3.7 Afleiður andhverfra falla

𝑓⁡(𝑥)=6⁢𝑥−1,𝑥=−2$f\left(x\right)=6x-1,x=\mathrm{-2}$

𝑓⁡(𝑥)=2⁢𝑥3−3,𝑥=1$f\left(x\right)=2x^3-3,x=1$

𝑓⁡(𝑥)=9−𝑥2,0≤𝑥≤3,𝑥=2$f\left(x\right)=9-x^2,0\le x\le 3,x=2$

𝑓⁡(𝑥)=sin⁡𝑥,𝑥=0$f\left(x\right)=\text{sin}x,x=0$

𝑓⁡(𝑥)=𝑥2+3⁢𝑥+2,𝑥≥−32,𝑎=2$f\left(x\right)=x^2+3x+2,x\ge -\frac{3}{2},a=2$

𝑓⁡(𝑥)=𝑥3+2⁢𝑥+3,𝑎=0$f\left(x\right)=x^3+2x+3,a=0$

𝑓⁡(𝑥)=𝑥+√𝑥,𝑎=2$f\left(x\right)=x+\sqrt{x},a=2$

𝑓⁡(𝑥)=𝑥−2𝑥,𝑥<0,𝑎=1$f\left(x\right)=x-\frac{2}{x},x<0,a=1$

𝑓⁡(𝑥)=𝑥+sin⁡𝑥,𝑎=0$f\left(x\right)=x+\text{sin}x,a=0$

𝑓⁡(𝑥) =tan ⁡𝑥 +3⁢𝑥2,𝑎 =0; 0⁢  < ⁢𝑥⁢  < ⁢𝜋/2$f\left(x\right)=\text{tan}x+3x^2,a=0; 0 < x < \pi /2$

𝑓⁡(𝑥)=41+𝑥2,𝑃⁡(2,1)$f\left(x\right)=\frac{4}{1+x^2},P\left(2,1\right)$

𝑓⁡(𝑥)=√𝑥−4,𝑃⁡(2,8)$f\left(x\right)=\sqrt{x-4},P\left(2,8\right)$

𝑓⁡(𝑥)=(𝑥3+1)₄,𝑃⁡(16,1)$f\left(x\right)={\left(x^3+1\right)}^4,P\left(16,1\right)$

𝑓⁡(𝑥)=−𝑥3−𝑥+2,𝑃⁡(−8,2)$f\left(x\right)=\text{−}{x}^3-x+2,P\left(\mathrm{-8},2\right)$

𝑓⁡(𝑥)=𝑥5+3⁢𝑥3−4⁢𝑥−8,𝑃⁡(−8,1)$f\left(x\right)=x^5+3x^3-4x-8,P(\mathrm{-8},1)$

𝑦=sin−1⁢(𝑥2)$y={\text{sin}}^{\mathrm{-1}}\left(x^2\right)$

𝑦=cos−1⁢(√𝑥)$y={\text{cos}}^{\mathrm{-1}}\left(\sqrt{x}\right)$

𝑦=sec−1⁢(1𝑥)$y={\text{sec}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{1}{x}\right)$

𝑦=√csc−1⁢𝑥$y=\sqrt{{\text{csc}}^{\mathrm{-1}}x}$

𝑦=(1+tan−1⁢𝑥)₃$y={\left(1+{\text{tan}}^{\mathrm{-1}}x\right)}^3$

𝑦=cos−1⁢(2⁢𝑥)·sin−1⁢(2⁢𝑥)$y={\text{cos}}^{\mathrm{-1}}\left(2x\right)·{\text{sin}}^{\mathrm{-1}}\left(2x\right)$

𝑦=1tan−1⁢(𝑥)$y=\frac{1}{{\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(x\right)}$

𝑦=sec−1⁢(−𝑥)$y={\text{sec}}^{\mathrm{-1}}\left(\text{−}x\right)$

𝑦=cot−1⁢√4−𝑥2$y={\text{cot}}^{\mathrm{-1}}\sqrt{4-x^2}$

𝑦=𝑥·csc−1⁢𝑥$y=x·{\text{csc}}^{\mathrm{-1}}x$

𝑓⁡(𝜋)=0,𝑓′(𝜋)=−1,𝑎=0$f\left(\pi \right)=0,f\prime \left(\pi \right)=\mathrm{-1},a=0$

𝑓⁡(6)=2,𝑓′⁡(6)=13,𝑎=2$f\left(6\right)=2,f^{\prime }\left(6\right)=\frac{1}{3},a=2$

𝑓⁡(13)=−8,𝑓′(13)=2,𝑎=−8$f\left(\frac{1}{3}\right)=\mathrm{-8},f\prime \left(\frac{1}{3}\right)=2,a=\mathrm{-8}$

𝑓⁡(√3)=12,𝑓′(√3)=23,𝑎=12$f\left(\sqrt{3}\right)=\frac{1}{2},f\prime \left(\sqrt{3}\right)=\frac{2}{3},a=\frac{1}{2}$

𝑓⁡(1)=−3,𝑓′(1)=10,𝑎=−3$f\left(1\right)=\mathrm{-3},f\prime \left(1\right)=10,a=\mathrm{-3}$

𝑓⁡(1)=0,𝑓′(1)=−2,𝑎=0$f\left(1\right)=0,f\prime \left(1\right)=\mathrm{-2},a=0$

[T] Staðsetningu íshokkípökks á hreyfingu eftir 𝑡$t$ sekúndur lýsir fallið 𝑠⁡(𝑡)=tan−1⁢𝑡$s\left(t\right)={\text{tan}}^{\mathrm{-1}}t$ þar sem 𝑠$s$ er mælt í metrum.

1. Finnið hraða íshokkípökksins við sérhvern tíma 𝑡.$t.$
2. Finnið hröðun íshokkípökksins við sérhvern tíma 𝑡.$t.$
3. Reiknið a- og b-lið fyrir 𝑡=2,4,$t=2,4,$ auk 6$6$ sekúndur.
4. Hvaða ályktun má draga af niðurstöðunum í c-lið?

[T] Bygging sem er 225 fet á hæð varpar mislöngum skugga 𝑥$x$ eftir því sem líður á daginn. Hæðarhornið 𝜃$\theta$ myndast milli línanna sem liggja frá efsta og neðsta hluta byggingarinnar að enda skuggans, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd. Finnið breytingarhraða hæðarhornsins 𝑑⁢𝜃𝑑⁢𝑥$\frac{d\theta }{dx}$ þegar 𝑥=272$x=272$ fet.

[T] Staur er 75 fet á hæð. Horn 𝜃$\theta$ myndast þegar vírar sem eru 𝑥$x$ fet að lengd eru strengdir milli jarðar og topps staursins, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd. Finnið breytingarhraða hornsins 𝑑⁢𝜃𝑑⁢𝑥$\frac{d\theta }{dx}$ þegar strengdur er 90 feta langur vír.

[T] Sjónvarpsmyndavél við yfirborð jarðar er í 2000 feta fjarlægð frá skotpalli geimflaugar sem á að skjóta lóðrétt upp, eins og sést á eftirfarandi mynd. Hæðarhorni myndavélarinnar lýsir 𝜃=tan−1⁢(𝑥2000),$\theta ={\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{x}{2000}\right),$ þar sem 𝑥$x$ er hæð geimflaugarinnar. Finnið breytingarhraða hæðarhornsins eftir flugtak þegar 5000 fet eru milli myndavélarinnar og geimflaugarinnar.

[T] Kvikmyndahús í nágrenninu er með 30 feta hátt sýningartjald sem er 10 fetum ofan við augnhæð sitjandi áhorfanda. Sjónarhorninu 𝜃$\theta$ (í radíönum) lýsir 𝜃=cot−1⁢𝑥40−cot−1⁢𝑥10,$\theta ={\text{cot}}^{\mathrm{-1}}\frac{x}{40}-{\text{cot}}^{\mathrm{-1}}\frac{x}{10},$

þar sem $x$ er fjarlægðin í fetum frá kvikmyndatjaldinu að sæti viðkomandi, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

1. Finnið $\frac{d\theta }{dx}.$
2. Reiknið 𝑑⁢𝜃𝑑⁢𝑥$\frac{d\theta }{dx}$ fyrir 𝑥=5,10,15,$x=5,10,15,$ auk 20.
3. Túlkið niðurstöðurnar í b-lið.
4. Reiknið 𝑑⁢𝜃𝑑⁢𝑥$\frac{d\theta }{dx}$ fyrir 𝑥=25,30,35,$x=25,30,35,$ auk 40
5. Túlkið niðurstöðurnar í d-lið. Í hvaða fjarlægð 𝑥$x$ frá tjaldinu ætti einstaklingurinn að sitja til þess að sjónarhornið verði sem stærst?