3.6 Keðjureglan

𝑦=3⁢𝑢−6,𝑢=2⁢𝑥2$y=3u-6,u=2x^2$

𝑦=6⁢𝑢3,𝑢=7⁢𝑥−4$y=6u^3,u=7x-4$

𝑦=sin⁡𝑢,𝑢=5⁢𝑥−1$y=\text{sin}u,u=5x-1$

𝑦=cos⁡𝑢,𝑢=−𝑥8$y=\text{cos}u,u=\frac{\text{−}x}{8}$

𝑦=tan⁡𝑢,𝑢=9⁢𝑥+2$y=\text{tan}u,u=9x+2$

𝑦=√4⁢𝑢+3,𝑢=𝑥2−6⁢𝑥$y=\sqrt{4u+3},u=x^2-6x$

𝑦=(3⁢𝑥−2)₆$y={\left(3x-2\right)}^6$

𝑦=(3⁢𝑥2+1)₃$y={\left(3x^2+1\right)}^3$

𝑦=sin5⁢(𝑥)$y={\text{sin}}^5\left(x\right)$

𝑦=(𝑥7+7𝑥)₇$y={\left(\frac{x}{7}+\frac{7}{x}\right)}^7$

𝑦=tan⁡(sec⁡𝑥)$y=\text{tan}\left(\text{sec}x\right)$

𝑦=csc⁡(𝜋⁢𝑥+1)$y=\text{csc}\left(\pi x+1\right)$

𝑦=cot2⁢𝑥$y={\text{cot}}^{2}x$

𝑦 =−6 (sin 𝑥)−3$y=\mathrm{-6}{\left(\sin x\right)}^{-3}$

𝑦=(3⁢𝑥2+3⁢𝑥−1)₄$y={\left(3x^2+3x-1\right)}^4$

𝑦=(5−2⁢𝑥)−2$y={\left(5-2x\right)}^{\mathrm{-2}}$

𝑦=cos3⁢(𝜋⁢𝑥)$y={\text{cos}}^3\left(\pi x\right)$

𝑦=(2⁢𝑥3−𝑥2+6⁢𝑥+1)₃$y={\left(2x^3-x^2+6x+1\right)}^3$

𝑦=1sin2⁢(𝑥)$y=\frac{1}{{\text{sin}}^2(x)}$

𝑦=(tan⁡𝑥+sin⁡𝑥)−3$y={\left(\text{tan}x+\text{sin}x\right)}^{\mathrm{-3}}$

𝑦=𝑥2⁢cos4⁢𝑥$y=x^2{\text{cos}}^{4}x$

𝑦=sin⁡(cos⁡7⁢𝑥)$y=\text{sin}\left(\text{cos}7x\right)$

𝑦=√6+sec⁡𝜋⁢𝑥2$y=\sqrt{6+\text{sec}\pi x^2}$

𝑦=cot3⁢(4⁢𝑥+1)$y={\text{cot}}^3\left(4x+1\right)$

Látum $y={\left[f(x)\right]}^2$ og gerum ráð fyrir að $f^{\prime }\left(1\right)=4$ og $\frac{dy}{dx}=10$ fyrir $x=1.$ Finnið $f\left(1\right).$

Látum $y={\left(f\left(x\right)+5x^2\right)}^4$ og gerum ráð fyrir að $f\left(\mathrm{-1}\right)=\mathrm{-4}$ og $\frac{dy}{dx}=3$ þegar $x=\mathrm{-1}.$ Finnið $f^{\prime }\left(\mathrm{-1}\right)$

Látum $y={\left(f\left(u\right)+3x\right)}^2$ og $u=x^3-2x.$ Ef $f\left(4\right)=6$ og $\frac{dy}{dx}=18$ þegar $x=2,$ finnið $f^{\prime }\left(4\right).$

[T] Finnið jöfnu snertilsins við $y=\text{−}\text{sin}\left(\frac{x}{2}\right)$ í upphafspunktinum. Notið reiknivél til að teikna graf fallsins og snertilinn saman.

[T] Finnið jöfnu snertilsins við $y={\left(3x+\frac{1}{x}\right)}^2$ í punktinum $\left(1,16\right).$ Notið reiknivél til að teikna graf fallsins og snertilinn saman.

Finnið þau $x$-hnit þar sem snertillinn við $y={\left(x-\frac{6}{x}\right)}^8$ er láréttur.

[T] Finnið jöfnu línunnar sem er hornrétt á $g(\theta )={\text{sin}}^2\left(\pi \theta \right)$ í punktinum $\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right).$ Notið reiknivél til að teikna graf fallsins og hornréttu línunnar saman.

ℎ⁡(𝑥)=𝑓⁡(𝑔⁡(𝑥));𝑎=0$h\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right);a=0$

ℎ⁡(𝑥)=𝑔⁡(𝑓⁡(𝑥));𝑎=0$h\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right);a=0$

ℎ⁡(𝑥)=(𝑥4+𝑔⁡(𝑥))−2;𝑎=1$h\left(x\right)={\left(x^4+g(x)\right)}^{\mathrm{-2}};a=1$

ℎ⁡(𝑥)=(𝑓⁡(𝑥)𝑔⁡(𝑥))₂;𝑎=3$h(x)={\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^2;a=3$

ℎ⁡(𝑥)=𝑓⁡(𝑥+𝑓⁡(𝑥));𝑎=1$h\left(x\right)=f\left(x+f\left(x\right)\right);a=1$

ℎ⁡(𝑥)=(1+𝑔⁡(𝑥))₃;𝑎=2$h\left(x\right)={\left(1+g(x)\right)}^3;a=2$

ℎ⁡(𝑥)=𝑔⁡(2+𝑓⁡(𝑥2));𝑎=1$h\left(x\right)=g\left(2+f\left(x^2\right)\right);a=1$

ℎ⁡(𝑥)=𝑓⁡(𝑔⁡(sin⁡𝑥));𝑎=0$h\left(x\right)=f\left(g\left(\text{sin}x\right)\right);a=0$

[T] Staðsetningarfall vöruflutningalestar er 𝑠⁡(𝑡)=100⁢(𝑡+1)−2,$s\left(t\right)=100{\left(t+1\right)}^{\mathrm{-2}},$ þar sem 𝑠$s$ er í metrum og 𝑡$t$ í sekúndum. Við tímann 𝑡=6$t=6$ s skal finna:

1. hraði og
2. hröðun.
3. Eykst eða minnkar ferð lestarinnar samkvæmt niðurstöðum a- og b-liðar?

[T] Massi sem hangir í lóðréttum gormi er á einfaldri sveifluhreyfingu sem lýst er með eftirfarandi staðsetningarfalli, þar sem 𝑡$t$ er í sekúndum og 𝑠$s$ í tommum:

𝑠⁡(𝑡)=−3⁢cos⁡(𝜋⁢𝑡+𝜋4).$s\left(t\right)=\mathrm{-3}\text{cos}\left(\pi t+\frac{\pi }{4}\right).$

1. Ákvarðið staðsetningu gormsins við 𝑡=1.5$t=1.5$ s.
2. Finnið hraða gormsins við $t=1.5$ s.

[T] Heildarkostnaður við að framleiða 𝑥$x$ kassa af Thin Mint-smákökum frá Girl Scouts nemur 𝐶$C$ Bandaríkjadölum, þar sem 𝐶=0.0001⁢𝑥3−0.02⁢𝑥2+3⁢𝑥+300.$C=0.0001x^3-0.02x^2+3x+300.$ Eftir 𝑡$t$ vikur er áætlað að framleiðslan nemi 𝑥=1600+100⁢𝑡$x=1600+100t$ kössum.

1. Finnið jaðarkostnaðinn $C^{\prime }\left(x\right).$
2. Notið rithátt Leibniz fyrir keðjuregluna, $\frac{dC}{dt}=\frac{dC}{dx}·\frac{dx}{dt},$ til að finna breytingarhraða kostnaðarins með tilliti til tímans $t$.
3. Notið b-lið til að finna breytingarhraða kostnaðarins þegar 𝑡=2$t=2$ vikur. Tilgreinið einingar í svarinu.

[T] Formúlan fyrir flatarmál hrings er $A=\pi r^2,$ þar sem $r$ er geisli hringsins. Gerum ráð fyrir að hringur þenjist út, sem merkir að bæði flatarmálið $A$ og geislinn $r$ (í tommum) stækka.

1. Gerum ráð fyrir að 𝑟=2−100(𝑡+7)₂$r=2-\frac{100}{{\left(t+7\right)}^2}$ þar sem 𝑡$t$ táknar tíma í sekúndum. Notið keðjuregluna 𝑑⁢𝐴𝑑⁢𝑡=𝑑⁢𝐴𝑑⁢𝑟·𝑑⁢𝑟𝑑⁢𝑡$\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}·\frac{dr}{dt}$ til að finna breytingarhraða flatarmálsins.
2. Notið a-lið til að finna breytingarhraða flatarmálsins við 𝑡=4$t=4$ s.

[T] Formúlan fyrir rúmmál kúlu er $S=\frac{4}{3}\pi r^3,$ þar sem $r$ (í fetum) er geisli kúlunnar. Gerum ráð fyrir að kúlulaga snjóbolti bráðni í sólinni.

1. Gerum ráð fyrir að $r=\frac{1}{{\left(t+1\right)}^2}-\frac{1}{12}$ þar sem $t$ er tími í mínútum. Notið keðjuregluna $\frac{dS}{dt}=\frac{dS}{dr}·\frac{dr}{dt}$ til að finna bráðnunarhraða snjóboltans.
2. Notið a-lið til að finna breytingarhraða rúmmálsins þegar $t=1$ mín.

[T] Daglegu hitastigi í Phoenix að sumarlagi, mældu í Fahrenheit-gráðum, má lýsa með fallinu 𝑇⁡(𝑥)=94−10⁢cos⁡[𝜋12⁢(𝑥−2)],$T\left(x\right)=94-10\text{cos}\left[\frac{\pi }{12}\left(x-2\right)\right],$ þar sem 𝑥$x$ er fjöldi klukkustunda frá miðnætti. Finnið breytingarhraða hitastigsins klukkan 4 síðdegis.