33 Afleiður

3.4 Afleiður sem breytingarhraðar

Námsmarkmið

3.4.1 Ákvarða nýtt gildi stærðar út frá fyrra gildi hennar og breytingunni.
3.4.2 Reikna meðalbreytingarhraða og útskýra muninn á honum og augnabliksbreytingarhraða.
3.4.3 Beita breytingarhraða við útreikninga á færslu, hraða og hröðun hlutar sem hreyfist eftir beinni línu.
3.4.4 Spá fyrir um fólksfjölda í framtíðinni út frá núverandi fólksfjölda og vaxtarhraða hans.
3.4.5 Nota afleiður til að reikna jaðarkostnað og jaðartekjur í rekstrarlegu samhengi.

Í þessum undirkafla skoðum við hvernig túlka má afleiðu sem breytingarhraða falls og hvernig sú túlkun nýtist. Dæmi um notkun eru hröðun og hraði í eðlisfræði, vaxtarhraði stofna í líffræði og jaðarföll í hagfræði.

Formúla fyrir breytingu

Afleiðu má meðal annars nota til að áætla óþekkt gildi falls út frá þekktu gildi og breytingarhraða þess í tilteknum punkti. Ef $f (x)$ er skilgreint á bilinu $[a, a + h],$ er breyting á $f (x)$ á bilinu mismunur $y$ -gilda þess við enda bilsins og fæst sem

f (a + h) - f (a) .

Meðalbreytingarhraði fallsins $f$ á sama bili er hlutfall breytingar fallsins og samsvarandi breytingar $x$ -gildanna. Hann fæst sem

\frac{f (a + h) - f (a)}{h} .

Eins og áður hefur komið fram er augnabliksbreytingarhraði fallsins $f (x)$ í $a$ afleiða þess

f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} .

Fyrir nægilega lítil gildi $h, f^{'} (a) \approx \frac{f (a + h) - f (a)}{h} .$ Með því að einangra $f (a + h)$ fæst formúlan fyrir breytingu:

f (a + h) \approx f (a) + f^{'} (a) h .

(3.10)

Formúluna má nota þegar aðeins $f (a)$ og $f^{'} (a)$ eru þekkt og áætla þarf $f (a + h) .$ Til dæmis má áætla íbúafjölda borgar í náinni framtíð út frá núverandi íbúafjölda og vaxtarhraða hans. Á mynd 3.22 sést að $f (a + h)$ er nálgað með $y$ -hniti snertilsins við x = $a + h$ , þar sem snertillinn er við graf $f (x)$ í $x = a .$ Nákvæmni nálgunarinnar ræðst bæði af $h$ og $f^{'} (a) .$

Graf fallsins f er teiknað í kartesísku hnitakerfi þar sem a og a + h eru merkt á x-ásnum. Grafið liggur um punktana (a, f(a)) og (a + h, f(a + h)). Snertill er dreginn um (a, f(a)) og hallatala hans er afleiða fallsins í þeim punkti. Snertillinn liggur einnig um (a + h, f(a) + f’(a)h). Línustrik milli punktanna (a + h, f(a + h)) og (a + h, f(a) + f’(a)h) táknar skekkjuna þegar f(a) + f’(a)h er notað til að áætla f(a + h). — **Mynd 3.22.** Nálgað nýtt gildi stærðar fæst með því að leggja margfeldi breytingarhraðans og breytingarbilsins við upphaflega gildið: 𝑓⁡(𝑎+ℎ)≈𝑓⁡(𝑎)+𝑓′⁡(𝑎)⁢h. $f (a + h) \approx f (a) + f^{'} (a) h.$

Dæmi 3.33

Mat á gildi falls

Ef $f (3) = 2$ og $f^{'} (3) = 5,$ má áætla $f (3.2) .$

Lausn

Fyrst er ℎ. $h .$ fundið. Þar sem ℎ=3.2−3=0.2. $h = 3.2 - 3 = 0.2 .$ fæst

f (3.2) = f (3 + 0.2) \approx f (3) + (0.2) f^{'} (3) = 2 + 0.2 (5) = 3 .

Hreyfing eftir línu

Afleiðuna má einnig nota til að greina hreyfingu eftir beinni línu. Hraði er breytingarhraði staðsetningar og afleiða hraðans er hröðunin, það er breytingarhraði hraðans. Einnig þarf að skilgreina ferð, sem er stærð hraðans. Þá má setja fram eftirfarandi stærðfræðilegar skilgreiningar.

Dæmi 3.34

Samanburður á augnablikshraða og meðalhraða

Bolta er sleppt úr 64 feta hæð. Hæð hans yfir jörðu, mæld í fetum eftir 𝑡 $t$ sekúndur, er 𝑠⁡(𝑡)=−16⁢𝑡2+64. $s (t) = −16 t^{2} + 64 .$

Graf fallsins s(t) = −16t² + 64 er sýnt í kartesísku hnitakerfi. Það hefst í punktinum (0, 64) og lækkar að punktinum (2, 0).

Hver er augnablikshraði boltans þegar hann lendir á jörðinni?
Hver er meðalhraði boltans á meðan hann fellur?

Lausn

Fyrst þarf að finna hve lengi boltinn er að falla til jarðar. Setjum því 𝑠⁡(𝑡)=0. $s (t) = 0 .$ Lausn jöfnunnar −16⁢𝑡2+64=0, $−16 t^{2} + 64 = 0,$ er 𝑡=2, $t = 2,$ svo boltinn fellur til jarðar á 2 sekúndum.

Augnablikshraði boltans þegar hann lendir á jörðinni er $v (2) .$ Þar sem $v (t) = s^{'} (t) = −32 t,$ fáum við $v (t) = −64 ft/s .$
Meðalhraði boltans á meðan hann fellur er

$v_{a v e} = \frac{s (2) - s (0)}{2 - 0} = \frac{0 - 64}{2} = −32 ft/s .$

Dæmi 3.35

Túlkun á sambandinu milli v ⁡ ( t ) og a ⁡ ( t )

Ögn hreyfist til hægri eftir jákvæðri stefnu hnitáss. Staðsetning hennar við tímann 𝑡 $t$ er 𝑠⁡(𝑡)=𝑡3−4⁢𝑡+2. $s (t) = t^{3} - 4 t + 2 .$ Finnið 𝑣⁡(1) $v (1)$ og 𝑎⁡(1) $a (1)$ og notið gildin til að svara eftirfarandi spurningum.

Hreyfist ögnin til vinstri eða hægri við tímann $t = 1 ?$
Eykst ferð agnarinnar eða minnkar hún við tímann 𝑡=1? $t = 1 ?$

Lausn

Byrjið á að finna $v (t)$ og $a (t) .$

𝑣⁡(𝑡) =𝑠′⁡(𝑡) =3⁢𝑡2 −4 $v (t) = s^{'} (t) = 3 t^{2} - 4$ og 𝑎⁡(𝑡)=𝑣′⁡(𝑡)=𝑠″⁡(𝑡)=6⁢𝑡. $a (t) = v^{'} (t) = s^{″} (t) = 6 t .$

Þegar gildi fallanna eru reiknuð við 𝑡=1, $t = 1,$ fæst 𝑣⁡(1)=−1 $v (1) = −1$ og 𝑎⁡(1)=6. $a (1) = 6 .$

Þar sem $v (1) < 0,$ hreyfist ögnin frá hægri til vinstri.
Þar sem 𝑣⁡(1)<0 $v (1) < 0$ og 𝑎⁡(1)>0, $a (1) > 0,$ hafa hraði og hröðun gagnstæðar stefnur. Ögnin fær því hröðun í gagnstæða átt við hreyfistefnu sína og |𝑣⁡(𝑡)| $| v (t) |$ minnkar. Ferð agnarinnar minnkar.

Dæmi 3.36

Staðsetning og hraði

Staðsetning agnar sem hreyfist eftir hnitás er 𝑠⁡(𝑡)=𝑡3−9⁢𝑡2+24⁢𝑡+4,𝑡≥0. $s (t) = t^{3} - 9 t^{2} + 24 t + 4, t \geq 0 .$

Finnið $v (t) .$
Hvenær er ögnin kyrr?
Á hvaða tímabilum hreyfist ögnin frá vinstri til hægri og á hvaða tímabilum frá hægri til vinstri?
Notið upplýsingarnar til að skissa feril agnarinnar eftir hnitás.

Lausn

Hraði agnarinnar er afleiða staðsetningarfallsins:

𝑣⁡(𝑡)=𝑠′⁡(𝑡)=3⁢𝑡2−18⁢𝑡+24. $v (t) = s^{'} (t) = 3 t^{2} - 18 t + 24 .$
Ögnin er kyrr þegar $v (t) = 0,$ og því er sett $3 t^{2} - 18 t + 24 = 0 .$ Vinstri hlið jöfnunnar má þá þátta og fæst $3 (t - 2) (t - 4) = 0 .$ Ögnin er því kyrr við $t = 2$ og $t = 4 .$
Ögnin hreyfist frá vinstri til hægri þegar 𝑣⁡(𝑡)>0 $v (t) > 0$ en frá hægri til vinstri þegar 𝑣⁡(𝑡)<0. $v (t) < 0 .$ Mynd 3.23 sýnir formerkjagreiningu 𝑣⁡(𝑡) $v (t)$ fyrir 𝑡≥0, $t \geq 0,$ en ekki ásinn sem ögnin hreyfist eftir.

Mynd 3.23 Formerki v(t) ákvarðar hreyfistefnu agnarinnar. Þar

sem 3⁢𝑡2−18⁢𝑡+24>0 $3 t^{2} - 18 t + 24 > 0$ á [0,2)∪(4,+∞), $[0, 2) \cup (4, + \infty),$ hreyfist ögnin frá vinstri til hægri á þessum bilum. Þar
sem 3⁢𝑡2−18⁢𝑡+24<0 $3 t^{2} - 18 t + 24 < 0$ á (2,4), $(2, 4),$ hreyfist ögnin frá hægri til vinstri á því bili.
Til að skissa feril agnarinnar þarf að finna staðsetningu hennar við upphaf hreyfingarinnar $(t = 0)$ og þegar hún skiptir um stefnu $(t = 2, 4) .$ Gildin eru $s (0) = 4, s (2) = 24,$ og $s (4) = 20 .$ Hreyfing agnarinnar hefst því við 4 á hnitásnum og stefnubreytingar verða við 24 og 20. Ferillinn er sýndur á hnitás á mynd 3.24.

Mynd 3.24 Ákvarða má feril agnarinnar með því að greina v(t).

Mannfjöldabreyting

Afleiður nýtast ekki aðeins við greiningu á hraða, ferð, hröðun og staðsetningu heldur einnig við rannsóknir á stofnum af ýmsu tagi, allt frá bakteríuþyrpingum til borgarbúa. Áætla má stofnstærð í framtíðinni út frá núverandi stærð og vaxtarhraða. Vaxtarhraði stofns er breytingarhraði stofnstærðarinnar og má því tákna með afleiðu hennar.

Dæmi 3.37

Mat á stofnstærð

Íbúafjöldi borgar þrefaldast á 5 ára fresti. Ef íbúafjöldinn er nú 10.000, hver verður hann þá um það bil eftir 2 ár?

Lausn

Látum $P (t)$ tákna íbúafjöldann, í þúsundum, eftir $t$ ár. Þá er $P (0) = 10$ og af gefnum upplýsingum má álykta að $P (5) = 30 .$ Núverandi vaxtarhraði $P^{'} (0),$ er áætlaður með

P^{'} (0) \approx \frac{P (5) - P (0)}{5 - 0} = \frac{30 - 10}{5} = 4 .

Með því að beita jöfnu 3.10 á 𝑃⁡(𝑡), $P (t),$ má áætla íbúafjöldann eftir 2 ár sem

P (2) \approx P (0) + (2) P^{'} (0) \approx 10 + 2 (4) = 18;

Því verður íbúafjöldinn 18.000 eftir 2 ár.

Breytingar á kostnaði og tekjum

Afleiður nýtast einnig til að greina breytingar á kostnaði, tekjum og hagnaði. Jaðarföll eru algeng í viðskiptafræði og hagfræði og eru skilgreind með afleiðum. Jaðarkostnaður er afleiða kostnaðarfalls, jaðartekjur eru afleiða tekjufalls og jaðarhagnaður er afleiða hagnaðarfalls. Hagnaðarfallið byggist á kostnaðarfallinu og tekjufallinu.

Gróflega má nálga

M C (x) = C^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{C (x + h) - C (x)}{h}

með því að velja hentugt gildi $h .$ Þar sem x táknar fjölda eininga er 1 eðlilega lítið gildi fyrir $h$ . Með því að setja $h = 1,$ fæst nálgunin $M C (x) = C^{'} (x) \approx C (x + 1) - C (x) .$ Því má túlka $C^{'} (x)$ við tiltekið gildi $x$ sem kostnaðaraukann við að framleiða eina einingu til viðbótar. Á sama hátt nálgar $M R (x) = R^{'} (x)$ tekjurnar af sölu einnar viðbótareiningar og $M P (x) = P^{'} (x)$ nálgar hagnaðinn af framleiðslu og sölu hennar.

Dæmi 3.38

Notkun jaðartekna

Gerum ráð fyrir að fjöldi seldra grillmáltíða $x,$ tengist söluverðinu $p,$ samkvæmt jöfnunni $p (x) = 9 - 0.03 x, 0 \leq x \leq 300 .$

Tekjur af sölu 𝑥 $x$ grillmáltíða, mældar í dollurum, eru þá

R (x) = x p (x) = x (9 - 0.03 x) = −0.03 x^{2} + 9 x for 0 \leq x \leq 300 .

Notið jaðartekjufallið til að áætla tekjur af sölu 101. grillmáltíðarinnar. Berið áætlunina saman við raunverulegar tekjur af máltíðinni.

Lausn

Finnið fyrst jaðartekjufallið: $M R (x) = R^{'} (x) = −0.06 x + 9 .$

Næst er 𝑅′⁡(100) $R^{'} (100)$ notað til að áætla 𝑅⁡(101)−𝑅⁡(100), $R (101) - R (100),$ það er tekjurnar af sölu 101. máltíðarinnar. Þar sem 𝑅′⁡(100)=3, $R^{'} (100) = 3,$ eru tekjurnar af máltíðinni um það bil $3.

Raunverulegar tekjur af sölu 101. máltíðarinnar eru

R (101) - R (100) = 602.97 - 600 = 2.97 or 2.97 R (101) - R (100) = 602.97 - 600 = 2.97 or 2.97

Jaðartekjurnar gefa nokkuð góða nálgun í þessu tilviki og hafa þann kost að auðvelt er að reikna þær.

Æfingar úr kafla 3.4

Í eftirfarandi æfingum lýsa föllin sem gefin eru staðsetningu agnar sem hreyfist eftir láréttri línu, þar sem $t \geq 0$ .

Finnið föllin sem lýsa hraða og hröðun.
Ákvarðið á hvaða tímabilum ferð hlutarins minnkar og á hvaða tímabilum hún eykst.

150.

𝑠⁡(𝑡)=2⁢𝑡3−3⁢𝑡2−12⁢𝑡+8 $s (t) = 2 t^{3} - 3 t^{2} - 12 t + 8$

151.

𝑠⁡(𝑡)=2⁢𝑡3−15⁢𝑡2+36⁢𝑡−10 $s (t) = 2 t^{3} - 15 t^{2} + 36 t - 10$

152.

𝑠⁡(𝑡)=𝑡1+𝑡2 $s (t) = \frac{t}{1 + t^{2}}$

153.

Líkaneldflaug er skotin lóðrétt upp frá jörðu. Hæð hennar yfir jörðu, mæld í fetum, er táknuð með 𝑠 $s$ eftir 𝑡 $t$ sekúndur og gefin með 𝑠⁡(𝑡)=−16⁢𝑡2+560⁢𝑡. $s (t) = −16 t^{2} + 560 t .$

Finnið hraða eldflaugarinnar 3 sekúndum eftir að henni er skotið á loft.
Finnið hröðun eldflaugarinnar 3 sekúndum eftir að henni er skotið á loft.

154.

Bolta er kastað niður af þaki 64 feta hárrar byggingar með upphafsferðina 8 ft/s. Hæð hans yfir jörðu eftir t sekúndur er 𝑠⁡(𝑡)=−16⁢𝑡2−8⁢𝑡+64. $s (t) = −16 t^{2} - 8 t + 64 .$

Ákvarðið hve lengi boltinn er að falla til jarðar.
Ákvarðið hraða boltans þegar hann lendir á jörðinni.

155.

Staðsetningarfallið 𝑠⁡(𝑡)=𝑡2−3⁢𝑡−4 $s (t) = t^{2} - 3 t - 4$ lýsir staðsetningu afturenda bifreiðar sem bakkað er út úr innkeyrslu og síðan ekið áfram eftir beinni línu. Staðsetningin er mæld í fetum og táknuð með 𝑠 $s$ , en tíminn er mældur í sekúndum og táknaður með 𝑡 $t$ . Jafnan 𝑠⁡(𝑡)=0 $s (t) = 0$ lýsir því augnabliki þegar afturendi bifreiðarinnar er við bílskúrshurðina. Upphafsstaðsetningin 𝑠⁡(0)=−4 $s (0) = −4$ er því 4 fetum inni í bílskúrnum.

Ákvarðið hraða bílsins þegar $s (t) = 0 .$
Ákvarðið hraða bílsins þegar $s (t) = 14 .$

156.

Staðsetning kólibrífugls sem flýgur eftir beinni línu við tímann 𝑡 $t$ er 𝑠⁡(𝑡)=3⁢𝑡3−7⁢𝑡 $s (t) = 3 t^{3} - 7 t$ , mæld í metrum.

Ákvarðið hraða fuglsins við 𝑡=1 $t = 1$ sek.
Ákvarðið hröðun fuglsins við 𝑡=1 $t = 1$ sek.
Ákvarðið hröðun fuglsins þegar hraðinn er 0.

157.

Kartöflu er skotið lóðrétt upp úr kartöflubyssu á þaki 85 feta hárrar byggingar með upphafshraðann 100 ft/s. Hæð kartöflunnar yfir jörðu eftir 𝑡 $t$ sekúndur er 𝑠⁡(𝑡)=−16⁢𝑡2+100⁢𝑡+85. $s (t) = −16 t^{2} + 100 t + 85 .$

Finnið hraða kartöflunnar eftir $0.5 s$ og $5.75 s .$
Finnið ferð kartöflunnar við 0.5 s og 5.75 s.
Ákvarðið hvenær kartaflan nær mestri hæð.
Finnið hröðun kartöflunnar við 0.5 s og 1.5 s.
Ákvarðið hversu lengi kartaflan er á lofti.
Ákvarðið hraða kartöflunnar þegar hún lendir á jörðinni.

158.

Staðsetning vöruflutningalestar, mæld í mílum, er 𝑠⁡(𝑡)=𝑡3−8⁢𝑡 $s (t) = t^{3} - 8 t$ , þar sem austur telst jákvæð stefna og 𝑡 $t$ er mælt í klukkustundum.

Ákvarðið í hvaða átt lestin hreyfist þegar 𝑠⁡(𝑡)=0. $s (t) = 0 .$
Ákvarðið í hvaða átt lestin hreyfist þegar 𝑎⁡(𝑡)=0. $a (t) = 0 .$
Ákvarðið á hvaða tímabilum ferð lestarinnar minnkar og á hvaða tímabilum hún eykst.

159.

Eftirfarandi graf sýnir staðsetningu 𝑦=𝑠⁡(𝑡) $y = s (t)$ hlutar sem hreyfist eftir beinni línu.

Í kartesísku hnitakerfi er graf falls. Frá upphafspunktinum að (2, 2) er grafið hluti fleygboga og nær hámarki í (1.5, 2.25). Fallgildið helst síðan óbreytt að (5, 2). Þaðan myndar grafið aftur fleygboga, lækkar að lágmarki í (6, 1) og hækkar síðan að (7, 2).

Notið graf staðsetningarfallsins til að ákvarða á hvaða tímabilum hraðinn er jákvæður, neikvæður eða núll.
Skissið graf hraðafallsins.
Notið graf hraðafallsins til að ákvarða á hvaða tímabilum hröðunin er jákvæð, neikvæð eða núll.
Ákvarðið á hvaða tímabilum ferð hlutarins eykst og á hvaða tímabilum hún minnkar.

160.

Kostnaðarfall fyrirtækis sem framleiðir matvinnsluvélar er 𝐶⁡(𝑥)=200+7𝑥+𝑥27, $C (x) = 200 + \frac{7}{x} + \frac{x^{2}}{7},$ mælt í dollurum, þar sem 𝑥 $x$ er fjöldi framleiddra véla.

Ákvarðið jaðarkostnaðarfallið.
Notið jaðarkostnaðarfallið til að áætla kostnaðinn við að framleiða þrettándu matvinnsluvélina.
Finnið raunverulegan kostnað við að framleiða þrettándu matvinnsluvélina.

161.

Tengsl verðsins 𝑝 $p$ , mælds í dollurum, og eftirspurnarinnar 𝑥 $x$ eftir tilteknu stafrænu klukkuútvarpi eru lýst með verð- og eftirspurnarfallinu 𝑝=10−0.001⁢𝑥. $p = 10 - 0.001 x .$

Finnið tekjufallið $R (x) .$
Finnið jaðartekjufallið.
Finnið jaðartekjurnar við $x = 2000$ og $5000 .$

162.

[T] Hagnaður verður til þegar tekjur eru meiri en kostnaður. Gerum ráð fyrir að hagnaðarfall hjólabrettaframleiðanda sé 𝑃⁡(𝑥)=30⁢𝑥−0.3⁢𝑥2−250, $P (x) = 30 x - 0.3 x^{2} - 250,$ þar sem 𝑥 $x$ er fjöldi seldra hjólabretta.

Finnið nákvæman hagnað af sölu þrítugasta hjólabrettisins.
Finnið jaðarhagnaðarfallið og notið það til að áætla hagnaðinn af sölu þrítugasta hjólabrettisins.

163.

[T] Almennt er hagnaðarfallið mismunur tekjufallsins og kostnaðarfallsins: $P (x) = R (x) - C (x) .$

Gerum ráð fyrir að verð- og eftirspurnarfall þráðlausra borvéla sé 𝑝=143−0.03⁢𝑥 $p = 143 - 0.03 x$ og kostnaðarfallið 𝐶⁡(𝑥)=75,000+65⁢𝑥, $C (x) = 75,000 + 65 x,$ þar sem 𝑥 $x$ er fjöldi seldra borvéla, 𝑝 $p$ er söluverð hverrar vélar í dollurum og 𝐶⁡(𝑥) $C (x)$ er kostnaður við að framleiða 𝑥 $x$ vélar.

Finnið jaðarkostnaðarfallið.
Finnið tekjufallið og jaðartekjufallið.
Finnið $R^{'} (1000)$ og $R^{'} (4000) .$ Túlkið niðurstöðurnar.
Finnið hagnaðarfallið og jaðarhagnaðarfallið.
Finnið $P^{'} (1000)$ og $P^{'} (4000) .$ Túlkið niðurstöðurnar.

164.

Lítill bær í Ohio fól tryggingastærðfræðistofu að rannsaka breytingarhraða íbúafjöldans og setja fram líkan af honum. Samkvæmt rannsókninni má lýsa íbúafjöldanum, mældum í þúsundum íbúa, með fallinu 𝑃⁡(𝑡)=−13⁢𝑡3+64⁢𝑡+3000, $P (t) = - \frac{1}{3} t^{3} + 64 t + 3000,$ þar sem 𝑡 $t$ er mælt í árum.

Finnið breytingarhraðafall íbúafjöldafallsins, 𝑃′⁡(𝑡) $P^{'} (t)$ .
Finnið 𝑃′⁡(1),𝑃′⁡(2),𝑃′⁡(3), $P^{'} (1), P^{'} (2), P^{'} (3),$ og 𝑃′⁡(4). $P^{'} (4) .$ Túlkið niðurstöðurnar með hliðsjón af þróun bæjarins.
Finnið 𝑃″⁡(1),𝑃″⁡(2),𝑃″⁡(3), $P^{″} (1), P^{″} (2), P^{″} (3),$ og 𝑃″⁡(4). $P^{″} (4) .$ Túlkið niðurstöðurnar með hliðsjón af þróun íbúafjölda bæjarins.

165.

[T] Bakteríurækt fjölgar samkvæmt fallinu $N (t) = 3000 (1 + \frac{4 t}{t^{2} + 100}),$ þar sem $t$ er mælt í klukkustundum.

Finnið breytingarhraða bakteríufjöldans.
Finnið $N^{'} (0), N^{'} (10), N^{'} (20),$ og $N^{'} (30) .$
Túlkið niðurstöðurnar í (b).
Finnið $N^{″} (0), N^{″} (10), N^{″} (20),$ og $N^{″} (30) .$ Túlkið hvað svörin gefa til kynna um vöxt bakteríustofnsins.

166.

Miðsóknarkraftur hlutar með massa 𝑚 $m$ er 𝐹⁡(𝑟)=𝑚⁢𝑣2𝑟, $F (r) = \frac{m v^{2}}{r},$ þar sem 𝑣 $v$ er snúningshraði og 𝑟 $r$ er fjarlægð frá snúningsmiðju.

Finnið breytingarhraða miðsóknarkrafts með tilliti til fjarlægðar frá snúningsmiðju.
Finnið breytingarhraða miðsóknarkrafts hlutar sem hefur massann 1000 kílógrömm, hraðann 13.89 m/s og er í 200 metra fjarlægð frá snúningsmiðju.

Eftirfarandi spurningar varða íbúafjölda Lundúna (í milljónum) eftir áratugum á 19. öld, eins og fram kemur í töflunni hér á eftir.

Ár frá 1800	Mannfjöldi (milljónir)
1	0.8795
11	1.040
21	1.264
31	1.516
41	1.661
51	2.000
61	2.634
71	3.272
81	3.911
91	4.422

167.

[T]

Notið reiknivél eða tölvuforrit til að finna það línulega fall sem fellur best að gögnunum um íbúafjöldann.
Finnið afleiðu jöfnunnar í a-lið og útskýrið eðlisfræðilega merkingu hennar.
Finnið aðra afleiðu jöfnunnar og útskýrið eðlisfræðilega merkingu hennar.

168.

[T]

Notið reiknivél eða tölvuforrit til að finna þá annars stigs aðfellu sem fellur best að gögnunum.
Finnið afleiðu jöfnunnar og útskýrið eðlisfræðilega merkingu hennar.
Finnið aðra afleiðu jöfnunnar og útskýrið eðlisfræðilega merkingu hennar.

Í eftirfarandi æfingum er fjallað um geimfara á stórri reikistjörnu í annarri vetrarbraut. Til að kanna samsetningu reikistjörnunnar lætur geimfarinn rafskynjara falla niður í djúpa gjá. Á hverri sekúndu sendir skynjarinn upplýsingar um lóðrétta staðsetningu sína miðað við geimfarann. Gögnin um fall skynjarans eru tekin saman í eftirfarandi töflu.

Tími frá því hlutnum var sleppt (s)	Staðsetning (m)
0	0
1	−1
2	−2
3	−5
4	−7
5	−14

169.

[T]

Notið reiknivél eða tölvuforrit til að finna þá annars stigs aðfellu sem fellur best að gögnunum.
Finnið afleiðu staðsetningarfallsins og útskýrið eðlisfræðilega merkingu hennar.
Finnið aðra afleiðu staðsetningarfallsins og útskýrið eðlisfræðilega merkingu hennar.

170.

[T]

Notið reiknivél eða tölvuforrit til að finna bestu þriðja stigs aðfelluna að gögnunum.
Finnið afleiðu staðsetningarfallsins og útskýrið eðlisfræðilega merkingu hennar.
Finnið aðra afleiðu staðsetningarfallsins og útskýrið eðlisfræðilega merkingu hennar.
Notið niðurstöðuna úr c-lið til að útskýra hvers vegna þriðja stigs fall hentar ekki vel í þessu verkefni.

Eftirfarandi verkefni fjalla um Holling-jöfnur af gerð I, II og III. Jöfnurnar lýsa því hvernig stærð rándýrastofns breytist eftir því hve mikið er tiltækt af bráð sem rándýrin geta étið.

171.

[T] Holling-jafna af gerð I er 𝑓⁡(𝑥)=𝑎⁢𝑥, $f (x) = a x,$ þar sem 𝑥 $x$ er magn tiltækrar bráðar og 𝑎>0 $a > 0$ er tíðni þess að rándýrið finni bráð til að éta.

Teiknið graf Holling-jöfnu af gerð I, þegar gefið er $a = 0.5 .$
Finnið fyrstu afleiðu Holling-jöfnunnar af gerð I og túlkið merkingu hennar í samhengi líkansins.
Finnið aðra afleiðu Holling-jöfnunnar af gerð I og túlkið merkingu hennar í samhengi líkansins.
Notið túlkanirnar í b- og c-lið til að útskýra hvers vegna Holling-jafna af gerð I kann að vera óraunhæf.

172.

[T] Holling-jafna af gerð II er 𝑓⁡(𝑥)=𝑎⁢𝑥𝑛+𝑥, $f (x) = \frac{a x}{n + x},$ þar sem 𝑥 $x$ er magn tiltækrar bráðar og 𝑎>0 $a > 0$ er hámarksneysluhraði rándýrsins.

Teiknið graf Holling-jöfnu af gerð II þar sem $a = 0.5$ og $n = 5 .$ Hver er munurinn á Holling-jöfnum af gerð I og II?
Finnið fyrstu afleiðu Holling-jöfnunnar af gerð II og túlkið merkingu hennar í samhengi líkansins.
Sýnið að $f (n) = \frac{1}{2} a$ og túlkið merkingu stikunnar $n .$
Finnið aðra afleiðuna og túlkið merkingu hennar. Hvað gerir Holling-fall af gerð II raunhæfara en Holling-fall af gerð I?

173.

[T] Holling-jafna af gerð III er 𝑓⁡(𝑥)=𝑎⁢𝑥2𝑛2+𝑥2, $f (x) = \frac{a x^{2}}{n^{2} + x^{2}},$ þar sem 𝑥 $x$ er magn tiltækrar bráðar og 𝑎>0 $a > 0$ er hámarksneysluhraði rándýrsins.

Teiknið graf Holling-jöfnunnar af gerð III þar sem $a = 0.5$ og $n = 5 .$ Hver er munurinn á Holling-jöfnum af gerð II og III?
Finnið fyrstu afleiðu Holling-jöfnunnar af gerð III og túlkið merkingu hennar í samhengi líkansins.
Finnið aðra afleiðu og túlkið merkingu hennar. Gagnlegt gæti verið að teikna graf afleiðunnar.
Hvaða öðrum vistfræðilegum fyrirbærum lýsir Holling-fall af gerð III en fall af gerð II?

174.

[T] Eftirfarandi tafla sýnir gögn sem safnað var á sjö árum, frá 1937 til 1943, um stofnstærð snjóþrúguhéra, í þúsundum, og gaupa, í hundruðum. Snjóþrúguhéri er helsta bráð gaupunnar.

Stofnstærð snjóþrúguhéra (í þúsundum)	Stofnstærð gaupa (hundruð)
20	10
55	15
65	55
95	60

Setjið gagnapunktana á graf og ákvarðið hvaða Holling-fall fellur best að gögnunum.
Notið merkingu stikanna $a$ og $n,$ og graf gagnanna til að ákvarða gildi stikanna. Athugið að $n$ er það gildi bráðastofnsins sem samsvarar helmingi hámarksgildis rándýrastofnsins.
Teiknið Holling-föllin af gerð I, II og III inn á graf gagnanna. Var niðurstaða a-liðar rétt?