Meginatriði

Meginatriði

3.1 Skilgreining afleiðunnar

• Hallatala snertils við feril mælir augnabliksbreytingarhraða ferilsins. Hana má reikna með markgildi mismunakvótans, ýmist beint eða með viðbótinni ℎ.$h.$
• Afleiða fallsins 𝑓⁡(𝑥)$f\left(x\right)$ við gildið 𝑎$a$ fæst með annarri hvorri skilgreiningu hallatölu snertilsins.
• Hraði er breytingarhraði staðsetningar. Hraðinn 𝑣⁡(𝑡)$v\left(t\right)$ á tímanum 𝑡$t$ er því afleiða staðsetningarinnar 𝑠⁡(𝑡)$s\left(t\right)$ á tímanum 𝑡.$t.$ Meðalhraði er gefinn með
  
  𝑣ave=𝑠⁡(𝑡)−𝑠⁡(𝑎)𝑡−𝑎.$$v_{\text{ave}}=\frac{s\left(t\right)-s(a)}{t-a}.$$
  
  Augnablikshraði er gefinn með
  
  𝑣⁡(𝑎)=𝑠′⁡(𝑎)=lim𝑡→𝑎⁢𝑠⁡(𝑡)−𝑠⁡(𝑎)𝑡−𝑎.$$v\left(a\right)=s^{\prime }\left(a\right)=\underset{t\to a}{\text{lim}}\frac{s\left(t\right)-s(a)}{t-a}.$$
  $$v_{\text{ave}}=\frac{s\left(t\right)-s(a)}{t-a}.$$
  $$v\left(a\right)=s^{\prime }\left(a\right)=\underset{t\to a}{\text{lim}}\frac{s\left(t\right)-s(a)}{t-a}.$$
• Við getum metið afleiðu með því að nota gildatöflu.

3.2 Afleiðan sem fall

• Afleiða fallsins 𝑓⁡(𝑥)$f(x)$ er fall sem í 𝑥$x$ hefur gildið 𝑓′⁡(𝑥).$f^{\prime }(x).$
• Graf afleiðu fallsins 𝑓⁡(𝑥)$f(x)$ tengist grafi 𝑓⁡(𝑥).$f(x).$ Þar sem 𝑓⁡(𝑥)$f(x)$ hefur snertil með jákvæða hallatölu er 𝑓′⁡(𝑥)>0.$f^{\prime }\left(x\right)>0.$ Þar sem 𝑓⁡(𝑥)$f(x)$ hefur snertil með neikvæða hallatölu er 𝑓′⁡(𝑥)<0.$f^{\prime }\left(x\right)<0.$ Þar sem 𝑓⁡(𝑥)$f(x)$ hefur láréttan snertil er 𝑓′⁡(𝑥)=0.$f^{\prime }\left(x\right)=0.$
• Ef fall er deildanlegt í punkti er það samfellt í þeim punkti. Fall er ekki deildanlegt í punkti ef það er ekki samfellt þar, ef það hefur lóðréttan snertil í punktinum eða ef graf þess hefur hvasshyrnt horn eða brodd þar.
• Afleiður af hærra stigi eru endurteknar afleiður, frá annarri afleiðu til $n\text{-ta}$ afleiðu.

3.3 Deildunarreglur

• Afleiða fasts falls er núll.
• Afleiða veldisfalls er fall þar sem veldisvísirinn á $x$ verður stuðull liðarins og veldisvísirinn á $x$ í afleiðunni lækkar um 1.
• Afleiða margfeldisins c f er fastinn c margfaldaður með afleiðu fallsins f .
• Afleiða summu fallsins f og fallsins g er jöfn summu afleiðu f og afleiðu g.
• Afleiða mismunar fallsins f og fallsins g er jöfn mismuni afleiðu f og afleiðu g.
• Afleiða margfeldis tveggja falla er afleiða fyrra fallsins margfölduð með síðara fallinu að viðbættri afleiðu síðara fallsins margfaldaðri með fyrra fallinu.
• Afleiða kvóta tveggja falla er afleiða fyrra fallsins margfölduð með seinna fallinu að frádreginni afleiðu seinna fallsins margfaldaðri með fyrra fallinu, og er allt deilt með öðru veldi seinna fallsins.
• Við notuðum markgildisskilgreiningu afleiðunnar til að leiða út formúlur sem gera okkur kleift að finna afleiður án þess að þurfa að beita skilgreiningu afleiðunnar. Þessar formúlur má nota hverja fyrir sig eða saman.

3.4 Afleiður sem breytingarhraðar

• Með formúlunni $f\left(a+h\right)\approx f\left(a\right)+f^{\prime }\left(a\right)h,$ má áætla $f\left(a+h\right)$ út frá $f^{\prime }\left(a\right)$ og $f\left(a\right).$
• Breytingarhraði staðsetningar er hraði og breytingarhraði hraða er hröðun. Ferð er algildi hraðans, það er að segja stærð hans.
• Vaxtarhraða stofns og núverandi stofnstærð má nota til að spá fyrir um stofnstærð í framtíðinni.
• Jaðarkostnaðarfall, jaðartekjufall og jaðarhagnaðarfall má nota til að spá fyrir um kostnað við að framleiða eina einingu til viðbótar, tekjur af sölu hennar og hagnað af framleiðslu hennar og sölu, í sömu röð.

3.5 Afleiður hornafalla

• Við getum fundið afleiður sin x og cos x með því að nota skilgreiningu afleiðu og markgildisformúlurnar sem fundnar voru áður. Niðurstöðurnar eru
  
  $$\frac{d}{dx}\text{sin}x=\text{cos}x\frac{d}{dx}\text{cos}x=\text{−}\text{sin}x.$$
  $$\frac{d}{dx}\text{sin}x=\text{cos}x\frac{d}{dx}\text{cos}x=\text{−}\text{sin}x.$$
• Með þessum tveimur formúlum getum við ákvarðað afleiður allra sex grunnhornafallanna.

3.6 Keðjureglan

• Keðjureglan gerir okkur kleift að deilda samsetningar tveggja eða fleiri falla. Hún segir að ef $h\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right),$
  þá sé
  $$h^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)g^{\prime }\left(x\right).$$
  
  Í táknun Leibniz er reglan rituð
  
  $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}.$$
  $$h^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)g^{\prime }\left(x\right).$$
  $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}.$$
• Við getum beitt keðjureglunni ásamt öðrum reglum sem við höfum lært og leitt út formúlur fyrir sumar þeirra.
• Keðjureglan og veldisreglan mynda saman nýja reglu:
  
  $$\text{Ef}h\left(x\right)={\left(g\left(x\right)\right)}^n,\text{þá}{h}^{\prime }\left(x\right)=n{\left(g\left(x\right)\right)}^{n-1}{g}^{\prime }\left(x\right).$$
  $$\text{Ef}h\left(x\right)={\left(g\left(x\right)\right)}^n,\text{þá}{h}^{\prime }\left(x\right)=n{\left(g\left(x\right)\right)}^{n-1}{g}^{\prime }\left(x\right).$$
• Þegar keðjureglunni er beitt á samsetningu þriggja falla má rita hana þannig: Ef ℎ⁡(𝑥)=𝑓⁡(𝑔⁡(𝑘⁡(𝑥))),$h\left(x\right)=f\left(g\left(k\left(x\right)\right)\right),$ þá er ℎ′⁡(𝑥)=𝑓′(𝑔⁡(𝑘⁡(𝑥))⁢𝑔′⁡(𝑘⁡(𝑥))⁢𝑘′⁡(𝑥).$h^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }(g\left(k\left(x\right)\right)g^{\prime }\left(k\left(x\right)\right)k^{\prime }\left(x\right).$

3.7 Afleiður andhverfra falla

• Setningin um afleiðu andhverfs falls gerir okkur kleift að reikna afleiður andhverfra falla án þess að nota markgildisskilgreiningu afleiðunnar.
• Við getum notað setninguna um afleiðu andhverfs falls til að leiða út deildunarformúlur fyrir andhverfu hornaföllin.

3.8 Fólgin deildun

• Við notum fólgna deildun til að finna afleiður falla sem eru skilgreind óbeint (falla sem skilgreind eru með jöfnum).
• Með fólginni deildun getum við fundið jöfnu snertils við graf ferils.

3.9 Afleiður vísis- og lografalla

• Á grundvelli þeirrar forsendu að vísisfallið $y=b^x,b>0$ sé samfellt alls staðar og deildanlegt í 0 er fallið deildanlegt alls staðar og til er formúla fyrir afleiðu þess.
• Við getum notað formúlu til að finna afleiðu $y=\text{ln}x,$ og sambandið ${\text{log}}_{b}x=\frac{\text{ln}x}{\text{ln}b}$ gerir okkur kleift að útvíkka deildunarformúlur okkar þannig að þær nái til logra með hvaða grunntölu sem er.
• Logradeildun gerir okkur kleift að deilda föll af gerðinni 𝑦=𝑔⁡(𝑥)𝑓⁡(𝑥)$y=g{(x)}^{f(x)}$ og önnur mjög flókin föll með því að taka náttúrulegan logra beggja hliða og beita reiknireglum logra áður en deildað er.