33 Afleiður

3.5 Afleiður hornafalla

Námsmarkmið

3.5.1 Finna afleiður sínus- og kósínusfallanna.
3.5.2 Finna afleiður helstu hornafallanna.
3.5.3 Reikna afleiður sínus- og kósínusfallanna af hærra stigi.

Ein mikilvægasta hreyfing í eðlisfræði er einföld sveifluhreyfing, til dæmis hreyfing massa sem sveiflast á gormi. Henni má lýsa með sínus- eða kósínusfalli. Í þessum undirkafla bætum við afleiðum þessara falla og annarra hornafalla við þær afleiðureglur sem þegar hafa verið kynntar. Fyrst finnum við afleiður sínus- og kósínusfallanna og notum þær síðan til að leiða út formúlur fyrir afleiður hinna fjögurra hornafallanna. Þannig má reikna hraða og hröðun í einfaldri sveifluhreyfingu.

Afleiður sínus- og kósínusfalla

Við byrjum á að áætla afleiðu sínusfallsins út frá skilgreiningarformúlunni. Rifjum upp að fyrir fallið $f (x),$

f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} .

Því gildir fyrir $h$ -gildi mjög nálægt 0 að $f^{'} (x) \approx \frac{f (x + h) - f (x)}{h} .$ Ef $h = 0.01,$

\frac{d}{d x} (sin x) \approx \frac{sin (x + 0.01) - sin x}{0.01}

Með því að skilgreina $D (x) = \frac{sin (x + 0.01) - sin x}{0.01}$ og nota grafteikniforrit má teikna graf sem nálgar afleiðu $sin x$ (mynd 3.25).

Graf fallsins D(x) = (sin(x + 0.01) − sin x)/0.01 er teiknað. Það líkist mjög kósínusferli. — **Mynd 3.25.** Graf fallsins $D (x)$ líkist mjög kósínusferli.

Graf $D (x)$ virðist líkjast mjög grafi kósínusfallsins. Við sýnum nú að

\frac{d}{d x} (sin x) = cos x .

Ef sömu skref væru notuð til að finna nálgun á afleiðu kósínusfallsins fengist að

\frac{d}{d x} (cos x) = − sin x.

Sönnun

Þar sem sannanirnar fyrir $\frac{d}{d x} (sin x) = cos x$ og $\frac{d}{d x} (cos x) = − sin x$ byggjast á svipuðum aðferðum setjum við aðeins fram sönnunina fyrir $\frac{d}{d x} (sin x) = cos x .$ Áður en sönnunin hefst skulum við rifja upp tvö mikilvæg markgildi hornafalla sem kynnt voru í inngangi að markgildum:

lim_{h \to 0} \frac{sin h}{h} = 1 og lim_{h \to 0} \frac{cos h - 1}{h} = 0 .

Gröf $y = \frac{(sin h)}{h}$ og $y = \frac{(cos h - 1)}{h}$ eru sýnd á mynd 3.26.

Gröf fallanna y = (sin h)/h og y = (cos h – 1)/h eru teiknuð. Bæði föllin eru ósamfelld á y-ásnum. — **Mynd 3.26.** Þessi gröf sýna tvö mikilvæg markgildi sem nauðsynleg eru til að leiða út formúlurnar fyrir afleiður sínus- og kósínusfallanna.

Við rifjum einnig upp eftirfarandi hornafallasamsemd fyrir sínus summu tveggja horna:

\sin (x + h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h

Nú þegar við höfum tekið saman allar nauðsynlegar jöfnur og samsemdir höldum við áfram með sönnunina.

\begin{matrix} \frac{d}{d x} sin x & = lim_{h \to 0} \frac{sin (x + h) - sin x}{h} & Beitið skilgreiningu afleiðunnar. \\ = lim_{h \to 0} \frac{sin x cos h + cos x sin h - sin x}{h} & Notið samlagningarformúlu sínuss. \\ = lim_{h \to 0} (\frac{sin x cos h - sin x}{h} + \frac{cos x sin h}{h}) & Endurraðið liðum. \\ = lim_{h \to 0} (sin x (\frac{cos h - 1}{h}) + cos x (\frac{sin h}{h})) & Takið eftirfarandi sameiginlega þætti út fyrir sviga: sin x og cos x . \\ = sin x \cdot 0 + cos x \cdot 1 & Beitið markgildisreglum hornafalla. \\ = cos x & Einfaldið. \end{matrix}

□

Mynd 3.27 sýnir sambandið milli grafs $f (x) = sin x$ og afleiðu þess $f^{'} (x) = cos x .$ Takið eftir að í þeim punktum þar sem $f (x) = sin x$ hefur láréttan snertil tekur afleiða þess $f^{'} (x) = cos x$ gildið núll. Við sjáum einnig að þar sem $f (x) = sin x$ er vaxandi er $f^{'} (x) = cos x > 0$ og þar sem $f (x) = sin x$ er minnkandi er $f^{'} (x) = cos x < 0 .$

Gröf fallanna f(x) = sin x og f’(x) = cos x eru teiknuð. Ljóst er að þegar f(x) hefur hágildi eða lággildi gildir f’(x) = 0. — **Mynd 3.27.** Þar sem $f (x)$ hefur hágildi eða lággildi er $f' (x) = 0$ ; með öðrum orðum er $f' (x) = 0$ þar sem graf $f (x)$ hefur láréttan snertil. Þessir staðir eru merktir með punktum á gröfunum.

Dæmi 3.39

Deildun falls sem inniheldur sin x

Finnið afleiðu $f (x) = 5 x^{3} sin x .$

Lausn

Með margfeldisreglunni fæst

\begin{matrix} f' (x) & = \frac{d}{d x} (5 x^{3}) \cdot sin x + \frac{d}{d x} (sin x) \cdot 5 x^{3} \\ = 15 x^{2} \cdot sin x + cos x \cdot 5 x^{3} . \end{matrix}

Með einföldun fæst

f^{'} (x) = 15 x^{2} sin x + 5 x^{3} cos x .

Dæmi 3.40

Afleiða falls með cos x

Finnið afleiðu $g (x) = \frac{cos x}{4 x^{2}} .$

Lausn

Með deilireglunni fæst

g^{'} (x) = \frac{(− sin x) 4 x^{2} - 8 x (cos x)}{{(4 x^{2})}^{2}} .

Með einföldun fæst

\begin{matrix} g^{'} (x) & = \frac{−4 x^{2} sin x - 8 x cos x}{16 x^{4}} \\ = \frac{− x sin x - 2 cos x}{4 x^{3}} . \end{matrix}

Dæmi 3.41

Notkun við útreikning á hraða

Ögn hreyfist eftir hnitás og staðsetning hennar við tímann $t$ er $s (t) = 2 sin t - t$ fyrir $0 \leq t \leq 2 π .$ Hvenær er ögnin kyrr?

Lausn

Til að ákvarða hvenær ögnin er kyrr er sett $s^{'} (t) = v (t) = 0 .$ Fyrst finnum við $s^{'} (t) .$ Þá fæst

s^{'} (t) = 2 cos t - 1,

því þarf að leysa

2 \cos t - 1 = 0 fyrir 0 t 22 cost - 1 = 0 fyrir 0 t 2

Lausnir þessarar jöfnu eru $t = \frac{π}{3}$ og $t = \frac{5 π}{3} .$ Ögnin er því kyrr við tímana $t = \frac{π}{3}$ og $t = \frac{5 π}{3} .$

Afleiður annarra hornafalla

Hin fjögur hornaföllin má öll rita sem kvóta þar sem sínus, kósínus eða bæði föllin koma fyrir. Því má nota deiliregluna til að finna formúlur fyrir afleiður þeirra.

Dæmi 3.42

Afleiða tangensfallsins

Finnið afleiðu $f (x) = tan x .$

Lausn

Fyrst er $tan x$ ritað sem kvóti $sin x$ og $cos x :$

f (x) = tan x = \frac{sin x}{cos x} .

Með deilireglunni fæst

f^{'} (x) = \frac{cos x cos x - (− sin x) sin x}{{(cos x)}^{2}} .

Með einföldun fæst

f^{'} (x) = \frac{{cos}^{2} x + {sin}^{2} x}{{cos}^{2} x} .

Samkvæmt Pýþagórasarsamsemdinni er ${cos}^{2} x + {sin}^{2} x = 1,$ og því fæst

f^{'} (x) = \frac{1}{{cos}^{2} x} .

Að lokum er samsemdin $sec x = \frac{1}{cos x}$ notuð og fæst

f^{'} (x) = {sec}^{2} x .

Afleiður hornafallanna sem eftir eru má finna með sambærilegum aðferðum. Formúlurnar eru settar fram í eftirfarandi setningu.

Dæmi 3.43

Ákvörðun jöfnu snertils

Finnið jöfnu snertils við graf $f (x) = cot x$ í $x = \frac{π}{4} .$

Lausn

Til að ákvarða jöfnu snertilsins þarf punkt á honum og hallatölu hans þar. Punkturinn fæst með því að reikna

f (\frac{π}{4}) = cot \frac{π}{4} = 1 .

Snertillinn liggur því um punktinn $(\frac{π}{4}, 1) .$ Hallatalan fæst með því að finna afleiðu $f (x) = cot x$ og reikna gildi hennar í $\frac{π}{4} :$

f^{'} (x) = − {csc}^{2} x og f^{'} (\frac{π}{4}) = − {csc}^{2} (\frac{π}{4}) = −2 .

Með punkthallajöfnu línunnar fæst

y - 1 = −2 (x - \frac{π}{4})

eða jafngilt

y = −2 x + 1 + \frac{π}{2} .

Dæmi 3.44

Afleiður hornafalla

Finnið afleiðu $f (x) = csc x + x tan x .$

Lausn

Við útreikning afleiðunnar þarf bæði summuregluna og margfeldisregluna. Með summureglunni fæst

f^{'} (x) = \frac{d}{d x} (csc x) + \frac{d}{d x} (x tan x) .

Fyrri liðurinn gefur $\frac{d}{d x} (csc x) = − csc x cot x,$ og með margfeldisreglunni á síðari liðinn fæst

\frac{d}{d x} (x tan x) = (1) (tan x) + ({sec}^{2} x) (x) .

Því fæst

f^{'} (x) = − csc x cot x + tan x + x {sec}^{2} x .

Afleiður af hærra stigi

Afleiður fallanna $sin x$ og $cos x$ af hærra stigi endurtaka sig í föstu mynstri. Með því að fylgja mynstrinu má finna afleiðu af hvaða stigi sem er fyrir föllin $sin x$ og $cos x .$

Dæmi 3.45

Afleiður af hærra stigi: fallið y = sin ⁡ x

Finnið fyrstu fjórar afleiður $y = sin x .$

Lausn

Hvert skref í ferlinu er einfalt:

\begin{matrix} y & = & sin x \\ \frac{d y}{d x} & = & cos x \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & = & − sin x \\ \frac{d^{3} y}{d x^{3}} & = & − cos x \\ \frac{d^{4} y}{d x^{4}} & = & sin x . \end{matrix}

Greining

Þegar mynstrið í afleiðunum hefur verið greint má finna afleiðu af hvaða stigi sem er með því að ákvarða hvaða skrefi mynstursins hún samsvarar. Til dæmis er fjórða hver afleiða sin x aftur sin x og því

\begin{array}{l} \frac{d^{4}}{d x^{4}} (sin x) = \frac{d^{8}}{d x^{8}} (sin x) = \frac{d^{12}}{d x^{12}} (sin x) = … = \frac{d^{4 n}}{d x^{4 n}} (sin x) = sin x \\ \frac{d^{5}}{d x^{5}} (sin x) = \frac{d^{9}}{d x^{9}} (sin x) = \frac{d^{13}}{d x^{13}} (sin x) = … = \frac{d^{4 n + 1}}{d x^{4 n + 1}} (sin x) = cos x . \end{array}

Dæmi 3.46

Mynstur afleiðna af hærra stigi: fallið y = sin ⁡ x

Finnið $\frac{d^{74}}{d x^{74}} (sin x) .$

Lausn

Fyrir 74. afleiðu $sin x, 74 = 4 (18) + 2,$ gildir því

\frac{d^{74}}{d x^{74}} (sin x) = \frac{d^{72 + 2}}{d x^{72 + 2}} (sin x) = \frac{d^{2}}{d x^{2}} (sin x) = − sin x .

Dæmi 3.47

Notkun við útreikning á hröðun

Ögn hreyfist eftir hnitás og staðsetning hennar við tímann $t$ er $s (t) = 2 - sin t .$ Finnið $v (π / 4)$ og $a (π / 4) .$ Berið gildin saman og ákvarðið hvort ferð agnarinnar eykst eða minnkar.

Lausn

Fyrst skal finna $v (t) = s^{'} (t) :$

v (t) = s^{'} (t) = − cos t .

Því gildir:

v (\frac{π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}} .

Næst er $a (t) = v^{'} (t) .$ fundið. Þar sem $a (t) = v^{'} (t) = sin t$ fæst

a (\frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} .

Þar sem $v (\frac{π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}} < 0$ og $a (\frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} > 0,$ hafa hraði og hröðun gagnstæð formerki. Hröðunin stefnir því gegn hreyfistefnunni og ferð agnarinnar minnkar.

Æfingar úr kafla 3.5

Í eftirfarandi æfingum skal finna $\frac{d y}{d x}$ fyrir gefin föll.

175.

𝑦=𝑥2−sec⁡𝑥+1 $y = x^{2} - sec x + 1$

176.

𝑦=3⁢csc⁡𝑥+5𝑥 $y = 3 csc x + \frac{5}{x}$

177.

𝑦=𝑥2⁢cot⁡𝑥 $y = x^{2} cot x$

178.

𝑦=𝑥−𝑥3⁢sin⁡𝑥 $y = x - x^{3} sin x$

179.

𝑦=sec⁡𝑥𝑥 $y = \frac{sec x}{x}$

180.

𝑦=sin⁡𝑥⁢tan⁡𝑥 $y = sin x tan x$

181.

𝑦=(𝑥+cos⁡𝑥)⁢(1−sin⁡𝑥) $y = (x + cos x) (1 - sin x)$

182.

𝑦=tan⁡𝑥1−sec⁡𝑥 $y = \frac{tan x}{1 - sec x}$

183.

𝑦=1−cot⁡𝑥1+cot⁡𝑥 $y = \frac{1 - cot x}{1 + cot x}$

184.

𝑦=cos⁡𝑥⁢(1+csc⁡𝑥) $y = cos x (1 + csc x)$

Í eftirfarandi æfingum skal finna jöfnu snertils við hvert gefið fall fyrir tilgreind gildi breytunnar $x .$ Notið síðan reiknivél til að teikna bæði fallið og snertilinn og ganga þannig úr skugga um að jafna snertilsins sé rétt.

185.

[T] 𝑓⁡(𝑥)=−sin⁡𝑥,𝑥=0 $f (x) = − sin x, x = 0$

186.

[T] 𝑓⁡(𝑥)=csc⁡𝑥,𝑥=𝜋2 $f (x) = csc x, x = \frac{π}{2}$

187.

[T] 𝑓⁡(𝑥)=1+cos⁡𝑥,𝑥=3⁢𝜋2 $f (x) = 1 + cos x, x = \frac{3 π}{2}$

188.

[T] 𝑓⁡(𝑥)=sec⁡𝑥,𝑥=𝜋4 $f (x) = sec x, x = \frac{π}{4}$

189.

[T] 𝑓⁡(𝑥)=𝑥2−tan⁡𝑥,𝑥=0 $f (x) = x^{2} - tan x, x = 0$

190.

[T] 𝑓⁡(𝑥)=5⁢cot⁡𝑥,𝑥=𝜋4 $f (x) = 5 cot x, x = \frac{π}{4}$

Í eftirfarandi æfingum skal finna $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ fyrir gefin föll.

191.

𝑦=𝑥⁢sin⁡𝑥−cos⁡𝑥 $y = x sin x - cos x$

192.

𝑦=sin⁡𝑥⁢cos⁡𝑥 $y = sin x cos x$

193.

𝑦=𝑥−12⁢sin⁡𝑥 $y = x - \frac{1}{2} sin x$

194.

𝑦=1𝑥+tan⁡𝑥 $y = \frac{1}{x} + tan x$

195.

𝑦=2⁢csc⁡𝑥 $y = 2 csc x$

196.

𝑦=sec2⁢𝑥 $y = {sec}^{2} x$

197.

Finnið öll $x$ -gildi á grafi fallsins $f (x) = −3 sin x cos x$ þar sem snertillinn er láréttur.

198.

Finnið öll $x$ -gildi á grafi $f (x) = x - 2 cos x$ fyrir $0 < x < 2 π$ þar sem hallatala snertilsins er 2.

199.

Látum $f (x) = cot x .$ Ákvarðið punktana á grafi $f$ fyrir $0 < x < 2 π$ þar sem snertillinn er samsíða línunni $y = −2 x .$

200.

[T] Massi á gormi sveiflast upp og niður í einfaldri sveifluhreyfingu sem lýst er með fallinu $s (t) = −6 cos t$ þar sem $s$ er mælt í tommum og $t$ í sekúndum. Finnið sveifluhraða massans þegar $t = 5$ s.

201.

Staðsetning pendúls í einfaldri sveifluhreyfingu er $s (t) = a cos t + b sin t$ þar sem $a$ og $b$ eru fastar, $t$ er tími í sekúndum og $s$ staðsetning í sentimetrum. Ef staðsetningin er 0 cm og hraðinn 3 cm/s þegar $t = 0$ skal finna gildi $a$ og $b$ .

202.

Eftir að dýfingarmaður stekkur af stökkbretti sveiflast brún þess og staðsetning hennar er $s (t) = −5 cos t$ cm eftir $t$ sekúndur.

Teiknið eina lotu staðsetningarfallsins fyrir $t \geq 0 .$
Finnið hraðafallið.
Teiknið eina lotu hraðafallsins fyrir $t \geq 0 .$
Ákvarðið þau tímagildi innan einnar lotu þar sem hraðinn er 0.
Finnið hröðunarfallið.
Teiknið eina lotu hröðunarfallsins fyrir $t \geq 0 .$

203.

Fjöldi seldra hamborgara á skyndibitastað í Pasadena í Kaliforníu er $y = 10 + 5 sin x$ þar sem $y$ er fjöldi seldra hamborgara og $x$ fjöldi klukkustunda frá opnun staðarins kl. 11 að morgni til lokunar hans kl. 11 að kvöldi. Finnið $y'$ og ákvarðið þau bil þar sem fjöldi seldra hamborgara fer vaxandi.

204.

[T] Mánaðarlega úrkomu í Phoenix í Arizona má nálga með fallinu $y (t) = 0.5 + 0.3 cos t,$ þar sem $t$ táknar fjölda mánaða frá janúar. Finnið $y^{'}$ og notið reiknivél til að ákvarða bilin þar sem úrkomumagnið fer minnkandi.

Notið deiliregluna til að leiða út gefnu jöfnurnar í eftirfarandi æfingum.

205.

𝑑𝑑⁢𝑥⁢(cot⁡𝑥)=−csc2⁢𝑥 $\frac{d}{d x} (cot x) = − {csc}^{2} x$

206.

𝑑𝑑⁢𝑥⁢(sec⁡𝑥)=sec⁡𝑥⁢tan⁡𝑥 $\frac{d}{d x} (sec x) = sec x tan x$

207.

𝑑𝑑⁢𝑥⁢(csc⁡𝑥)=−csc⁡𝑥⁢cot⁡𝑥 $\frac{d}{d x} (csc x) = − csc x cot x$

208.

Notið skilgreiningu afleiðu og samsemdina

$cos (x + h) = cos x cos h - sin x sin h$ til að sanna að $\frac{d (cos x)}{d x} = − sin x .$

Í eftirfarandi æfingum skal finna tilgreinda afleiðu af hærra stigi af gefnu falli.

209.

$\frac{d^{3} y}{d x^{3}}$ af $y = 3 cos x$

210.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ af $y = 3 sin x + x^{2} cos x$

211.

$\frac{d^{4} y}{d x^{4}}$ af $y = 5 cos x$

212.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ af $y = sec x + cot x$

213.

$\frac{d^{3} y}{d x^{3}}$ af $y = x^{10} - sec x$