4.2 Línulegar nálganir og deildi

Við höfum rétt í þessu séð hvernig afleiður gera okkur kleift að bera saman tengdar stærðir sem breytast með tíma. Í þessum undirkafla skoðum við aðra hagnýtingu afleiðna: hvernig nálga má föll staðbundið með línulegum föllum. Auðvelt er að vinna með línuleg föll og því nýtast þau vel til að nálga fallgildi. Hugmyndirnar sem hér eru kynntar verða síðar alhæfðar þegar við skoðum í kaflanum Inngangur að veldaröðum og föllum hvernig nálga má föll með margliðum af hærra stigi.

Lítum á $f$ all f sem er deildanlegt í punktinum $x=a.$ Ri $f$ jum upp $a$ ð snertillinn við graf f í punktinum a er gefinn með jöfnunni

Skoðum til dæmis fallið $f(x)=\frac{1}{x}$ í punktinum $a=2.$ Þar sem $f$ er deildanlegt í punktinum $x=2$ og $f\prime (x)=-\frac{1}{x^2},$ sjáum við að $f\prime (2)=-\frac{1}{4}.$ Því er snertillinn við graf $f$ í punktinum $a=2$ gefinn með jöfnunni

Mynd 4.7(a) sýnir graf fallsins $f(x)=\frac{1}{x}$ ásamt snertli við $f$ í punktinum $x=2.$ Takið eftir að þegar $x$ er nálægt 2 liggur snertillinn nærri grafi $f.$ Því getum við notað jöfnu snertilsins til að nálga $f(x)$ þegar $x$ er nálægt 2. Ef $x=2.1,$ er $y$-gildi samsvarandi punkts á snertlinum til dæmis

Raungildi $f(2.1)$ er hins vegar

Snertillinn gefur því nokkuð góða nálgun á $f(2.1)$ (mynd 4.7(b)). Fyrir gildi $x$ sem eru fjarri 2 gefur jafna snertilsins hins vegar ekki góða nálgun. Ef $x=10,$ er $y$-gildi samsvarandi punkts á snertlinum til dæmis

en gildi fallsins í $x=10$ er $f(10)=0.1.$

Almennt má nota jö $f,$ nu snertils við deildanlegt $f$ all f í $x=a$ til að nálga $f(x)$ þegar $x$ er nálægt $a.$ Því getum við ritað

línulega nálgun, eða snertilnálgun, $f$ allsins f í $x=a.$ Fallið $L$ er einnig kallað línugerving $f$ allsins f í $x=a.$

Til að sýna hve gagnleg línuleg nálgun getur verið skoðum við hvernig finna má línulega nálgun fallsins $f(x)=\sqrt{x}$ í $x=9.$

Nota má línulegar nálganir til að áætla rætur og veldi. Í næsta dæmi finnum við línulega nálgun fallsins $f(x)={(1+x)}^n$ í $x=0,$ sem nota má til að áætla rætur og veldi rauntalna nálægt 1. Sömu aðferð má beita á fall af gerðinni $f(x)={(m+x)}^n$ til að áætla rætur og veldi nálægt annarri tölu $m.$

Þegar við kynntumst afleiðum fyrst notuðum við táknun Leibniz $dy\text{/}dx$ f $y$ rir afleiðu y með tilliti til $x.$ Þótt táknin dy og dx kæmu þar fyrir höfðu þau ekki sjálfstæða merkingu. Nú gefum við þeim slíka merkingu. Gerum ráð fyrir að $y=f(x)$ sé deildanlegt fall. Látum dx vera óháða breytu sem má gefa sérhvert rauntölugildi annað en núll og skilgreinum háðu breytuna $dy$ með

Mikilvægt er að taka eftir því að $dy$ er fall bæði af $x$ og $dx.$ Stærðirnar dy og dx kallast deildi. Við getum deilt báðum hliðum jöfnu 4.2 með $dx,$ og þá fæst

Þetta er kunnuglega stæðan sem við höfum notað fyrir afleiðu. Jafna 4.2 nefnist deildaform jöfnu 4.3.

Nú tengjum við deildi við línulegar nálganir. Nota má deildi til að áætla breytingu á $f$ allgildi sem hlýst af lítilli breytingu á inntakinu. Lítum á fall f sem er deildanlegt í punktinum $a.$ Gerum ráð fyrir að inntakið $x$ bre $y$ tist lítillega og könnum hve mikið úttakið y breytist. Ef $x$ breytist úr $a$ í $a+dx,$ er breytingin á $x$ jöfn $dx$ (einnig táknuð $\text{Δ}x),$ og bre $y$ tingin á y er gefin með

Þótt unnt sé að reikna nákvæma breytingu á $y,$ er oft auðveldara að nálga breytinguna á $y$ með línulegri nálgun. Þegar $x$ er nálægt $a,$ má nálga $f(x)$ með línulega fallinu

Því gildir að ef $dx$ er lítið,

Með öðrum orðum er raunveruleg breyting á $f$ allinu f þegar $x$ vex úr $a$ í $a+dx$ um það bil jöfn mismuninum á $L(a+dx)$ og $f(a),$ þar sem $L(x)$ er línuleg nálgun $f$ allsins f í $a.$ Samkvæmt skilgreiningu $L(x),$ er þessi mismunur jafn $f\prime (a)dx.$ Í stuttu máli:

Því má nota deildið $dy=f\prime (a)dx$ til að nálga bre $y$ tinguna á y þegar $x$ vex úr $x=a$ í $x=a+dx.$ Þetta sést á eftirfarandi grafi.

Skoðum fall $f$ þar sem inntakið er mæld stærð. Gerum ráð fyrir að nákvæmt gildi mældu stærðarinnar sé $a,$ en mælda gildið sé $a+dx.$ Við segjum að mæliskekkjan sé dx (eða $\text{Δ}x).$ Af þessu leiðir að skekkja verður í reiknuðu stærðinni $f(x).$ Slík skekkja nefnist yfirfærð skekkja og er gefin með

Þar sem öllum mælingum fylgir einhver skekkja þekkjum við ekki nákvæmt gildi mældrar stærðar og getum því ekki reiknað yfirfærðu skekkjuna nákvæmlega. Ef fyrir liggur mat á nákvæmni mælingar getum við hins vegar notað deildi til að nálga yfirfærðu skekkjuna $\text{Δ}y.$ Nánar tiltekið gildir e $f$ tirf $a,$ randi ef f er deildanlegt í a :

Því miður þekkjum við ekki nákvæmt gildi $a.$ Við getum hins vegar notað mælda gildið $a+dx,$ og áætlað

Mæliskekkjan dx $\left(\text{=Δ}x\right)$ og yfirfærða skekkjan $\text{Δ}y$ eru algildar skekkjur. Yfirleitt skiptir máli hve stór skekkjan er miðað við stærðina sem verið er að mæla eða reikna. Ef algild skekkja tiltekinnar stærðar er $\text{Δ}q$ skilgreinum við hlutfallslega skekkju sem $\frac{\text{Δ}q}{q},$ þar sem $q$ er raungildi stærðarinnar. Prósentuskekkja er hlutfallslega skekkjan gefin upp í prósentum. Ef hæð stiga mælist til dæmis 63 tommur en er í raun 62 tommur er algilda skekkjan 1 tomma og hlutfallslega skekkjan $\frac{1}{62}=0.016,$ eða $1.6\text{\%}.$ Ef breidd pappaspjalds mælist hins vegar 8.25 tommur en er í raun 8 tommur er algilda skekkjan $\frac{1}{4}$ tomma og hlutfallslega skekkjan $\frac{0.25}{8}=\frac{1}{32},$ eða $3.1\text{\%}.$ Prósentuskekkjan í mælingu pappaspjaldsins er því meiri þótt 0.25 tomma sé minna en 1 tomma.