3.2 Afleiðan sem fall – Stærðfræðigreining, 1. bindi (IS) | Námsgögn
33 Afleiður
3.2 Afleiðan sem fall
3.2 Afleiðan sem fall
Námsmarkmið
3.2.1 Skilgreina afleiðufall tiltekins falls.
3.2.2 Teikna graf afleiðufalls út frá grafi tiltekins falls.
3.2.3 Lýsa tengslunum milli afleiða og samfelldni.
3.2.4 Lýsa þremur skilyrðum þess að fall hafi ekki afleiðu.
3.2.5 Útskýra merkingu afleiðu af hærra stigi.
Eins og fram hefur komið gefur afleiða falls í tilteknum punkti breytingarhraða fallsins, eða hallatölu snertils við graf þess í punktinum. Ef staðarfall er deildað við tiltekinn tíma fæst hraðinn á þeim tíma. Afleiða fallsins í öllum punktum þess veitir því mikilvægar upplýsingar um hegðun fallsins. Það yrði þó fljótt tímafrekt að reikna afleiðuna fyrir jafnvel örfá gildi með aðferðum kaflans á undan. Í þessum kafla skilgreinum við afleiðufall og lærum að finna það.
Afleiðuföll
Afleiðufall gefur afleiðu falls í hverjum þeim punkti í skilgreiningarmengi upprunalega fallsins þar sem afleiðan er til. Afleiðufall má skilgreina formlega á eftirfarandi hátt.
Fall nefnist deildanlegt í ef
er til. Almennt nefnist fall deildanlegt á opnu mengi ef það er deildanlegt í sérhverjum punkti mengisins . Fall nefnist deildanlegt ef er til í öllu skilgreiningarmengi þess.
Í næstu dæmum notum við jöfnu 3.9 til að finna afleiðu falls.
Dæmi 3.11
Að finna afleiðu kvaðratrótarfalls
Finnið afleiðu
Lausn
Byrjum á skilgreiningu afleiðufallsins og notum jöfnu 3.1.
Dæmi 3.12
Að finna afleiðu annars stigs falls
Finnið afleiðu fallsins
Lausn
Fylgið sömu aðferð, en hér þarf ekki að margfalda með samokastæðu.
Ýmsar táknanir eru notaðar fyrir afleiðu falls. Í dæmi 3.12 sýndum við að ef þá er Ef fallið hefði verið sett fram sem mætti tákna afleiðuna með eða Sömu upplýsingar má einnig setja fram sem Fyrir fallið tákna því allar eftirfarandi táknanir afleiðu
Í stað má einnig nota . Táknunin , sem nefnist Leibniz-táknun, er algeng í verkfræði og eðlisfræði. Afleiða falls í punkti er markgildi hallatalna sniðla þegar sniðlarnir nálgast snertilinn. Hallatölurnar eru oft settar fram sem þar sem er breytingin á -gildunum sem samsvarar breytingunni á -gildunum, sem táknuð er með (Mynd 3.11). Afleiðuna má því túlka sem augnabliksbreytingarhraða miðað við og setja hana fram sem
Mynd 3.11. Afleiðan er sett fram sem
Að teikna graf afleiðu
Við höfum þegar fjallað um hvernig graf falls er teiknað. Ef jafna falls eða afleiðufalls er þekkt má því teikna graf þess. Þegar bæði gröfin eru þekkt ætti samband þeirra að vera greinilegt, því gefur breytingarhraða fallsins , eða hallatölu snertils við graf
Í Dæmi 3.11 sýndum við að fyrir Þegar gröf fallanna eru teiknuð í sama hnitakerfi, eins og á Mynd 3.12, má lesa samband þeirra af gröfunum. Fallið er vaxandi á öllu skilgreiningarmengi sínu og hallatölur allra snertla þess eru því jákvæðar. Þar af leiðandi er fyrir öll -gildi í skilgreiningarmenginu. Eftir því sem vex minnka hallatölur snertlanna við og gildi Einnig er óskilgreint og . Það samsvarar lóðréttum snertli við graf þegar x =
Mynd 3.12. Afleiðan er alls staðar jákvæð vegna þess að fallið er vaxandi.
Í dæmi 3.12 sýndum við að Gröf fallanna eru sýnd á mynd 3.13. Fallið er minnkandi þegar Fyrir sömu gildi á Þegar er fallið hins vegar vaxandi og Fallið hefur jafnframt láréttan snertil þegar og
Mynd 3.13. Afleiðan þar sem fallið er minnkandi og þar sem er vaxandi. Afleiðan er núll þar sem fallið hefur láréttan snertil.
Dæmi 3.13
Að teikna graf afleiðu út frá grafi falls
Notið eftirfarandi graf 𝑓(𝑥) til að teikna graf 𝑓′(𝑥).
Lausn
Lausnin er sýnd á eftirfarandi grafi. Fallið 𝑓(𝑥) er vaxandi og 𝑓′(𝑥)>0 á bilinu (–2,3). Fallið 𝑓(𝑥) er hins vegar minnkandi og 𝑓′(𝑥)<0 á bilunum (−∞,−2) og (3,+∞). Fallið 𝑓(𝑥) hefur lárétta snertla þegar x = –2 og x = 3, enda er 𝑓′(−2)=0 og 𝑓′(3)=0.
Afleiður og samfelldni
Nú þegar við kunnum að teikna graf afleiðu skulum við kanna eiginleika slíkra grafa. Fyrst skoðum við samband deildanleika og samfelldni. Ef fall er deildanlegt í punkti hlýtur það að vera samfellt þar. Hið gagnstæða gildir þó ekki: Fall getur verið samfellt í punkti án þess að vera deildanlegt þar, og fyrir því geta verið ýmsar ástæður.
Sönnun
Ef er deildanlegt í þá er til og
Við sýnum að sé s mfellt í a með því að sýna að Þá fæst
Þar sem er skilgreint og ályktum við að sé samfellt í
□
Við höfum sannað að deildanleiki hefur samfelldni í för með sér. Nú athugum við hvort samfelldni hafi jafnframt deildanleika í för með sér. Skoðum fallið Það er samfellt alls staðar en er óskilgreint. Samfelldni nægir því ekki til að tryggja deildanleika. Skoðum þetta nánar. Fyrir
Mynd 3.14. Fallið er samfellt í en er ekki deildanlegt í
Skoðum nokkur fleiri tilvik þar sem samfellt fall er ekki deildanlegt. Skoðum fallið
Því er ekki til. Lausleg athugun á grafi fallsins skýrir aðstæðurnar. Fallið hefur lóðréttan snertil við (Mynd 3.15).
Mynd 3.15. Fallið hefur lóðréttan snertil í Það er samfellt í en er ekki deildanlegt í
Fallið hefur einnig afleiðu sem sýnir athyglisverða hegðun við Við sjáum að
Þetta markgildi er ekki til, í meginatriðum vegna þess að hallatölur sniðlanna skipta stöðugt um stefnu þegar þær nálgast núll (Mynd 3.16).
Mynd 3.16. Fallið 𝑓(𝑥)={𝑥sin(1𝑥)ef𝑥≠00ef𝑥=0 er ekki deildanlegt við 0.
Í stuttu máli:
Ósamfellt fall getur ekki verið deildanlegt, enda er sérhvert deildanlegt fall samfellt. Samfellt fall þarf hins vegar ekki að vera deildanlegt.
Við sáum að 𝑓(𝑥)=|𝑥| var ekki deildanlegt í 0 vegna þess að einhliða markgildi hallatalnanna frá vinstri og hægri voru ólík. Á grafinu kemur það fram sem skarpt horn við 0. Fall verður því að vera „slétt“ í punkti til þess að vera deildanlegt þar.
Dæmið um 𝑓(𝑥)=3√𝑥, sýndi að fall er ekki deildanlegt í punkti þar sem snertillinn er lóðréttur.
Eins og við sáum með 𝑓(𝑥)={𝑥sin(1𝑥)ef𝑥≠00ef𝑥=0 getur fall einnig verið ódeildanlegt í punkti af flóknari ástæðum.
Dæmi 3.14
Hlutskilgreint fall sem er samfellt og deildanlegt
Leikfangafyrirtæki vill hanna braut fyrir leikfangabíl sem liggur fyrst eftir fleygboga en verður síðan að beinni línu (Mynd 3.17). Fallið sem lýsir brautinni á að vera á forminu 𝑓(𝑥)={110𝑥2+𝑏𝑥+𝑐ef𝑥<−10−14𝑥+52ef𝑥≥−10 þar sem 𝑥 og 𝑓(𝑥) eru mæld í tommum. Til þess að bíllinn hreyfist mjúklega eftir brautinni verður fallið 𝑓(𝑥) að vera bæði samfellt og deildanlegt við −10. Finnið gildi 𝑏 og 𝑐 sem gera 𝑓(𝑥) bæði samfellt og deildanlegt.
Mynd 3.17. Til þess að bíllinn hreyfist mjúklega eftir brautinni þarf fallið að vera bæði samfellt og deildanlegt.
Lausn
Til þess að fallið sé samfellt í Þar af leiðandi, þar sem
og 𝑓(−10)=5, þarf jafnan 10−10𝑏+𝑐=5. að gilda. Hún er jafngild 𝑐=10𝑏−5.
Til þess að fallið sé deildanlegt í
þarf að vera til. Þar sem 𝑓(𝑥) er skilgreint með sitt hvorri reglunni hægra og vinstra megin reiknum við markgildið frá báðum hliðum og setjum niðurstöðurnar jafnar:
Við höfum einnig
Þetta gefur okkur Því fæst og
Afleiður af hærra stigi
Afleiða falls er sjálf fall og því má einnig taka afleiðu hennar. Afleiða staðsetningarfalls er til dæmis hraði, þ.e. breytingarhraði staðsetningar. Afleiða hraðans er síðan hröðun, þ.e. breytingarhraði hraðans. Fallið sem fæst með því að deilda afleiðuna nefnist önnur afleiða. Með áframhaldandi deildun fást þriðja afleiða, fjórða afleiða og svo framvegis. Þær nefnast einu nafni afleiður af hærra stigi. Afleiður af hærra stigi fallsins má tákna á eftirfarandi vegu:
Líta má á táknunina sem hnitmiðaða framsetningu á . Með sama hætti fæst
Dæmi 3.15
Ákvörðun annarrar afleiðu
Fyrir 𝑓(𝑥)=2𝑥2−3𝑥+1, finnið 𝑓″(𝑥).
Lausn
Finnið fyrst
Næst finnum við 𝑓″(𝑥) með því að taka afleiðu af 𝑓′(𝑥)=4𝑥−3.
Dæmi 3.16
Ákvörðun hröðunar
S 𝑡 aða agnar á hnitási við tímann t , mældan í sekúndum, er gefin með 𝑠(𝑡)=3𝑡2−4𝑡+1 og mæld í metrum. Finnið fallið sem lýsir hröðun agnarinnar við tímann 𝑡.
Lausn
Þar sem 𝑣(𝑡)=𝑠′(𝑡) og 𝑎(𝑡)=𝑣′(𝑡)=𝑠″(𝑡), tökum við fyrst afleiðu af 𝑠(𝑡):
Næst,
Því er 𝑎=6m/s2.
Æfingar úr undirkafla 3.2
Í eftirfarandi verkefnum skal nota skilgreiningu afleiðu til að finna
54.
𝑓(𝑥)=6
55.
𝑓(𝑥)=2−3𝑥
56.
𝑓(𝑥)=2𝑥7+1
57.
𝑓(𝑥)=4𝑥2
58.
𝑓(𝑥)=5𝑥−𝑥2
59.
𝑓(𝑥)=√2𝑥
60.
𝑓(𝑥)=√𝑥−6
61.
𝑓(𝑥)=9𝑥
62.
𝑓(𝑥)=𝑥+1𝑥
63.
𝑓(𝑥)=1√𝑥
Í eftirfarandi verkefnum skal nota graf til að teikna upp graf afleiðufallsins
64.
65.
66.
67.
Í eftirfarandi verkefnum táknar gefið markgildi afleiðu fallsins þegar Finnið og
68.
limℎ→0(1+ℎ)2/3−1ℎ
69.
limℎ→0[3(2+ℎ)2+2]−14ℎ
70.
limℎ→0cos(𝜋+ℎ)+1ℎ
71.
limℎ→0(2+ℎ)4−16ℎ
72.
limℎ→0[2(3+ℎ)2−(3+ℎ)]−15ℎ
73.
limℎ→0𝑒ℎ−1ℎ
Fyrir eftirfarandi föll,
teiknið upp grafið og
notið skilgreiningu afleiðu til að sýna að fallið sé ekki deildanlegt í
74.
𝑓(𝑥)={2√𝑥,0≤𝑥≤13𝑥−1,𝑥>1
75.
𝑓(𝑥)={3,𝑥<13𝑥,𝑥≥1
76.
𝑓(𝑥)={−𝑥2+2,𝑥≤1𝑥,𝑥>1
77.
𝑓(𝑥)={2𝑥,𝑥≤12𝑥,𝑥>1
Fyrir eftirfarandi gröf,
ákvarðið fyrir hvaða gildi markgildið er til þótt sé ekki samfellt þegar og
ákvarðið fyrir hvaða gildi fallið er samfellt en ekki deildanlegt þegar
78.
79.
80.
Notið grafið til að reikna út a. b. c. d. og e. ef það er til.
Fyrir eftirfarandi föll skal nota til að finna
81.
𝑓(𝑥)=2−3𝑥
82.
𝑓(𝑥)=4𝑥2
83.
𝑓(𝑥)=𝑥+1𝑥
Í eftirfarandi verkefnum skal nota reiknivél til að teikna graf Ákvarðið afleiðufallið og notið síðan reiknivél til að teikna graf
84.
[T]𝑓(𝑥)=−5𝑥
85.
[T]𝑓(𝑥)=3𝑥2+2𝑥+4.
86.
[T]𝑓(𝑥)=√𝑥+3𝑥
87.
[T]𝑓(𝑥)=1√2𝑥
88.
[T]𝑓(𝑥)=1+𝑥+1𝑥
89.
[T]𝑓(𝑥)=𝑥3+1
Í eftirfarandi verkefnum skal útskýra hvað stæðurnar tvær tákna við hverjar tilgreindar aðstæður. Tilgreinið einnig mælieiningar.
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)ℎ
𝑓′(𝑥)=limℎ→0𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)ℎ
90.
𝑃(𝑥) táknar íbúafjölda borgar við tímann 𝑥 , þar sem tíminn er mældur í árum.
91.
𝐶(𝑥) táknar heildarfjárhæðina, í þúsundum dollara, sem 𝑥 viðskiptavinir verja í veitingar í skemmtigarði.
92.
𝑅(𝑥) táknar heildarkostnaðinn, í þúsundum dollara, við að framleiða 𝑥 útvarpsvekjaraklukkur.
93.
𝑔(𝑥) táknar einkunnina, í prósentustigum, sem fæst á prófi eftir 𝑥 klukkustunda nám.
94.
𝐵(𝑥) táknar verð, í dollurum, á kennslubók í félagsfræði í bandarískum háskólabókaverslunum 𝑥 árum eftir 1990.
95.
𝑝(𝑥) táknar loftþrýsting, mældan í torrum, í 𝑥 feta hæð.
96.
Teiknið graf falls sem hefur alla eftirfarandi eiginleika:
fyrir
𝑓′(2)=0
fyrir
𝑓(2)=2 og 𝑓(0)=1
lim𝑥→−∞𝑓(𝑥)=0 og lim𝑥→∞𝑓(𝑥)=∞
er ekki til.
97.
Látum hitastigið í feta hæð yfir jörðu, mælt í Fahrenheit-gráðum, vera gefið með
Túlkið eftirfarandi stærð eðlisfræðilega og tilgreinið mælieininguna:
Útskýrið eðlisfræðilega merkingu þess að 𝑇′(1000)=−0.1, .
98.
Gerum ráð fyrir að heildarhagnaður fyrirtækis sé þúsund dollarar við sölu á vörueiningum.
Hvað táknar fyrir , og hverjar eru einingarnar?
Hvað mælir og hverjar eru einingarnar?
Gerum ráð fyrir að hversu mikil er þá áætluð breyting á hagnaði þegar seldum einingum fjölgar úr
99.
Grafið á eftirfarandi mynd sýnir fjöldann sem hefur veikst af inflúensu vikum eftir að faraldur braust út í bæ með íbúa.
Lýsið því hvað táknar og hvernig gildi þess breytast þegar vex.
Hvað segir afleiðan okkur um áhrif inflúensufaraldursins á þennan bæ?
Í eftirfarandi verkefnum skal nota töfluna hér á eftir. Hún sýnir hæðina sem Saturn -eldflaugin hafði í Apollo -leiðangrinum sekúndum eftir geimskot.
Tími (sekúndur)
Hæð (metrar)
0 0
0 0
1 1
2 2
2 2
4 4
3 3
1 3 13
4 4
2 5 25
5 5
3 2 32
100.
Túlkið ℎ′(𝑡)? eðlisfræðilega og tilgreinið mælieininguna.
101.
[T] Gerið gildatöflu fyrir ℎ′(𝑡) og teiknið gröf ℎ(𝑡) og ℎ′(𝑡) í sama hnitakerfi. (Vísbending: Metið bæði vinstra og hægra markgildi í innri punktum og reiknið meðaltal þeirra. Innri punktur bils I er stak í I sem er ekki endapunktur bilsins.)
102.
[T] Besta línulega aðhvarfslínan fyrir gögnin er þar sem er hæð eldflaugarinnar í metrum og er tíminn frá flugtaki. Ákvarðið út frá jöfnunni Teiknið graf ásamt gögnunum og teiknið graf
103.
[T] Besta annars stigs aðhvarfsfallið fyrir gögnin er þar sem er hæð eldflaugarinnar í metrum og er tíminn frá flugtaki. Ákvarðið út frá jöfnunni Teiknið graf ásamt gögnunum og teiknið, í sérstöku hnitakerfi, graf
104.
[T] Besta þriðja stigs aðhvarfsfallið fyrir gögnin er 𝐹(𝑡)=0.2037𝑡3+2.956𝑡2−2.705𝑡+0.4683, þar sem 𝐹 er hæð eldflaugarinnar í me 𝑡 rum og t er tíminn frá flugtaki. Ákvarðið 𝐹′(𝑡). út frá jöfnunni. Teiknið graf 𝐹(𝑡) ásamt gögnunum og graf 𝐹′(𝑡). í sérstöku hnitakerfi. Hvort fellur línulegt fall, annars stigs fall eða þriðja stigs fall best að gögnunum?
105.
Notið besta línulega aðhvarfsfallið, annars stigs aðhvarfsfallið og þriðja stigs aðhvarfsfallið fyrir gögnin til að ákvarða . Túlkið eðlisfræðilega og tilgreinið mælieiningar þeirra.
