44 Notkun afleiða

4.7 Hagnýt bestunarverkefni

Námsmarkmið

4.7.1 Setja fram og leysa bestunarverkefni á ýmsum hagnýtum sviðum.

Ein algeng hagnýting stærðfræðigreiningar er að reikna lággildi eða hágildi falls. Fyrirtæki vilja til dæmis oft lágmarka framleiðslukostnað eða hámarka tekjur. Í framleiðslu er oft æskilegt að lágmarka það magn efnis sem notað er til að pakka vöru af tilteknu rúmmáli. Í þessum undirkafla sýnum við hvernig setja má upp bestunarverkefni af þessu tagi og leysa þau með verkfærunum sem þróuð hafa verið í þessum kafla.

Lausn bestunarverkefna á lokuðu og takmörkuðu bili

Grunnhugmynd þeirra bestunarverkefna sem hér fara á eftir er sú sama. Við höfum tiltekna stærð sem við viljum hámarka eða lágmarka. Jafnframt þarf þó að uppfylla eitthvert viðbótarskilyrði. Til dæmis viljum við í dæmi 4.32 hámarka flatarmál rétthyrnds garðs. Ef við höldum áfram að lengja hliðar garðsins stækkar flatarmálið að sjálfsögðu áfram. En hvað ef einhver takmörk eru á því hve mikið girðingarefni við getum notað í ummál garðsins? Þá getum við ekki haft garðinn eins stóran og okkur sýnist. Skoðum hvernig unnt er að hámarka flatarmál rétthyrnings með tiltekinni skorðu á ummálið.

Dæmi 4.32

Hámörkun flatarmáls garðs

Gera á rétthyrndan garð þannig að grjótveggur myndi eina hlið hans og vírgirðing hinar þrjár (mynd 4.62). Ef $100$ fet af vírgirðingu eru til ráðstöfunar, ákvarðið þá mál garðsins sem gefa mesta mögulega flatarmálið. Hvert er mesta flatarmálið?

Á teikningu af garði eru x og y merkt við lóðréttu og láréttu hliðarnar, í þessari röð. Grjótveggur liggur meðfram allri neðri láréttu hlið teikningarinnar. — **Mynd 4.62.** Við viljum ákvarða málin x og y sem gefa garði stærsta mögulega flatarmál með því að nota 100 fet af girðingu.

Lausn

Látum $x$ tákna lengd þeirrar hliðar garðsins sem er hornrétt á grjótvegginn og $y$ tákna lengd þeirrar hliðar sem er samsíða grjótveggnum. Þá er flatarmál garðsins

A = x \cdot y .

Við viljum finna stærsta mögulega flatarmálið með þeirri skorðu að heildarlengd girðingarinnar sé $100 ft .$ Af mynd 4.62 fæst að heildarlengd girðingarinnar sem notuð er verður $2 x + y .$ Því er skorðujafnan

2 x + y = 100 .

Ef við leysum þessa jöfnu fyrir 𝑦, $y,$ fáum við 𝑦=100−2⁢𝑥. $y = 100 - 2 x .$ Því getum við ritað flatarmálið sem

A (x) = x \cdot (100 - 2 x) = 100 x - 2 x^{2} .

Áður en við reynum að hámarka flatarmálsfallið $A (x) = 100 x - 2 x^{2},$ þurfum við að ákvarða skilgreiningarmengið sem kemur til greina. Til að útbúa rétthyrndan garð þurfa lengdir beggja hliða vissulega að vera jákvæðar. Því þarf að gilda að $x > 0$ og $y > 0 .$ Þar sem $y = 100 - 2 x,$ gildir að ef $y > 0,$ þá er $x < 50 .$ Við reynum því að ákvarða hágildi $A (x)$ fyrir $x$ á opna bilinu $(0, 50) .$ Ekki er víst að fall hafi hágildi á opnu bili. Hins vegar vitum við að samfellt fall hefur algilt hágildi (og algilt lággildi) á lokuðu bili. Skoðum því fallið $A (x) = 100 x - 2 x^{2}$ á lokaða bilinu $[0, 50] .$ Ef hágildið fæst í innri punkti höfum við fundið gildið $x$ á opna bilinu $(0, 50)$ sem hámarkar flatarmál garðsins. Við skoðum því eftirfarandi verkefni:

Hámarkið $A (x) = 100 x - 2 x^{2}$ á bilinu $[0, 50] .$

Eins og áður hefur komið fram hefur 𝐴 $A$ , sem er samfellt fall á lokuðu og takmörkuðu bili, hágildi og lággildi samkvæmt útgildissetningunni. Þessi útgildi fást annaðhvort í endapunktum eða stöðupunktum. Í endapunktunum er 𝐴⁡(𝑥)=0. $A (x) = 0 .$ Þar sem flatarmálið er jákvætt fyrir öll 𝑥 $x$ á opna bilinu (0,50), $(0, 50),$ hlýtur hágildið að fást í stöðupunkti. Með því að deilda fallið 𝐴⁡(𝑥), $A (x),$ fáum við

A^{'} (x) = 100 - 4 x .

Því er eini stöðupunkturinn $x = 25$ (mynd 4.63). Við ályktum að flatarmálið hljóti að ná hágildi þegar $x = 25 .$ Þá fæst $y = 100 - 2 x = 100 - 2 (25) = 50 .$ Til að hámarka flatarmál garðsins látum við $x = 25$ fet og $y = 50 ft .$ Flatarmál þessa garðs er $1250 {ft}^{2} .$

Graf fallsins A(x) = 100x − 2x² er sýnt. Við hágildi fallsins skerast tvær strikalínur og þar stendur: „Mesta flatarmálið er 1250 ferfet þegar x = 25 fet.“ — **Mynd 4.63.** Til að hámarka flatarmál garðsins þurfum við að finna hágildi fallsins A ⁡ ( x ) = 100 ⁢ x − 2 ⁢ x² .

Nú skulum við skoða almenna aðferð við að leysa bestunarverkefni á borð við dæmi 4.32.

Aðferð við úrlausn verkefna

Lausn bestunarverkefna

Skilgreinið allar breytur. Ef við á, teiknið mynd og merkið allar breytur inn á hana.
Ákvarðið hvaða stærð á að hámarka eða lágmarka og hvert gildabil hinna breytanna er (ef unnt er að ákvarða það á þessu stigi).
Ritið formúlu fyrir stærðina sem á að hámarka eða lágmarka sem fall af breytunum. Formúlan kann að innihalda fleiri en eina breytu.
Skrifið allar jöfnur sem tengja óháðu breyturnar í formúlunni úr skrefi $3 .$ Notið þessar jöfnur til að skrifa stærðina sem á að hámarka eða lágmarka sem fall af einni breytu.
Ákvarðið skilgreiningarmengið sem kemur til álita fyrir fallið í skrefi $4$ út frá aðstæðum verkefnisins sem leysa á.
Finnið hágildi eða lággildi fallsins úr skrefi $4 .$ Þetta skref felur yfirleitt í sér að finna stöðupunkta og reikna gildi fallsins í endapunktum.

Nú skulum við beita þessari aðferð til að hámarka rúmmál opins kassa með hliðsjón af skorðu um það magn efnis sem nota má.

Dæmi 4.33

Hámörkun rúmmáls kassa

Búa á til opinn kassa úr pappaspjaldi sem er 24 $24$ tommur á 36 $36$ tommur með því að skera ferning úr hverju horni og brjóta upp flipana á hverri hlið. Hversu stóran ferning á að skera úr hverju horni til að rúmmál kassans verði sem mest?

Lausn

Látum $x$ tákna hliðarlengd ferningsins sem fjarlægður er úr hverju horni (Mynd 4.64). Þá má brjóta upp flipana fjóra sem eftir eru og mynda þannig opinn kassa. Látum $V$ tákna rúmmál kassans sem þannig myndast.
Mynd 4.64. Ferningur með hliðarlengdina x tommur er skorinn úr hverju horni pappaspjaldsins. Fliparnir sem eftir eru eru brotnir upp til að mynda kassa sem er opinn að ofan.
Við ætlum að hámarka rúmmál kassans. Verkefnið felst því í að hámarka $V .$
Eins og fram kom í skrefi $2,$ reynum við að hámarka rúmmál kassa. Rúmmál kassa er $V = L \cdot W \cdot H,$ þar sem $L, W, og H$ tákna lengd, breidd og hæð, í þessari röð.
Af mynd 4.64 sjáum við að hæð kassans er 𝑥 $x$ tommur, lengdin er 36−2⁢𝑥 $36 - 2 x$ tommur og breiddin er 24−2⁢𝑥 $24 - 2 x$ tommur. Því er rúmmál kassans
Til að ákvarða skilgreiningarmengið sem kemur til álita skulum við skoða mynd 4.64. Við þurfum vissulega að hafa $x > 0 .$ Enn fremur má hliðarlengd ferningsins hvorki vera meiri en né jöfn helmingi af lengd styttri hliðarinnar, sem er $24$ tommur; annars yrði einn flipinn skorinn alveg af. Við reynum því að ákvarða hvort rúmmál kassans hafi hágildi fyrir $x$ á opna bilinu $(0, 12) .$ Þar sem $V$ er samfellt fall á lokaða bilinu $[0, 12],$ vitum við að $V$ hefur algilt hágildi á lokaða bilinu. Fallið $V$ er því skoðað á lokaða bilinu $[0, 12]$ og athugað hvort algilda hágildið fáist í innri punkti.
Þar sem $V (x)$ er samfellt fall á lokaða og takmarkaða bilinu $[0, 12],$ hlýtur $V$ að hafa algilt hágildi (og algilt lággildi). Þar sem $V (x) = 0$ í endapunktunum og $V (x) > 0$ fyrir $0 < x < 12,$ hlýtur hágildið að fást í stöðupunkti. Afleiðan er

V^{'} (x) = 12 x^{2} - 240 x + 864 .

Til að finna stöðupunktana þurfum við að leysa jöfnuna

12 x^{2} - 240 x + 864 = 0 .

Með því að deila báðum hliðum þessarar jöfnu með 12, $12,$ má einfalda verkefnið í að leysa jöfnuna

x^{2} - 20 x + 72 = 0 .

Með því að nota lausnarformúlu annars stigs jöfnu finnum við að stöðupunktarnir eru

x = \frac{20 ± \sqrt{{(−20)}^{2} - 4 (1) (72)}}{2} = \frac{20 ± \sqrt{112}}{2} = \frac{20 ± 4 \sqrt{7}}{2} = 10 ± 2 \sqrt{7} .

Þar sem $10 + 2 \sqrt{7}$ er ekki í því skilgreiningarmengi sem hér er til skoðunar er eini stöðupunkturinn sem við þurfum að skoða $10 - 2 \sqrt{7} .$ Því verður rúmmálið mest ef við látum $x = 10 - 2 \sqrt{7} tomm .$ Hámarksrúmmálið er $V (10 - 2 \sqrt{7}) = 640 + 448 \sqrt{7} \approx 1825 tomm .^{3}$ , eins og sýnt er á eftirfarandi grafi.

Graf fallsins V(x) = 4x³ − 120x² + 864x er sýnt. Við hágildi fallsins skerast tvær strikalínur og þar stendur: „Hámarksrúmmálið er um það bil 1825 rúmtommur þegar x ≈ 4,7 tommur.“ — **Mynd 4.65.** Að hámarka rúmmál kassans leiðir til þess að finna hágildi þriðja stigs margliðu.

Dæmi 4.34

Lágmörkun ferðatíma

Eyja er 2mi $2 mi$ beint norður af þeim stað á beinni strandlengju sem er næstur henni. Gestur dvelur í kofa á ströndinni, 6mi $6 mi$ vestur af þeim stað. Gesturinn hyggst fara frá kofanum út í eyjuna. Gerum ráð fyrir að gesturinn hlaupi á hraðanum 8mph $8 mph$ og syndi á hraðanum 3mph. $3 mph .$ Hve langt ætti gesturinn að hlaupa áður en hann syndir til að lágmarka tímann sem það tekur að komast út í eyjuna?

Lausn

Látum $x$ tákna vegalengdina sem hlaupið er og látum $y$ tákna vegalengdina sem synt er (Mynd 4.66). Látum $T$ tákna tímann sem það tekur að komast frá kofanum til eyjarinnar.
Mynd 4.66. Hvernig getum við valið x og y þannig að ferðatíminn frá kofanum til eyjarinnar verði sem stystur?
Verkefnið er að lágmarka $T .$
Til að finna tímann sem ferðin frá kofanum til eyjarinnar tekur skal leggja saman tímann sem fer í að hlaupa og tímann sem fer í að synda. Þar sem vegalengd = $=$ hraði $\times ⁠$ $\times$ tími (𝐷=𝑅 $\times ⁠$ 𝑇), $(D = R \times T),$ er tíminn sem fer í að hlaupa

T_{running} = \frac{D_{running}}{R_{running}} = \frac{x}{8},

og tíminn sem fer í sund er

T_{swimming} = \frac{D_{swimming}}{R_{swimming}} = \frac{y}{3} .

Því er heildartíminn sem fer í ferðina

T = \frac{x}{8} + \frac{y}{3} .

Skref 4: Af mynd 4.66 sést að línustrik með lengdina $y$ mílur er langhlið rétthyrnds þríhyrnings með skammhliðar af lengdunum $2 mi$ og $6 - x mi .$ Samkvæmt setningu Pýþagórasar er því $2^{2} + {(6 - x)}^{2} = y^{2},$ og við fáum $y = \sqrt{{(6 - x)}^{2} + 4} .$ Heildarferðatíminn er því gefinn með fallinu

T (x) = \frac{x}{8} + \frac{\sqrt{{(6 - x)}^{2} + 4}}{3} .

Skref 5: Af mynd 4.66 sjáum við að 0≤𝑥≤6. $0 \leq x \leq 6 .$ Því er [0,6] $[0, 6]$ skilgreiningarmengið sem kemur til álita.

Skref 6: Þar sem $T (x)$ er samfellt fall á lokuðu og takmörkuðu bili hefur það hágildi og lággildi. Byrjum á að leita að stöðupunktum $T$ á bilinu $[0, 6] .$ Afleiðan er

T^{'} (x) = \frac{1}{8} - \frac{1}{2} \frac{{[{(6 - x)}^{2} + 4]}^{−1 / 2}}{3} \cdot 2 (6 - x) = \frac{1}{8} - \frac{(6 - x)}{3 \sqrt{{(6 - x)}^{2} + 4}} .

Ef 𝑇′⁡(𝑥)=0, $T^{'} (x) = 0,$ þá

\frac{1}{8} = \frac{6 - x}{3 \sqrt{{(6 - x)}^{2} + 4}} .

Því er

3 \sqrt{{(6 - x)}^{2} + 4} = 8 (6 - x) .

(4.6)

Þegar báðar hliðar þessarar jöfnu eru settar í annað veldi sést að ef 𝑥 $x$ uppfyllir þessa jöfnu verður 𝑥 $x$ að uppfylla

9 [{(6 - x)}^{2} + 4] = 64 {(6 - x)}^{2},

sem leiðir til

55 {(6 - x)}^{2} = 36 .

Við ályktum að ef $x$ er stöðupunktur uppfylli $x$

{(x - 6)}^{2} = \frac{36}{55} .

Því koma eftirfarandi stöðupunktar til greina

x = 6 ± \frac{6}{\sqrt{55}} .

Þar sem $x = 6 + 6 / \sqrt{55}$ er ekki í skilgreiningarmenginu kemur gildið ekki til greina sem stöðupunktur. Hins vegar er $x = 6 - 6 / \sqrt{55}$ í skilgreiningarmenginu. Þar sem við settum báðar hliðar jöfnu 4.6 í annað veldi til að finna mögulega stöðupunkta þarf enn að ganga úr skugga um að $x = 6 - 6 / \sqrt{55}$ uppfylli jöfnu 4.6. Þar sem $x = 6 - 6 / \sqrt{55}$ uppfyllir jöfnuna ályktum við að $x = 6 - 6 / \sqrt{55}$ sé stöðupunktur og jafnframt sá eini. Til að rökstyðja að tíminn sé minnstur fyrir þetta gildi á $x,$ þurfum við aðeins að kanna gildi $T (x)$ í endapunktunum $x = 0$ og $x = 6,$ og bera þau saman við gildi $T (x)$ í stöðupunktinum $x = 6 - 6 / \sqrt{55} .$ Við fáum að $T (0) \approx 2.108 h$ og $T (6) \approx 1.417 h,$ en $T (6 - 6 / \sqrt{55}) \approx 1.368 h .$ Því ályktum við að $T$ hafi staðbundið lággildi þegar $x \approx 5.19$ mílur.

Í viðskiptum hafa fyrirtæki áhuga á að hámarka tekjur. Í eftirfarandi dæmi skoðum við aðstæður þar sem fyrirtæki hefur safnað gögnum um hve marga bíla það getur leigt út eftir því hvaða verð það tekur af viðskiptavinum sínum fyrir bílaleiguna. Notum þessi gögn til að ákvarða hvaða verð fyrirtækið ætti að taka til að hámarka tekjur sínar.

Dæmi 4.35

Hámörkun tekna

Eigendur bílaleigu hafa komist að því að ef þeir rukka viðskiptavini um $p$ Bandaríkjadali á dag fyrir hvern bíl, þar sem $50 \leq p \leq 200,$ má lýsa fjölda bíla $n$ sem þeir leigja út á dag með línulega fallinu $n (p) = 1000 - 5 p .$ Ef þeir rukka $$ 50$ á dag eða minna leigja þeir út alla bíla sína. Ef þeir rukka $$ 200$ á dag eða meira leigja þeir enga bíla út. Gerum ráð fyrir að eigendurnir hyggist rukka viðskiptavini á bilinu $50 á dag og $$ 200$ á dag fyrir hvern bíl. Hversu mikið ættu þeir að rukka til að hámarka tekjur sínar?

Lausn

Látum $p$ vera leiguverðið fyrir hvern bíl á dag og látum $n$ vera fjölda bíla sem leigðir eru á dag. Látum $R$ vera tekjurnar á dag.
Verkefnið er að hámarka $R .$
Tekjurnar (á dag) eru margfeldi fjölda bíla sem leigðir eru á dag og verðsins sem innheimt er fyrir hvern bíl á dag; það er $R = n \times p .$
Þar sem fjöldi bíla sem leigðir eru á dag er gefinn með línulega fallinu $n (p) = 1000 - 5 p,$ má setja tekjurnar $R$ fram með fallinu
Þar sem eigendurnir hyggjast innheimta gjald á bilinu $$ 50$ til $$ 200$ fyrir hvern bíl á dag er verkefnið að finna hágildi teknanna $R (p)$ fyrir $p$ á lokaða bilinu $[50, 200] .$
Þar sem 𝑅 $R$ er samfellt fall á lokaða og takmarkaða bilinu [50,200], $[50, 200],$ hefur það algilt hágildi (og algilt lággildi) á því bili. Til að finna hágildið er leitað að stöðupunktum. Afleiðan er 𝑅′⁡(𝑝)=−10⁢𝑝+1000. $R^{'} (p) = −10 p + 1000 .$ Stöðupunkturinn er því 𝑝=100 $p = 100$ . Þegar 𝑝=100, $p = 100,$ 𝑅⁡(100)=$⁢50,000. $R (100) = $ 50,000 .$ Þegar 𝑝=50, $p = 50,$ 𝑅⁡(𝑝)=$⁢37,500. $R (p) = $ 37,500 .$ Þegar 𝑝=200, $p = 200,$ 𝑅⁡(𝑝)=$⁢0. $R (p) = $ 0 .$ Algilda hágildið fæst því þegar 𝑝=$⁢100. $p = $ 100 .$ Bílaleigan ætti að taka $⁢100 $$ 100$ á dag fyrir hvern bíl til að hámarka tekjurnar, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.
Mynd 4.67. Til að hámarka tekjur þarf bílaleiga að finna jafnvægi milli leiguverðs og þess fjölda bíla sem fólk leigir á því verði.

Dæmi 4.36

Hámörkun flatarmáls innritaðs rétthyrnings

Innrita á rétthyrning í sporbauginn

\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1 .

Hver eiga mál rétthyrningsins að vera til að flatarmál hans verði sem mest? Hvert er mesta flatarmálið?

Lausn

Til þess að rétthyrningur sé innritaður í sporbauginn verða hliðar rétthyrningsins að vera samsíða ásunum. Látum $L$ tákna lengd rétthyrningsins og $W$ tákna breidd hans. Látum $A$ tákna flatarmál rétthyrningsins.
Mynd 4.68. Við viljum hámarka flatarmál rétthyrnings sem er innritaður í sporbaug.
Verkefnið er að hámarka $A .$
Flatarmál rétthyrningsins er $A = L W .$
Látum $(x, y)$ vera horn rétthyrningsins sem liggur í fyrsta fjórðungi, eins og sýnt er á mynd 4.68. Við getum ritað lengdina $L = 2 x$ og breiddina $W = 2 y .$ Þar sem $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ og $y > 0,$ gildir $y = \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} .$ Því er flatarmálið
Af mynd 4.68 sjáum við að til þess að innrita rétthyrning í sporbauginn verður $x$ -hnit hornsins í fyrsta fjórðungi að uppfylla $0 < x < 2 .$ Verkefnið snýst því um að finna hágildi $A (x)$ á opna bilinu $(0, 2) .$ Þar sem $A (x)$ hefur algilt hágildi (og algilt lággildi) á lokaða bilinu $[0, 2],$ skoðum við $A (x) = 2 x \sqrt{4 - x^{2}}$ á bilinu $[0, 2] .$ Ef algilda hágildið fæst í innri punkti höfum við fundið algilt hágildi á opna bilinu.
Eins og áður hefur komið fram er $A (x)$ samfellt fall á lokaða og takmarkaða bilinu $[0, 2] .$ Því hefur það algilt hágildi (og algilt lággildi). Í endapunktunum $x = 0$ og $x = 2,$ $A (x) = 0 .$ Fyrir $0 < x < 2,$ $A (x) > 0 .$ Því hlýtur hágildið að vera í stöðupunkti. Með því að taka afleiðu $A (x),$ fáum við

\begin{matrix} A' (x) & = 2 \sqrt{4 - x^{2}} + 2 x \cdot \frac{1}{2 \sqrt{4 - x^{2}}} (−2 x) \\ = 2 \sqrt{4 - x^{2}} - \frac{2 x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} \\ = \frac{8 - 4 x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} . \end{matrix}

Til að finna stöðupunkta þurfum við að finna hvar $A' (x) = 0 .$ Við sjáum að ef $x$ er lausn á

\frac{8 - 4 x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} = 0,

(4.7)

þá verður 𝑥 $x$ að uppfylla

8 - 4 x^{2} = 0 .

Því er $x^{2} = 2 .$ Því eru $x = ± \sqrt{2}$ mögulegar lausnir á jöfnu 4.7. Þar sem við skoðum $x$ á bilinu $[0, 2],$ $x = \sqrt{2}$ kemur til greina sem stöðupunktur, en $x = − \sqrt{2}$ gerir það ekki. Því athugum við hvort $\sqrt{2}$ sé lausn á jöfnu 4.7. Þar sem $x = \sqrt{2}$ er lausn á jöfnu 4.7 ályktum við að $\sqrt{2}$ sé eini stöðupunktur $A (x)$ á bilinu $[0, 2] .$ Því hlýtur $A (x)$ að hafa algilt hágildi í stöðupunktinum $x = \sqrt{2} .$ Til að ákvarða mál rétthyrningsins þurfum við að finna lengdina $L$ og breiddina $W .$ Ef $x = \sqrt{2}$ þá

y = \sqrt{1 - \frac{{(\sqrt{2})}^{2}}{4}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} .

Því eru mál rétthyrningsins $L = 2 x = 2 \sqrt{2}$ og $W = 2 y = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} .$ Flatarmál þessa rétthyrnings er $A = L W = (2 \sqrt{2}) (\sqrt{2}) = 4 .$

Lausn bestunarverkefna á bilum sem eru ekki lokuð eða eru ótakmörkuð

Í dæmunum hér á undan skoðuðum við föll á lokuðum og takmörkuðum skilgreiningarmengjum. Af útgildissetningunni leiddi því að föllin höfðu algild útgildi. Skoðum nú föll þar sem skilgreiningarmengið er hvorki lokað né takmarkað.

Mörg föll hafa engu að síður að minnsta kosti eitt algilt útgildi, jafnvel þótt skilgreiningarmengið sé ekki lokað eða sé ótakmarkað. Til dæmis hefur fallið $f (x) = x^{2} + 4$ á $(− \infty, \infty)$ algilt lággildi sem er $4$ í $x = 0 .$ Því getum við engu að síður skoðað föll á ótakmörkuðum skilgreiningarmengjum eða opnum bilum og ákvarðað hvort þau hafi einhver algild útgildi. Í næsta dæmi reynum við að finna lággildi falls á ótakmörkuðu skilgreiningarmengi. Við sjáum að þótt skilgreiningarmengið sem hér er skoðað sé $(0, \infty),$ hefur fallið algilt lággildi.

Í eftirfarandi dæmi skoðum við hvernig smíða má kassa með gefnu rúmmáli þannig að yfirborðsflatarmál hans verði sem minnst. Ekki er erfitt að sýna fram á að vegna samhverfu hafi teningur minnsta yfirborðsflatarmálið af öllum lokuðum kössum með tiltekið rúmmál. Því skoðum við breytt verkefni og leitum að þeim kassa, opnum að ofan og með tiltekið rúmmál, sem hefur minnsta yfirborðsflatarmálið.

Dæmi 4.37

Lágmörkun yfirborðsflatarmáls

Smíða á rétthyrndan kassa sem hefur ferningslaga botn, er opinn að ofan og hefur rúmmálið $216$ rúmtommur. Hver eiga mál kassans að vera til að yfirborðsflatarmál hans verði sem minnst? Hvert er minnsta yfirborðsflatarmálið?

Lausn

Teiknið rétthyrndan kassa og innleiðið breytuna $x$ til að tákna lengd hverrar hliðar ferningslaga botnsins; látið $y$ tákna hæð kassans. Látið $S$ tákna yfirborðsflatarmál kassans sem er opinn að ofan.
Mynd 4.69. Við viljum lágmarka yfirborðsflatarmál kassa með ferningslaga grunnflöt og gefið rúmmál.
Við þurfum að lágmarka yfirborðsflatarmálið. Þess vegna þurfum við að lágmarka $S .$
Þar sem kassinn er opinn að ofan þurfum við aðeins að ákvarða flatarmál lóðréttu hliðanna fjögurra og botnsins. Flatarmál hverrar lóðréttu hliðar er $x \cdot y .$ Flatarmál botnsins er $x^{2} .$ Því er yfirborðsflatarmál kassans
Þar sem rúmmál þessa kassa er $x^{2} y$ og rúmmálið er gefið sem $216 tomm .^{3},$ er skorðujafnan

x^{2} y = 216 .

Ef skorðujafnan er leyst með tilliti til $y,$ fæst $y = \frac{216}{x^{2}} .$ Því getum við ritað yfirborðsflatarmálið sem fall af $x$ einni saman:

S (x) = 4 x (\frac{216}{x^{2}}) + x^{2} .

Því gildir 𝑆⁡(𝑥)=864𝑥+𝑥2. $S (x) = \frac{864}{x} + x^{2} .$

Skref 5: Þar sem við gerum þá kröfu að $x^{2} y = 216,$ getur gildið ekki verið $x = 0 .$ Því þarf að gilda að $x > 0 .$ Hins vegar má $x$ taka hvaða jákvæða gildi sem er. Athugið að þegar $x$ verður stórt verður hæð kassans $y$ að sama skapi lítil þannig að $x^{2} y = 216 .$ Á sama hátt verður $x$ lítið og hæð kassans verður að sama skapi mikil. Við ályktum að skilgreiningarmengið sé opna, ótakmarkaða bilið $(0, \infty) .$ Athugið að ólíkt fyrri dæmum getum við ekki einfaldað verkefnið með því að leita að algildu hágildi eða algildu lággildi á lokuðu og takmörkuðu bili. Í næsta skrefi komumst við þó að því hvers vegna þetta fall hlýtur að hafa algilt lággildi á bilinu $(0, \infty) .$

Skref 6: Athugið að þegar $x \to 0^{+},$ $S (x) \to \infty .$ Einnig gildir að þegar $x \to \infty,$ $S (x) \to \infty .$ Þar sem $S$ er samfellt fall sem stefnir á óendanlegt við enda skilgreiningarmengisins hlýtur það að hafa algilt lággildi fyrir eitthvert gildi $x \in (0, \infty) .$ Þetta lággildi hlýtur að fást í stöðupunkti fallsins $S .$ Afleiðan er

S^{'} (x) = - \frac{864}{x^{2}} + 2 x .

Því er 𝑆′⁡(𝑥)=0 $S^{'} (x) = 0$ þegar 2⁢𝑥=864𝑥2. $2 x = \frac{864}{x^{2}} .$ Ef þessi jafna er leyst með tilliti til 𝑥, $x,$ fæst 𝑥3=432, $x^{3} = 432,$ og því 𝑥=3√432=6⁢3√2. $x = \sqrt[3]{432} = 6 \sqrt[3]{2} .$ Þar sem þetta er eini stöðupunktur fallsins 𝑆, $S,$ hlýtur algilda lággildið að fást þegar 𝑥=6⁢3√2 $x = 6 \sqrt[3]{2}$ (sjá mynd 4.70). Þegar 𝑥=6⁢3√2, $x = 6 \sqrt[3]{2},$ 𝑦=216(6⁢3√2)₂=3⁢3√2tomm. $y = \frac{216}{{(6 \sqrt[3]{2})}^{2}} = 3 \sqrt[3]{2} tomm .$ Því ættu mál kassans að vera 𝑥=6⁢3√2tomm. $x = 6 \sqrt[3]{2} tomm .$ og 𝑦=3⁢3√2tomm. $y = 3 \sqrt[3]{2} tomm .$ Með þessum málum er yfirborðsflatarmálið

S (6 \sqrt[3]{2}) = \frac{864}{6 \sqrt[3]{2}} + {(6 \sqrt[3]{2})}^{2} = 108 \sqrt[3]{4} tomm .^{2}

Graf fallsins S(x) = 864/x + x2 er sýnt. Við lággildi fallsins er strikalína og texti sem segir: „Minnsta yfirborðsflatarmálið er 108 sinnum teningsrótin af 4 fertommum þegar x = 6 sinnum teningsrótin af 2 tommum.“ — **Mynd 4.70.** Við getum notað graf til að ákvarða mál kassa með gefið rúmmál og minnsta yfirborðsflatarmál.

Æfingar í kafla 4.7

Í eftirfarandi æfingum skal svara með sönnun, gagndæmi eða útskýringu.

311.

Þegar þú finnur hágildi í bestunarverkefni, hvers vegna þarftu þá að athuga formerki afleiðunnar beggja vegna stöðupunktanna?

312.

Hvers vegna þarf að athuga endapunkta í bestunarverkefnum?

313.

Rétt eða rangt. Fyrir sérhvert samfellt ólínulegt fall er hægt að finna gildið $x$ sem hámarkar fallið.

314.

Satt eða ósatt. Fyrir sérhvert samfellt ófast fall á lokuðu, takmörkuðu skilgreiningarmengi er til að minnsta kosti eitt $x$ sem gefur fallinu lággildi eða hágildi.

Setjið upp og leysið hvert bestunarverkefni í eftirfarandi æfingum.

315.

Til að taka ferðatösku með um borð í flugvél þarf lengd $+ breidd +$ hæð töskunnar að vera minni en eða jöfn $62 tomm .$ Gerið ráð fyrir að botn ferðatöskunnar sé ferningslaga og sýnið að rúmmálið sé $V = h {(31 - (\frac{1}{2}) h)}^{2} .$ Hvaða hæð gefur stærsta rúmmálið?

316.

Þú ert að búa til pappakassa úr pappaspjaldi sem er $2 m á 4 m .$ Síðan skerðu jafnstóra ferninga úr hverju horni svo hægt sé að brjóta hliðarnar upp. Hver eru mál kassans sem hefur mesta rúmmálið?

Teiknaður er rétthyrningur með hæðina 2 og breiddina 4. Í hverju horni er merktur ferningur með hliðarlengdina x.

317.

Finnið jákvæðu heiltöluna sem lágmarkar summu tölunnar og margföldunarandhverfu hennar.

318.

Finnið tvær jákvæðar heiltölur þannig að summa þeirra sé $10$ og summa ferninga þeirra sé eins stór og mögulegt er. Finnið síðan aðrar tvær jákvæðar heiltölur þannig að summa þeirra sé 10 og summa ferninga þeirra sé eins lítil og mögulegt er.

Í eftirfarandi æfingum skal skoða gerði sem afmörkuð eru með girðingu.

319.

Þú hefur $400 ft$ af girðingarefni til að útbúa rétthyrnt gerði fyrir nautgripi. Hverjar eiga stærðir gerðisins að vera til að flatarmál þess verði sem mest?

320.

Þú hefur $800 ft$ af girðingarefni til að útbúa gerði fyrir svín. Ef á liggur meðfram annarri hlið landareignarinnar, hverjar eiga stærðir rétthyrnda gerðisins að vera svo flatarmálið verði sem mest?

321.

Þú þarft að reisa girðingu umhverfis svæði að flatarmáli $1600 {ft}^{2} .$ Hver eiga mál rétthyrnda gerðisins að vera til að lágmarka það efnismagn sem þarf?

322.

Tveir staurar eru tengdir með vír sem einnig er festur við jörðina. Fyrri staurinn er $20 ft$ á hæð og seinni staurinn er $10 ft$ á hæð. Fjarlægðin milli stauranna er $30 ft$ . Hvar ætti að festa vírinn við jörðina til að lágmarka vírlengdina sem þarf?

Sýndir eru tveir staurar; annar er 10 á hæð og hinn 20 á hæð. Styttri staurinn myndar aðra skammhlið rétthyrnds þríhyrnings og hin skammhliðin hefur lengdina x. Fjarlægðin milli stauranna er 30.

323.

[T] Þú ert að flytja í nýja íbúð og tekur eftir beygju þar sem gangurinn þrengist úr $8 ft í 6 ft .$ Hve langur er lengsti hluturinn sem hægt er að bera lárétt um beygjuna?

Teiknað er L-laga ganghorn. Lárétti gangurinn er 6 fet á breidd og lóðrétti gangurinn 8 fet á breidd. Lína með lengdina L liggur þvert yfir beygjuna, snertir innra horn ganganna og myndar langhlið rétthyrnds þríhyrnings.

324.

Púls sjúklings mælist fyrst $70 slög/mín., 80 slög/mín. og loks 120 slög/mín .$ Til að fá nákvæmt mat á púlsinum spyr læknirinn: Hvaða gildi lágmarkar stæðuna ${(x - 70)}^{2} + {(x - 80)}^{2} + {(x - 120)}^{2} ?$ Hvaða gildi lágmarkar hana?

325.

Í fyrra verkefninu skal gera ráð fyrir að sjúklingurinn hafi verið kvíðinn við þriðju mælinguna, þannig að við gefum því gildi aðeins hálft vægi á við hin gildin. Hvaða gildi lágmarkar ${(x - 70)}^{2} + {(x - 80)}^{2} + \frac{1}{2} {(x - 120)}^{2} ?$

326.

Þú ert á ströndinni og getur hlaupið á hraðanum $6$ mílur á klukkustund og synt á hraðanum $3$ mílur á klukkustund. Þú ert $4$ mílur austan við eyju sem er $1$ mílu norðan við strandlínuna. Hversu langt ættir þú að hlaupa í vesturátt til að lágmarka tímann sem þarf til að komast til eyjunnar?

Teiknaður er rétthyrningur með hæðina 1 og lengdina 4. Neðra hægra hornið er merkt „Þú“ og efra vinstra hornið er merkt „Eyja“.

Í eftirfarandi verkefnum skulum við líta á sundlaugarvörð við hringlaga laug með þvermálið $40 m .$ Hann þarf að komast til manneskju sem er að drukkna nákvæmlega hinum megin í lauginni, við punkt $C .$ Sundlaugarvörðurinn syndir með hraðanum $v$ og hleypur umhverfis laugina með hraðanum $w = 3 v .$

Teiknaður er hringur þar sem punktarnir A og C liggja á þvermáli. Punkturinn B er merktur á hringnum; hornið BAC er merkt θ og er hvasst.

327.

Finnið fall fyrir heildartímann sem það tekur að komast til manneskjunnar sem er að drukkna, þar sem breytan er sundhornið $θ .$

328.

Ákvarðið undir hvaða horni $θ$ sundlaugarvörðurinn ætti að synda til að komast til drukknandi manneskjunnar á sem skemmstum tíma.

329.

Vörubíll eyðir eldsneyti samkvæmt $g (v) = a v + \frac{b}{v},$ þar sem $v$ táknar hraða vörubílsins og $g$ táknar eldsneytiseyðslu í gallonum á mílu. Að því gefnu að $a$ og $b$ séu jákvæð, við hvaða hraða er eldsneytiseyðslan í lágmarki?

Í eftirfarandi æfingum gilda eftirfarandi forsendur: Eldsneytisnýtni límósínu er $m (v) = \frac{(120 - 2 v)}{5} mi/gal$ við hraðann $v,$ laun bílstjórans eru $$15/h,$ og eldsneytið kostar $$ 3.5 / gal .$

330.

Finnið kostnað á hverja mílu við hraðann $v .$

331.

Finnið þann aksturshraða sem lágmarkar kostnaðinn.

Í eftirfarandi æfingum skal líta á pítsustað með tekjufallið $R (x) = a x$ og kostnaðarfallið $C (x) = b + c x + d x^{2},$ þar sem $x$ táknar fjölda pítsa $; a > c$ .

332.

Finnið hagnaðarfallið sem fall af fjölda pítsa. Hversu margar pítsur gefa mestan hagnað á hverja pítsu?

333.

Gerum ráð fyrir að $R (x) = 10 x$ og $C (x) = 2 x + x^{2} .$ Hversu margar pítsur þarf að selja til að hámarka hagnaðinn?

334.

Gerum ráð fyrir að 𝑅⁡(𝑥)=15⁢𝑥, $R (x) = 15 x,$ og 𝐶⁡(𝑥)=60+3⁢𝑥+12⁢𝑥2. $C (x) = 60 + 3 x + \frac{1}{2} x^{2} .$ Hversu margar pítsur þarf að selja til að hámarka hagnaðinn?

Í eftirfarandi verkefnum er $4 ft$ langur vír skorinn í tvo hluta. Annar hlutinn myndar hring með geisla $r$ en hinn myndar ferning með hliðarlengd $x .$

335.

Veljið $x$ þannig að summa flatarmála þeirra verði sem mest.

336.

Veljið $x$ þannig að summa flatarmála þeirra verði sem minnst.

Í eftirfarandi æfingum skal líta á tvær óneikvæðar tölur $x$ og $y$ þannig að $x + y = 10 .$ Finnið hágildi og lággildi stærðanna.

337.

𝑥⁢𝑦 $x y$

338.

𝑥2⁢𝑦2 $x^{2} y^{2}$

339.

𝑦−1𝑥 $y - \frac{1}{x}$

340.

𝑥2−𝑦 $x^{2} - y$

Í eftirfarandi verkefnum skal teikna mynd af gefnu bestunarverkefninu og leysa það.

341.

Finnið rúmmál stærsta rétta hringsívalnings sem kemst fyrir í kúlu með geisla $1 .$

342.

Finnið rúmmál stærstu réttu hringkeilunnar sem rúmast í kúlu með geislann $1 .$

343.

Finnið flatarmál stærsta rétthyrningsins sem rúmast innan þríhyrningsins sem afmarkast af línunum 𝑥=0,𝑦=0 $x = 0, y = 0$ og 𝑥4+𝑦6=1. $\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1 .$

344.

Finnið mesta rúmmál sívalnings sem kemst fyrir í keilu með grunngeisla $R$ og hæð $h .$

345.

Finnið mál lokaðs sívalnings með rúmmálið $V = 16 π$ sem hefur minnsta yfirborðsflatarmálið.

346.

Finnið mál réttrar keilu með yfirborðsflatarmálið $S = 4 π$ sem hefur stærsta rúmmálið.

Í eftirfarandi æfingum skal líta á punktana á gefnu gröfunum. Notið reiknivél til að teikna gröf fallanna.

347.

[T] Hvar er línan $y = 5 - 2 x$ næst upphafspunktinum?

348.

[T] Hvar er línan $y = 5 - 2 x$ næst punktinum $(1, 1) ?$

349.

[T] Hvar er fleygboginn $y = x^{2}$ næst punktinum $(2, 0) ?$

350.

[T] Hvar er fleygboginn $y = x^{2}$ næst punktinum $(0, 3) ?$

Í eftirfarandi æfingum skal skrifa jöfnu sem lýsir hverju tilviki tengdra breytingarhraða. Ekki skal leysa jöfnuna.

351.

Gluggi er samsettur úr hálfhring sem komið er fyrir ofan á rétthyrningi. Ef $20 ft$ af efni eru til ráðstöfunar fyrir ytri gluggakarminn, hversu stóran glugga er þá hægt að búa til? Notið $r$ til að tákna geisla hálfhringsins.

Teiknaður er hálfhringlaga gluggi með geisla r.

352.

Í garðinum þínum er röð með $20$ vatnsmelónuplöntum sem gefa að meðaltali $30$ vatnsmelónur hver. Fyrir hverja vatnsmelónuplöntu sem bætt er við minnkar uppskeran af hverri plöntu um eina vatnsmelónu. Hversu mörgum vatnsmelónuplöntum til viðbótar ættir þú að planta?

353.

Þú ert að smíða kassa sem kötturinn þinn getur sofið í. Mjúka efnið í ferningslaga botn kassans kostar $⁢5/ft2 $$ 5 / {ft}^{2}$ og efnið í hliðarnar kostar $⁢2/ft2. $$ 2 / {ft}^{2} .$ Kassinn þarf að hafa rúmmálið 4⁢ft3. $4 {ft}^{3} .$ Finnið þau mál kassans sem lágmarka kostnaðinn. Notið 𝑥 $x$ til að tákna hliðarlengd kassans.

354.

Þú ert að byggja fimm eins gerði hlið við hlið með heildarflatarmálið $1000 m^{2},$ eins og sýnt er á eftirfarandi mynd. Hvaða mál ætti að nota svo að sem minnst girðingarefni þurfi?

Rétthyrningi er skipt í fimm hluta og hver hluti hefur lengdina y og breiddina x.

355.

Þú ert framkvæmdastjóri fjölbýlishúss með $50$ íbúðum. Leigan er $$ 800 / mánuði,$ og þá eru allar íbúðirnar í útleigu. Útleigðum íbúðum fækkar um eina í hvert sinn sem leigan er hækkuð um $$ 25 / mánuði,$ en viðhaldskostnaður er $$ 50 / mánuði$ fyrir hverja íbúð í útleigu. Hve há leiga hámarkar heildarhagnaðinn?