4.3 Hágildi og lággildi
4.3 Hágildi og lággildi
Námsmarkmið
- 4.3.1 Skilgreina algild hágildi og lággildi.
- 4.3.2 Skilgreina staðbundin hágildi og lággildi.
- 4.3.3 Útskýra hvernig finna má stöðupunkta falls á lokuðu bili.
- 4.3.4 Lýsa því hvernig nota má stöðupunkta til að finna algild hágildi og lággildi á lokuðu bili.
Þegar tiltekið fall er gefið höfum við oft áhuga á að ákvarða stærstu og minnstu gildi þess. Þessar upplýsingar eru mikilvægar við gerð nákvæmra grafa. Það hefur einnig hagnýta þýðingu að finna hágildi og lággildi falls, því að með þessari aðferð getum við leyst bestunarverkefni, svo sem að hámarka hagnað, lágmarka það efnismagn sem notað er við framleiðslu áldósar eða finna mestu hæð sem eldflaug getur náð. Í þessum undirkafla skoðum við hvernig nota má afleiður til að finna stærstu og minnstu gildi falls.
Algild útgildi
Skoðum fallið á bilinu Þegar Fallið hefur því ekkert stærsta gildi. Þar sem fyrir allar rauntölur og þegar hefur fallið hins vegar minnsta gildið 1 þegar Gildið 1 er algilt lággildi fallsins og það fæst þegar Fallið hefur ekkert algilt hágildi (sjá myndina hér á eftir).
Áður en lengra er haldið skulum við benda á tvö mikilvæg atriði varðandi þessa skilgreiningu. Í fyrsta lagi vísar orðið algilt hér ekki til algildis. Algilt útgildi getur verið jákvætt, neikvætt eða núll. Í öðru lagi gildir eftirfarandi: Ef fall hefur algilt útgildi á bili í þá er algilda útgildið Rauntalan er það gildi í skilgreiningarmenginu þar sem algilda útgildið fæst. Skoðum til dæmis fallið á bilinu Þar sem
fyrir allar rauntölur segjum við að hafi algilt hágildi á þegar Algilda hágildið er Það fæst þegar eins og sýnt er á mynd 4.13(b).
Fall getur haft bæði algilt hágildi og algilt lággildi, aðeins annað útgildið eða hvorugt. Mynd 4.13 sýnir nokkur föll og ýmsa möguleika varðandi algild útgildi. Eftirfarandi setning, sem nefnist útgildissetningin, tryggir hins vegar að samfellt fall á lokuðu, takmörkuðu bili hafi bæði algilt hágildi og algilt lággildi.
![Myndin skiptist í sex hluta, a, b, c, d, e og f. Á mynd a sést graf fallsins f(x) = x3 og tekið er fram að fallið hafi hvorki algilt lággildi né algilt hágildi. Á mynd b sést graf fallsins f(x) = 1/(x2 + 1). Grafið liggur nálægt 0 að mestu en rís upp að punktinum (0, 1); fallið hefur ekkert algilt lággildi en algilda hágildið 1 þegar x = 0. Á mynd c sést graf fallsins f(x) = cos x. Fallið hefur algildu lággildin −1 þegar x = ±π, ±3π, … og algildu hágildin 1 þegar x = 0, ±2π, ±4π, …. Á mynd d sést hlutskilgreinda fallið f(x) = 2 – x2 þegar 0 ≤ x < 2 og x – 3 þegar 2 ≤ x ≤ 4. Það hefur algilda hágildið 2 þegar x = 0 en ekkert algilt lággildi. Á mynd e sést fallið f(x) = (x – 2)2 á [1, 4]. Það hefur algilda hágildið 4 þegar x = 4 og algilda lággildið 0 þegar x = 2. Á mynd f sést fallið f(x) = x/(2 − x) á [0, 2). Það hefur algilda lággildið 0 þegar x = 0 en ekkert algilt hágildi.](https://m4u5rs6quwqmofe9.public.blob.vercel-storage.com/openstax/calculus-volume-1/is/image-v3/06cdd0c1e8b3c7b417bf7fd9184bc0453f59775d/rendered.png?v=d871acf71489)
Sönnun útgildissetningarinnar er utan efnisramma þessarar bókar. Yfirleitt er hún sönnuð í námskeiði í raungreiningu. Rétt er að benda á nokkur lykilatriði í setningunni. Til þess að útgildissetningin eigi við verður fallið að vera samfellt á lokuðu og takmörkuðu bili. Ef bilið er opið eða fallið hefur jafnvel aðeins einn ósamfellupunkt er ekki víst að fallið hafi algilt hágildi eða algilt lággildi á Skoðum til dæmis föllin sem sýnd eru á mynd 4.13(d), (e) og (f). Öll föllin þrjú eru skilgreind á takmörkuðum bilum. Fallið á grafi (e) er þó hið eina þeirra sem hefur bæði algilt hágildi og algilt lággildi á skilgreiningarmengi sínu. Ekki er hægt að beita útgildissetningunni á föllin á gröfum (d) og (f), því hvorugt þeirra er samfellt á lokuðu og takmörkuðu bili. Þótt fallið á grafi (d) sé skilgreint á lokaða bilinu er það ósamfellt þegar Fallið hefur algilt hágildi á en ekkert algilt lággildi. Fallið á grafi (f) er samfellt á hálfopna bilinu en er ekki skilgreint þegar og er því ekki samfellt á lokuðu og takmörkuðu bili. Fallið hefur algilt lággildi á en ekkert algilt hágildi á Þessi tvö gröf sýna hvers vegna fall á takmörkuðu bili kann að hafa aðeins annað algildu útgildanna eða hvorugt þeirra.
Áður en við skoðum hvernig finna má algild hágildi og lággildi skulum við kanna skylt hugtak: staðbundin hágildi og lággildi. Hugtakið nýtist við að ákvarða hvar algild hágildi og lággildi koma fyrir.
Staðbundin útgildi og stöðupunktar
Skoðum fallið sem sýnt er á mynd 4.14. Lýsa má grafinu sem tveimur fjöllum með dal á milli. Algilt hágildi fallsins er á hærri tindinum þegar Punkturinn er þó einnig athyglisverður. Þótt sé ekki stærsta gildi er stærra en fyrir öll nálægt 0. Við segjum að hafi staðbundið hágildi þegar Fallið hefur ekkert algilt lággildi en hefur staðbundið lággildi þegar vegna þess að er minna en fyrir nálægt 1.
Athugið að ef hefur algilt útgildi í og er skilgreint á bili sem inniheldur þá telst einnig staðbundið útgildi. Ef algilt útgildi fallsins er í endapunkti teljum við það ekki staðbundið útgildi heldur köllum það endaútgildi.
Þegar gra falls f er gefið er stundum auðvelt að sjá hvar staðbundið hágildi eða lággildi kemur fyrir. Það er þó ekki alltaf auðvelt, því að áhugaverðir eiginleikar grafsins kunna að sjást illa þegar þeir koma fram á mjög litlum kvarða. Einnig er ekki víst að graf fallsins liggi fyrir. Hvernig má þá nota formúlu fallsins til að ákvarða hvar þessi útgildi koma fyrir?
Til að svara þessari spurningu skulum við skoða mynd 4.14 aftur. Staðbundin hágildi og lággildi koma fyrir þegar og Takið eftir að þegar og er afleiðan Þegar er afleiðan ekki til, því að fallið (hér táknað með ) hefur hornpunkt þar. Ef f hefur staðbundið hágildi eða lággildi í punkti þar sem verður afleiðan að uppfylla annað eftirfarandi skilyrða: Annaðhvort er eða óskilgreind. Slíkt gildi nefnist stöðupunktur og gegnir mikilvægu hlutverki þegar útgildi falla eru fundin.
Ef hefur staðbundið útgildi í punkti þá verður að vera stöðupunktur fallsins Þessi niðurstaða nefnist setning Fermats.
Sönnun
Gerum ráð fyrir að hafi staðbundið útgildi í og að sé deildanlegt í Við þurfum að sýna að Til þess sýnum við að og og þar með að Þar sem hefur staðbundið útgildi í hefur fallið annaðhvort staðbundið hágildi eða staðbundið lággildi í Gerum ráð fyrir að hafi staðbundið hágildi í Tilvikið þar sem hefur staðbundið lággildi í er meðhöndlað á sama hátt. Þá er til opið bil þannig að fyrir öll Þar sem er deildanlegt í leiðir af skilgreiningu afleiðunnar að
Þar sem þetta markgildi er til eru bæði einhliða markgildin einnig til og jöfn Því er
og
Þar sem er staðbundið hágildi sjáum við að fyrir nálægt Því gildir fyrir nálægt en að Af jöfnu 4.4 ályktum við að Á sama hátt má sýna að Því gildir að
□
Af setningu Fermats leiðir að ef hefur staðbundið útgildi í þá er annaðhvort eða óskilgreint. Með öðrum orðum geta staðbundin útgildi aðeins komið fyrir í stöðupunktum.
Setningin fullyrðir ekki að fallið verði að hafa staðbundið útgildi í stöðupunkti. Hún segir aðeins að stöðupunktar komi til greina sem staðir staðbundinna útgilda. Skoðum til dæmis fallið Við höfum þegar Því er stöðupunktur. Fallið er hins vegar vaxandi á og hefur því ekki staðbundið útgildi þegar Á mynd 4.15 sjáum við nokkra ólíka möguleika fyrir stöðupunkta. Í sumum þessara tilvika hafa föllin staðbundin útgildi í stöðupunktum en í öðrum ekki. Athugið að gröfin sýna ekki alla mögulega hegðun falls í stöðupunkti.
Síðar í þessum kafla skoðum við greiningaraðferðir til að ákvarða hvort fall hafi í raun staðbundið útgildi í stöðupunkti. Beinum nú athyglinni að því að finna stöðupunkta. Við notum athuganir á gröfum til að ákvarða hvort stöðupunktur tengist staðbundnu útgildi.
Dæmi 4.12
Að finna stöðupunkta
Lausn
- Afleiðan 𝑓′(𝑥)=𝑥2−5𝑥+4 er skilgreind fyrir allar rauntölur 𝑥. Því þurfum við aðeins að finna þau gildi 𝑥 þar sem 𝑓′(𝑥)=0. Þar sem 𝑓′(𝑥)=𝑥2−5𝑥+4=(𝑥−4)(𝑥−1), eru stöðupunktarnir 𝑥=1 og 𝑥=4. Af grafi fallsins 𝑓 (hér táknað með 𝑓) á mynd 4.16 sjáum við að fallið hefur staðbundið hágildi þegar 𝑥=1 og staðbundið lággildi þegar 𝑥=4.
Mynd 4.16 Þetta fall hefur staðbundið hágildi og staðbundið lággildi. - Með keðjureglunni fæst afleiðan
Fallið hefur því stöðupunkta þegar og þegar Stöðupunktarnir eru Af grafi á mynd 4.17 sjáum við að hefur staðbundið (og algilt) lággildi þegar en ekkert staðbundið útgildi þegar eða
Mynd 4.17 Fallið hefur þrjá stöðupunkta: og Það hefur staðbundið (og algilt) lággildi þegar en ekkert útgildi í hinum stöðupunktunum tveimur. - Með deilireglunni fæst afleiðan
𝑓′(𝑥)=(1+𝑥2)(4)−4𝑥(2𝑥)(1+𝑥2)2=4−4𝑥2(1+𝑥2)2.
Afleiðan er skilgreind alls staðar. Því þurfum við aðeins að finna þau gildi 𝑥 þar sem 𝑓′(𝑥)=0. Þegar jafnan 𝑓′(𝑥)=0, er leyst fæst 4−4𝑥2=0, og þar með 𝑥=±1. Stöðupunktarnir eru því 𝑥=±1. Af grafi fallsins 𝑓 (hér táknað með 𝑓) á mynd 4.18 sjáum við að fallið hefur algilt hágildi þegar 𝑥=1 og algilt lággildi þegar 𝑥=−1. Fallið 𝑓 hefur því staðbundið hágildi þegar 𝑥=1 og staðbundið lággildi þegar 𝑥=−1. (Athugið að ef fallið 𝑓 hefur algilt útgildi á bili 𝐼 í punkti 𝑐 sem er ekki endapunktur 𝐼, þá hefur fallið 𝑓 staðbundið útgildi í 𝑐.)
Mynd 4.18 Þetta fall hefur algilt hágildi og algilt lággildi.
Að finna algild hágildi og lággildi
Útgildissetningin segir að samfellt fall á lokuðu og takmörkuðu bili hafi algilt hágildi og algilt lággildi. Eins og sýnt er á mynd 4.13 getur annað eða bæði þessara algildu útgilda verið í endapunkti. Ef algilt útgildi er ekki í endapunkti hlýtur það hins vegar að vera í innri punkti og er þá jafnframt staðbundið útgildi. Af setningu Fermats leiðir því að punkturinn , þar sem staðbundna útgildið er, verður að vera stöðupunktur. Þessi niðurstaða er tekin saman í eftirfarandi setningu.
Með þessa hugmynd í huga skulum við skoða aðferð til að finna algild útgildi.
Skoðum nú hvernig beita má þessari aðferð til að finna algilt hágildi og algilt lággildi samfelldra falla.
Dæmi 4.13
Að finna algild hágildi og lággildi
Lausn
- Skref 1. Reiknum í endapunktunum og
Skref 2. Þar sem er skilgreint fyrir allar rauntölur Því eru engir stöðupunktar þar sem afleiðan er óskilgreind. Eftir stendur að kanna hvar Þar sem þegar og er á bilinu kemur til greina sem algilt útgildi fallsins á Við reiknum og fáum
Skref 3. Við setjum upp eftirfarandi töflu til að bera saman gildin sem fengust í skrefum 1 og 2.
Niðurstaða Algilt hágildi Algilt lággildi
Af töflunni sést að algilt hágildi á bilinu [1, 3] er og það fæst þegar Algilt lággildi á bilinu [1, 3] er og það fæst þegar eins og sýnt er á eftirfarandi grafi.
Mynd 4.19 Þetta fall hefur bæði algilt hágildi og algilt lággildi. - Skref 1. Reiknum gildi í endapunktunum og
Skref 2. Afleiða er gefin með
þegar Afleiðan er núll þegar sem gefur Afleiðan er óskilgreind í Stöðupunktar eru því Punkturinn er endapunktur, svo við reiknuðum þegar gildi í skrefi 1. Punkturinn er ekki á bilinu sem um ræðir, svo við þurfum aðeins að reikna gildi Við fáum að
Skref 3. Við berum saman gildin sem fengust í skrefum 1 og 2 í eftirfarandi töflu.
Niðurstaða Algilt hágildi Algilt lággildi
Við ályktum að algilt hágildi á bilinu [0, 2] sé núll og það fæst þegar Algilda lággildið er −2 og það fæst þegar eins og sýnt er á eftirfarandi grafi.
Mynd 4.20 Þetta fall hefur algilt hágildi í endapunkti bilsins.
Nú kunnum við að finna algild hágildi og lággildi samfelldra falla á lokuðum bilum. Við höfum einnig skilgreint staðbundin hágildi og lággildi og komist að því að ef fall hefur staðbundið hágildi eða lággildi í punkti þá hlýtur að vera stöðupunktur fallsins Það nægir hins vegar ekki að sé stöðupunktur til þess að hafi staðbundið hágildi eða lággildi í Síðar í þessum kafla sýnum við hvernig ákvarða má hvort fall hafi í raun staðbundið hágildi eða lággildi í stöðupunkti. Fyrst þurfum við þó að kynna meðalgildissetninguna, sem kemur að gagni þegar hegðun grafs falls er greind.
Æfingar í kafla 4.3
Í eftirfarandi æfingum er fjallað um gullframleiðslu í gullæðinu í Kaliforníu (1848–1888). Lýsa má gullframleiðslunni með þar sem er fjöldi ára frá því að gullæðið hófst og er magn framleidds gulls í milljónum únsa. Yfirlit yfir gögnin er sýnt á eftirfarandi mynd.
