33 Afleiður

3.3 Deildunarreglur

Námsmarkmið

3.3.1 Setja fram fastaregluna, regluna um fastamargfeldi og veldisregluna.
3.3.2 Beita summu- og mismunareglunum til að taka saman afleiður.
3.3.3 Nota margfeldisregluna til að finna afleiðu af margfeldi falla.
3.3.4 Nota deiliregluna til að finna afleiðu af kvóta falla.
3.3.5 Útvíkka veldisregluna þannig að hún nái til falla með neikvæða veldisvísa.
3.3.6 Beita deildunarreglunum saman til að finna afleiðu margliðufalls eða ræðs falls.

Það getur verið tímafrekt og jafnvel nokkuð krefjandi að finna afleiðu út frá skilgreiningu hennar. Við fundum til dæmis áður $\frac{d}{d x} (\sqrt{x}) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ með því að margfalda stæðu með samokastæðu áður en markgildið var reiknað. Svipuð aðferð mætti nota til að reikna $\frac{d}{d x} (\sqrt[3]{x})$ út frá skilgreiningunni, en hún yrði flóknari. Í þessum undirkafla leiðum við út deildunarreglur sem gera slíka útreikninga óþarfa. Við byrjum á grunnreglunum.

Grunnreglurnar

Föllin $f (x) = c$ og $g (x) = x^{n}$ , þar sem $n$ er jákvæð heiltala, eru byggingareiningar allra margliða og ræðra falla. Til þess að deilda margliður og ræð föll á skilvirkan hátt án þess að nota markgildisskilgreiningu afleiðunnar þurfum við fyrst að leiða út deildunarreglur fyrir þessi grunnföll.

Fastareglan

Fyrst notum við markgildisskilgreininguna til að finna afleiðu fastafallsins $f (x) = c .$ Þar sem bæði $f (x) = c$ og $f (x + h) = c,$ fæst eftirfarandi niðurstaða:

\begin{matrix} f^{'} (x) & = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} \\ = lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} \\ = lim_{h \to 0} \frac{0}{h} \\ = lim_{h \to 0} 0 = 0. \end{matrix}

Reglan um deildun fastafalla nefnist fastareglan. Samkvæmt henni er afleiða fastafalls núll. Graf fastafalls er lárétt lína og hallatala þess, eða breytingarhraði, er því $0 .$ Reglan er sett formlega fram í eftirfarandi setningu.

Dæmi 3.17

Beiting fastareglunnar

Finnið afleiðu $f (x) = 8 .$

Lausn

Hér er reglunni einfaldlega beitt í einu skrefi:

f^{'} (x) = 0.

Veldisreglan

Við höfum sýnt að

\frac{d}{d x} (x^{2}) = 2 x og \frac{d}{d x} (x^{1 / 2}) = \frac{1}{2} x^{− 1 / 2} .

Nú má greina mynstur í afleiðum á forminu $\frac{d}{d x} (x^{n}) .$ Við höldum áfram að leiða út deildunarreglur fyrir veldisföllin $f (x) = x^{n}$ þar sem $n$ er jákvæð heiltala. Áður en almenna reglan er sett fram og sönnuð skoðum við jákvæð heiltöluveldi og byrjum á dæminu $\frac{d}{d x} (x^{3}) .$ Aðferðin í dæminu er í meginatriðum sú sama og notuð er í almennu sönnuninni.

Dæmi 3.18

Deildun x 3

Finnið $\frac{d}{d x} (x^{3}) .$

Lausn

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (x^{3}) & = lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{3} - x^{3}}{h} \\ = lim_{h \to 0} \frac{x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - x^{3}}{h} & \begin{matrix} Athugið að fyrsti liðurinn í liðun \\ {(x + h)}^{3} er x^{3} og annar liðurinn er 3 x^{2} h . Allir \\ aðrir liðir innihalda veldi h með veldisvísi sem er 2 eða \\ hærri. \end{matrix} \\ = lim_{h \to 0} \frac{3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}}{h} & \begin{matrix} Í þessu skrefi hafa x^{3} -liðirnir verið styttir út, \\ þannig að aðeins eru eftir liðir sem innihalda h . \end{matrix} \\ = lim_{h \to 0} \frac{h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{h} & Sameiginlegi þátturinn sem tekinn er út fyrir sviga er h . \\ = lim_{h \to 0} (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}) & \begin{matrix} Sameiginlegi þátturinn er h, og þegar hann hefur verið styttur út er \\ eini liðurinn sem inniheldur ekki h er 3 x^{2} . \end{matrix} \\ = 3 x^{2} & Látum h stefna á 0. \end{matrix}

Sama aðferð má nota til að finna afleiðu falls á almenna forminu $f (x) = x^{n}$ . Þótt varasamt sé að draga almenna ályktun af einu dæmi gefur afleiða $f (x) = x^{3},$ vísbendingu um regluna: Veldisvísir $x$ verður stuðull við $x^{2}$ í afleiðunni og veldisvísir $x$ lækkar um 1. Í eftirfarandi setningu kemur fram að veldisreglan gildi um öll jákvæð heiltöluveldi $x .$ Síðar verður reglan útvíkkuð fyrst til neikvæðra heiltöluvelda og síðan til ræðra velda $x$ og loks til almennra velda $x .$ Reglan gildir þó ekki þegar fasti er hafinn í breytilegt veldi, eins og í $f (x) = 3^{x} .$

Sönnun

Ef $f (x) = x^{n}$ , þar sem $n$ er jákvæð heiltala, þá gildir

f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{n} - x^{n}}{h} .

Þar sem {(x + h)}^{n} = x^{n} + n x^{n - 1} h + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} h^{2} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) x^{n - 3} h^{3} + … + n x h^{n - 1} + h^{n},

sjáum við að

{(x + h)}^{n} - x^{n} = n x^{n - 1} h + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} h^{2} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) x^{n - 3} h^{3} + … + n x h^{n - 1} + h^{n} .

Því næst deilum við báðum hliðum með h:

\frac{{(x + h)}^{n} - x^{n}}{h} = \frac{n x^{n - 1} h + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} h^{2} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) x^{n - 3} h^{3} + … + n x h^{n - 1} + h^{n}}{h} .

Því gildir

\frac{{(x + h)}^{n} - x^{n}}{h} = n x^{n - 1} + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} h + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) x^{n - 3} h^{2} + … + n x h^{n - 2} + h^{n - 1} .

Að lokum fæst

\begin{matrix} f^{'} (x) & = lim_{h \to 0} (n x^{n - 1} + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} h + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) x^{n - 3} h^{2} + … + n x h^{n - 2} + h^{n - 1}) \\ = n x^{n - 1} . \end{matrix}

□

Dæmi 3.19

Beiting veldisreglunnar

Finnið afleiðu fallsins $f (x) = x^{10}$ með því að beita veldisreglunni.

Lausn

Þegar 𝑛=10, $n = 10,$ er sett í veldisregluna fæst

f' (x) = 10 x^{10 - 1} = 10 x^{9} .

Summureglan, mismunareglan og reglan um fastamargfeldi

Næst leiðum við út reglur um afleiður summa, mismuna og fastamargfelda falla. Reglurnar auðvelda deildun þegar föll eru lögð saman, þau dregin hvort frá öðru eða margfölduð með fasta. Þær eru teknar saman í eftirfarandi setningu.

Setning 3.4

Summu-, mismuna- og fastamargfeldisreglur

Látum 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ og 𝑔⁡(𝑥) $g (x)$ vera deildanleg föll og 𝑘 $k$ fasta. Þá gilda eftirfarandi jöfnur.

Summuregla. Afleiða summu fallanna $f$ og $g$ er jöfn summu afleiðna $f$ og $g .$

\frac{d}{d x} (f (x) + g (x)) = \frac{d}{d x} (f (x)) + \frac{d}{d x} (g (x));

það er,

fyrir j (x) = f (x) + g (x), j^{'} (x) = f^{'} (x) + g^{'} (x) .

Mismunaregla. Afleiða mismunar fallanna f og g er jöfn mismuni afleiðna f og $g :$

\frac{d}{d x} (f (x) - g (x)) = \frac{d}{d x} (f (x)) - \frac{d}{d x} (g (x));

það er,

fyrir j (x) = f (x) - g (x), j^{'} (x) = f^{'} (x) - g^{'} (x) .

Regla um fastamargfeldi. Ef fastinn k er margfaldaður með fallinu f er afleiða margfeldisins jöfn fastanum sinnum afleiðu fallsins:

\frac{d}{d x} (k f (x)) = k \frac{d}{d x} (f (x));

það er,

fyrir j (x) = k f (x), j^{'} (x) = k f^{'} (x) .

Sönnun

Hér færum við aðeins sönnun summureglunnar. Hinar reglurnar eru sannaðar með svipuðum hætti.

Látum $f (x)$ og $g (x),$ vera deildanleg föll og setjum $j (x) = f (x) + g (x) .$ Samkvæmt markgildisskilgreiningu afleiðunnar fæst

j^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{j (x + h) - j (x)}{h} .

Þegar $j (x + h) = f (x + h) + g (x + h)$ og $j (x) = f (x) + g (x),$ eru sett inn fæst

j^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{(f (x + h) + g (x + h)) - (f (x) + g (x))}{h} .

Eftir umröðun og flokkun liðanna fæst

j^{'} (x) = lim_{h \to 0} (\frac{f (x + h) - f (x)}{h} + \frac{g (x + h) - g (x)}{h}) .

Með summureglu markgilda og skilgreiningu afleiðunnar fæst

j^{'} (x) = lim_{h \to 0} (\frac{f (x + h) - f (x)}{h}) + lim_{h \to 0} (\frac{g (x + h) - g (x)}{h}) = f^{'} (x) + g^{'} (x) .

□

Dæmi 3.20

Beiting reglunnar um fastamargfeldi

Finnið afleiðu $g (x) = 3 x^{2}$ og berið hana saman við afleiðu $f (x) = x^{2} .$

Lausn

Við beitum veldisreglunni beint:

g^{'} (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) = 3 (2 x) = 6 x .

Þar sem afleiða 𝑓⁡(𝑥)=𝑥2 $f (x) = x^{2}$ er 𝑓′⁡(𝑥)=2⁢𝑥, $f^{'} (x) = 2 x,$ er afleiða 𝑔⁡(𝑥) $g (x)$ þreföld afleiða 𝑓⁡(𝑥). $f (x) .$ Sambandið er sýnt á mynd 3.18.

Tvö hnitakerfi eru sýnd. Í því fyrra eru gröf g(x) = 3x² og f(x) = x². Í því síðara eru gröf g’(x) = 6x og f’(x) = 2x. Gildi g(x) vaxa þrisvar sinnum hraðar en gildi f(x), og hið sama gildir um g’(x) og f’(x). — **Mynd 3.18.** Afleiða g ⁡ ( x ) er 3 sinnum afleiða f ⁡ ( x ) .

Dæmi 3.21

Beiting grunnreglna um afleiður

Finnið afleiðu fallsins 𝑓⁡(𝑥)=2⁢𝑥5+7. $f (x) = 2 x^{5} + 7 .$

Lausn

Fyrst beitum við summureglunni, síðan reglunni um fastamargfeldi og loks veldisreglunni. Leibniz-táknun er notuð í allri lausninni til að gera röð aðgerðanna skýra:

\begin{matrix} f^{'} (x) & = \frac{d}{d x} (2 x^{5} + 7) \\ = \frac{d}{d x} (2 x^{5}) + \frac{d}{d x} (7) & Beitið summureglunni. \\ = 2 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (7) & Beitið reglunni um fastamargfeldi. \\ = 2 (5 x^{4}) + 0 & Beitið veldisreglunni og reglunni um fasta. \\ = 10 x^{4} . & Einfaldið. \end{matrix}

Dæmi 3.22

Ákvörðun jöfnu snertils

Finnið jöfnu snertils við graf 𝑓⁡(𝑥)=𝑥2−4⁢𝑥+6 $f (x) = x^{2} - 4 x + 6$ þegar 𝑥=1. $x = 1 .$

Lausn

Til þess að ákvarða jöfnu snertilsins þarf punkt og hallatölu. Punkturinn fæst með því að reikna

f (1) = 1^{2} - 4 (1) + 6 = 3 .

Þannig fæst punkturinn (1,3). $(1, 3) .$ Hallatala snertilsins þegar x = 1 er 𝑓′⁡(1), $f^{'} (1),$ og því þarf fyrst að finna 𝑓′⁡(𝑥). $f^{'} (x) .$ Samkvæmt skilgreiningu afleiðu fæst

f^{'} (x) = 2 x - 4

Því er hallatala snertilsins 𝑓′⁡(1)=−2. $f^{'} (1) = −2 .$ Punkthallaformið gefur þá eftirfarandi jöfnu snertilsins:

y - 3 = −2 (x - 1) .

Þegar jafnan er sett á hallaskurðarform fæst

y = −2 x + 5 .

Margfeldisreglan

Að grunnreglunum loknum snúum við okkur að flóknari deildunarreglum. Sú fyrsta fjallar um afleiðu margfeldis tveggja falla. Af summu- og mismunareglunum mætti ætla að afleiða margfeldis væri margfeldi afleiðnanna, en svo er ekki. Skoðum fallið $f (x) = x^{2},$ en afleiða þess er $f^{'} (x) = 2 x$ , ekki $\frac{d}{d x} (x) \cdot \frac{d}{d x} (x) = 1 \cdot 1 = 1 .$

Sönnun

Gerum ráð fyrir að $f (x)$ og $g (x)$ séu deildanleg föll. Í sönnuninni nýtum við að deildanleiki $g (x)$ hefur samfelldni $g (x)$ í för með sér. Þar af leiðandi gildir að $lim_{h \to 0} g (x + h) = g (x) .$

Þegar markgildisskilgreiningu afleiðunnar er beitt á $j (x) = f (x) g (x),$ fæst

j^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) g (x + h) - f (x) g (x)}{h} .

Með því að leggja við og draga frá $f (x) g (x + h)$ í teljaranum fæst

j^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) g (x + h) - f (x) g (x + h) + f (x) g (x + h) - f (x) g (x)}{h} .

Þegar kvótanum hefur verið skipt upp og summureglu markgilda beitt fæst

j^{'} (x) = lim_{h \to 0} (\frac{f (x + h) g (x + h) - f (x) g (x + h)}{h}) + lim_{h \to 0} (\frac{f (x) g (x + h) - f (x) g (x)}{h}) .

Eftir umröðun fæst

j^{'} (x) = lim_{h \to 0} (\frac{f (x + h) - f (x)}{h} \cdot g (x + h)) + lim_{h \to 0} (\frac{g (x + h) - g (x)}{h} \cdot f (x)) .

Með samfelldni $g (x),$ skilgreiningum afleiðna $f (x)$ og $g (x),$ og reiknireglum markgilda fæst margfeldisreglan:

j^{'} (x) = f^{'} (x) g (x) + g^{'} (x) f (x) .

□

Dæmi 3.23

Beiting margfeldisreglunnar á föll í tilteknum punkti

Fyrir fallið $j (x) = f (x) g (x),$ skal nota margfeldisregluna til að finna $j^{'} (2)$ þegar $f (2) = 3, f^{'} (2) = −4, g (2) = 1,$ og $g^{'} (2) = 6 .$

Lausn

Þar sem $j (x) = f (x) g (x), j^{'} (x) = f^{'} (x) g (x) + g^{'} (x) f (x),$ og því

j^{'} (2) = f^{'} (2) g (2) + g^{'} (2) f (2) = (−4) (1) + (6) (3) = 14 .

Dæmi 3.24

Beiting margfeldisreglunnar á margfeldi tvíliða

Fyrir $j (x) = (x^{2} + 2) (3 x^{3} - 5 x),$ finnið $j^{'} (x)$ með því að beita margfeldisreglunni. Sannreynið niðurstöðuna með því að finna fyrst margfeldið og deilda það síðan.

Lausn

Ef 𝑓⁡(𝑥)=𝑥2+2 $f (x) = x^{2} + 2$ og 𝑔⁡(𝑥)=3⁢𝑥3−5⁢𝑥, $g (x) = 3 x^{3} - 5 x,$ þá er 𝑓′⁡(𝑥)=2⁢𝑥 $f^{'} (x) = 2 x$ og 𝑔′⁡(𝑥)=9⁢𝑥2−5. $g^{'} (x) = 9 x^{2} - 5 .$ Því fæst

j^{'} (x) = f^{'} (x) g (x) + g^{'} (x) f (x) = (2 x) (3 x^{3} - 5 x) + (9 x^{2} - 5) (x^{2} + 2) .

Eftir einföldun fæst

j^{'} (x) = 15 x^{4} + 3 x^{2} - 10 .

Til að sannreyna þetta sjáum við að $j (x) = 3 x^{5} + x^{3} - 10 x$ og þar af leiðandi $j^{'} (x) = 15 x^{4} + 3 x^{2} - 10 .$

Deilireglan

Að lokinni umfjöllun um margfeldisregluna skoðum við deildun kvóta falla. Afleiða kvóta er ekki kvóti afleiðnanna. Samkvæmt eftirfarandi setningu er hún mismunur tveggja margfelda: afleiða teljarans sinnum nefnarinn að frádreginni afleiðu nefnarans sinnum teljarinn. Mismuninum er síðan deilt með öðru veldi nefnarans. Til þess að sjá hvers vegna ekki má einfaldlega taka kvóta afleiðnanna skulum við hafa í huga að

\frac{d}{d x} (x^{2}) = 2 x, ekki \frac{\frac{d}{d x} (x^{3})}{\frac{d}{d x} (x)} = \frac{3 x^{2}}{1} = 3 x^{2} .

Sönnun deilireglunnar svipar mjög til sönnunar margfeldisreglunnar og er því sleppt. Í næsta dæmi beitum við reglunni til að finna afleiðu.

Dæmi 3.25

Beiting deilireglunnar

Notið deiliregluna til að finna afleiðu $k (x) = \frac{5 x^{2}}{4 x + 3} .$

Lausn

Látum 𝑓⁡(𝑥)=5⁢𝑥2 $f (x) = 5 x^{2}$ og 𝑔⁡(𝑥)=4⁢𝑥+3. $g (x) = 4 x + 3 .$ Þá er 𝑓′⁡(𝑥)=10⁢𝑥 $f^{'} (x) = 10 x$ og 𝑔′⁡(𝑥)=4. $g^{'} (x) = 4 .$ Þegar þetta er sett inn í deiliregluna fæst

k^{'} (x) = \frac{f^{'} (x) g (x) - g^{'} (x) f (x)}{{(g (x))}^{2}} = \frac{10 x (4 x + 3) - 4 (5 x^{2})}{{(4 x + 3)}^{2}} .

Með einföldun fæst

k^{'} (x) = \frac{20 x^{2} + 30 x}{{(4 x + 3)}^{2}} .

Nú er unnt að nota deiliregluna til að útvíkka veldisregluna og finna afleiður falla á forminu $x^{k}$ þar sem $k$ er neikvæð heiltala.

Sönnun

Ef $k$ er neikvæð heiltala má setja $n = − k,$ þannig að n sé jákvæð heiltala og $k = − n .$ Fyrir sérhverja jákvæða heiltölu $n, x^{− n} = \frac{1}{x^{n}},$ má því beita deilireglunni með $f (x) = 1$ og $g (x) = x^{n} .$ Þá er $f^{'} (x) = 0$ og $g^{'} (x) = n x^{n - 1} .$ svo að

\frac{d}{d x} (x^{− n}) = \frac{0 (x^{n}) - 1 (n x^{n - 1})}{{(x^{n})}^{2}} .

Eftir einföldun fæst

\frac{d}{d x} (x^{− n}) = \frac{− n x^{n - 1}}{x^{2 n}} = − n x^{(n - 1) - 2 n} = − n x^{− n - 1} .

Þar sem $k = − n,$ fæst að lokum með innsetningu

\frac{d}{d x} (x^{k}) = k x^{k - 1} .

□

Dæmi 3.26

Notkun útvíkkuðu veldisreglunnar

Finnið $\frac{d}{d x} (x^{−4}) .$

Lausn

Þegar 𝑘=−4, $k = −4,$ er sett í útvíkkuðu veldisregluna fæst

\frac{d}{d x} (x^{−4}) = −4 x^{−4 - 1} = −4 x^{−5} .

Dæmi 3.27

Notkun útvíkkuðu veldisreglunnar og reglunnar um fastamargfeldi

Notið útvíkkuðu veldisregluna og regluna um fastamargfeldi til að finna afleiðu $f (x) = \frac{6}{x^{2}} .$

Lausn

Nota mætti deiliregluna til að finna afleiðuna, en mun einfaldara er að deilda fallið eftir að það hefur verið umritað sem $f (x) = 6 x^{−2} .$

\begin{matrix} f^{'} (x) & = \frac{d}{d x} (\frac{6}{x^{2}}) = \frac{d}{d x} (6 x^{−2}) & Umritið \frac{6}{x^{2}} sem 6 x^{−2} . \\ = 6 \frac{d}{d x} (x^{−2}) & Beitið reglunni um fastamargfeldi. \\ = 6 (−2 x^{−3}) & Notið útvíkkuðu veldisregluna til að deilda x^{−2} . \\ = −12 x^{−3} & Einfaldið. \end{matrix}

Samsetning deildunarreglna

Í dæmum þessa undirkafla hefur yfirleitt þurft að beita fleiri en einni deildunarreglu. Með því að nota reglurnar saman má nú finna afleiður allra margliðufalla og ræðra falla. Síðar verða teknar fyrir enn flóknari samsetningar reglna. Þegar beita þarf mörgum reglum er gagnlegt að nota þær í öfugri röð við þá sem notuð væri til að reikna gildi fallsins.

Dæmi 3.28

Samsetning deildunarreglna

Fyrir 𝑘⁡(𝑥)=3⁢ℎ⁡(𝑥)+𝑥2⁢𝑔⁡(𝑥), $k (x) = 3 h (x) + x^{2} g (x),$ finnið 𝑘′⁡(𝑥). $k^{'} (x) .$

Lausn

Til að finna þessa afleiðu þarf að nota summuregluna, regluna um fastamargfeldi og margfeldisregluna.

\begin{matrix} k^{'} (x) & = \frac{d}{d x} (3 h (x) + x^{2} g (x)) = \frac{d}{d x} (3 h (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} g (x)) & Beitið summureglunni. \\ = 3 \frac{d}{d x} (h (x)) + (\frac{d}{d x} (x^{2}) g (x) + \frac{d}{d x} (g (x)) x^{2}) & \begin{matrix} Beitið reglunni um fastamargfeldi til að \\ deilda 3 h (x) og margfeldis \\ reglunni til að deilda x^{2} g (x) . \end{matrix} \\ = 3 h^{'} (x) + 2 x g (x) + x^{2} g^{'} (x) \end{matrix}

Dæmi 3.29

Útvíkkun margfeldisreglunnar

Ef $k (x) = f (x) g (x) h (x),$ skal tjá $k^{'} (x)$ með $f (x), g (x), h (x),$ og afleiðum þeirra.

Lausn

Líta má á 𝑘⁡(𝑥) $k (x)$ sem margfeldi fallsins 𝑓⁡(𝑥)⁢𝑔⁡(𝑥) $f (x) g (x)$ og fallsins ℎ⁡(𝑥). $h (x) .$ Með öðrum orðum er 𝑘⁡(𝑥)=(𝑓⁡(𝑥)⁢𝑔⁡(𝑥))·ℎ⁡(𝑥). $k (x) = (f (x) g (x)) \cdot h (x) .$ Þá fæst

\begin{matrix} k^{'} (x) & = \frac{d}{d x} (f (x) g (x)) \cdot h (x) + \frac{d}{d x} (h (x)) \cdot (f (x) g (x)) & \begin{matrix} Beitið margfeldisreglunni á margfeldið \\ af f (x) g (x) og h (x) . \end{matrix} \\ = (f^{'} (x) g (x) + g^{'} (x) f (x)) h (x) + h^{'} (x) f (x) g (x) & Beitið margfeldisreglunni á f (x) g (x) . \\ = f^{'} (x) g (x) h (x) + f (x) g^{'} (x) h (x) + f (x) g (x) h^{'} (x). & Einfaldið. \end{matrix}

Dæmi 3.30

Deilireglunni og margfeldisreglunni beitt saman

Fyrir ℎ⁡(𝑥)=2⁢𝑥3⁢𝑘⁡(𝑥)₃⁢𝑥+2, $h (x) = \frac{2 x^{3} k (x)}{3 x + 2},$ finnið ℎ′⁡(𝑥). $h^{'} (x) .$

Lausn

Þessi aðferð er dæmigerð við deildun ræðra falla.

\begin{aligned} h^{'} (x) & = \frac{\frac{d}{d x} (2 x^{3} k (x)) \cdot (3 x + 2) - \frac{d}{d x} (3 x + 2) \cdot (2 x^{3} k (x))}{{(3 x + 2)}^{2}} & Beitið deilireglunni. \\ = \frac{(6 x^{2} k (x) + k^{'} (x) \cdot 2 x^{3}) (3 x + 2) - 3 (2 x^{3} k (x))}{{(3 x + 2)}^{2}} & \begin{array}{l} Beitið margfeldisreglunni til að finna \\ \frac{d}{d x} (2 x^{3} k (x)) . Notið \frac{d}{d x} (3 x + 2) = 3 . \end{array} \\ = \frac{−6 x^{3} k (x) + 18 x^{3} k (x) + 12 x^{2} k (x) + 6 x^{4} k^{'} (x) + 4 x^{3} k^{'} (x)}{{(3 x + 2)}^{2}} & Einfaldið. \\ = \frac{12 k (x) (x^{3} + x^{2}) + 2 k' (x) (3 x^{4} + 2 x^{3})}{{(3 x + 2)}^{2}} \end{aligned}

Dæmi 3.31

Ákvörðun láréttra snertipunkta

Ákvarðið þau gildi 𝑥 $x$ þar sem 𝑓⁡(𝑥)=𝑥3−7⁢𝑥2+8⁢𝑥+1 $f (x) = x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 1$ hefur láréttan snertil.

Lausn

Til að finna þau gildi 𝑥 $x$ þar sem 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ hefur láréttan snertil þarf að leysa 𝑓′⁡(𝑥)=0. $f^{'} (x) = 0 .$ Þar sem

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 14 x + 8 = (3 x - 2) (x - 4),

þarf að leysa (3⁢𝑥−2)⁢(𝑥−4)=0. $(3 x - 2) (x - 4) = 0 .$ Rætur jöfnunnar eru 𝑥=23 $x = \frac{2}{3}$ og 𝑥=4 $x = 4$ . Graf fallsins hefur því lárétta snertla þar, eins og sjá má á eftirfarandi mynd.

Graf fallsins f(x) = x³ − 7x² + 8x + 1 er sýnt. Láréttir snertlar eru við x = 2/3 og x = 4. — **Mynd 3.19.** Þetta fall hefur lárétta snertla þegar x = 2/3 og x = 4.

Dæmi 3.32

Ákvörðun hraða

S 𝑡 $t$ aða hlutar á hnitási við tímann t er gefin með 𝑠⁡(𝑡)=𝑡𝑡2+1. $s (t) = \frac{t}{t^{2} + 1} .$ Hver er upphafshraði hans?

Lausn

Upphafshraðinn er 𝑣⁡(0)=𝑠′⁡(0), $v (0) = s^{'} (0),$ . Fyrst er því fundið 𝑠′⁡(𝑡) $s^{'} (t)$ með deilireglunni:

s^{'} (t) = \frac{1 (t^{2} + 1) - 2 t (t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}} = \frac{1 - t^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}} .

Þegar t = 0 er sett inn fæst 𝑣⁡(0)=1. $v (0) = 1 .$

Nemendaverkefni

Áhorfendastúkur í Formúlu 1

Spennandi getur verið að fylgjast með Formúlu 1-kappakstri og hann laðar að sér fjölda áhorfenda. Hönnuðir Formúlu 1-brauta þurfa að tryggja að nægilegt rými sé fyrir áhorfendastúkur umhverfis brautina. Kappakstur getur þó verið hættulegur og öryggi áhorfenda hefur forgang. Stúkurnar verða því að vera þannig staðsettar að áhorfendum stafi ekki hætta af því að ökumaður missi stjórn á bíl sínum (mynd 3.20).

Mynd 3.20. Áhorfendastúka við beinan kafla Circuit de Barcelona-Catalunya-kappakstursbrautarinnar, á stað þar sem áhorfendum stafar ekki hætta.

**********

Öryggi skiptir sérstaklega miklu í beygjum. Ef ökumaður hægir ekki nægilega á áður en hann ekur inn í beygju getur bíllinn runnið út af kappakstursbrautinni. Oftast verður akstursferillinn þá aðeins víðari og hraðinn minnkar. Missi ökumaður hins vegar alla stjórn getur bíllinn þotið út af brautinni eftir snertli við brautarferilinn.

Hugsum okkur að verið sé að hanna nýja Formúlu 1-braut. Lýsa má einum hluta hennar með fallinu 𝑓⁡(𝑥)=𝑥3+3⁢𝑥2+𝑥 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + x$ (mynd 3.21). Samkvæmt núverandi áætlun verða áhorfendastúkur reistar meðfram fyrsta beina kaflanum og við hluta fyrstu beygjunnar. Framhorni einnar stúkunnar er ætlaður staður í punktinum (−1.9,2.8). $(−1.9, 2.8) .$ Ákvarða þarf hvort áhorfendum stafi hætta af þessari staðsetningu ef ökumaður missir stjórn á bílnum.

Mynd 3.21. (a) Lýsa má einum hluta kappakstursbrautarinnar með fallinu f ⁡ ( x ) = x³ + 3 ⁢ x² + x . (b) Framhornið á áhorfendastúkunni er í punktinum ( −1.9 , 2.8 ) .

Eðlisfræðingar hafa komist að því að mestar líkur séu á að ökumenn missi stjórn á bílum sínum þegar þeir aka inn í beygju, í þeim punkti þar sem hallatala snertilsins er 1. Finnið (𝑥,𝑦) $(x, y)$ -hnit þessa punkts við beygjuna.
Finnið jöfnu snertils við ferilinn í þessum punkti.
Finnið x-hnit punktsins þar sem snertillinn sker línuna 𝑦=2.8. $y = 2.8 .$ til að ákvarða hvort áhorfendurnir séu í hættu. Er punkturinn nægilega langt hægra megin við áhorfendastúkuna til að öryggi þeirra sé tryggt eða eru þeir í hættu?
Hvað gerist ef ökumaður missir stjórn á bílnum fyrr en eðlisfræðingarnir spá? Gerum ráð fyrir að það gerist í punktinum (−2.5,0.625). $(−2.5, 0.625) .$ Hver er hallatala snertilsins í þeim punkti?
Eru áhorfendurnir óhultir ef ökumaður missir stjórn á bílnum eins og lýst er í 4. lið?
Er óhætt að halda núverandi hönnun stúkunnar eða þarf að færa hana?

Æfingar úr kafla 3.3

Í eftirfarandi æfingum finnið $f^{'} (x)$ fyrir hvert fall.

106.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥7+10 $f (x) = x^{7} + 10$

107.

𝑓⁡(𝑥)=5⁢𝑥3−𝑥+1 $f (x) = 5 x^{3} - x + 1$

108.

𝑓⁡(𝑥)=4⁢𝑥2−7⁢𝑥 $f (x) = 4 x^{2} - 7 x$

109.

𝑓⁡(𝑥)=8⁢𝑥4+9⁢𝑥2−1 $f (x) = 8 x^{4} + 9 x^{2} - 1$

110.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥4+2𝑥 $f (x) = x^{4} + \frac{2}{x}$

111.

𝑓⁡(𝑥)=3⁢𝑥⁢(18⁢𝑥4+13𝑥+1) $f (x) = 3 x (18 x^{4} + \frac{13}{x + 1})$

112.

𝑓⁡(𝑥)=(𝑥+2)⁢(2⁢𝑥2−3) $f (x) = (x + 2) (2 x^{2} - 3)$

113.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥2⁢(2𝑥2+5𝑥3) $f (x) = x^{2} (\frac{2}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}})$

114.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥3+2⁢𝑥2−43 $f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4}{3}$

115.

𝑓⁡(𝑥)=4⁢𝑥3−2⁢𝑥+1𝑥2 $f (x) = \frac{4 x^{3} - 2 x + 1}{x^{2}}$

116.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥2+4𝑥2−4 $f (x) = \frac{x^{2} + 4}{x^{2} - 4}$

117.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥+9𝑥2−7⁢𝑥+1 $f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 7 x + 1}$

Í eftirfarandi æfingum finnið jöfnu snertilsins $T (x)$ við graf gefna fallsins í tilgreinda punktinum. Notið grafreikni til að teikna graf fallsins og snertilinn.

118.

[T] $y = 3 x^{2} + 4 x + 1$ við $(0, 1)$

119.

[T] $y = \frac{2}{x^{2}} + 1$ í $(1, 3)$

120.

[T] $y = \frac{2 x}{x - 1}$ við $(−1, 1)$

121.

[T] $y = \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}$ við $(1, −1)$

Í eftirfarandi æfingum skal gera ráð fyrir að $f (x)$ og $g (x)$ séu deildanleg fyrir öll $x .$ Finnið afleiðu hvers falls $h (x) .$

122.

ℎ⁡(𝑥)=4⁢𝑓⁡(𝑥)+𝑔⁡(𝑥)₇ $h (x) = 4 f (x) + \frac{g (x)}{7}$

123.

ℎ⁡(𝑥)=𝑥3⁢𝑓⁡(𝑥) $h (x) = x^{3} f (x)$

124.

ℎ⁡(𝑥)=𝑓⁡(𝑥)⁢𝑔⁡(𝑥)₂ $h (x) = \frac{f (x) g (x)}{2}$

125.

ℎ⁡(𝑥)=3⁢𝑓⁡(𝑥)𝑔⁡(𝑥)+2 $h (x) = \frac{3 f (x)}{g (x) + 2}$

Í eftirfarandi æfingum skal gera ráð fyrir að $f (x)$ og $g (x)$ séu deildanleg föll með gildin sem gefin eru í töflunni. Notið töfluna til að reikna afleiðurnar.

𝑥 x	1 1	2 2	3 3	4 4
𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) f ⁡ ( x )	3 3	5 5	− 2 −2	0 0
𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) g ⁡ ( x )	2 2	3 3	− 4 −4	6 6
𝑓 ′ ⁡ ( 𝑥 ) f ′ ⁡ ( x )	− 1 −1	7 7	8 8	− 3 −3
𝑔 ′ ⁡ ( 𝑥 ) g ′ ⁡ ( x )	4 4	1 1	2 2	9 9

126.

Finnið ℎ′⁡(1) $h^{'} (1)$ ef ℎ⁡(𝑥)=𝑥⁢𝑓⁡(𝑥)+4⁢𝑔⁡(𝑥). $h (x) = x f (x) + 4 g (x) .$

127.

Finnið $h^{'} (2)$ ef $h (x) = \frac{f (x)}{g (x)} .$

128.

Finnið ℎ′⁡(3) $h^{'} (3)$ ef ℎ⁡(𝑥)=2⁢𝑥+𝑓⁡(𝑥)⁢𝑔⁡(𝑥). $h (x) = 2 x + f (x) g (x) .$

129.

Finnið ℎ′⁡(4) $h^{'} (4)$ ef ℎ⁡(𝑥)=1𝑥+𝑔⁡(𝑥)𝑓⁡(𝑥). $h (x) = \frac{1}{x} + \frac{g (x)}{f (x)} .$

Notið eftirfarandi mynd til að finna tilgreindar afleiður í æfingunum, ef þær eru til.

Gröf tveggja falla eru sýnd: f(x) og g(x). Fallið f(x) hefst í punktinum (−1, 5) og minnkar línulega að punktinum (3, 1), en þaðan vex það línulega að punktinum (5, 3). Fallið g(x) hefst í upphafspunktinum, vex línulega að punktinum (2.5, 2.5) og helst síðan fast í gildinu y = 2.5.

130.

Látum $h (x) = f (x) + g (x) .$ Finnið

ℎ′⁡(1), $h^{'} (1),$
$h^{'} (3),$ og
ℎ′⁡(4). $h^{'} (4) .$

131.

Látum $h (x) = f (x) g (x) .$ Finnið

ℎ′⁡(1), $h^{'} (1),$
$h^{'} (3),$ og
ℎ′⁡(4). $h^{'} (4) .$

132.

Látum $h (x) = \frac{f (x)}{g (x)} .$ Finnið

ℎ′⁡(1), $h^{'} (1),$
$h^{'} (3),$ og
ℎ′⁡(4). $h^{'} (4) .$

Í eftirfarandi æfingum,

reiknið út $f^{'} (a),$ og
teiknið graf fallsins $f (x)$ og snertil þess í punktinum $x = a .$

133.

[T] 𝑓⁡(𝑥)=2⁢𝑥3+3⁢𝑥−𝑥2,𝑎=2 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x - x^{2}, a = 2$

134.

[T] 𝑓⁡(𝑥)=1𝑥−𝑥2,𝑎=1 $f (x) = \frac{1}{x} - x^{2}, a = 1$

135.

[T] 𝑓⁡(𝑥)=𝑥2−𝑥12+3⁢𝑥+2,𝑎=0 $f (x) = x^{2} - x^{12} + 3 x + 2, a = 0$

136.

[T] 𝑓⁡(𝑥)=1𝑥−𝑥2,𝑎=−1 $f (x) = \frac{1}{x} - x^{2}, a = −1$

137.

Finnið jöfnu snertils við graf 𝑓⁡(𝑥)=2⁢𝑥3+4⁢𝑥2−5⁢𝑥−3 $f (x) = 2 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x - 3$ þegar 𝑥=−1. $x = −1 .$

138.

Finnið jöfnu snertils við graf 𝑓⁡(𝑥)=𝑥2+4𝑥−10 $f (x) = x^{2} + \frac{4}{x} - 10$ þegar 𝑥=8. $x = 8 .$

139.

Finnið jöfnu snertils við graf 𝑓⁡(𝑥)=(3⁢𝑥−𝑥2)⁢(3−𝑥−𝑥2) $f (x) = (3 x - x^{2}) (3 - x - x^{2})$ þegar 𝑥=1. $x = 1 .$

140.

Finnið þann punkt á grafi 𝑓⁡(𝑥)=𝑥3 $f (x) = x^{3}$ þar sem snertillinn sker 𝑥 $x$ -ásinn í punktinum ( 6 , 0 ) .

141.

Finnið jöfnu línunnar sem liggur um punktinn 𝑃⁡(3,3) $P (3, 3)$ og snertir graf fallsins 𝑓⁡(𝑥)=6𝑥−1. $f (x) = \frac{6}{x - 1} .$

142.

Ákvarðið alla punkta á grafi $f (x) = x^{3} + x^{2} - x - 1$ sem

snertillinn er láréttur
snertillinn hefur hallatöluna $−1 .$

143.

Finnið margliðu af öðru stigi þannig að 𝑓⁡(1)=5,𝑓′⁡(1)=3 $f (1) = 5, f^{'} (1) = 3$ og 𝑓″⁡(1)=−6. $f^{″} (1) = −6 .$

144.

Bíll í umferð á hraðbraut hefur ekið 𝑠⁡(𝑡)=𝑡3−6⁢𝑡2+9⁢𝑡 $s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t$ me 𝑡 $t$ ra eftir t sekúndur.

Finnið eftir hve margar sekúndur hraði bílsins verður 0.
Ákvarðið hröðun bílsins þegar hraðinn er 0.

145.

[T] Síld syndir eftir beinni línu og hefur farið 𝑠⁡(𝑡)=𝑡2𝑡2+2 $s (t) = \frac{t^{2}}{t^{2} + 2}$ fe 𝑡 $t$ eftir t sekúndur.

Ákvarðið hraða síldarinnar eftir 3 sekúndur.

146.

Stofnstærð heimskautakola í Atlantshafi, mæld í milljónum, er lýst með fallinu $P (t) = \frac{8 t + 3}{0.2 t^{2} + 1},$ þar sem $t$ er mælt í árum.

Ákvarðið upphaflega stofnstærð heimskautakolans.
Ákvarðið $P^{'} (10)$ og túlkið niðurstöðuna í stuttu máli.

147.

[T] S 𝑡 $t$ yrk sýklalyfs í blóði t klukkustundum eftir inndælingu er lýst með fallinu 𝐶⁡(𝑡)=2⁢𝑡2+𝑡𝑡3+50, $C (t) = \frac{2 t^{2} + t}{t^{3} + 50},$ þar sem 𝐶 $C$ er mælt í milligrömmum á lítra.

Finnið breytingarhraða $C (t) .$
Ákvarðið breytingarhraðann þegar 𝑡=8,12,24, $t = 8, 12, 24,$ og 36. $36.$
Lýsið í stuttu máli hvernig breytingarhraðinn þróast eftir því sem tíminn líður.

148.

Kostnaðarfall bókaútgefanda er 𝐶⁡(𝑥)=𝑥3+2⁢𝑥+3𝑥2, $C (x) = \frac{x^{3} + 2 x + 3}{x^{2}},$ þar sem x táknar fjölda bókareintaka í þúsundum og C kostnað á eintak í dollurum. Reiknið 𝐶′⁡(2) $C^{'} (2)$ og útskýrið merkingu niðurstöðunnar.

149.

[T] Samkvæmt alþyngdarlögmáli Newtons er krafturinn 𝐹 $F$ milli tveggja hluta með massana 𝑚1 $m_{1}$ og 𝑚2 $m_{2}$ reiknaður með formúlunni 𝐹=𝐺⁡𝑚1⁢𝑚2𝑑2, $F = \frac{G m_{1} m_{2}}{d^{2}},$ þar sem 𝐺 $G$ er þyng 𝑑 $d$ arfastinn og d fjarlægðin milli hlutanna.

Gerið ráð fyrir að $G, m_{1}, og m_{2}$ séu fastar stærðir. Finnið breytingarhraða kraftsins $F$ með tilliti til fjarlægðarinnar $d .$
Finnið breytingarhraða kraftsins $F$ þegar $G = 6.67 \times 10^{−11}$ ${Nm}^{2} / {kg}^{2},$ fjarlægðin milli hlutanna er 10 metrar og massi hvors þeirra er 1000 kílógrömm.