Meginatriði

Meginatriði

4.1 Tengdir breytingarhraðar

• Til að leysa verkefni um tengda breytingarhraða skal fyrst teikna mynd sem sýnir sambandið milli tveggja eða fleiri tengdra stærða sem breytast með tíma.
• Tilgreinið hvaða upplýsingar eru gefnar um stærðirnar og hvaða breytingarhraða á að finna.
• Finnið jöfnu sem tengir stærðirnar.
• Notið deildun og beitið keðjureglunni eftir þörfum til að finna jöfnu sem tengir breytingarhraðana.
• Gætið þess að setja ekki gildi breytilegrar stærðar inn fyrir eina af breytunum fyrr en fundin hefur verið jafna sem tengir breytingarhraðana.

4.2 Línulegar nálganir og deildi

• Deildanlegt fall $y=f(x)$ má nálga við $a$ með línulega fallinu
  
  $$L(x)=f(a)+f\prime (a)(x-a).$$
  $$L(x)=f(a)+f\prime (a)(x-a).$$
• Fyrir fall $y=f(x),$ ef $x$ breytist úr $a$ í $a+dx,$ þá er
  
  $$dy=f\prime (x)dx$$
  
  nálgun á breytingunni á $y.$ Raunveruleg breyting á $y$ er
  
  $$\text{Δ}y=f(a+dx)-f(a).$$
  $$dy=f\prime (x)dx$$
  $$y=f(a+dx)-f(a)$$
• Mæliskekkja $dx$ getur leitt til skekkju í reiknaðri stærð $f(x).$ Skekkjan í reiknuðu stærðinni kallast yfirfærð skekkja. Yfirfærðu skekkjuna má áætla með
  
  $$dy\approx f\prime (x)dx.$$
  $$dy\approx f\prime (x)dx.$$
• Til að meta hlutfallslega skekkju tiltekinnar stærðar $q,$ metum við $\frac{\text{Δ}q}{q}.$

4.3 Hágildi og lággildi

• Fall getur haft bæði algilt hágildi og algilt lággildi, aðeins annað þessara algildu útgilda eða hvorki algilt hágildi né algilt lággildi.
• Ef fall hefur staðbundið útgildi í punkti verður sá punktur að vera stöðupunktur. Fall þarf þó ekki að hafa staðbundið útgildi í stöðupunkti.
• Samfellt fall á lokuðu og takmörkuðu bili hefur algilt hágildi og algilt lággildi. Hvort útgildi um sig er í stöðupunkti eða endapunkti.

4.4 Meðalgildissetningin

• Ef $f$ er samfellt á $[a,b]$ og deildanlegt á $\left(a,b\right)$ og $f\left(a\right)=f\left(b\right),$ þá er til punktur $c\in \left(a,b\right)$ þannig að $f^{\prime }\left(c\right)=0.$ Þetta er setning Rolle.
• Ef $f$ er samfellt á $[a,b]$ og deildanlegt á $\left(a,b\right),$ þá er til punktur $c\in \left(a,b\right)$ þannig að
  
  $$f\prime \left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}.$$
  
  Þetta er meðalgildissetningin.
  $$f\prime \left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}.$$
• Ef $f\prime (x)=0$ á bili $I,$ þá er gildi fallsins $f$ hið sama alls staðar á $I.$
• Ef tvö deildanleg föll $f$ og $g$ uppfylla $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)$ á $I,$ þá er $f\left(x\right)=g\left(x\right)+C$ fyrir einhvern fasta $C.$
• Ef $f^{\prime }\left(x\right)>0$ á bili $I,$ þá er $f$ vaxandi á $I.$ Ef $f^{\prime }(x)<0$ á $I,$ þá er $f$ minnkandi á $I.$

4.5 Afleiður og lögun grafs

• Ef $c$ er stöðupunktur fallsins $f$ og $f^{\prime }\left(x\right)>0$ fyrir $x<c$ og $f^{\prime }\left(x\right)<0$ fyrir $x>c,$ þá hefur $f$ staðbundið hágildi í $c.$
• Ef $c$ er stöðupunktur fallsins $f$ og $f^{\prime }\left(x\right)<0$ fyrir $x<c$ og $f^{\prime }\left(x\right)>0$ fyrir $x>c,$ þá hefur $f$ staðbundið lággildi í $c.$
• Ef $f^{″}\left(x\right)>0$ á bili $I,$ þá er $f$ kúpt á $I.$
• Ef $f^{″}\left(x\right)<0$ á bili $I,$ þá er $f$ hvelft á $I.$
• Ef $f^{\prime }\left(c\right)=0$ og $f^{″}\left(c\right)>0,$ þá hefur $f$ staðbundið lággildi í $c.$
• Ef $f^{\prime }\left(c\right)=0$ og $f^{″}\left(c\right)<0,$ þá hefur $f$ staðbundið hágildi í $c.$
• Ef $f^{\prime }\left(c\right)=0$ og $f^{″}\left(c\right)=0,$ þá skal reikna gildi $f^{\prime }\left(x\right)$ í prófunarpunkti $x$ vinstra megin við $c$ og í prófunarpunkti $x$ hægra megin við $c,$ til að ákvarða hvort $f$ hafi staðbundið útgildi í $c.$

4.6 Markgildi þegar x stefnir á óendanlegt og aðfellur

• Markgildi $f\left(x\right)$ er $L$ þegar $x\to \infty$ (eða þegar $x\to \text{−}\infty )$ ef gildin $f\left(x\right)$ komast eins nálægt $L$ og óskað er þegar $x$ verður nægilega stórt.
• Markgildi $f\left(x\right)$ er $\infty$ þegar $x\to \infty$ ef $f\left(x\right)$ verður ótakmarkað stórt þegar $x$ verður nægilega stórt. Markgildi $f\left(x\right)$ er $\text{−}\infty$ þegar $x\to \infty$ ef $f\left(x\right)<0$ og $\left|f\left(x\right)\right|$ verður ótakmarkað stórt þegar $x$ verður nægilega stórt. Á svipaðan hátt getum við skilgreint markgildi $f\left(x\right)$ þegar $x$ stefnir á $\text{−}\infty$.
• Fyrir margliðufall $p\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\text{…}+a_{1}x+a_0,$ þar sem $a_n\ne 0,$ ræðst endahegðunin af forystuliðnum $a_n{x}^n.$ Ef $n\ne 0,$ $p\left(x\right)$ stefnir á $\infty$ eða $\text{−}\infty$ í báðar áttir.
• Fyrir rætt fall $f\left(x\right)=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)},$ ræðst endahegðunin af samanburði á stigi $p$ og stigi $q.$ Ef stig $p$ er lægra en stig $q,$ er línan $y=0$ lárétt aðfella fallsins $f.$ Ef stig $p$ er jafnt stigi $q,$ er línan $y=\frac{a_n}{b_n}$ lárétt aðfella, þar sem $a_n$ og $b_n$ eru forystustuðlar $p$ og $q,$ í þeirri röð. Ef stig $p$ er hærra en stig $q,$ þá stefnir $f$ á $\infty$ eða $\text{−}\infty$ í báðar áttir.

4.7 Hagnýt bestunarverkefni

• Til að leysa bestunarverkefni skal byrja á því að teikna mynd og skilgreina breytur.
• Finnið jöfnu sem tengir breyturnar.
• Finnið fall af einni breytu sem lýsir stærðinni sem á að lágmarka eða hámarka.
• Leitið að stöðupunktum til að finna staðbundin útgildi.

4.8 Regla l’Hôpital

• Nota má reglu l’Hôpital til að reikna markgildi kvóta þegar óákveðna formið $\frac{0}{0}$ eða $\infty \text{/}\infty$ kemur fyrir.
• Reglu l’Hôpital má einnig beita á önnur óákveðin form ef unnt er að umrita þau sem markgildi kvóta á forminu $\frac{0}{0}$ eða $\infty \text{/}\infty .$
• Vísisfallið $e^x$ vex hraðar en sérhvert veldisfall $x^p,$ $p>0.$
• Lografallið $\text{ln}x$ vex hægar en sérhvert veldisfall $x^p,$ $p>0.$

4.9 Aðferð Newtons

• Aðferð Newtons er notuð til að nálga lausnir jöfnunnar $f\left(x\right)=0$. Fyrst er valin upphafsnálgun $x_0,$ en síðan eru snertlar við graf $f$ notaðir til að mynda runu nálgunargilda $x_1,x_2,x_3\text{,…}.$
• Aðferð Newtons er yfirleitt skilvirk leið til að finna tiltekna núllstöð. Í sumum tilvikum bregst aðferðin vegna þess að talnarunan $x_0,x_1,x_2\text{,…}$ stefnir ekki á endanlegt gildi eða stefnir á annað gildi en núllstöðina sem leitað er að.
• Ferli þar sem talnaruna $x_0,x_1,x_2\text{,…}$ er mynduð með því að velja upphafstölu $x_0$ og ákvarða síðari tölur með jöfnunni $x_n=F\left(x_{n-1}\right)$ fyrir eitthvert fall $F$ nefnist ítrunarferli. Aðferð Newtons er dæmi um slíkt ferli; þar er fallið skilgreint með $F\left(x\right)=x-\left[\frac{f\left(x\right)}{f^{\prime }\left(x\right)}\right]$ fyrir gefið fall $f.$

4.10 Stofnföll

• Ef $F$ er stofnfall fyrir $f,$ þá er sérhvert stofnfall fyrir $f$ á forminu $F\left(x\right)+C$ fyrir einhvern fasta $C.$
• Til að leysa upphafsgildisverkefnið
  
  $$\frac{dy}{dx}=f\left(x\right),y\left(x_0\right)=y_0$$
  
  þarf fyrst að finna mengi stofnfalla fyrir $f$ og síðan það tiltekna stofnfall sem uppfyllir upphafsskilyrðið.
  $$\frac{dy}{dx}=f\left(x\right),y\left(x_0\right)=y_0$$