófsins til að finna staðbundin útgildi
Notið fyrsta afleiðuprófið til að finna öll staðbundin útgildi fallsins 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2−9𝑥−1. Notið grafteikniforrit til að staðfesta niðurstöðurnar.
Lausn
Skref 1. Afleiðan er 𝑓′(𝑥)=3𝑥2−6𝑥−9. Til að finna stöðupunktana leitum við að þeim gildum x þar sem 𝑓′(𝑥)=0. Þegar margliðan hefur verið þáttuð sést að stöðupunktarnir uppfylla
Stöðupunktarnir eru því Skiptið nú bilinu í hlutbilin
Skref 2. Þar sem er samfellt nægir að ákvarða formerki á hverju hlutbili með því að velja einn prófunarpunkt úr bilunum og reikna formerki þar. Veljum til dæmis sem prófunarpunkta.
Bil
Prófunarpunktur
Formerki f ′ ( x ) = 3 ( x − 3 ) ( x + 1 ) í prófunarpunkti
Skref 3. Þar sem breytir um formerki úr jákvæðu í neikvætt þegar vex fram yfir hefur staðbundið hágildi í Þar sem breytir um formerki úr neikvæðu í jákvætt þegar vex fram yfir hefur staðbundið lággildi í Niðurstöðurnar samræmast grafinu hér á eftir.
Mynd 4.32. Fallið f hefur hágildi í x = −1 og lággildi í x = 3
Dæmi 4.18
Notkun fyrsta afleiðuprófsins
Notið fyrsta afleiðuprófið til að finna öll staðbundin útgildi fallsins 𝑓(𝑥)=5𝑥1/3−𝑥5/3. Notið grafteikniforrit til að staðfesta niðurstöðurnar.
Lausn
Skref 1. Afleiðan er
Jafnan gildir þegar Því er þegar Afleiðan er jafnframt óskilgreind þegar Stöðupunktarnir þrír samsvara því og Skiptið því bilinu í hlutbilin og
Skref 2: Þar sem er samfellt á hverju hlutbili nægir að velja einn prófunarpunkt úr hverju bilanna í skrefi og ákvarða formerki þar. Nota má sem prófunarpunkta.
Bil
Prófunarpunktur
Formerki f ′ ( x ) = 5 ( 1 − x4 / 3 )/3 x2 / 3 í prófunarpunkti
Niðurstaða
( − ∞ , − 1 ) ( − ∞ , −1 )
𝑥 = − 2 x = −2
( + ) ( − ) + = − ( + ) ( − )/+ = −
f er minnkandi.
( − 1 , 0 ) ( −1 , 0 )
𝑥 = − 1 2 x = −
( + ) ( + ) + = + ( + ) ( + )/+ = +
f er vaxandi.
( 0 , 1 ) ( 0 , 1 )
𝑥 = 1 2 x =
( + ) ( + ) + = + ( + ) ( + )/+ = +
f er vaxandi.
( 1 , ∞ ) ( 1 , ∞ )
𝑥 = 2 x = 2
( + ) ( − ) + = − ( + ) ( − )/+ = −
f er minnkandi.
Skref 3: Þar sem er minnkandi á bilinu en vaxandi á bilinu hefur staðbundið lággildi í Þar sem er vaxandi á bilinu og á bilinu hefur ekki staðbundið útgildi í Þar sem er vaxandi á bilinu en minnkandi á bilinu hefur staðbundið hágildi í Niðurstöðurnar samræmast grafinu hér á eftir.
Mynd 4.33. Fallið f hefur staðbundið lággildi í x = −1 og staðbundið hágildi í x = 1 .
Kúpni og beygjuskilapunktar
Við vitum nú hvernig ákvarða má hvar fall er vaxandi eða minnkandi. Annað einkenni á lögun grafs er hvort það sveigist upp eða niður. Sá eiginleiki nefnist kúpni fallsins.
Mynd 4.34(a) sýnir all f sem grafið sveigist upp á við. Þegar ve eykst hallatala snertilsins og er því vaxandi all. Þá segjum við að sé kúpt. Mynd 4.34(b) sýnir fall f sem grafið sveigist niður á við. Þegar ve minnkar hallatala snertilsins og er því minnkandi all. Þá segjum við að f sé hvelft.
Mynd 4.34. (a), (c) Þar sem er vaxandi á bilinu segjum við að sé kúpt á (b), (d) Þar sem er minnkandi á bilinu segjum við að sé hvelft á
Hvernig má ákvarða kúpni fallsins þegar graf þess liggur ekki fyrir? Samkvæmt skilgreiningu er kúpt ef er vaxandi. Eins og segir í fylgisetningu gildir að ef er deildanlegt, þá er vaxandi þegar afleiða þess uppfyllir Tvisvar deildanlegt fall er því kúpt þar sem Á sama hátt er hvelft ef er minnkandi. Deildanlega fallið er minnkandi þegar afleiða þess uppfyllir Tvisvar deildanlegt fall er því hvelft þar sem Þessi aðferð nefnist kúpniprófið.
Kúpni falls má ákvarða með því að skoða aðra afleiðu fallsins Fall getur breytt um sveigju, eins og sést á mynd 4.35. Samfellt fall getur þó aðeins breytt um sveigju við gildi ef eða er óskilgreint. Til að finna bilin þar sem er kúpt eða hvelft leitum við að þeim gildum þar sem eða er óskilgreint. Síðan skiptum við skilgreiningarmengi í hlutbil og ákvarðum formerki á hverju þessara smærri bila. Ef skiptir um formerki þegar farið er fram hjá gildi þá breytir um sveigju. Fall breytir þó ekki endilega um sveigju við gildi þótt eða sé óskilgreint. Ef breytir um sveigju í og er samfellt í er punkturinn beygjuskilapunktur fallsins
Mynd 4.35. Þar sem 𝑓″(𝑥)>0 fyrir 𝑥<𝑎, er 𝑓 kúpt á bilinu (−∞,𝑎). Þar sem 𝑓″(𝑥)<0 fyrir 𝑥>𝑎, er 𝑓 hvelft á bilinu (𝑎,∞). Punkturinn (𝑎,𝑓(𝑎)) er beygjuskilapunktur fallsins 𝑓.
Dæmi 4.19
Kúpniprófið
Fyrir fallið ákvarðið öll bil þar sem er kúpt og öll bil þar sem er hvelft. Tilgreinið alla beygjuskilapunkta fallsins Notið grafteikniforrit til að staðfesta niðurstöðurnar.
Lausn
Til að ákvarða kúpni þurfum við að finna aðra afleiðuna 𝑓″(𝑥). Fyrsta afleiðan er 𝑓′(𝑥)=3𝑥2−12𝑥+9, svo að önnur afleiðan er 𝑓″(𝑥)=6𝑥−12. Fallið getur aðeins breytt um sveigju þar sem 𝑓″(𝑥)=0 eða 𝑓″(𝑥) er óskilgreint. Þar sem 𝑓″ er skilgreint fyrir allar rauntölur 𝑥, nægir að leysa 𝑓″(𝑥)=0. Úr jöfnunni 6𝑥−12=0, fæst 𝑥=2 , eina gildið þar sem 𝑓 gæti breytt um sveigju. Veljum nú prófunarpunkta á bilunum (−∞,2) og (2,∞) til að ákvarða kúpni 𝑓. Nota má 𝑥=0 og 𝑥=3 .
Bil
Prófunarpunktur
Formerki f ″ ( x ) = 6 x − 12 í prófunarpunkti
Niðurstaða
( − ∞ , 2 )
𝑥 = 0 x = 0
− −
f er hvelft
( 2 , ∞ ) ( 2 , ∞ )
𝑥 = 3 x = 3
+ +
f er kúpt.
Fallið 𝑓 er því hvelft á bilinu (−∞,2) og kúpt á bilinu (2,∞). Þar sem 𝑓 breytir um sveigju þegar 𝑥=2, er punkturinn (2,𝑓(2))=(2,32) beygjuskilapunktur. Mynd 4.36 staðfestir niðurstöðurnar.
Mynd 4.36. Fallið hefur beygjuskilapunkt í ( 2 , 32 ) þar sem sveigja grafsins breytist.
Í tölu 4.1 tökum við saman upplýsingar um graf fallsins sem fást úr fyrstu og annarri afleiðu þess. Upplýsingarnar eru sýndar myndrænt á mynd 4.37.
Formerki f ′
Formerki f ″
Er f vaxandi eða minnkandi?
Kúpni
Jákvætt
Jákvætt
Vaxandi
Kúpt
Jákvætt
Neikvætt
Vaxandi
Hvelft
Neikvætt
Jákvætt
Minnkandi
Kúpt
Neikvætt
Neikvætt
Minnkandi
Hvelft
Mynd 4.37. Lítum á tvisvar deildanlegt 𝑓all f á opnu bili 𝐼. Ef 𝑓′(𝑥)>0 fyrir öll 𝑥∈𝐼, er fallið vaxandi á 𝐼. Ef 𝑓′(𝑥)<0 fyrir öll 𝑥∈𝐼, er fallið minnkandi á 𝐼. Ef 𝑓″(𝑥)>0 fyrir öll 𝑥∈𝐼, er fallið kúpt á I . Ef 𝑓″(𝑥)<0 fyrir öll 𝑥∈𝐼, er fallið hvelft á 𝐼.
Annað afleiðuprófið
Fyrsta afleiðuprófið er greiningaraðferð til að finna staðbundin útgildi, en einnig má nota aðra afleiðu í sama tilgangi. Sú aðferð er stundum einfaldari en að nota fyrstu afleiðuna.
Ef samfellt fall hefur staðbundið útgildi hlýtur það að vera í stöðupunkti, en ekki er víst að staðbundið útgildi sé í sérhverjum stöðupunkti. Annað afleiðuprófið sker úr um þetta í mörgum tilvikum. Látum vera tvisvar deildanlegt fall þannig að og sé samfellt á opnu bili sem inniheldur Gerum fyrst ráð fyrir að Þar sem er samfellt á gildir fyrir öll (Mynd 4.38). Eins og segir í fylgisetningu er minnkandi á Þar sem ályktum við að fyrir öll ef og ef Samkvæmt fyrsta afleiðuprófinu hefur því staðbundið hágildi þegar Gerum hins vegar ráð fyrir að til sé gildi þannig að en Þar sem er samfellt á opnu bili sem inniheldur þá er fyrir öll (Mynd 4.38). Svo sem fram kemur í fylgisetningu er vaxandi á Þar sem ályktum við að fyrir öll ef og ef Samkvæmt fyrsta afleiðuprófinu hefur því staðbundið lággildi þegar
Mynd 4.38. Lítum á tvisvar deildanlegt fall þannig að sé samfellt. Þar sem og er til bil sem inniheldur þannig að ef tilheyrir þá er vaxandi ef og er minnkandi ef Því hefur staðbundið hágildi þegar Þar sem og er til bil sem inniheldur þannig að ef tilheyrir þá er minnkandi ef og er vaxandi ef Því hefur staðbundið lággildi þegar
Athugið að í tilviki iii, þegar getur haft staðbundið hágildi, staðbundið lággildi eða hvorugt í Til dæmis hafa föllin og öll stöðupunkt þegar Önnur afleiða þeirra er núll þegar Fallið hefur hins vegar staðbundið lággildi þegar , en fallið hefur staðbundið hágildi þegar núll er gildi breytunnar en fallið hefur ekki staðbundið útgildi þegar
Skoðum nú hvernig nota má annað afleiðuprófið til að ákvarða hvort hafi staðbundið hágildi eða staðbundið lággildi í stöðupunkti þar sem
Dæmi 4.20
Notkun annars afleiðuprófsins
Notið aðra afleiðu til að finna öll staðbundin útgildi fallsins 𝑓(𝑥)=𝑥5−5𝑥3.
Lausn
Til að beita öðru afleiðuprófinu þurfum við fyrst að finna stöðupunkta þar sem Afleiðan er Því er þegar
Til að ákvarða hvort 𝑓 hafi staðbundin útgildi við einhver þessara gilda þurfum við að reikna 𝑓″ þar. Önnur afleiðan er
Í tö𝑓lunni hér á eftir reiknum við aðra afleiðu við hvert stöðugildi og notum annað afleiðuprófið til að ákvarða hvort f hafi staðbundið hágildi eða lággildi þar.
𝑥 x
𝑓 ″ ( 𝑥 ) f ″ ( x )
Niðurstaða
− √ 3 − 3
− 3 0 √ 3 −30 3
Staðbundið hágildi
0 0
0 0
Annað afleiðuprófið gefur ekki ótvíræða niðurstöðu
√ 3 3
3 0 √ 3 30 3
Staðbundið lággildi
Samkvæmt öðru afleiðuprófinu hefur staðbundið hágildi þegar og hefur staðbundið lággildi þegar Prófið gefur enga niðurstöðu þegar Til að ákvarða hvort hafi staðbundið útgildi þegar beitum við fyrsta afleiðuprófinu. Til að ákvarða formerki á bilinu og veljum við og sem prófunarpunkta. Þar sem og er minnkandi á báðum bilunum. Fallið hefur því ekki staðbundið útgildi þegar eins og sést á grafinu hér á eftir.
Mynd 4.39. Fallið f hefur staðbundið hágildi í x = − 3 og staðbundið lággildi í x = 3
Við höfum nú öðlast þær aðferðir sem þarf til að ákvarða hvar fall er vaxandi eða minnkandi og til að lýsa grunnlögun grafs þess. Í næsta undirkafla könnum við hegðun falls þegar Að því loknu getum við teiknað nákvæm gröf af fjölbreyttum föllum.
Æfingar í undirkafla 4.5
194.
Ef 𝑐 er stöðugildi fallsins 𝑓(𝑥), hvenær hefur fallið hvorki staðbundið hágildi né lággildi við 𝑐? Útskýrið.
195.
Í fallinu er bæði beygjuskilapunktur og staðbundið útgildi?
196.
Hefur fallið beygjuskilapunkt við ?
197.
Getur punkturinn á grafi tvisvar deildanlegs falls verið bæði beygjuskilapunktur og staðbundið útgildi?
198.
Hvers vegna er samfelldni nauðsynleg fyrir fyrsta afleiðuprófið? Setjið fram dæmi.
199.
Útskýrið hvort hvelft fall þurfi að skera línuna 𝑦=0 fyrir eitthvert gildi 𝑥.
200.
Útskýrið hvort margliða af stigi geti haft beygjuskilapunkt.
Í æfingunum hér á eftir skal greina gröf afleiðufallanna og tilgreina bilin þar sem er vaxandi eða minnkandi.
201.
202.
203.
204.
205.
Í æfingunum hér á eftir skal greina gröf og tilgreina
er vaxandi eða minnkandi og
hvar lággildi og hágildi eru.
206.
207.
208.
209.
210.
Í æfingunum hér á eftir skal greina gröf afleiðufallanna og tilgreina alla beygjuskilapunkta og þau bil þar sem er kúpt eða hvelft.
211.
212.
213.
214.
215.
Í eftirfarandi æfingum skal teikna graf sem uppfyllir gefin skilyrði fyrir skilgreiningarmengið Fallið þarf hvorki að vera samfellt né deildanlegt.
216.
𝑓(𝑥)>0,𝑓′(𝑥)>0 yfir 𝑥>1,−3<𝑥<0,𝑓′(𝑥)=0 yfir 0<𝑥<1
217.
þegar þegar fyrir öll
218.
þegar staðbundið hágildi þegar og staðbundin lággildi þegar
219.
Fallið hefur staðbundið hágildi þegar 𝑥=2, og staðbundið lággildi þegar 𝑥=1, en grafið er hvorki kúpt né hvelft.
220.
Fallið hefur staðbundin hágildi þegar er kúpt fyrir öll og er jafnframt jákvætt fyrir öll
Í eftirfarandi æfingum skal ákvarða
bil þar sem er vaxandi eða minnkandi og
staðbundin lággildi og hágildi fallsins
Notið reiknivél til að teikna gröf fallanna ef þörf krefur, en sýnið útreikninga ykkar.
221.
𝑓(𝑥)=sin𝑥+sin3𝑥 yfir −𝜋<𝑥<𝜋
222.
𝑓(𝑥)=𝑥2+cos𝑥
Í æ ingunum hér á eftir skal ákvarða a) bilin þar sem f er kúpt eða hvelft og b) beygjuskilapunkta fallsins
223.
𝑓(𝑥)=𝑥3−4𝑥2+𝑥+2
Í eftirfarandi æfingum skal ákvarða
bil þar sem er vaxandi eða minnkandi,
staðbundin lággildi og hágildi fallsins
bil þar sem er kúpt og bil þar sem það er hvelft, og
beygjuskilapunkta
224.
𝑓(𝑥)=𝑥2−6𝑥
225.
𝑓(𝑥)=𝑥3−6𝑥2
226.
𝑓(𝑥)=𝑥4−6𝑥3
227.
𝑓(𝑥)=𝑥11−6𝑥10
228.
𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥2−𝑥3
229.
𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑥+1
230.
𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑥4
Í eftirfarandi æfingum skal ákvarða
bil þar sem er vaxandi eða minnkandi,
staðbundin lággildi og hágildi fallsins 𝑓,
bil þar sem er kúpt og bil þar sem það er hvelft, og
beygjuskilapunkta fallsins 𝑓. Teiknið ferilinn og berið svarið síðan saman við niðurstöður reiknivélar. Ef ekki er unnt að finna nákvæmt svar með greiningu skal nota reiknivél.
231.
[T]𝑓(𝑥)=sin(𝜋𝑥)−cos(𝜋𝑥) yfir 𝑥=[−1,1]
232.
[T] 𝑓(𝑥)=𝑥+sin(2𝑥) á bilinu 𝑥=[−𝜋2,𝜋2]
233.
[T]𝑓(𝑥)=sin𝑥+tan𝑥 yfir (−𝜋2,𝜋2)
234.
[T]𝑓(𝑥)=(𝑥−2)2(𝑥−4)2
235.
[T]𝑓(𝑥)=11−𝑥,𝑥≠1
236.
[T]𝑓(𝑥)=sin𝑥𝑥 yfir 𝑥=[2𝜋,0)∪(0,2𝜋]
237.
𝑓(𝑥)=sin(𝑥)𝑒𝑥 yfir 𝑥=[−𝜋,𝜋]
238.
𝑓(𝑥)=(ln𝑥)√𝑥,𝑥>0
239.
𝑓(𝑥)=14√𝑥+1𝑥,𝑥>0
240.
𝑓(𝑥)=𝑒𝑥𝑥,𝑥≠0
Í æfingunum hér á eftir skal túlka setningarnar með hliðsjón af
241.
Sto 𝑓 ninn vex hægar. Hér táknar f stofnstærðina.
242.
Reiðhjólið hefur meiri hröðun en bíllinn, en bíllinn fer hraðar. Hér er staðsetning reiðhjólsins að frádreginni staðsetningu bílsins.
243.
Flugvélin lendir mjúklega. Hér er hæð flugvélarinnar.
244.
Fyrirtæki 𝑓 ylgist með launakostnaði yfir árið. Þann 1. júlí er kostnaðurinn í hámarki. Hér táknar f launakostnaðinn.
245.
E𝑓nahagslífið tekur við sér. Hér er f mælikvarði á efnahagslífið, svo sem verg landsframleiðsla.
Í æfingunum hér á eftir skal skoða þriðja stigs margliðu sem uppfyllir . Skilyrðin eiga ekki við um æfingar 249 og 250. Ákvarðið hvort fullyrðingarnar séu sannar eða ósannar og rökstyðjið svarið.
246.
𝑓(𝑥)=0 fyrir eitthvert 1≤𝑥≤3
247.
𝑓″(𝑥)=0 fyrir eitthvert 1≤𝑥≤3
248.
Ekkert algilt hágildi er við
249.
Ef hefur þrjár rætur hefur fallið nákvæmlega beygjuskilapunkt.
250.
Ef 𝑓(𝑥) hefur einn beygjuskilapunkt hefur fallið þrjár raunarætur.
