44 Notkun afleiða

4.1 Tengdir breytingarhraðar

Námsmarkmið

4.1.1 Tjá breytilegar stærðir með afleiðum.
4.1.2 Finna tengsl milli afleiðna í tilteknu verkefni.
4.1.3 Nota keðjuregluna til að finna breytingarhraða einnar stærðar sem ræðst af breytingarhraða annarra stærða.

Við höfum séð að þegar stærðir breytast með tímanum eru breytingarhraðar þeirra gefnir með afleiðum. Ef tvær tengdar stærðir breytast með tímanum eru breytingarhraðar þeirra innbyrðis tengdir. Ef lofti er til dæmis dælt í blöðru aukast bæði geisli hennar og rúmmál. Í þessum undirkafla skoðum við nokkur verkefni þar sem tvær eða fleiri tengdar stærðir breytast og könnum hvernig ákvarða má sambandið milli breytingarhraða þeirra.

Uppsetning verkefna um tengda breytingarhraða

Í mörgum raunverulegum viðfangsefnum breytast tengdar stærðir með tímanum. Ef við skoðum til dæmis blöðrudæmið aftur getum við sagt að breytingarhraði rúmmálsins, $V,$ tengist breytingarhraða geislans, $r .$ Í þessu tilviki segjum við að $\frac{d V}{d t}$ og $\frac{d r}{d t}$ séu tengdir breytingarhraðar vegna þess að V tengist r. Hér skoðum við nokkur dæmi um tengdar stærðir sem breytast með tímanum og könnum hvernig reikna má einn breytingarhraða þegar annar breytingarhraði er gefinn.

Dæmi 4.1

Að blása upp blöðru

Lofti er dælt í kúlulaga blöðru með föstum hraða $2 {cm}^{3} / sec$ (Mynd 4.2). Hversu hratt vex geislinn þegar hann er $3 cm ?$

Þrjár blöðrur eru sýndar á tímunum 1, 2 og 3. Rúmmál og geisli blaðranna vaxa eftir því sem tíminn líður. — **Mynd 4.2.** Þegar blaðran er fyllt með lofti vaxa bæði geisli hennar og rúmmál með tímanum.

Lausn

Rúmmál kúlu með geisla $r$ sentímetra er

V = \frac{4}{3} π r^{3} {cm}^{3} .

Þar sem lof 𝑡 $t$ i er dælt í blöðruna eru bæði rúmmál hennar og geisli föll af tíma. t sekúndum eftir að dælingin hefst er rúmmál loftsins í blöðrunni

V (t) = \frac{4}{3} π {[r (t)]}^{3} {cm}^{3} .

Með því að deilda báðar hliðar þessarar jöfnu með tilliti til tíma og beita keðjureglunni sjáum við að breytingarhraði rúmmálsins tengist breytingarhraða geislans með jöfnunni

V' (t) = 4 π {[r (t)]}^{2} r^{'} (t) .

Lofti er dælt í blöðruna með föstum hraða 2 cm3/sek., þannig að 𝑉′(𝑡)=2⁢cm3/sec. $V' (t) = 2 {cm}^{3} / sec .$ Því fæst

2 {cm}^{3} / sec = (4 π {[r (t)]}^{2} {cm}^{2}) \cdot (r' (t) cm/s),

sem gefur

r' (t) = \frac{1}{2 π {[r (t)]}^{2}} cm/sec .

Þegar geislinn $r = 3 cm,$

r' (t) = \frac{1}{18 π} cm/sec .

Áður en við skoðum fleiri dæmi skulum við lýsa lausnaraðferðinni sem notuð er í verkefnum um tengda breytingarhraða.

Athugið að þegar verkefni um tengda breytingarhraða er leyst skiptir sköpum að setja þekkt gildi ekki inn of snemma. Ef gildi breytilegrar stærðar er til dæmis sett inn í jöfnu áður en báðar hliðar jöfnunnar eru deildaðar verður farið með stærðina sem fasta og afleiða hennar kemur ekki fram í nýju jöfnunni sem fæst í skrefi 4. Við skoðum þessa hugsanlegu villu í eftirfarandi dæmi.

Dæmi um lausnarferlið

Beitum nú aðferðinni sem var lýst hér að framan til að leysa nokkur verkefni um tengda breytingarhraða. Fyrsta dæmið fjallar um flugvél sem flýgur yfir athuganda. Við skoðum sambandið milli hraða flugvélarinnar og breytingarhraða fjarlægðarinnar milli hennar og manneskju á jörðu niðri.

Dæmi 4.2

Flugvél á flugi í fastri hæð

Flugvél flýgur í fastri hæð 4000ft. $4000 ft .$ Maður fylgist með henni frá stað sem er 3000ft $3000 ft$ frá fótum útvarpsturns. Flugvélin flýgur lárétt frá manninum. Ef hraði hennar er 600ft/sec, $600 ft/sec,$ hversu hratt eykst fjarlægðin milli mannsins og flugvélarinnar þegar hún flýgur yfir útvarpsturninn?

Lausn

Skref 1. Teiknið mynd og skilgreinið breytur sem tákna hinar mismunandi stærðir sem koma við sögu.

Maðurinn á jörðinni, flugvélin í loftinu og útvarpsturninn, sem stendur við rétta hornið á jörðinni, mynda rétthyrndan þríhyrning. Langhliðin er s, fjarlægðin á jörðinni milli mannsins og útvarpsturnsins er x og hliðin á móti manninum (hæðin frá jörðinni að flugvélinni) er 4000 ft. — **Mynd 4.3.** Flugvél flýgur í fastri hæð, 4000 ft. Fjarlægðin milli mannsins og flugvélarinnar og fjarlægðin milli mannsins og punktsins á jörðinni beint undir flugvélinni breytast. Við táknum þessar stærðir með breytunum s og x , í sömu röð.

Eins og sjá má táknar 𝑥 $x$ fjarlægðina milli mann 𝑠 $s$ ins og punktsins á jörðinni beint undir flugvélinni. Breytan s táknar fjarlægðina milli mannsins og flugvélarinnar. Athugið að bæði 𝑥 $x$ og 𝑠 $s$ eru föll af tíma. Við skilgreinum ekki breytu fyrir hæð flugvélarinnar því hún helst í fastri hæð, 4000ft. $4000 ft .$ Hæð hlutar yfir jörðu er stysta fjarlægðin milli hlutarins og jarðarinnar. Línustrikið sem er 4000 ft að lengd er því hornrétt á línustrikið sem er 𝑥 $x$ fet að lengd og saman mynda þau rétthyrndan þríhyrning.

2. skref. Þar sem $x$ táknar láréttu fjarlægðina milli mannsins og punktsins á jörðinni beint undir flugvélinni, $d x / d t$ táknar hraða flugvélarinnar. Gefið er að hraði flugvélarinnar sé 600 ft/sec. Því er $\frac{d x}{d t} = 600$ ft/sec. Þar sem finna á breytingarhraða fjarlægðarinnar milli mannsins og flugvélarinnar þegar flugvélin er beint yfir fjarskiptaturninum þurfum við að finna $d s / d t$ þegar $x = 3000 ft .$

3. skref. Samkvæmt myndinni má nota Pýþagórasarsetninguna til að setja fram jöfnu sem tengir 𝑥 $x$ og 𝑠: $s :$

{[x (t)]}^{2} + 4000^{2} = {[s (t)]}^{2} .

Skref 4. Með því að deilda þessa jöfnu með tilliti til tíma og nýta að afleiða fasta er núll fáum við jöfnuna

x \frac{d x}{d t} = s \frac{d s}{d t} .

Skref 5. Finnið hve hratt fjarlægðin milli mannsins og flugvélarinnar eykst þegar flugvélin er beint yfir útvarpsturninum. Það er að segja: finnið 𝑑⁢𝑠𝑑⁢𝑡 $\frac{d s}{d t}$ þegar 𝑥=3000ft. $x = 3000 ft .$ Þar sem hraði flugvélarinnar er 600ft/sec, $600 ft/sec,$ vitum við að 𝑑⁢𝑥𝑑⁢𝑡=600ft/sec. $\frac{d x}{d t} = 600 ft/sec .$ Gildi 𝑠; $s;$ er ekki gefið beint. Þar sem finna á 𝑑⁢𝑠𝑑⁢𝑡 $\frac{d s}{d t}$ þegar 𝑥=3000ft, $x = 3000 ft,$ má hin 𝑠 $s$ vegar nota Pýþagórasarsetninguna til að ákvarða fjarlægðina s þegar 𝑥=3000 $x = 3000$ og hæðin er 4000ft. $4000 ft .$ Þegar jafnan er leyst

3000^{2} + 4000^{2} = s^{2}

með tilliti til 𝑠, $s,$ fæst 𝑠=5000ft $s = 5000 ft$ á því augnabliki sem um ræðir. Þegar þessi gildi eru sett inn fæst að 𝑑⁢𝑠/𝑑⁢𝑡 $d s / d t$ uppfyllir jöfnuna

(3000) (600) = (5000) \cdot \frac{d s}{d t} .

Því er

\frac{d s}{d t} = \frac{3000 \cdot 600}{5000} = 360 ft/sec .

Athugasemd: Þegar verkefni um tengda breytingarhraða eru leyst er mikilvægt að setja ekki tölugildi breytanna inn of snemma. Í 3. skrefi tengdum við til dæmis breytilegu stærðirnar 𝑥⁡(𝑡) $x (t)$ og 𝑠⁡(𝑡) $s (t)$ með jöfnunni

{[x (t)]}^{2} + 4000^{2} = {[s (t)]}^{2} .

Þar sem flugvélin helst í fastri hæð þarf ekki að skilgreina breytu fyrir hæðina og því má nota fastann 4000 til að tákna þá stærð. Hinar stærðirnar tvær breytast hins vegar. Ef við hefðum fyrir mistök sett 𝑥⁡(𝑡)=3000 $x (t) = 3000$ inn í jöfnuna áður en við deildum hefði jafnan orðið

3000^{2} + 4000^{2} = {[s (t)]}^{2} .

Eftir deildun yrði jafnan

0 = s (t) \frac{d s}{d t} .

Af þeim sökum myndum við ranglega álykta að $\frac{d s}{d t} = 0 .$

Nú snúum við aftur að verkefninu um eldflaugarskotið frá upphafi kaflans.

Dæmi 4.3

Upphafsdæmi kaflans: Eldflaugarskot

Ljósmynd af eldflaug í flugtaki. — **Mynd 4.4.** (mynd: verk Steve Jurvetson, Wikimedia Commons, aðlagað)

Eldflaug er skotin á loft þannig að hún stígur lóðrétt. Myndavél er staðsett 5000ft $5000 ft$ frá skotpallinum. Þegar eldflaugin er 1000ft $1000 ft$ fyrir ofan skotpallinn er hraði hennar 600ft/sec. $600 ft/sec .$ Finnið nauðsynlegan breytingarhraða hæðarhorns myndavélarinnar sem fall af tíma svo myndavélin haldi eldflauginni í mynd.

Lausn

Skref 1. Teiknið mynd og skilgreinið breyturnar.

Rétthyrndur þríhyrningur myndast þar sem myndavél er við annað hvassa hornið og eldflaug við hitt. Hornið við myndavélina er θ. Fjarlægðin frá eldflauginni til jarðar er h; athugið að þetta er mótlæga skammhlið hornsins θ. Aðlæga skammhlið hornsins θ er 5000 ft. — **Mynd 4.5.** Myndavél er staðsett 5000 ft frá skotpalli eldflaugarinnar. Hæð eldflaugarinnar og hæðarhorn myndavélarinnar breytast með tímanum. Við táknum þessar stærðir með breytunum h og θ , í sömu röð.

Látum ℎ $h$ tákna hæð eldflaugarinnar yfir skotpallinum og 𝜃 $θ$ tákna hornið milli sjónlínu myndavélarinnar og jarðarinnar.

Skref 2. Við ætlum að finna breytingarhraða hæðarhorns myndavélarinnar með tilliti til tíma þegar eldflaugin er 1000 ft yfir jörðu. Það er að segja, við þurfum að finna $\frac{d θ}{d t}$ þegar $h = 1000 ft .$ Á þeim tíma vitum við að hraði eldflaugarinnar er $\frac{d h}{d t} = 600 ft/sec .$

Skref 3. Nú þurfum við að finna jöfnu sem tengir stærðirnar tvær sem breytast með tilliti til tíma: $h$ og $θ .$ Hvernig getum við sett fram slíka jöfnu? Þar sem við höfum teiknað rétthyrndan þríhyrning er eðlilegt að huga að hornaföllum. Rifjum upp að $tan θ$ er hlutfall lengdar mótlægu skammhliðar þríhyrningsins og lengdar aðlægu skammhliðarinnar. Því fæst

tan θ = \frac{h}{5000} .

Af þessu fæst jafnan

h = 5000 \tan h = 5000 \tan

Skref 4. Með því að deilda þessa jöfnu með tilliti til tíma $t,$ fáum við

\frac{d h}{d t} = 5000 {sec}^{2} θ \frac{d θ}{d t} .

5. skref. Við viljum finna 𝑑⁢𝜃𝑑⁢𝑡 $\frac{d θ}{d t}$ þegar ℎ=1000ft. $h = 1000 ft .$ Á þessu augnabliki vitum við að 𝑑⁢ℎ𝑑⁢𝑡=600ft/sec. $\frac{d h}{d t} = 600 ft/sec .$ Við þurfum að ákvarða sec2⁢𝜃. ${sec}^{2} θ .$ Rifjum upp að sec⁡𝜃 $sec θ$ er hlutfall lengdar langhliðarinnar og lengdar aðlægu skammhliðarinnar. Lengd aðlægu skammhliðarinnar er 5000ft. $5000 ft .$ Til að ákvarða lengd langhliðarinnar notum við Pýþagórasarsetninguna: önnur skammhliðin er 5000ft, $5000 ft,$ hin er ℎ=1000ft, $h = 1000 ft,$ og langhliðin er 𝑐 $c$ fet, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Rétthyrndur þríhyrningur hefur horn af stærðinni θ. Langhliðin er c, mótlæga skammhlið hornsins θ er 1000 og aðlæga skammhlið hornsins θ er 5000.

Við sjáum að

1000^{2} + 5000^{2} = c^{2}

og við ályktum að langhliðin sé

c = 1000 \sqrt{26} ft .

Því gildir, þegar $h = 1000,$ að

{sec}^{2} θ = {(\frac{1000 \sqrt{26}}{5000})}^{2} = \frac{26}{25} .

Rifjum upp úr skrefi 4 að jafnan sem tengir 𝑑⁢𝜃𝑑⁢𝑡 $\frac{d θ}{d t}$ við gildin sem þekkt eru er

\frac{d h}{d t} = 5000 {sec}^{2} θ \frac{d θ}{d t} .

Þegar $h = 1000 ft,$ vitum við að $\frac{d h}{d t} = 600 ft/sec$ og ${sec}^{2} θ = \frac{26}{25} .$ Með því að setja þessi gildi inn í fyrri jöfnuna fáum við jöfnuna

600 = 5000 (\frac{26}{25}) \frac{d θ}{d t} .

Því er 𝑑⁢𝜃𝑑⁢𝑡=326rad/sec. $\frac{d θ}{d t} = \frac{3}{26} rad/sec .$

Í næsta dæmi skoðum við vatn sem rennur úr keilulaga trekt. Við berum saman hve hratt vatnshæðin lækkar og hve hratt rúmmál vatnsins minnkar.

Dæmi 4.4

Vatn rennur úr trekt

Vatn rennur úr botni keilulaga trektar með hraðanum 0.0⁢3ft3/sec. $0.0 {3 ft}^{3} /sec .$ Hæð trektarinnar er 2 ft og geislinn við efri brún hennar er 1ft. $1 ft .$ Með hvaða hraða breytist hæð vatnsins í trektinni þegar hæð vatnsins er 12ft? $\frac{1}{2} ft ?$

Lausn

Skref 1: Teiknið mynd og merkið breyturnar inn á hana.

Myndin sýnir trekt sem hefur hæðina 2 og geislann 1 við efri brúnina. Vatnið í trektinni nær upp í hæðina h og þar er geisli vatnsyfirborðsins r. — **Mynd 4.6.** Vatn rennur úr trekt sem er 2 ft á hæð og hefur geislann 1 ft. Vatnshæðin og geisli vatnsyfirborðsins breytast með tímanum. Við táknum þessar stærðir með breytunum h og r , í sömu röð.

Látum $h$ tákna hæð vatnsins í trektinni, $r$ tákna geisla vatnsflatarins og $V$ tákna rúmmál vatnsins.

Skref 2: Við þurfum að ákvarða $\frac{d h}{d t}$ þegar $h = \frac{1}{2} ft .$ Við vitum að $\frac{d V}{d t} = −0.03 {ft}^{3} /sec .$

Skref 3: Rúmmál vatnsins í keilunni er

V = \frac{1}{3} π r^{2} h .

Af myndinni sjáum við að þríhyrningarnir eru einslaga. Því er hlutfall samsvarandi hliða í þríhyrningunum tveimur hið sama. Þar af leiðandi er $\frac{r}{h} = \frac{1}{2}$ eða $r = \frac{h}{2} .$ Með því að nota þessa staðreynd má einfalda jöfnuna fyrir rúmmálið í

V = \frac{1}{3} π {(\frac{h}{2})}^{2} h = \frac{π}{12} h^{3} .

Skref 4: Með því að beita keðjureglunni við deildun beggja hliða þessarar jöfnu með tilliti til tíma $t,$ fáum við

\frac{d V}{d t} = \frac{π}{4} h^{2} \frac{d h}{d t} .

Skref 5: Við viljum finna 𝑑⁢ℎ𝑑⁢𝑡 $\frac{d h}{d t}$ þegar ℎ=12ft. $h = \frac{1}{2} ft .$ Þar sem vatnið rennur út með hraðanum 0.0⁢3ft3/sec, $0.0 {3 ft}^{3} /sec,$ vitum við að 𝑑⁢𝑉𝑑⁢𝑡=−0.03⁢ft3/sec. $\frac{d V}{d t} = −0.03 {ft}^{3} /sec .$ Því er

−0.03 = \frac{π}{4} {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{d h}{d t},

sem leiðir af sér

−0.03 = \frac{π}{16} \frac{d h}{d t} .

Af þessu leiðir að

\frac{d h}{d t} = - \frac{0.48}{π} = −0.153 ft/sec .

Æfingar í undirkafla 4.1

Í eftirfarandi æfingum skal finna umbeðnar stærðir út frá gefinni jöfnu.

Finnið $\frac{d y}{d t}$ þegar $x = 1$ og $y = x^{2} + 3$ ef $\frac{d x}{d t} = 4 .$

Finnið $\frac{d x}{d t}$ við $x = −2$ og $y = 2 x^{2} + 1$ ef $\frac{d y}{d t} = −1 .$

Finnið $\frac{d z}{d t}$ þegar $(x, y) = (1, 3)$ og $z^{2} = x^{2} + y^{2}$ ef $\frac{d x}{d t} = 4$ og $\frac{d y}{d t} = 3 .$

Í eftirfarandi æfingum skal teikna skýringarmynd af aðstæðunum ef þörf krefur og nota tengda breytingarhraða til að reikna út umbeðnar stærðir.

[T] Ef tvö rafviðnám eru hliðtengd er heildarviðnámið (mælt í ómum, táknað með gríska hástafnum ómega, $Ω)$ gefið með jöfnunni $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} .$ Ef $R_{1}$ eykst með hraðanum $0.5 Ω / min$ og $R_{2}$ minnkar með hraðanum $1.1 Ω/min,$ með hvaða hraða breytist heildarviðnámið þegar $R_{1} = 20 Ω$ og $R_{2} = 50 Ω$ ?

10 feta langur stigi hallar upp að vegg. Ef efri endi stigans rennur niður vegginn með hraðanum 2 fet/sek., hversu hratt færist neðri endinn eftir jörðinni þegar hann er 5 fet frá veggnum?

Rétthyrndur þríhyrningur myndast af stiga sem hallar upp að múrsteinsvegg. Stiginn myndar langhliðina og er 10 ft langur.

25 feta stigi hallar upp að vegg. Ef við ýtum stiganum í átt að veggnum með hraðanum 1 fet/sek. og neðri endi stigans er í upphafi $20 ft$ frá veggnum, hversu hratt færist stiginn upp vegginn $5 sec$ eftir að við byrjum að ýta?

Tvær flugvélar fljúga í sömu hæð: flugvél A flýgur í austurátt á 250 mi/h og flugvél B flýgur í norðurátt á $300 mi/h .$ Ef þær stefna báðar á sama flugvöll, sem er 30 mílur austan við flugvél A og 40 mílur norðan við flugvél B, hversu hratt breytist fjarlægðin milli flugvélanna?

Rétthyrndur þríhyrningur myndast af tveimur flugvélum, A og B, sem hreyfast hornrétt hvor á aðra. Langhliðin er fjarlægðin milli flugvéla A og B. Hinar hliðarnar eru framlengingar á flugleið hvorrar flugvélar þar til þær skerast.

Þú og vinur þinn hjólið að veitingastað. Þú telur hann vera í austurátt en vinur þinn í norðurátt. Þið leggið af stað frá sama stað; þú hjólar í austur með hraðanum 16 mph en vinur þinn hjólar norður með hraðanum 12mph $12 mph$ . Hversu hratt breytist fjarlægðin milli ykkar þegar þú hefur hjólað 4mi, $4 mi,$ ?

Tvær rútur aka eftir samsíða hraðbrautum sem eru 5mi $5 mi$ hvor frá annarri, önnur í austurátt og hin í vesturátt. Ef hvor rúta ekur með jöfnum hraða, 55mph, $55 mph,$ finnið þá breytingarhraða fjarlægðarinnar milli rútanna þegar þær eru 13mi $13 mi$ hvor frá annarri og stefna hvor á aðra.

10.

6 feta há manneskja gengur frá 10 feta háum ljósastaur með jöfnum hraða $3 ft/sec .$ Hversu hratt fjarlægist skuggaendinn staurinn þegar manneskjan er $10 ft$ frá staurnum?

Sýndur er ljósastaur sem er 10 ft hár. Hægra megin við hann stendur manneskja sem er 6 ft há. Lína liggur frá efsta hluta ljósastaursins, snertir hvirfil manneskjunnar og heldur síðan áfram niður að jörðu. Lengdin frá enda línunnar að þeim stað þar sem ljósastaurinn snertir jörðina er 10 + x. Fjarlægðin eftir jörðinni frá ljósastaurnum að manneskjunni er 10 og fjarlægðin frá manneskjunni að enda línunnar er x.

11.

Notið verkefnið á undan til að finna með hvaða hraða skuggaendinn fjarlægist manneskjuna þegar hún er 10 ft frá staurnum.

12.

5 feta há manneskja gengur í átt að vegg með hraðanum 2 ft/sec. Kastljós er á jörðinni 40 fet frá veggnum. Hversu hratt breytist hæð skugga manneskjunnar á veggnum þegar hún er 10 fet frá veggnum?

13.

Notið fyrra verkefnið til að finna breytingarhraða skuggans þegar manneskjan er 10 fet frá veggnum og gengur frá honum með hraðanum 2 fet/sekúndu.

14.

Þyrla hefst á loft frá jörðu og stígur beint upp með hraðanum 25 ft/sec. Þið leggið af stað beint undir þyrlunni og hlaupið eftir jörðinni með hraðanum 10 ft/sec. Finnið breytingarhraða fjarlægðarinnar milli ykkar og þyrlunnar eftir 5 sec.

15.

Notið fyrra verkefnið til að finna breytingarhraða fjarlægðarinnar milli ykkar og þyrlunnar þegar þyrlan er komin í 60 ft hæð, að því gefnu að hún hafi í upphafi verið 30 ft fyrir ofan ykkur.

Teiknið og merkið skýringarmyndir fyrir eftirfarandi æfingar til að auðvelda lausn verkefnanna um tengda breytingarhraða.

16.

Hliðarlengd tenings eykst um $\frac{1}{2}$ m/sek. Finnið breytingarhraða rúmmáls teningsins þegar hliðarlengd hans er 4 m.

17.

Rúmmál tenings minnkar um 10 m³/s. Finnið breytingarhraða hliðarlengdar teningsins þegar hún er 2 m.

18.

Geisli hrings eykst með hraðanum $2$ m/sec. Finnið breytingarhraða flatarmáls hringsins þegar geislinn er 5 m.

19.

Geisli kúlu minnkar með hraðanum 3 $3$ m/sek. Finnið hve hratt yfirborðsflatarmálið minnkar þegar geislinn er 10 m.

20.

Geisli kúlu eykst með hraðanum 1 $1$ m/sek. Finnið hve hratt rúmmálið eykst þegar geislinn er 20 $20$ m.

21.

Geisli kúlu eykst með hraðanum 9 cm/sec. Finnið geisla kúlunnar þegar rúmmál og geisli hennar aukast með sama tölulega hraða.

22.

Grunnlína þríhyrnings styttist um 1 cm/mín og hæð hans eykst um 5 cm/mín. Finnið breytingarhraða flatarmáls þríhyrningsins þegar hæðin er 22 cm og grunnlínan 10 cm.

23.

Í þríhyrningi eru tvær hliðar af fastri lengd, 3 ft og 5 ft. Hornið milli þessara tveggja hliða stækkar með hraðanum 0.1 rad/sec. Ákvarðið breytingarhraða flatarmáls þríhyrningsins þegar hornið milli hliðanna tveggja er $π / 6 .$

24.

Hæð þríhyrnings eykst um 2 cm/sek. og flatarmál hans eykst um 4 cm²/sek. Finnið breytingarhraða grunnlínu þríhyrningsins þegar hæð hans er 4 cm og flatarmálið er 20 cm².

Í eftirfarandi æfingum skal gera ráð fyrir beinni keilu sem vatn lekur úr. Keilulaga geymirinn er 16 ft á hæð og geisli hans er 5 ft.

25.

Hversu hratt breytist dýpt vatnsins þegar vatnshæðin er 10 ft ef vatn lekur úr keilunni með hraðanum 10 ft3/mín?

26.

Finnið breytingarhraða yfirborðsflatarmáls vatnsins þegar vatnshæðin er 10 ft ef vatn lekur úr keilunni með hraðanum 10 ft3/mín.

27.

Ef vatnsborðið lækkar um 3 in/min þegar vatnsdýptin er 8 ft skal ákvarða með hvaða hraða vatn lekur út úr keilunni.

28.

Vatn lekur úr lóðréttum sívalningi með hraðanum 1 ft³/sek. Ef sívalningurinn er 10 ft á hæð og hefur 1 ft geisla, með hvaða hraða breytist þá hæð vatnsins þegar hún er 6 ft?

29.

Vatn lekur úr lóðréttum sívalningi en ekki er unnt að ákvarða lekahraðann beint. Sívalningurinn er 2 m á hæð og hefur 2 m geisla. Finnið lekahraða vatnsins úr sívalningnum ef hæð vatnsins minnkar um 10 cm/min þegar hún er 1 m.

30.

Endafletir trogsins eru jafnarma þríhyrningar, 3 m á breidd og 4 m á hæð, og trogið er 10 m langt. Vatni er dælt í trogið með hraðanum $5 m^{3} /min .$ Hversu hratt breytist vatnshæðin þegar vatnið er 1 m djúpt?

Sýnt er trog með endafleti í laginu eins og jafnarma þríhyrningar. Þríhyrningarnir hafa breiddina 3 og hæðina 4. Troginu má skipta í rétthyrninga með lengdina 10. Nokkuð vatn er í troginu.

31.

Geymir er í laginu eins og ferstrendur pýramídi á hvolfi, með ferningslaga grunnflöt sem er 4 m á hlið og hæðina 12 m (sjá eftirfarandi mynd). Hversu hratt hækkar vatnsborðið þegar vatnið er 2 m djúpt ef vatni er dælt í geyminn með hraðanum 23 $\frac{2}{3}$ m3/sekúndu?

Sýndur er ferstrendur pýramídi á hvolfi með ferningslaga grunnflöt sem er 4 á hlið og hæðina 12. Ótilgreint magn vatns er í pýramídanum.

Í eftirfarandi dæmum skal skoða laug sem er í laginu eins og neðri helmingur kúlu og fyllt er með 25 ft3/min. Geisli laugarinnar er 10 ft. Formúlan fyrir rúmmál hluta úr hálfkúlu er $V = \frac{πh}{6} (3 r^{2} + h^{2})$ þar sem $h$ er hæð vatnsins og $r$ er geisli vatnsyfirborðsins.

32.

Finnið breytingarhraða vatnsdýptarinnar þegar vatnið er 5 ft djúpt.

33.

Finnið breytingarhraða vatnsdýptarinnar þegar vatnið er 1 ft djúpt.

34.

Ef vatnshæðin eykst um 1 in./min þegar vatnsdýptin er 2 ft skal finna með hvaða hraða vatni er dælt í laugina.

35.

Möl er losuð af vörubíl og fellur í keilulaga haug með hraðanum 10 ft³/mín. Geisli grunnflatar keilunnar er þreföld hæð hennar. Finnið breytingarhraða hæðar malarhaugsins þegar haugurinn er 5 ft á hæð.

36.

Notið svipaða uppsetningu og í verkefninu á undan til að finna losunarhraða malarinnar ef haugurinn er 5 ft hár og hæð hans eykst um 4 in./min.

Leysið verkefnin um tengda breytingarhraða í eftirfarandi æfingum. Teiknið gjarnan skissu af aðstæðunum til að auðvelda skilning á hverju verkefni.

37.

Þið standið kyrr á jörðinni og fylgist með fugli sem flýgur lárétt með hraðanum $10$ m/sek. Fuglinn er 40 m fyrir ofan höfuð ykkar. Hversu hratt breytist hæðarhornið þegar lárétta fjarlægðin milli ykkar og fuglsins er 9 m?

38.

Þið standið í 40 ft fjarlægð frá flöskueldflaug á jörðinni og fylgist með þegar hún skýst lóðrétt upp í loftið á hraðanum 20 ft/sec. Finnið breytingarhraða hæðarhornsins þegar eldflaugin er komin 30 ft upp í loftið.

39.

Viti, L, stendur á eyju 4 mi frá næsta punktinum, P, á ströndinni (sjá eftirfarandi mynd). Ef ljós vitans snýst réttsælis með jöfnum hraða, 10 snúninga/mínútu, hve hratt færist ljósgeislinn þá eftir ströndinni í 2 mi fjarlægð frá næsta punktinum á ströndinni?

Rétthyrndur þríhyrningur myndast af vitanum L, punkti P á ströndinni þar sem línan frá vitanum að ströndinni sker hana hornrétt og punkti 2 mi hægra megin við P. Fjarlægðin frá P til L er 4 mi.

40.

Miðað við sömu aðstæður og í fyrra verkefni skal ákvarða hve hratt ljósgeislinn færist eftir ströndinni þegar hann er 1 mi frá næsta stað á ströndinni.

41.

Þið gangið að strætóstoppistöð við horn þar sem götur mætast hornrétt. Þið gangið norður með hraðanum 2 m/sec og eruð 20 m sunnan við gatnamótin. Strætisvagninn ekur vestur frá gatnamótunum á hraðanum 10 m/sec – þið hafið misst af vagninum! Hversu hratt breytist hornið milli ykkar og strætisvagnsins þegar þið eruð 20 m sunnan við gatnamótin og strætisvagninn er 10 m vestan við þau?

Í eftirfarandi æfingum skal styðjast við myndina af hafnaboltavellinum, en hliðar hans eru 90 ft langar.

Myndin sýnir hafnaboltavöll þar sem heimahöfn, fyrsta höfn, önnur höfn og þriðja höfn mynda ferning með 90 ft langar hliðar.

42.

[T] Slagmaður slær bolta í átt að þriðju höfn með 75 fet/sek. hraða og hleypur í átt að fyrstu höfn með 24 fet/sek. hraða. Hversu hratt breytist fjarlægðin milli boltans og slagmannsins þegar 2 sek. eru liðnar?

43.

[T] Slagmaður slær bolta í átt að annarri höfn með hraðanum 80 ft/sec og hleypur í átt að fyrstu höfn með hraðanum 30 ft/sec. Hversu hratt breytist fjarlægðin milli boltans og slagmannsins þegar hlauparinn hefur farið þriðjung leiðarinnar að fyrstu höfn? (Vísbending: Rifjið upp kósínusregluna.)

44.

[T] Slagmaður slær boltann og hleypur í átt að fyrstu höfn með hraðanum 22 ft/sec. Með hvaða hraða breytist fjarlægðin milli hlauparans og annarrar hafnar þegar hlauparinn hefur hlaupið 30 ft?

45.

[T] Hlauparar eru á fyrstu og annarri höfn. Þegar boltanum er slegið hleypur hlauparinn á fyrstu höfn í átt að annarri höfn með hraðanum 18 ft/sec og hlauparinn á annarri höfn í átt að þriðju höfn með hraðanum 20 ft/sec. Hversu hratt breytist fjarlægðin milli hlauparanna 1 sec eftir að boltanum er slegið?