55 Heildun

5.2 Ákveðið heildi

Námsmarkmið

5.2.1 Setjið fram skilgreiningu á ákveðnu heildi.
5.2.2 Útskýrið hugtökin heildisstofn, heildismörk og heildunarbreyta.
5.2.3 Útskýrið hvenær fall er heildanlegt.
5.2.4 Lýsið tengslum ákveðins heildis og samanlagðs formerkts flatarmáls.
5.2.5 Notið rúmfræði og eiginleika ákveðinna heilda til að reikna þau.
5.2.6 Reiknið meðalgildi falls.

Í undanfarandi undirkafla skilgreindum við flatarmálið undir ferli með Riemann-summum:

A = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x .

Þessari skilgreiningu fylgdu þó takmarkanir. Við gerðum þá kröfu að $f (x)$ væri samfellt og óneikvætt. Viðfangsefni úr raunveruleikanum uppfylla því miður ekki alltaf þessi skilyrði. Í þessum undirkafla sjáum við hvernig nota má hugmyndina um flatarmál undir ferli fyrir fleiri gerðir falla með hjálp ákveðins heildis.

Skilgreining og táknun

Ákveðið heildi er alhæfing á hugmyndinni um flatarmál undir ferli. Við fellum niður skilyrðin um að $f (x)$ sé samfellt og óneikvætt og skilgreinum ákveðið heildi sem hér segir.

Heildistáknið í skilgreiningunni hér á undan ætti að vera kunnuglegt. Við höfum séð svipaða táknun í kaflanum um notkun afleiða, þar sem við notuðum tákn óákveðins heildis (án a og b fyrir ofan og neðan) til að tákna stofnfall. Þótt táknunin fyrir óákveðin heildi kunni að líkjast táknuninni fyrir ákveðið heildi er ekki um það sama að ræða. Ákveðið heildi er tala. Óákveðið heildi er fjölskylda falla. Síðar í þessum kafla könnum við hvernig þessi hugtök tengjast. Ávallt þarf þó að gæta vel að táknuninni svo ljóst sé hvort unnið er með ákveðið eða óákveðið heildi.

Heildatáknun á rætur að rekja til síðari hluta sautjándu aldar og er eitt af framlögum Gottfrieds Wilhelms Leibniz. Hann og Isaac Newton eru jafnan taldir hafa uppgötvað stærðfræðigreininguna hvor í sínu lagi. Heildunartáknið ∫ er ílangt S og vísar til sigma eða summu. Fyrir ofan og neðan heildunartáknið í ákveðnu heildi standa endamörk bilsins $[a, b] .$ Tölurnar a og b eru x-gildi og kallast heildismörk; a er neðra markið og b efra markið. Í ensku er orðið limit notað á tvo ólíka vegu í þessu samhengi. Annars vegar er talað um markgildi summu þegar $n \to \infty .$ Hins vegar kallast endamörk svæðisins heildismörk.

Við köllum fallið $f (x)$ heildisstofn og dx gefur til kynna að $f (x)$ sé fall af breytunni x, sem er heildunarbreytan. Athugið að heildunarbreytan er gervibreyta, rétt eins og summuvísirinn í summu, og hefur engin áhrif á útreikning heildisins. Við gætum valið hvaða breytu sem er sem heildunarbreytu:

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (t) d t = \int_{a}^{b} f (u) d u

Áður kom fram að ef $f (x)$ er samfellt á $[a, b],$ þá er markgildið $lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x$ til og ótvírætt ákvarðað. Af því leiðir eftirfarandi setning, sem við setjum fram án sönnunar.

Föll sem eru ekki samfelld á $[a, b]$ geta samt verið heildanleg, eftir eðli ósamfellanna. Til dæmis eru föll sem eru samfelld á lokuðu bili, að undanskildum endanlegum fjölda stökkósamfella, heildanleg.

Einnig er vert að taka fram að við höfum haldið okkur við reglulega skiptingu í Riemann-summunum. Sú takmörkun er ekki nauðsynleg. Nota má hvaða skiptingu sem er til að mynda Riemann-summu. Ef óregluleg skipting er notuð til að skilgreina ákveðið heildi nægir hins vegar ekki að taka markgildið þegar fjöldi hlutbila stefnir á óendanlegt. Þá verður þess í stað að taka markgildið þegar breidd stærsta hlutbilsins stefnir að núlli. Það krefst nokkru flóknari markgildatáknunar og þyngir útreikningana án þess að veita teljandi viðbótarinnsýn. Því höldum við okkur við reglulegar skiptingar í Riemann-summunum.

Dæmi 5.7

Útreikningur ákveðins heildis samkvæmt skilgreiningu

Notið skilgreiningu ákveðins heildis til að reikna $\int_{0}^{2} x^{2} d x .$ Notið nálgun með hægri endapunktum til að mynda Riemann-summuna.

Lausn

Fyrst viljum við setja fram Riemann-summu. Af heildismörkunum fæst 𝑎=0 $a = 0$ og 𝑏=2. $b = 2 .$ Fyrir 𝑖=0,1,2⁢,…,𝑛, $i = 0, 1, 2,…, n,$ látum 𝑃={𝑥𝑖} $P = {x_{i}}$ vera reglulega skiptingu á [0,2]. $[0, 2] .$ Þá fæst

Δ x = \frac{b - a}{n} = \frac{2}{n} .

Þar sem við notum nálgun með hægri endapunktum til að mynda Riemann-summur þurfum við, fyrir hvert i, að reikna fallgildið í hægri endapunkti bilsins $[x_{i - 1}, x_{i}] .$ Hægri endapunktur bilsins er $x_{i},$ og þar sem P er regluleg skipting,

x_{i} = x_{0} + i Δ x = 0 + i [\frac{2}{n}] = \frac{2 i}{n} .

Því er fallgildið í hægri endapunkti bilsins

f (x_{i}) = x_{i}^{2} = {(\frac{2 i}{n})}^{2} = \frac{4 i^{2}}{n^{2}} .

Þá er Riemann-summan á forminu

\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x = \sum_{i = 1}^{n} (\frac{4 i^{2}}{n^{2}}) \frac{2}{n} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{8 i^{2}}{n^{3}} = \frac{8}{n^{3}} \sum_{i = 1}^{n} i^{2} .

Með því að nota summuformúluna fyrir $\sum_{i = 1}^{n} i^{2},$ fæst

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x & = \frac{8}{n^{3}} \sum_{i = 1}^{n} i^{2} \\ = \frac{8}{n^{3}} [\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}] \\ = \frac{8}{n^{3}} [\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6}] \\ = \frac{16 n^{3} + 24 n^{2} + 8 n}{6 n^{3}} \\ = \frac{8}{3} + \frac{4}{n} + \frac{8}{6 n^{2}} . \end{matrix}

Til að reikna ákveðna heildið þurfum við nú að taka markgildið þegar $n \to \infty .$ Við fáum

\begin{matrix} \int_{0}^{2} x^{2} d x & = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x \\ = lim_{n \to \infty} (\frac{8}{3} + \frac{4}{n} + \frac{8}{6 n^{2}}) \\ = lim_{n \to \infty} (\frac{8}{3}) + lim_{n \to \infty} (\frac{4}{n}) + lim_{n \to \infty} (\frac{8}{6 n^{2}}) \\ = \frac{8}{3} + 0 + 0 = \frac{8}{3} . \end{matrix}

Útreikningur ákveðinna heilda

Það getur verið mjög tímafrekt að reikna ákveðin heildi á þennan hátt vegna þess hve útreikningarnir eru flóknir. Síðar í þessum kafla kynnumst við aðferðum til að reikna ákveðin heildi án þess að taka markgildi Riemann-summa. Enn sem komið er getum við þó stuðst við þá staðreynd að ákveðin heildi tákna flatarmálið undir grafi og reiknað þau með rúmfræðilegum formúlum. Þannig staðfestum við að ákveðin heildi tákna í raun flatarmál áður en við skoðum hvernig fara skuli að þegar graf falls liggur að hluta neðan x-ássins.

Dæmi 5.8

Notkun rúmfræðiformúla til að reikna ákveðin heildi

Notið formúluna fyrir flatarmál hrings til að reikna $\int_{3}^{6} \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}} d x .$

Lausn

Fallið lýsir hálfhring með geisla 3. Til að finna

\int_{3}^{6} \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}} d x,

viljum við finna flatarmálið undir ferlinum á bilinu [3,6]. $[3, 6] .$ Formúlan fyrir flatarmál hrings er 𝐴=𝜋⁢𝑟2. $A = π r^{2} .$ Flatarmál hálfhrings er helmingur flatarmáls hrings, eða 𝐴=(12)⁢𝜋⁢𝑟2. $A = (\frac{1}{2}) π r^{2} .$ Skyggða svæðið á mynd 5.16 er helmingur hálfhringsins og því fjórðungur hringsins, svo 𝐴=(14)⁢𝜋⁢𝑟2. $A = (\frac{1}{4}) π r^{2} .$ Því fæst

\begin{matrix} \int_{3}^{6} \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}} & = \frac{1}{4} π {(3)}^{2} \\ = \frac{9}{4} π \\ \approx 7.069. \end{matrix}

Graf hálfhrings í fyrsta fjórðungi yfir bilinu [0,6] með miðju í (3,0). Flatarmálið undir ferlinum yfir bilinu [3,6] er skyggt með bláum lit. — **Mynd 5.16.** Gildi heildis fallsins f ⁡ ( x ) á bilinu [ 3 , 6 ] er flatarmál skyggða svæðisins.

Flatarmál og ákveðið heildi

Þegar við skilgreindum ákveðna heildið felldum við niður kröfuna um að $f (x)$ væri óneikvætt. En hvernig túlkum við „flatarmálið undir ferlinum“ þegar $f (x)$ er neikvætt?

Samanlagt formerkt flatarmál

Snúum okkur aftur að Riemann-summunni. Skoðum til dæmis fallið $f (x) = 2 - 2 x^{2}$ (sýnt á mynd 5.17) á bilinu $[0, 2] .$ Notum $n = 8$ og veljum ${x_{i}^{*}}$ sem vinstri endapunkt hvers hlutbils. Teiknum rétthyrning yfir hvert hlutbil með hæðina $f (x_{i}^{*})$ og breiddina Δx. Þegar $f (x_{i}^{*})$ er jákvætt táknar margfeldið $f (x_{i}^{*}) Δ x$ flatarmál rétthyrningsins, eins og áður. Þegar $f (x_{i}^{*})$ er neikvætt táknar margfeldið $f (x_{i}^{*}) Δ x$ hins vegar neikvætt gildi flatarmáls rétthyrningsins. Riemann-summan verður þá

\sum_{i = 1}^{8} f (x_{i}^{*}) Δ x = (Flatarmál rétthyrninganna ofan við x -ásinn) - (Flatarmál rétthyrninganna neðan við x -ásinn)

Graf fleygboga sem opnast niður á bilinu [-1, 2] hefur topppunkt í (0,2) og sker x-ásinn í (-1,0) og (1,0). Átta rétthyrningar eru teiknaðir með jöfnu millibili yfir [0,2] og hæð þeirra ræðst af fallgildinu í vinstri endapunkti hvers hlutbils. — **Mynd 5.17.** Fyrir fall sem er neikvætt að hluta er Riemann-summan flatarmál rétthyrninganna fyrir ofan x-ásinn að frádregnu flatarmáli rétthyrninganna fyrir neðan x-ásinn.

Þegar $n \to \infty,$ nálgast Riemann-summan flatarmálið milli ferilsins og x-ássins ofan við ásinn, að frádregnu flatarmálinu milli ferilsins og x-ássins neðan við ásinn, eins og sýnt er á mynd 5.18. Þá fæst:

\begin{matrix} \int_{0}^{2} f (x) d x & = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (c_{i}) Δ x \\ = A_{1} - A_{2} . \end{matrix}

Stærðin $A_{1} - A_{2}$ kallast samanlagt formerkt flatarmál.

Graf fleygboga sem opnast niður á bilinu [-2, 2] hefur topppunkt í (0,2) og sker x-ásinn í (-1,0) og (1,0). Svæðið undir ferlinum í fyrsta fjórðungi er skyggt blátt og merkt A1. Svæðið ofan við ferilinn í fjórða fjórðungi og vinstra megin við x=2 er skyggt blátt og merkt A2. — **Mynd 5.18.** Í markgildinu er ákveðið heildi jafnt flatarmáli A1 að *frádregnu* flatarmáli A2, það er samanlögðu formerktu flatarmáli.

Athugið að samanlagt formerkt flatarmál getur verið jákvætt, neikvætt eða núll. Ef flatarmálið ofan x-ássins er stærra er samanlagða formerkta flatarmálið jákvætt. Ef flatarmálið neðan x-ássins er stærra er það neikvætt. Ef flatarmálin ofan og neðan x-ássins eru jafnstór er samanlagða formerkta flatarmálið núll.

Dæmi 5.9

Útreikningur á samanlögðu formerktu flatarmáli

Finnið samanlagt formerkt flatarmál milli grafs fallsins 𝑓⁡(𝑥)=2⁢𝑥 $f (x) = 2 x$ og x-ássins á bilinu [−3,3]. $[−3, 3] .$

Lausn

Graf fallsins er bein lína sem myndar tvo þríhyrninga: annan frá 𝑥=−3 $x = −3$ til 𝑥=0 $x = 0$ og hinn frá 𝑥=0 $x = 0$ til 𝑥=3 $x = 3$ (mynd 5.19). Samkvæmt rúmfræðilegu formúlunni fyrir flatarmál þríhyrnings, 𝐴=12⁢𝑏⁢ℎ, $A = \frac{1}{2} b h,$ er flatarmál þríhyrningsins A1, sem er ofan við ásinn, jafnt

A_{1} = \frac{1}{2} 3 (6) = 9,

þar sem 3 er grunnlengdin og $2 (3) = 6$ er hæðin. Flatarmál þríhyrningsins A₂, neðan ássins, er

A_{2} = \frac{1}{2} (3) (6) = 9,

þar sem 3 er grunnlengdin og 6 hæðin. Samanlagða formerkta flatarmálið er því

\int_{−3}^{3} 2 x d x = A_{1} - A_{2} = 9 - 9 = 0 .

Graf vaxandi línu á bilinu [-6, 6] sem liggur í gegnum upphafspunktinn og punktana (-3, -6) og (3,6). Flatarmálið undir línunni í fyrsta fjórðungi á bilinu [0,3] er skyggt blátt og merkt A1, en flatarmálið ofan línunnar í þriðja fjórðungi á bilinu [-3,0] er skyggt blátt og merkt A2. — **Mynd 5.19.** Flatarmálið fyrir ofan ferilinn og neðan við x-ásinn er jafnt flatarmálinu neðan við ferilinn og ofan við x-ásinn.

Greining

Ef A1 er flatarmálið ofan x-ássins og A2 flatarmálið neðan hans er samanlagða formerkta flatarmálið 𝐴1−𝐴2. $A_{1} - A_{2} .$ Þar sem þríhyrningarnir hafa sama flatarmál er samanlagða formerkta flatarmálið núll.

Heildarflatarmál

Ein hagnýting ákveðins heildis er að finna færslu út frá hraðafalli. Ef $v (t)$ táknar hraða hlutar sem fall af tíma segir flatarmálið undir ferlinum til um hve langt hluturinn er frá upphafsstöðu sinni. Þetta er mikilvæg hagnýting ákveðins heildis sem við skoðum nánar síðar í kaflanum. Fyrst skoðum við grunnatriðin með því að athuga hreyfingu með föstum hraða.

Þegar hraðinn er fastur er flatarmálið undir ferlinum einfaldlega margfeldi hraða og tíma. Þetta er kunnugleg hugmynd. Ef bíll ekur eftir beinni línu frá upphafsstað sínum á 70 mílum á klukkustund í 2 klukkustundir er hann 140 mílur frá upphafsstaðnum (mynd 5.20). Með heildatáknun fæst

\int_{0}^{2} 70 d t = 140 .

Graf í fyrsta fjórðungi þar sem x-ásinn er merktur t (klukkustundir) og y-ásinn v (mílur á klukkustund). Flatarmálið undir línunni v(t) = 70 á bilinu [0,2] er skyggt blátt. — **Mynd 5.20.** Flatarmálið undir ferlinum $v (t) = 70$ segir okkur hversu langt bíllinn er frá upphafspunkti sínum á tilteknum tíma.

Þegar fjallað er um færslu gerir samanlagt formerkt flatarmál okkur kleift að taka tillit til stefnu. Ef bíll ekur beint í norður á 60 mílum á klukkustund í 2 klukkustundir er hann 120 mílur norðan við upphafsstað sinn. Snúi bíllinn síðan við og aki í suður á 40 mílum á klukkustund í 3 klukkustundir kemur hann aftur á upphafsstaðinn (mynd 5.21). Með heildatáknun fæst aftur

\begin{matrix} \int_{0}^{2} 60 d t + \int_{2}^{5} −40 d t & = 120 - 120 \\ = 0. \end{matrix}

Í þessu tilviki er færslan núll.

Graf í fyrsta og fjórða fjórðungi þar sem x-ásinn er merktur t (klukkustundir) og y-ásinn v (mílur á klukkustund). Fyrri hluti grafsins er línan v(t) = 60 á bilinu [0,2] og svæðið undir línunni í fyrsta fjórðungi er skyggt. Seinni hlutinn er línan v(t) = -40 á bilinu [2,5] og svæðið ofan línunnar í fjórða fjórðungi er skyggt. — **Mynd 5.21.** Flatarmálið ofan ássins og flatarmálið neðan hans eru jafnstór, þannig að samanlagða formerkta flatarmálið er núll.

Gerum ráð fyrir að við viljum vita hversu langt bíllinn ekur samtals, óháð stefnu. Í þessu tilviki viljum við vita flatarmálið milli ferilsins og x-ássins, óháð því hvort það liggur ofan eða neðan við ásinn. Þetta kallast heildarflatarmál.

Myndrænt er auðveldast að reikna heildarflatarmálið með því að leggja saman flatarmálin ofan og neðan ássins. Þau síðarnefndu eru þá ekki dregin frá eins og við útreikning á samanlögðu formerktu flatarmáli. Til að gera þetta stærðfræðilega notum við tölugildisfallið. Heildarvegalengd bílsins er því

\begin{matrix} \int_{0}^{2} | 60 | d t + \int_{2}^{5} | −40 | d t & = \int_{0}^{2} 60 d t + \int_{2}^{5} 40 d t \\ = 120 + 120 \\ = 240. \end{matrix}

Nú drögum við þessar hugmyndir formlega saman í eftirfarandi skilgreiningum.

Dæmi 5.10

Heildarflatarmál fundið

Finnið heildarflatarmálið milli $f (x) = x - 2$ og x-ássins á bilinu $[0, 6] .$

Lausn

Finnið skurðpunktinn við x-ásinn, (2,0) $(2, 0)$ , með því að setja 𝑦=0, $y = 0,$ og leysa með tilliti til x. Til að finna heildarflatarmálið leggjum við saman flatarmálið neðan x-ássins á hlutbilinu [0,2] $[0, 2]$ og flatarmálið ofan x-ássins á hlutbilinu [2,6] $[2, 6]$ (mynd 5.22).

Graf vaxandi línunnar f(x) = x-2, sem liggur í gegnum punktana (-2,-4), (0,2), (2,0), (4,2) og (6,4). Svæðið undir línunni í fyrsta fjórðungi og vinstra megin við línuna x=6 er skyggt og merkt A1. Svæðið ofan við línuna í fjórða fjórðungi er skyggt og merkt A2. — **Mynd 5.22.** Heildarflatarmálið milli línunnar og x-ássins á bilinu [ 0 , 6 ] er A2 að viðbættu A1.

Við fáum

\int_{0}^{6} | (x - 2) | d x = A_{2} + A_{1} .

Þá fáum við með því að nota formúluna fyrir flatarmál þríhyrnings

A_{2} = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2

A_{1} = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 .

Heildarflatarmálið er því

A_{1} + A_{2} = 8 + 2 = 10 .

Eiginleikar ákveðins heildis

Eiginleikar óákveðinna heilda gilda einnig um ákveðin heildi. Ákveðin heildi hafa auk þess eiginleika sem tengjast heildismörkunum. Þessir eiginleikar, ásamt heildunarreglunum sem við skoðum síðar í þessum kafla, auðvelda okkur að umrita stæður til að reikna ákveðin heildi.

Regla: Eiginleikar ákveðins heildis

∫𝑎𝑎𝑓⁡(𝑥)⁢𝑑⁢𝑥=0 $\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$
(5.9)

Ef heildismörkin eru þau sömu er heildunarsvæðið aðeins línustrik og hefur því ekkert flatarmál.
$\int_{b}^{a} f (x) d x = − \int_{a}^{b} f (x) d x$
(5.10)

Ef víxlað er á heildismörkunum skal setja mínusmerki fyrir framan heildið.
$\int_{a}^{b} [f (x) + g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$
(5.11)

Heildi summu er summa heildanna.
$\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x$
(5.12)

Heildi mismunar er mismunur heildanna.
∫𝑏𝑎𝑐⁢𝑓⁡(𝑥)𝑑𝑥=𝑐⁢∫𝑏𝑎𝑓⁡(𝑥)⁢𝑑⁢𝑥 $\int_{a}^{b} c f (x) d x = c \int_{a}^{b} f (x) d x$
(5.13)

fyrir fastann c. Heildi margfeldis fasta og falls er jafnt margfeldi fastans og heildis fallsins.
∫𝑏𝑎𝑓⁡(𝑥)𝑑𝑥=∫𝑐𝑎𝑓⁡(𝑥)𝑑𝑥+∫𝑏𝑐𝑓⁡(𝑥)𝑑𝑥 $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$
(5.14)

Þótt þessi formúla eigi venjulega við þegar c er á milli a og b, gildir hún fyrir öll gildi a, b og c, að því gefnu að 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ sé heildanlegt á stærsta bilinu.

Dæmi 5.11

Notkun eiginleika ákveðins heildis

Notið eiginleika ákveðins heildis til að rita ákveðið heildi fallsins 𝑓⁡(𝑥)=−3⁢𝑥3+2⁢𝑥+2 $f (x) = −3 x^{3} + 2 x + 2$ á bilinu [−2,1] $[−2, 1]$ sem summu þriggja ákveðinna heilda.

Lausn

Með heildatáknun fæst $\int_{−2}^{1} (−3 x^{3} + 2 x + 2) d x .$ Við beitum eiginleikum 3. og 5. og fáum

\begin{matrix} \int_{−2}^{1} (−3 x^{3} + 2 x + 2) d x & = \int_{−2}^{1} −3 x^{3} d x + \int_{−2}^{1} 2 x d x + \int_{−2}^{1} 2 d x \\ = −3 \int_{−2}^{1} x^{3} d x + 2 \int_{−2}^{1} x d x + \int_{−2}^{1} 2 d x . \end{matrix}

Dæmi 5.12

Notkun eiginleika ákveðins heildis

Ef vitað er að ∫80𝑓⁡(𝑥)𝑑𝑥=10 $\int_{0}^{8} f (x) d x = 10$ og ∫50𝑓⁡(𝑥)𝑑𝑥=5, $\int_{0}^{5} f (x) d x = 5,$ finnið gildi ∫85𝑓⁡(𝑥)𝑑𝑥. $\int_{5}^{8} f (x) d x .$

Lausn

Samkvæmt eiginleika 6.

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x .

Því fæst

\begin{matrix} \int_{0}^{8} f (x) d x & = & \int_{0}^{5} f (x) d x + \int_{5}^{8} f (x) d x \\ 10 & = & 5 + \int_{5}^{8} f (x) d x \\ 5 & = & \int_{5}^{8} f (x) d x . \end{matrix}

Samanburðareiginleikar heilda

Mynd getur stundum sagt okkur meira um fall en niðurstöður útreikninga. Samanburður falla, bæði út frá gröfum þeirra og algebrulegum stæðum, getur veitt nýja innsýn í heildun. Í fljótu bragði mætti ætla að ef fallið $f (x)$ liggur ofan við fallið $g (x),$ þá sé flatarmálið milli $f (x)$ og x-ássins stærra en flatarmálið milli $g (x)$ og x-ássins. Hvort það er rétt fer eftir bilinu sem samanburðurinn nær yfir. Eiginleikar ákveðinna heilda gilda hvort sem $a < b, a = b,$ eða $a > b .$ Eftirfarandi eiginleikar eiga hins vegar aðeins við þegar $a \leq b,$ og eru notaðir til að bera saman stærð heilda.

Dæmi 5.13

Samanburður tveggja falla á tilteknu bili

Berið saman $f (x) = \sqrt{1 + x^{2}}$ og $g (x) = \sqrt{1 + x}$ á bilinu $[0, 1] .$

Lausn

Nauðsynlegt er að teikna gröf fallanna til að skilja afstöðu þeirra á bilinu $[0, 1] .$ Þegar þau eru fyrst teiknuð með grafískri reiknivél virðist $f (x)$ liggja ofan við $g (x)$ alls staðar. Þegar aðeins er litið á bilið $[0, 1],$ virðast gröfin þó falla saman. Þysja þarf inn á grafið til að sjá að þegar litið er á bilið $[0, 1], g (x)$ liggur ofan við $f (x) .$ Föllin skerast þegar $x = 0$ og $x = 1$ (mynd 5.23).

Graf fallsins f(x) = sqrt(1 + x^2) er sýnt með rauðum lit og graf fallsins g(x) = sqrt(1 + x) með bláum lit á bilinu [-2, 3]. Fallið f(x) liggur ofan við g(x) nema á bilinu [0,1]. Annað graf, sem sýnir stækkaða mynd, sýnir þetta bil skýrar. — **Mynd 5.23.** (a) Fallið f ⁡ ( x ) virðist liggja ofan við fallið g ⁡ ( x ) nema á bilinu [ 0 , 1 ] . (b) Þetta sést skýrar þegar sama graf er stækkað.

Af grafinu sést að þegar x er á bilinu $[0, 1], g (x) \geq f (x) .$ Þegar heildin eru borin saman á bilinu $[0, 1],$ sést einnig að $\int_{0}^{1} g (x) d x \geq \int_{0}^{1} f (x) d x$ (mynd 5.24). Mjóa, rauðskyggða svæðið sýnir muninn á þessum tveimur heildum á bilinu $[0, 1] .$

Graf sem sýnir föllin f(x) = sqrt(1 + x^2) og g(x) = sqrt(1 + x) á bilinu [-3, 3]. Svæðið undir g(x) í fyrsta fjórðungi á bilinu [0,1] er skyggt. Svæðið undir g(x) og f(x) er innifalið í þessu skyggða svæði. Annað graf, sem sýnir stækkaða mynd, sýnir skýrar að föllin eru aðeins jöfn í endapunktunum. — **Mynd 5.24.** (a) Grafið sýnir að á bilinu [ 0 , 1 ] , g ⁡ ( x ) ≥ f ⁡ ( x ) , og jafnaðarmerkið gildir aðeins í endapunktum bilsins. (b) Þetta sést skýrar þegar sama graf er stækkað.

Meðalgildi falls

Oft þurfum við að finna meðaltal talnasafns, til dæmis meðaleinkunn úr prófum. Gerum ráð fyrir að þú hafir fengið eftirfarandi einkunnir í algebruprófum: 89, 90, 56, 78, 100 og 69. Annareinkunnin er meðaltal prófseinkunnanna og þú vilt vita hvaða einkunn þú getur búist við. Meðaltalið fæst með því að leggja allar einkunnirnar saman og deila með fjölda þeirra. Hér eru prófseinkunnirnar sex og því fæst

\frac{89 + 90 + 56 + 78 + 100 + 69}{6} = \frac{482}{6} \approx 80.33 .

Meðaleinkunn þín á prófunum er því um það bil 80,33, sem jafngildir B− í flestum skólum.

Gerum hins vegar ráð fyrir að fallið $v (t)$ gefi hraða hlutar á hverjum tíma t og að við viljum finna meðalhraða hlutarins. Fallið $v (t)$ tekur óendanlega mörg gildi og því getum við ekki beitt aðferðinni hér á undan. Sem betur fer má nota ákveðið heildi til að finna meðalgildi falls af þessu tagi.

Látum $f (x)$ vera samfellt á bilinu $[a, b]$ og látum $[a, b]$ skiptast í n hlutbil af breiddinni $Δ x = (b - a) / n .$ Veljum fulltrúa $x_{i}^{*}$ í hverju hlutbili og reiknum $f (x_{i}^{*})$ fyrir $i = 1, 2,…, n .$ Með öðrum orðum lítum við á hvert $f (x_{i}^{*})$ sem úrtak úr fallinu á viðkomandi hlutbili. Þá má nálga meðalgildi fallsins með

\frac{f (x_{1}^{*}) + f (x_{2}^{*}) + ⋯ + f (x_{n}^{*})}{n},

sem er í meginatriðum sama stæða og notuð er til að reikna meðaltal stakra gilda.

En við vitum að $Δ x = \frac{b - a}{n},$ svo að $n = \frac{b - a}{Δ x},$ og við fáum

\frac{f (x_{1}^{*}) + f (x_{2}^{*}) + ⋯ + f (x_{n}^{*})}{n} = \frac{f (x_{1}^{*}) + f (x_{2}^{*}) + ⋯ + f (x_{n}^{*})}{\frac{(b - a)}{Δ x}} .

Þegar unnið er áfram með algebruna sést að teljarinn er summan $\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}),$ og að deilt er með broti. Þegar deilt er með broti er því snúið við og margfaldað. Eftirfarandi stæða gefur því nálgun á meðalgildi fallsins

\begin{matrix} \frac{\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*})}{\frac{(b - a)}{Δ x}} & = (\frac{Δ x}{b - a}) \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) \\ = (\frac{1}{b - a}) \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x . \end{matrix}

Þetta er Riemann-summa. Til að fá nákvæmt meðalgildi tökum við markgildið þegar n stefnir á óendanlegt. Meðalgildi falls er því gefið með

\frac{1}{b - a} lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x .

Dæmi 5.14

Ákvörðun meðalgildis línulegs falls

Finnið meðalgildi $f (x) = x + 1$ á bilinu $[0, 5] .$

Lausn

Teiknum fyrst graf fallsins á tilgreinda bilinu, eins og sýnt er á mynd 5.25.

Graf í fyrsta fjórðungi sem sýnir skyggða svæðið undir fallinu f(x) = x + 1 á bilinu [0,5]. — **Mynd 5.25.** Grafið sýnir flatarmálið undir grafi fallsins f ⁡ ( x ) = x + 1 á bilinu [ 0 , 5 ] .

Svæðið er trapisa sem liggur á hliðinni og því getum við notað flatarmálsformúluna fyrir trapisu 𝐴=12⁢ℎ⁡(𝑎+𝑏), $A = \frac{1}{2} h (a + b),$ þar sem h táknar hæðina og a og b tákna samsíða hliðarnar tvær. Þá fæst:

\begin{matrix} \int_{0}^{5} x + 1 d x & = \frac{1}{2} h (a + b) \\ = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (1 + 6) \\ = \frac{35}{2} . \end{matrix}

Því er meðalgildi fallsins

\frac{1}{5 - 0} \int_{0}^{5} x + 1 d x = \frac{1}{5} \cdot \frac{35}{2} = \frac{7}{2} .

Æfingar í undirkafla 5.2

Í eftirfarandi æfingum skal setja markgildin fram sem heildi.

60.

$lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i}^{*}) Δ x$ yfir $[1, 3]$

61.

$lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} (5 {(x_{i}^{*})}^{2} - 3 {(x_{i}^{*})}^{3}) Δ x$ yfir $[0, 2]$

62.

$lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} {sin}^{2} (2 π x_{i}^{*}) Δ x$ yfir $[0, 1]$

63.

$lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} {cos}^{2} (2 π x_{i}^{*}) Δ x$ yfir $[0, 1]$

Í eftirfarandi æfingum eru Ln eða Rn gefin eins og tilgreint er. Setjið markgildi þeirra þegar $n \to \infty$ fram sem ákveðin heildi og tilgreinið rétt bil.

64.

𝐿𝑛=1𝑛⁢𝑛∑𝑖=1𝑖−1𝑛 $L_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{i - 1}{n}$

65.

𝑅𝑛=1𝑛⁢𝑛∑𝑖=1𝑖𝑛 $R_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{i}{n}$

66.

𝐿𝑛=2𝑛⁢𝑛∑𝑖=1(1+2⁢𝑖−1𝑛) $L_{n} = \frac{2}{n} \sum_{i = 1}^{n} (1 + 2 \frac{i - 1}{n})$

67.

𝑅𝑛=3𝑛⁢𝑛∑𝑖=1(3+3⁢𝑖𝑛) $R_{n} = \frac{3}{n} \sum_{i = 1}^{n} (3 + 3 \frac{i}{n})$

68.

𝐿𝑛=2⁢𝜋𝑛⁢𝑛∑𝑖=12⁢𝜋⁢𝑖−1𝑛⁢cos⁡(2⁢𝜋⁢𝑖−1𝑛) $L_{n} = \frac{2 π}{n} \sum_{i = 1}^{n} 2 π \frac{i - 1}{n} cos (2 π \frac{i - 1}{n})$

69.

𝑅𝑛=1𝑛⁢𝑛∑𝑖=1(1+𝑖𝑛)⁢log⁡((1+𝑖𝑛)₂) $R_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (1 + \frac{i}{n}) log ({(1 + \frac{i}{n})}^{2})$

Í eftirfarandi æfingum skal reikna heildi fallanna sem sýnd eru á gröfunum. Notið flatarmálsformúlur þríhyrninga og hringa og dragið flatarmál svæðanna neðan x-ássins frá.

70.

Graf sem sýnir efri helminga þriggja hringa á x-ásnum. Sá fyrsti hefur miðju í (1,0) og geisla 1. Hann samsvarar fallinu sqrt(2x – x^2) á bilinu [0,2]. Sá annar hefur miðju í (4,0) og geisla 2. Hann samsvarar fallinu sqrt(-12 + 8x – x^2) á bilinu [2,6]. Sá síðasti hefur miðju í (9,0) og geisla 3. Hann samsvarar fallinu sqrt(-72 + 18x – x^2) á bilinu [6,12]. Allir þrír hálfhringirnir, það er svæðin undir ferlunum og ofan x-ássins, eru skyggðir.

71.

Graf þriggja jafnarma þríhyrninga sem samsvara föllunum 1 - |x-1| á [0,2], 2 - |x-4| á [2,4] og 3 - |x-9| á [6,12]. Fyrsti þríhyrningurinn hefur hornpunkta í (0,0), (2,0) og (1,1). Annar þríhyrningurinn hefur hornpunkta í (2,0), (6,0) og (4,2). Sá síðasti hefur hornpunkta í (6,0), (12,0) og (9,3). Allir þrír eru skyggðir.

72.

Graf í þremur hlutum. Fyrsti hlutinn er efri helmingur hrings með miðju í (1, 0) og geisla 1 og samsvarar fallinu sqrt(2x – x^2) á bilinu [0,2]. Annar hlutinn er þríhyrningur með hornpunkta í (2, 0), (6, 0) og (4, -2) og samsvarar fallinu |x-4| - 2 á bilinu [2, 6]. Síðasti hlutinn er efri helmingur hrings með miðju í (9, 0) og geisla 3 og samsvarar fallinu sqrt(-72 + 18x – x^2) á bilinu [6,12]. Allir þrír hlutarnir eru skyggðir.

73.

Graf þriggja skyggðra þríhyrninga. Sá fyrsti hefur hornpunkta í (0, 0), (2, 0) og (1, 1) og samsvarar fallinu 1 - |x-1| á [0, 2]. Sá annar hefur hornpunkta í (2, 0), (6, 0) og (4, -2) og samsvarar fallinu |x-4| - 2 á [2, 6]. Sá þriðji hefur hornpunkta í (6, 0), (12, 0) og (9, 3) og samsvarar fallinu 3 - |x-9| á [6, 12].

74.

Graf með þremur skyggðum hlutum. Fyrsti hlutinn er efri helmingur hrings með miðju í (1, 0) og geisla 1. Hann samsvarar fallinu sqrt(2x – x^2) á bilinu [0, 2]. Annar hlutinn er neðri helmingur hrings með miðju í (4, 0) og geisla 2 og samsvarar fallinu -sqrt(-12 + 8x – x^2) á bilinu [2, 6]. Síðasti hlutinn er efri helmingur hrings með miðju í (9, 0) og geisla 3. Hann samsvarar fallinu sqrt(-72 + 18x – x^2) á bilinu [6, 12].

75.

Graf með þremur skyggðum hlutum. Fyrsti hlutinn er þríhyrningur með hornpunkta í (0, 0), (2, 0) og (1, 1) og samsvarar fallinu 1 - |x-1| á bilinu [0, 2] í fyrsta fjórðungi. Annar hlutinn er neðri helmingur hrings með miðju í (4, 0) og geisla 2 og samsvarar fallinu –sqrt(-12 + 8x – x^2) á bilinu [2, 6]. Síðasti hlutinn er þríhyrningur með hornpunkta í (6, 0), (12, 0) og (9, 3) og samsvarar fallinu 3 - |x-9| á bilinu [6, 12].

Í eftirfarandi æfingum skal reikna heildið með flatarmálsformúlum.

76.

∫30(3−𝑥)𝑑𝑥 $\int_{0}^{3} (3 - x) d x$

77.

∫32(3−𝑥)𝑑𝑥 $\int_{2}^{3} (3 - x) d x$

78.

∫3−3(3−|𝑥|)𝑑𝑥 $\int_{−3}^{3} (3 - | x |) d x$

79.

∫60(3−|𝑥−3|)𝑑𝑥 $\int_{0}^{6} (3 - | x - 3 |) d x$

80.

∫2−2√4−𝑥2𝑑𝑥 $\int_{−2}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} d x$

81.

∫51√4−(𝑥−3)₂𝑑𝑥 $\int_{1}^{5} \sqrt{4 - {(x - 3)}^{2}} d x$

82.

∫120√36−(𝑥−6)₂𝑑𝑥 $\int_{0}^{12} \sqrt{36 - {(x - 6)}^{2}} d x$

83.

∫3−2(3−|𝑥|)𝑑𝑥 $\int_{−2}^{3} (3 - | x |) d x$

Í eftirfarandi æfingum skal nota meðaltöl gilda í vinstri (L) og hægri (R) endapunktum til að reikna heildi kaflaskiptu línulegu fallanna. Gröf þeirra fara í gegnum tilgreinda punkta á gefnum bilum.

84.

{(0,0),(2,1),(4,3),(5,0),(6,0),(8,3)} ${(0, 0), (2, 1), (4, 3), (5, 0), (6, 0), (8, 3)}$ á bilinu [0,8] $[0, 8]$

85.

{(0,2),(1,0),(3,5),(5,5),(6,2),(8,0)} ${(0, 2), (1, 0), (3, 5), (5, 5), (6, 2), (8, 0)}$ á bilinu [0,8] $[0, 8]$

86.

{(−4,−4),(−2,0),(0,−2),(3,3),(4,3)} ${(−4, −4), (−2, 0), (0, −2), (3, 3), (4, 3)}$ á bilinu [−4,4] $[−4, 4]$

87.

{(−4,0),(−2,2),(0,0),(1,2),(3,2),(4,0)} ${(−4, 0), (−2, 2), (0, 0), (1, 2), (3, 2), (4, 0)}$ á bilinu [−4,4] $[−4, 4]$

Gerum ráð fyrir að $\int_{0}^{4} f (x) d x = 5$ og $\int_{0}^{2} f (x) d x = −3,$ og $\int_{0}^{4} g (x) d x = −1$ og $\int_{0}^{2} g (x) d x = 2 .$ Reiknið heildin í eftirfarandi æfingum.

88.

∫40(𝑓⁡(𝑥)+𝑔⁡(𝑥))𝑑𝑥 $\int_{0}^{4} (f (x) + g (x)) d x$

89.

∫42(𝑓⁡(𝑥)+𝑔⁡(𝑥))𝑑𝑥 $\int_{2}^{4} (f (x) + g (x)) d x$

90.

∫20(𝑓⁡(𝑥)−𝑔⁡(𝑥))𝑑𝑥 $\int_{0}^{2} (f (x) - g (x)) d x$

91.

∫42(𝑓⁡(𝑥)−𝑔⁡(𝑥))𝑑𝑥 $\int_{2}^{4} (f (x) - g (x)) d x$

92.

∫20(3⁢𝑓⁡(𝑥)−4⁢𝑔⁡(𝑥))𝑑𝑥 $\int_{0}^{2} (3 f (x) - 4 g (x)) d x$

93.

∫42(4⁢𝑓⁡(𝑥)−3⁢𝑔⁡(𝑥))𝑑𝑥 $\int_{2}^{4} (4 f (x) - 3 g (x)) d x$

Í eftirfarandi æfingum skal nota samsemdina $\int_{− A}^{A} f (x) d x = \int_{− A}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{A} f (x) d x$ til að reikna heildin.

94.

∫𝜋−𝜋sin⁡𝑡1+𝑡2𝑑𝑡 $\int_{− π}^{π} \frac{sin t}{1 + t^{2}} d t$ (𝐻⁡𝑖⁢𝑛⁢𝑡:sin⁡(−𝑡)=−sin⁡(𝑡)) $(H i n t : sin (− t) = − sin (t))$

95.

∫√𝜋−√𝜋𝑡1+cos⁡𝑡𝑑𝑡 $\int_{− \sqrt{π}}^{\sqrt{π}} \frac{t}{1 + cos t} d t$

Í eftirfarandi æfingum skal finna samanlagt formerkt flatarmál milli $f (x)$ og x-ássins.

96.

$\int_{1}^{3} (2 - x) d x$ (Vísbending: Skoðið grafið af f.)

97.

$\int_{2}^{4} {(x - 3)}^{3} d x$ (Vísbending: Skoðið graf f.)

Í eftirfarandi æfingum eru þessi gildi gefin: $\int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{2}, \int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3},$ auk $\int_{0}^{1} x^{3} d x = \frac{1}{4},$ og síðan skal reikna heildin.

98.

∫10(1+𝑥+𝑥2+𝑥3)𝑑𝑥 $\int_{0}^{1} (1 + x + x^{2} + x^{3}) d x$

99.

∫10(1−𝑥+𝑥2−𝑥3)𝑑𝑥 $\int_{0}^{1} (1 - x + x^{2} - x^{3}) d x$

100.

∫10(1−𝑥)₂𝑑𝑥 $\int_{0}^{1} {(1 - x)}^{2} d x$

101.

∫10(1−2⁢𝑥)₃𝑑𝑥 $\int_{0}^{1} {(1 - 2 x)}^{3} d x$

102.

∫10(6⁢𝑥−43⁢𝑥2)𝑑𝑥 $\int_{0}^{1} (6 x - \frac{4}{3} x^{2}) d x$

103.

∫10(7−5⁢𝑥3)𝑑𝑥 $\int_{0}^{1} (7 - 5 x^{3}) d x$

Í eftirfarandi æfingum skal nota samanburðarsetninguna.

104.

Sýnið að $\int_{0}^{3} (x^{2} - 6 x + 9) d x \geq 0 .$

105.

Sýnið að $\int_{−2}^{3} (x - 3) (x + 2) d x \leq 0 .$

106.

Sýnið að $\int_{0}^{1} \sqrt{1 + x^{3}} d x \leq \int_{0}^{1} \sqrt{1 + x^{2}} d x .$

107.

Sýnið að $\int_{1}^{2} \sqrt{1 + x} d x \leq \int_{1}^{2} \sqrt{1 + x^{2}} d x .$

108.

Sýnið að $\int_{0}^{π / 2} sin t d t \geq \frac{π}{4} .$ $(H i n t : sin t \geq \frac{2 t}{π}$ á $[0, \frac{π}{2}])$

109.

Sýnið að $\int_{− π / 4}^{π / 4} cos t d t \geq π \sqrt{2} / 4 .$

Í eftirfarandi æfingum skal finna meðalgildi f, fave, á bilinu frá a til b og finna punkt c þannig að $f (c) = f_{ave} .$

110.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥2,𝑎=−1,𝑏=1 $f (x) = x^{2}, a = −1, b = 1$

111.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥5,𝑎=−1,𝑏=1 $f (x) = x^{5}, a = −1, b = 1$

112.

𝑓⁡(𝑥)=√4−𝑥2,𝑎=0,𝑏=2 $f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}, a = 0, b = 2$

113.

𝑓⁡(𝑥)=(3−|𝑥|),𝑎=−3,𝑏=3 $f (x) = (3 - | x |), a = −3, b = 3$

114.

𝑓⁡(𝑥)=sin⁡𝑥,𝑎=0,𝑏=2⁢𝜋 $f (x) = sin x, a = 0, b = 2 π$

115.

𝑓⁡(𝑥)=cos⁡𝑥,𝑎=0,𝑏=2⁢𝜋 $f (x) = cos x, a = 0, b = 2 π$

Í eftirfarandi æfingum skal nálga meðalgildið með Riemann-summunum L100 og R100. Hvernig ber niðurstöðunni saman við gefna nákvæma svarið?

116.

[T] 𝑦=ln⁡(𝑥) $y = ln (x)$ á bilinu [1,4]; $[1, 4];$ nákvæma gildið er ln⁡(256)₃−3. $\frac{ln (256)}{3} - 3 .$

117.

[T] 𝑦=𝑒𝑥/2 $y = e^{x / 2}$ á bilinu [0,1]; $[0, 1];$ nákvæma gildið er 2⁢(√𝑒−1). $2 (\sqrt{e} - 1) .$

118.

[T] 𝑦=tan⁡𝑥 $y = tan x$ á bilinu [0,𝜋4]; $[0, \frac{π}{4}];$ nákvæma lausnin er 2⁢ln⁡(2)𝜋. $\frac{2 ln (2)}{π} .$

119.

[T] $y = \frac{x + 1}{\sqrt{4 - x^{2}}}$ á bilinu $[−1, 1];$ nákvæma lausnin er $\frac{π}{6} .$

Í eftirfarandi æfingum skal reikna meðalgildið með vinstri Riemann-summunum LN _fyrir $N = 1, 10, 100 .$ Hversu nákvæmar eru niðurstöðurnar miðað við hið gefna nákvæma gildi?

120.

[T] 𝑦=𝑥2−4 $y = x^{2} - 4$ á bilinu [0,2]; $[0, 2];$ nákvæma gildið er −83. $- \frac{8}{3} .$

121.

[T] 𝑦=𝑥⁢𝑒𝑥2 $y = x e^{x^{2}}$ á bilinu [0,2]; $[0, 2];$ nákvæma gildið er 14⁢(𝑒4−1). $\frac{1}{4} (e^{4} - 1) .$

122.

[T] $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ á bilinu $[0, 4];$ nákvæma lausnin er $\frac{15}{64 ln (2)} .$

123.

[T] 𝑦=𝑥⁢sin⁡(𝑥2) $y = x sin (x^{2})$ á bilinu [−𝜋,0]; $[− π, 0];$ nákvæma gildið er cos⁡(𝜋2)−12⁢𝜋. $\frac{cos (π^{2}) - 1}{2 π} .$

124.

Gerum ráð fyrir að $A = \int_{0}^{2 π} {sin}^{2} t d t$ og $B = \int_{0}^{2 π} {cos}^{2} t d t .$ Sýnið að $A + B = 2 π$ og $A = B .$

125.

Gerum ráð fyrir að $A = \int_{− π / 4}^{π / 4} {sec}^{2} t d t = π$ og $B = \int_{− π / 4}^{π / 4} {tan}^{2} t d t .$ Sýnið að $A - B = \frac{π}{2} .$

126.

Sýnið að meðalgildi sin2⁢𝑡 ${sin}^{2} t$ á bilinu [0,2⁢𝜋] $[0, 2 π]$ sé 1/2. Ákvarðið án frekari útreikninga hvort meðalgildi sin2⁢𝑡 ${sin}^{2} t$ á bilinu [0,𝜋] $[0, π]$ sé einnig 1/2.

127.

Sýnið að meðalgildi cos2⁢𝑡 ${cos}^{2} t$ á bilinu [0,2⁢𝜋] $[0, 2 π]$ sé 1/2. $1 / 2 .$ Ákvarðið án frekari útreikninga hvort meðalgildi cos2⁢(𝑡) ${cos}^{2} (t)$ á bilinu [0,𝜋] $[0, π]$ sé einnig 1/2. $1 / 2 .$

128.

Útskýrið hvers vegna graf annars stigs falls 𝑝⁡(𝑥) $p (x)$ (fleygbogi) og graf línulegs falls ℓ⁡(𝑥) $ℓ (x)$ geta skerst í að hámarki tveimur punktum. Gerum ráð fyrir að 𝑝⁡(𝑎)=ℓ⁡(𝑎) $p (a) = ℓ (a)$ og 𝑝⁡(𝑏)=ℓ⁡(𝑏), $p (b) = ℓ (b),$ og að ∫𝑏𝑎𝑝⁡(𝑡)𝑑𝑡>∫𝑏𝑎ℓ⁡(𝑡)𝑑𝑡. $\int_{a}^{b} p (t) d t > \int_{a}^{b} ℓ (t) d t .$ Útskýrið hvers vegna ∫𝑑𝑐𝑝⁡(𝑡)>∫𝑑𝑐ℓ⁡(𝑡)𝑑𝑡 $\int_{c}^{d} p (t) > \int_{c}^{d} ℓ (t) d t$ þegar 𝑎≤𝑐<𝑑≤𝑏. $a \leq c < d \leq b .$

129.

Gerum ráð fyrir að fleygboginn 𝑝⁡(𝑥)=𝑎⁢𝑥2+𝑏⁢𝑥+𝑐 $p (x) = a x^{2} + b x + c$ opnist niður (𝑎<0) $(a < 0)$ og hafi topppunkt með y-hnitið 𝑦=−𝑏2⁢𝑎>0. $y = \frac{− b}{2 a} > 0 .$ Fyrir hvaða bil [𝐴,𝐵] $[A, B]$ er ∫𝐵𝐴(𝑎⁢𝑥2+𝑏⁢𝑥+𝑐)𝑑𝑥 $\int_{A}^{B} (a x^{2} + b x + c) d x$ eins stórt og mögulegt er?

130.

Gerum ráð fyrir að $[a, b]$ megi skipta í hlutbil $a = a_{0} < a_{1} < a_{2} < ⋯ < a_{N} = b$ þannig að annaðhvort $f \geq 0$ á $[a_{i - 1}, a_{i}]$ eða $f \leq 0$ á $[a_{i - 1}, a_{i}] .$ Setjum $A_{i} = \int_{a_{i - 1}}^{a_{i}} f (t) d t .$

Útskýrið hvers vegna $\int_{a}^{b} f (t) d t = A_{1} + A_{2} + ⋯ + A_{N} .$
Útskýrið síðan hvers vegna $| \int_{a}^{b} f (t) d t | \leq \int_{a}^{b} | f (t) | d t .$

131.

Gerum ráð fyrir að f og g séu samfelld föll þannig að $\int_{c}^{d} f (t) d t \leq \int_{c}^{d} g (t) d t$ fyrir hvert hlutbil $[c, d]$ í $[a, b] .$ Útskýrið hvers vegna $f (x) \leq g (x)$ fyrir öll gildi x.

132.

Gerum ráð fyrir að meðalgildi f á $[a, b]$ sé 1 og að meðalgildi f á $[b, c]$ sé 1, þar sem $a < c < b .$ Sýnið að meðalgildi f á $[a, c]$ sé einnig 1.

133.

Gerum ráð fyrir að bilinu [𝑎,𝑏] $[a, b]$ sé skipt með skiptingarpunktunum 𝑎=𝑎0<𝑎1<⋯<𝑎𝑁=𝑏 $a = a_{0} < a_{1} < ⋯ < a_{N} = b$ þannig að meðalgildi f á hverju hlutbili [𝑎𝑖−1,𝑎𝑖]=1 $[a_{i - 1}, a_{i}] = 1$ sé 1 fyrir hvert 𝑖=1⁢,…,𝑁. $i = 1,…, N .$ Útskýrið hvers vegna meðalgildi f á [𝑎,𝑏] $[a, b]$ er þá einnig 1.

134.

Gerum ráð fyrir að fyrir sérhvert i sem uppfyllir 1≤𝑖≤𝑁 $1 \leq i \leq N$ gildi ∫𝑖𝑖−1𝑓⁡(𝑡)𝑑𝑡=𝑖. $\int_{i - 1}^{i} f (t) d t = i .$ Sýnið að ∫𝑁0𝑓⁡(𝑡)𝑑𝑡=𝑁⁢(𝑁+1)₂. $\int_{0}^{N} f (t) d t = \frac{N (N + 1)}{2} .$

135.

Gerum ráð fyrir að fyrir sérhvert i sem uppfyllir 1≤𝑖≤𝑁 $1 \leq i \leq N$ gildi ∫𝑖𝑖−1𝑓⁡(𝑡)𝑑𝑡=𝑖2. $\int_{i - 1}^{i} f (t) d t = i^{2} .$ Sýnið að ∫𝑁0𝑓⁡(𝑡)𝑑𝑡=𝑁⁢(𝑁+1)⁢(2⁢𝑁+1)₆. $\int_{0}^{N} f (t) d t = \frac{N (N + 1) (2 N + 1)}{6} .$

136.

[T] Reiknið Riemann-summurnar með vinstri og hægri endapunktum L10 og R10 og meðaltal þeirra 𝐿10+𝑅102 $\frac{L_{10} + R_{10}}{2}$ fyrir 𝑓⁡(𝑡)=𝑡2 $f (t) = t^{2}$ á [0,1]. $[0, 1] .$ Að gefnu að ∫10𝑡2𝑑𝑡=0.⁢–33, $\int_{0}^{1} t^{2} d t = 0. \bar{33},$ upp á hve marga aukastafi er 𝐿10+𝑅102 $\frac{L_{10} + R_{10}}{2}$ nákvæmt?

137.

[T] Reiknið vinstri og hægri Riemann-summurnar, L10 _og_R10,og meðaltal þeirra 𝐿10+𝑅102 $\frac{L_{10} + R_{10}}{2}$ fyrir 𝑓⁡(𝑡)=(4−𝑡2) $f (t) = (4 - t^{2})$ á bilinu [1,2]. $[1, 2] .$ Í ljósi þess að ∫21(4−𝑡2)𝑑𝑡=1.⁢–66, $\int_{1}^{2} (4 - t^{2}) d t = 1. \bar{66},$ upp á hve marga aukastafi er 𝐿10+𝑅102 $\frac{L_{10} + R_{10}}{2}$ nákvæmt?

138.

Ef ∫51√1+𝑡4𝑑𝑡=41.7133..., $\int_{1}^{5} \sqrt{1 + t^{4}} d t = 41.7133.. .,$ hvert er gildi ∫51√1+𝑢4𝑑𝑢? $\int_{1}^{5} \sqrt{1 + u^{4}} d u ?$

139.

Áætlið ∫10𝑡𝑑𝑡 $\int_{0}^{1} t d t$ með vinstri- og hægri endapunktssummu, hvorri með einum rétthyrningi. Hvernig ber meðaltal summanna saman við raungildið ∫10𝑡𝑑𝑡? $\int_{0}^{1} t d t ?$

140.

Áætlið ∫10𝑡𝑑𝑡 $\int_{0}^{1} t d t$ með flatarmáli eins rétthyrnings sem hefur hæð jafna gildi t í miðpunktinum 𝑡=12. $t = \frac{1}{2} .$ Hvernig ber þessari miðpunktsnálgun saman við raungildið ∫10𝑡𝑑𝑡? $\int_{0}^{1} t d t ?$

141.

Á grafinu hér á eftir er fallið sin⁡(2⁢𝜋⁢𝑥) $sin (2 π x)$ sýnt:

Útskýrið hvers vegna $\int_{0}^{1} sin (2 π t) d t = 0 .$
Útskýrið hvers vegna almennt gildir að ∫𝑎+1𝑎sin⁡(2⁢𝜋⁢𝑡)𝑑𝑡=0 $\int_{a}^{a + 1} sin (2 π t) d t = 0$ fyrir hvaða gildi a sem er.

142.

Ef f er 1-lotubundið $(f (t + 1) = f (t)),$ oddstætt og heildanlegt yfir $[0, 1],$ gildir þá alltaf að $\int_{0}^{1} f (t) d t = 0 ?$

143.

Ef f er lotubundið með lotuna 1 og $\int_{0}^{1} f (t) d t = A,$ er þá endilega satt að $\int_{a}^{1 + a} f (t) d t = A$ fyrir öll A?