33 Afleiður

3.9 Afleiður vísis- og lografalla

Námsmarkmið

3.9.1 Finna afleiðu vísisfalla.
3.9.2 Finna afleiðu lografalla.
3.9.3 Nota logradeildun til að ákvarða afleiðu falls.

Hingað til höfum við lært að deilda ýmiss konar föll, þar á meðal hornaföll, andhverf föll og fólgin föll. Í þessum undirkafla könnum við afleiður vísisfalla og lografalla. Eins og fjallað var um í Inngangi að föllum og gröfum gegna vísisföll mikilvægu hlutverki í líkönum af stofnvexti og hrörnun geislavirkra efna. Með lograföllum má færa stórar stærðir yfir á annan kvarða og umrita flóknar stæður á einfaldara form.

Afleiða vísisfallsins

Líkt og um önnur föll má finna afleiður vísisfalla og lografalla með formúlum. Við útleiðslu þessara formúla þurfum við að gefa okkur tilteknar grunnforsendur. Sannanir á því að forsendurnar gildi falla utan efnis þessa námskeiðs.

Til að byrja með gerum við ráð fyrir að fallið $B (x) = b^{x}, b > 0,$ sé skilgreint fyrir sérhverja rauntölu og sé samfellt. Í fyrri námskeiðum voru gildi vísisfalla skilgreind fyrir allar ræðar tölur. Fyrst var $b^{n},$ skilgreint þegar $n$ er jákvæð heiltala: það er margfeldið sem fæst þegar $b$ er margfaldað með sjálfu sér $n$ sinnum. Síðar skilgreindum við $b^{0} = 1, b^{− n} = \frac{1}{b^{n}},$ fyrir jákvæða heiltölu $n,$ og $b^{s / t} = {(\sqrt[t]{b})}^{s}$ fyrir jákvæðar heiltölur $s$ og $t .$ Þessar skilgreiningar svara þó ekki hvert gildi $b^{r}$ er þegar $r$ er einhver rauntala. Ef gert er ráð fyrir samfelldni fallsins $B (x) = b^{x}, b > 0,$ má túlka $b^{r}$ sem $lim_{x \to r} b^{x}$ þar sem $x$ tekur aðeins ræð gildi þegar markgildið er reiknað. Til dæmis má líta á $4^{π}$ sem töluna sem uppfyllir

\begin{array}{l} 4^{3} < 4^{π} < 4^{4}, 4^{3.1} < 4^{π} < 4^{3.2}, 4^{3.14} < 4^{π} < 4^{3.15}, \\ 4^{3.141} < 4^{π} < 4^{3.142}, 4^{3.1415} < 4^{π} < 4^{3.1416}, … . \end{array}

Eins og eftirfarandi tafla sýnir er $4^{π} \approx 77.88 .$

𝑥 x	4 𝑥 4 x	𝑥 x	4 𝑥 4 x
3 3	64	3 . 1 4 1 5 9 3 3.141593	77.8802710486
3 . 1 3.1	73.5166947198	3 . 1 4 1 6 3.1416	77.8810268071
3 . 1 4 3.14	77.7084726013	3 . 1 4 2 3.142	77.9242251944
3 . 1 4 1 3.141	77.8162741237	3 . 1 5 3.15	78.7932424541
3 . 1 4 1 5 3.1415	77.8702309526	3 . 2 3.2	84.4485062895
3 . 1 4 1 5 9 3.14159	77.8799471543	4 4	256

Við gerum einnig ráð fyrir að fyrir $B (x) = b^{x}, b > 0,$ sé afleiðan $B^{'} (0)$ til. Í þessum undirkafla sýnum við að með þessari einu viðbótarforsendu má sanna að fallið $B (x)$ sé deildanlegt alls staðar.

Við gefum okkur að lokum eina forsendu enn: að til sé nákvæmlega eitt gildi $b > 0$ sem uppfyllir $B^{'} (0) = 1 .$ Við skilgr $e$ inum e sem þetta eina gildi, líkt og við gerðum í Inngangi að föllum og gröfum. Mynd 3.33 sýnir gröf fallanna $y = 2^{x}, y = 3^{x}, y = {2.7}^{x},$ og $y = {2.8}^{x} .$ Sjónrænt mat á hallatölum snertla þessara falla í 0 bendir til þess að gildi e liggi á milli 2.7 og 2.8. Fallið $E (x) = e^{x}$ kallast náttúrulega vísisfallið. Andhverfa þess, $L (x) = {log}_{e} x = ln x$ , kallast náttúrulega lografallið.

Gröf fallanna 3^x, 2,8^x, 2,7^x og 2^x eru sýnd. Í fyrsta fjórðungi er röð þeirra frá minnsta til stærsta 2^x, 2,7^x, 2,8^x og 3^x. Í öðrum fjórðungi er röðin öfug. Öll gröfin skera y-ásinn í punktinum (0, 1). — **Mynd 3.33.** Graf 𝐸⁡(𝑥)=𝑒𝑥 $E (x) = e^{x}$ liggur milli grafanna 𝑦=2𝑥 $y = 2^{x}$ og 𝑦=3𝑥. $y = 3^{x} .$

Til að fá nákvæmara mat á $e,$ getum við útbúið töflu með mati á $B^{'} (0)$ fyrir föll af gerðinni $B (x) = b^{x} .$ Áður en við gerum það skulum við rifja upp að

B^{'} (0) = lim_{x \to 0} \frac{b^{x} - b^{0}}{x - 0} = lim_{x \to 0} \frac{b^{x} - 1}{x} \approx \frac{b^{x} - 1}{x}

fyrir gildi $x$ mjög nærri núlli. Við veljum $x = 0.00001$ og $x = −0.00001$ til að fá nálgunina

\frac{b^{−0.00001} - 1}{−0.00001} < B^{'} (0) < \frac{b^{0.00001} - 1}{0.00001} .

Sjá eftirfarandi töflu.

𝑏 b	𝑏 − 0 . 0 0 0 0 1 − 1 − 0 . 0 0 0 0 1 < 𝐵 ′ ⁡ ( 0 ) < 𝑏 0 . 0 0 0 0 1 − 1 0 . 0 0 0 0 1 b −0.00001 − 1/−0.00001 < B ′ ⁡ ( 0 ) < b 0.00001 − 1/0.00001	𝑏 b	𝑏 − 0 . 0 0 0 0 1 − 1 − 0 . 0 0 0 0 1 < 𝐵 ′ ⁡ ( 0 ) < 𝑏 0 . 0 0 0 0 1 − 1 0 . 0 0 0 0 1 b −0.00001 − 1/−0.00001 < B ′ ⁡ ( 0 ) < b 0.00001 − 1/0.00001
2 2	0 . 6 9 3 1 4 5 < 𝐵 ′ ⁡ ( 0 ) < 0 . 6 9 3 1 5 0.693145 < B ′ ⁡ ( 0 ) < 0.69315	2 . 7 1 8 3 2.7183	1 . 0 0 0 0 0 2 < 𝐵 ′ ⁡ ( 0 ) < 1 . 0 0 0 0 1 2 1.000002 < B ′ ⁡ ( 0 ) < 1.000012
2 . 7 2.7	0 . 9 9 3 2 4 7 < 𝐵 ′ ⁡ ( 0 ) < 0 . 9 9 3 2 5 7 0.993247 < B ′ ⁡ ( 0 ) < 0.993257	2 . 7 1 9 2.719	1 . 0 0 0 2 5 9 < 𝐵 ′ ⁡ ( 0 ) < 1 . 0 0 0 2 6 9 1.000259 < B ′ ⁡ ( 0 ) < 1.000269
2 . 7 1 2.71	0 . 9 9 6 9 4 4 < 𝐵 ′ ⁡ ( 0 ) < 0 . 9 9 6 9 5 4 0.996944 < B ′ ⁡ ( 0 ) < 0.996954	2 . 7 2 2.72	1 . 0 0 0 6 2 7 < 𝐵 ′ ⁡ ( 0 ) < 1 . 0 0 0 6 3 7 1.000627 < B ′ ⁡ ( 0 ) < 1.000637
2 . 7 1 8 2.718	0 . 9 9 9 8 9 1 < 𝐵 ′ ⁡ ( 0 ) < 0 . 9 9 9 9 0 1 0.999891 < B ′ ⁡ ( 0 ) < 0.999901	2 . 8 2.8	1 . 0 2 9 6 1 4 < 𝐵 ′ ⁡ ( 0 ) < 1 . 0 2 9 6 2 5 1.029614 < B ′ ⁡ ( 0 ) < 1.029625
2 . 7 1 8 2 2.7182	0 . 9 9 9 9 6 5 < 𝐵 ′ ⁡ ( 0 ) < 0 . 9 9 9 9 7 5 0.999965 < B ′ ⁡ ( 0 ) < 0.999975	3 3	1 . 0 9 8 6 0 6 < 𝐵 ′ ⁡ ( 0 ) < 1 . 0 9 8 6 1 8 1.098606 < B ′ ⁡ ( 0 ) < 1.098618

Gögnin í töflunni benda til þess að $2.7182 < e < 2.7183 .$

Graf fallsins $E (x) = e^{x}$ og línan $y = x + 1$ eru sýnd á mynd 3.34. Línan er snertill við graf fallsins $E (x) = e^{x}$ í $x = 0 .$

Graf fallsins e^x ásamt snertli þess í punktinum (0, 1), línunni x + 1. — **Mynd 3.34.** Snertillinn við $E (x) = e^{x}$ í $x = 0$ hefur hallatöluna 1.

Nú þegar grunnforsendurnar hafa verið settar fram hefjum við athugunina á því að kanna afleiðu $B (x) = b^{x}, b > 0 .$ Rifjum upp að gert hefur verið ráð fyrir að $B^{'} (0)$ sé til. Með því að beita markgildisskilgreiningu afleiðunnar fæst

B^{'} (0) = lim_{h \to 0} \frac{b^{0 + h} - b^{0}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{b^{h} - 1}{h} .

(3.28)

Þegar $B^{'} (x),$ er skoðað fæst eftirfarandi.

\begin{matrix} B^{'} (x) & = lim_{h \to 0} \frac{b^{x + h} - b^{x}}{h} & Beitið markgildisskilgreiningu afleiðunnar. \\ = lim_{h \to 0} \frac{b^{x} b^{h} - b^{x}}{h} & Athugið að b^{x + h} = b^{x} b^{h} . \\ = lim_{h \to 0} \frac{b^{x} (b^{h} - 1)}{h} & Takið út fyrir sviga b^{x} . \\ = b^{x} lim_{h \to 0} \frac{b^{h} - 1}{h} & Beitið reglu um markgildi. \\ = b^{x} B^{'} (0) & Notið B^{'} (0) = lim_{h \to 0} \frac{b^{0 + h} - b^{0}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{b^{h} - 1}{h} . \end{matrix}

Við sjáum að ef gert er ráð fyrir að $B (x) = b^{x}$ sé deildanlegt í $0, B (x)$ er ekki aðeins deildanlegt alls staðar heldur er afleiða þess

B^{'} (x) = b^{x} B^{'} (0) .

(3.29)

Fyrir $E (x) = e^{x}, E^{'} (0) = 1 .$ Því fæst $E^{'} (x) = e^{x} .$ (Gildi $B^{'} (0)$ fyrir almennt fall af gerðinni $B (x) = b^{x}, b > 0,$ verður leitt út síðar.)

Dæmi 3.74

Afleiða vísisfalls

Finnið afleiðu $f (x) = e^{tan (2 x)} .$

Lausn

Með afleiðuformúlunni og keðjureglunni fæst

\begin{matrix} f^{'} (x) & = e^{tan (2 x)} \frac{d}{d x} (tan (2 x)) \\ = e^{tan (2 x)} {sec}^{2} (2 x) \cdot 2 . \end{matrix}

Dæmi 3.75

Deildunarreglum beitt saman

Finnið afleiðu $y = \frac{e^{x^{2}}}{x} .$

Lausn

Notið afleiðu náttúrulega vísisfallsins, deiliregluna og keðjuregluna.

\begin{matrix} y^{'} & = \frac{(e^{x^{2}} \cdot 2) x \cdot x - 1 \cdot e^{x^{2}}}{x^{2}} & Beitið deilireglunni. \\ = \frac{e^{x^{2}} (2 x^{2} - 1)}{x^{2}} & Einfaldið. \end{matrix}

Dæmi 3.76

Náttúrulega vísisfallinu beitt

Moskí 𝑡 $t$ óflugnastofn telur 1000 einstaklinga í upphafi. Eftir t daga er stofnstærðin gefin með 𝐴⁡(𝑡)=1000⁢𝑒0.3⁢𝑡. $A (t) = 1000 e^{0.3 t} .$ Sýnið að breytingarhraði stofnsins, 𝐴′⁡(𝑡), $A^{'} (t),$ sem hlutfall af stofnstærðinni, 𝐴⁡(𝑡) $A (t)$ , sé fasti.

Lausn

Finnið fyrst 𝐴′⁡(𝑡). $A^{'} (t) .$ Með því að beita keðjureglunni fæst 𝐴′⁡(𝑡)=300⁢𝑒0.3⁢𝑡. $A^{'} (t) = 300 e^{0.3 t} .$ Breytingarhraði stofnsins sem hlutfall af stofnstærðinni er því gefinn með

\frac{A^{'} (t)}{A (t)} = \frac{300 e^{0.3 t}}{1000 e^{0.3 t}} = 0.3 .

Breytingarhraði stofnsins sem hlutfall af stofnstærðinni er fastinn 0.3.

Afleiða lografallsins

Nú þegar við þekkjum afleiðu náttúrulega vísisfallsins getum við beitt fólginni deildun til að finna afleiðu andhverfa þess, náttúrulega lografallsins.

Sönnun

Ef $x > 0$ og $y = ln x,$ þá $e^{y} = x .$ Með því að deilda báðar hliðar þessarar jöfnu fæst jafnan

e^{y} \frac{d y}{d x} = 1 .

Þegar $\frac{d y}{d x}$ er einangrað fæst

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} .

Að lokum setjum við $x = e^{y}$ inn og fáum

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x} .

Einnig má leiða þessa niðurstöðu út með setningunni um afleiðu andhverfs falls. Þar sem $y = g (x) = ln x$ er andhverfa fallsins $f (x) = e^{x},$ gefur setningin um afleiðu andhverfs falls að

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{f^{'} (g (x))} = \frac{1}{e^{ln x}} = \frac{1}{x} .

Með þessari niðurstöðu og keðjureglunni fyrir $h (x) = ln (g (x))$ fæst

h^{'} (x) = \frac{1}{g (x)} g^{'} (x) .

□

Graf fallsins $y = ln x$ og afleiða þess $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$ eru sýnd á mynd 3.35.

Graf fallsins ln x ásamt afleiðu þess 1/x. Fallið ln x er vaxandi á (0, + ∞). Afleiða þess er minnkandi en stærri en 0 á (0, + ∞). — **Mynd 3.35.** $Fallið y = ln x$ er vaxandi á $(0, + \infty) .$ Afleiða þess $y' = \frac{1}{x}$ er jákvæð á $(0, + \infty) .$

Dæmi 3.77

Afleiða náttúrulegs logra fundin

Finnið afleiðu $f (x) = ln (x^{3} + 3 x - 4) .$

Lausn

Notið jöfnu 3.31 beint.

\begin{matrix} f^{'} (x) & = \frac{1}{x^{3} + 3 x - 4} \cdot (3 x^{2} + 3) & Notið g (x) = x^{3} + 3 x - 4 í h^{'} (x) = \frac{1}{g (x)} g^{'} (x) . \\ = \frac{3 x^{2} + 3}{x^{3} + 3 x - 4} & Umritið. \end{matrix}

Dæmi 3.78

Lograreglum beitt við deildun

Finnið afleiðu $f (x) = ln (\frac{x^{2} sin x}{2 x + 1}) .$

Lausn

Við fyrstu sýn virðist nokkuð flókið að finna þessa afleiðu. Með því að beita eiginleikum logra áður en afleiðan er fundin getum við þó einfaldað verkefnið til muna.

\begin{matrix} f (x) & = & ln (\frac{x^{2} sin x}{2 x + 1}) = 2 ln x + ln (sin x) - ln (2 x + 1) & Beitið lograreglum. \\ f^{'} (x) & = & \frac{2}{x} + cot x - \frac{2}{2 x + 1} & Beitið samlagningarreglunni og h^{'} (x) = \frac{1}{g (x)} g^{'} (x) . \end{matrix}

Nú þegar við getum deildað náttúrulega lografallið má nota niðurstöðuna til að finna afleiður $y = l o g_{b} x$ og $y = b^{x}$ fyrir $b > 0, b \neq 1 .$

Sönnun

Ef $y = {log}_{b} x,$ þá $b^{y} = x .$ Af því leiðir að $ln (b^{y}) = ln x .$ Því fæst $y ln b = ln x .$ Þegar $y,$ er einangrað fæst $y = \frac{ln x}{ln b} .$ Með því að deilda og hafa í huga að $ln b$ er fasti fæst

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x ln b} .

Afleiðan í jöfnu 3.32 fæst nú með keðjureglunni.

Ef $y = b^{x},$ þá $ln y = x ln b .$ Beitum fólginni deildun og höfum aftur í huga að $ln b$ er fasti. Þá fæst $\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = ln b .$ Þegar $\frac{d y}{d x}$ er einangrað og $y = b^{x},$ sett inn fæst

\frac{d y}{d x} = y ln b = b^{x} ln b .

Almennari afleiðan (jafna 3.35) fæst með keðjureglunni.

□

Dæmi 3.79

Afleiðuformúlum beitt

Finnið afleiðu $h (x) = \frac{3^{x}}{3^{x} + 2} .$

Lausn

Beitið deilireglunni og reglunum um afleiður almennra vísisfalla og lografalla.

\begin{matrix} h^{'} (x) & = \frac{3^{x} ln 3 (3^{x} + 2) - 3^{x} ln 3 (3^{x})}{{(3^{x} + 2)}^{2}} & Beitið deilireglunni. \\ = \frac{2 \cdot 3^{x} ln 3}{{(3^{x} + 2)}^{2}} & Einfaldið. \end{matrix}

Dæmi 3.80

Hallatala snertils fundin

Finnið hallatölu snertilsins við graf fallsins 𝑦=log2⁢(3⁢𝑥+1) $y = {log}_{2} (3 x + 1)$ í 𝑥=1. $x = 1 .$

Lausn

Til að finna hallatöluna þarf að reikna 𝑑⁢𝑦𝑑⁢𝑥 $\frac{d y}{d x}$ í 𝑥=1. $x = 1 .$ Með jöfnu 3.33 fæst

\frac{d y}{d x} = \frac{3}{(3 x + 1) ln 2} .

Þegar afleiðan er reiknuð í 𝑥=1, $x = 1,$ fæst að hallatala snertilsins er

\frac{d y}{d x} | \begin{array}{l} _{x = 1} \end{array} = \frac{3}{4 ln 2} = \frac{3}{ln 16} .

Logradeildun

Á þessu stigi getum við fundið afleiður falla af gerðinni $y = {(g (x))}^{n}$ fyrir tiltekin gildi $n,$ sem og falla af gerðinni $y = b^{g (x)},$ þar sem $b > 0$ og $b \neq 1 .$ Því miður þekkjum við enn ekki afleiður falla á borð við $y = x^{x}$ eða $y = x^{π} .$ Fyrir þessi föll þarf að beita aðferð sem nefnist logradeildun, en með henni má deilda sérhvert fall af gerðinni $h (x) = g {(x)}^{f (x)} .$ Einnig má nota hana til að breyta mjög flóknu deildunarverkefni í einfaldara verkefni, svo sem að finna afleiðu $y = \frac{x \sqrt{2 x + 1}}{e^{x} {sin}^{3} x} .$ Aðferðinni er lýst í eftirfarandi lausnarstefnu.

Dæmi 3.81

Logradeildun notuð

Finnið afleiðu 𝑦=(2⁢𝑥4+1)tan⁡𝑥. $y = {(2 x^{4} + 1)}^{tan x} .$

Lausn

Notið logradeildun til að finna þessa afleiðu.

\begin{matrix} ln y & = & ln {(2 x^{4} + 1)}^{tan x} & Skref 1: Takið náttúrulegan logra af báðum hliðum. \\ ln y & = & tan x ln (2 x^{4} + 1) & Skref 2: Liðið með lograreglum. \\ \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} & = & {sec}^{2} x ln (2 x^{4} + 1) + \frac{8 x^{3}}{2 x^{4} + 1} \cdot tan x & \begin{matrix} Skref 3: Deildið báðar hliðar. Beitið \\ margfeldisreglunni hægra megin. \end{matrix} \\ \frac{d y}{d x} & = & y \cdot ({sec}^{2} x ln (2 x^{4} + 1) + \frac{8 x^{3}}{2 x^{4} + 1} \cdot tan x) & Skref 4: Margfaldið með y á báðum hliðum. \\ \frac{d y}{d x} & = & {(2 x^{4} + 1)}^{tan x} ({sec}^{2} x ln (2 x^{4} + 1) + \frac{8 x^{3}}{2 x^{4} + 1} \cdot tan x) & Skref 5: Setjið inn y = {(2 x^{4} + 1)}^{tan x} . \end{matrix}

Dæmi 3.82

Logradeildun notuð

Finnið afleiðu $y = \frac{x \sqrt{2 x + 1}}{e^{x} {sin}^{3} x} .$

Lausn

Í þessu verkefni er beitt bæði lograreglum og deildunarreglunum sem settar hafa verið fram í kaflanum.

\begin{matrix} ln y & = & ln \frac{x \sqrt{2 x + 1}}{e^{x} {sin}^{3} x} & Skref 1: Takið náttúrulegan logra af báðum hliðum. \\ ln y & = & ln x + \frac{1}{2} ln (2 x + 1) - x ln e - 3 ln sin x & Skref 2: Liðið með lograreglum. \\ \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} & = & \frac{1}{x} + \frac{1}{2 x + 1} - 1 - 3 \frac{cos x}{sin x} & Skref 3: Deildið báðar hliðar. \\ \frac{d y}{d x} & = & y (\frac{1}{x} + \frac{1}{2 x + 1} - 1 - 3 cot x) & Skref 4: Margfaldið með y á báðum hliðum. \\ \frac{d y}{d x} & = & \frac{x \sqrt{2 x + 1}}{e^{x} {sin}^{3} x} (\frac{1}{x} + \frac{1}{2 x + 1} - 1 - 3 cot x) & Skref 5: Setjið inn y = \frac{x \sqrt{2 x + 1}}{e^{x} {sin}^{3} x} . \end{matrix}

Dæmi 3.83

Veldisreglan útvíkkuð

Finnið afleiðu 𝑦=𝑥𝑟 $y = x^{r}$ þa 𝑟 $r$ sem r er hvaða rauntala sem er.

Lausn

Aðferðin er sú sama og í dæmi 3.82 en einfaldari í framkvæmd.

\begin{matrix} ln y & = & ln x^{r} & Skref 1: Takið náttúrulegan logra af báðum hliðum. \\ ln y & = & r ln x & Skref 2: Liðið með lograreglum. \\ \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} & = & r \frac{1}{x} & Skref 3: Deildið báðar hliðar. \\ \frac{d y}{d x} & = & y \frac{r}{x} & Skref 4: Margfaldið með y á báðum hliðum. \\ \frac{d y}{d x} & = & x^{r} \frac{r}{x} & Skref 5: Setjið inn y = x^{r} . \\ \frac{d y}{d x} & = & r x^{r - 1} & Einfaldið. \end{matrix}

Æfingar í kafla 3.9

Í eftirfarandi æfingum skal finna $f^{'} (x)$ fyrir hvert fall.

331.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥2⁢𝑒𝑥 $f (x) = x^{2} e^{x}$

332.

𝑓⁡(𝑥)=𝑒−𝑥𝑥 $f (x) = \frac{e^{− x}}{x}$

333.

𝑓⁡(𝑥)=𝑒𝑥3⁢ln⁡𝑥 $f (x) = e^{x^{3} ln x}$

334.

𝑓⁡(𝑥)=√𝑒2⁢𝑥+2⁢𝑥 $f (x) = \sqrt{e^{2 x} + 2 x}$

335.

𝑓⁡(𝑥)=𝑒𝑥−𝑒−𝑥𝑒𝑥+𝑒−𝑥 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{− x}}{e^{x} + e^{− x}}$

336.

𝑓⁡(𝑥)=10𝑥ln⁡10 $f (x) = \frac{10^{x}}{ln 10}$

337.

𝑓⁡(𝑥)=24⁢𝑥+4⁢𝑥2 $f (x) = 2^{4 x} + 4 x^{2}$

338.

𝑓⁡(𝑥)=3sin⁡3x $f (x) = 3^{sin 3 x}$

339.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥𝜋·𝜋𝑥 $f (x) = x^{π} \cdot π^{x}$

340.

𝑓⁡(𝑥)=ln⁡(4⁢𝑥3+𝑥) $f (x) = ln (4 x^{3} + x)$

341.

𝑓⁡(𝑥)=ln⁡√5⁢𝑥−7 $f (x) = ln \sqrt{5 x - 7}$

342.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥2⁢ln⁡9⁢𝑥 $f (x) = x^{2} ln 9 x$

343.

𝑓⁡(𝑥)=log⁡(sec⁡𝑥) $f (x) = log (sec x)$

344.

𝑓⁡(𝑥)=log7⁢(6⁢𝑥4+3)₅ $f (x) = {log}_{7} {(6 x^{4} + 3)}^{5}$

345.

𝑓⁡(𝑥)=2𝑥·log3⁢7𝑥2−4 $f (x) = 2^{x} \cdot {log}_{3} 7^{x^{2} - 4}$

Í eftirfarandi æfingum skal nota logradeildun til að finna $\frac{d y}{d x} .$

346.

𝑦=𝑥√𝑥 $y = x^{\sqrt{x}}$

347.

𝑦=(sin⁡2⁢𝑥)₄⁢𝑥 $y = {(sin 2 x)}^{4 x}$

348.

𝑦=(ln⁡𝑥)ln⁡𝑥 $y = {(ln x)}^{ln x}$

349.

𝑦=𝑥log2⁢𝑥 $y = x^{{log}_{2} x}$

350.

𝑦=(𝑥2−1)ln⁡𝑥 $y = {(x^{2} - 1)}^{ln x}$

351.

𝑦=𝑥cot⁡𝑥 $y = x^{cot x}$

352.

𝑦=𝑥+113√𝑥2−4 $y = \frac{x + 11}{\sqrt[3]{x^{2} - 4}}$

353.

𝑦=𝑥−1/2⁢(𝑥2+3)₂/3⁢(3⁢𝑥−4)₄ $y = x^{−1 / 2} {(x^{2} + 3)}^{2 / 3} {(3 x - 4)}^{4}$

354.

[T] Finnið jöfnu snertilsins við graf fallsins 𝑓⁡(𝑥)=4⁢𝑥⁢𝑒(𝑥2−1) $f (x) = 4 x e^{(x^{2} - 1)}$ í þeim punkti þar sem

$x = −1 .$ Teiknið gröf fallsins og snertilsins.

355.

[T] Finnið jöfnu þverlínunnar við graf fallsins 𝑓⁡(𝑥)=𝑥·5𝑥 $f (x) = x \cdot 5^{x}$ í punktinum þar sem 𝑥=1. $x = 1 .$ Teiknið graf fallsins og þverlínunnar.

356.

[T] Finnið jöfnu snertils við graf $x^{3} - x ln y + y^{3} = 2 x + 5$ í punktinum (2, 1). (Ábending: Notið fólgna deildun til að finna $\frac{d y}{d x} .)$ Teiknið bæði ferilinn og snertilinn.

357.

Lítum á fallið $y = x^{1 / x}$ fyrir $x > 0 .$

Ákvarðið þá punkta á grafinu þar sem snertillinn er láréttur.
Ákvarðið punktana á grafinu þar sem $y^{'} > 0$ og þá þar sem $y^{'} < 0 .$

358.

Formúlan 𝐼⁡(𝑡)=sin⁡𝑡𝑒𝑡 $I (t) = \frac{sin t}{e^{t}}$ lýsir dvínandi riðstraumi.

Fyllið út eftirfarandi töflu með viðeigandi gildum.

$t$ $\frac{sin t}{e^{t}}$

0 (i)

$\frac{π}{2}$ (ii)

$π$ (iii)

$\frac{3 π}{2}$ (iv)

$2 π$ (v)

$\frac{5 π}{2}$ (vi)

$3 π$ (vii)

$\frac{7 π}{2}$ (viii)

$4 π$ (ix)
Notið aðeins gildin í töflunni til að ákvarða hvar snertill við graf fallsins 𝐼⁡(𝑡) $I (t)$ er láréttur.

$t$	$\frac{sin t}{e^{t}}$
0	(i)
$\frac{π}{2}$	(ii)
$π$	(iii)
$\frac{3 π}{2}$	(iv)
$2 π$	(v)
$\frac{5 π}{2}$	(vi)
$3 π$	(vii)
$\frac{7 π}{2}$	(viii)
$4 π$	(ix)

359.

[T] Íbúafjöldi Toledo í Ohio var um það bil 500.000 árið 2000. Gerum ráð fyrir að íbúum fjölgi um 5% á ári.

Ritið vísisfallið sem lýsir heildaríbúafjöldanum sem falli af 𝑡. $t .$
No 𝑡 $t$ ið a-lið til að ákvarða hversu hratt íbúafjöldinn vex eftir t ár.
Notið b-lið til að ákvarða vaxtarhraða stofnsins eftir 10 ár.

360.

[T] Samsæta frumefnisins erbíns hefur um það bil 12 klukkustunda helmingunartíma. Í upphafi eru 9 grömm af samsætunni.

Ritið vísisfallið sem lýsir magni efnisins sem eftir er sem falli af 𝑡, $t,$ þar sem t er mælt í klukkustundum.
No 𝑡 $t$ ið a-lið til að ákvarða sundrunarhraða efnisins eftir t klukkustundir.
Notið b-lið til að ákvarða sundrunarhraðann þegar 𝑡=4 $t = 4$ klukkustundir.

361.

[T] Fjölda inflúensutilfella í New York-borg frá ársbyrjun 1960 til ársbyrjunar 1964 er lýst með fallinu

𝑁⁡(𝑡)=5.3⁢𝑒0.093⁢𝑡2−0.87⁢𝑡,(0≤𝑡≤4), $N (t) = 5.3 e^{0.093 t^{2} - 0.87 t}, (0 \leq t \leq 4),$ þar sem 𝑁⁡(𝑡) $N (t)$ gefur fjölda tilfella í þúsundum og t er mælt í árum; 𝑡=0 $t = 0$ samsvarar ársbyrjun 1960.

Sýnið útreikninga sem gefa gildi 𝑁⁡(0) $N (0)$ og 𝑁⁡(4). $N (4) .$ Lýsið í stuttu máli hvað gildin segja um útbreiðslu inflúensunnar í New York-borg.
Sýnið útreikninga á 𝑁′⁡(0) $N^{'} (0)$ og 𝑁′⁡(3). $N^{'} (3) .$ Lýsið í stuttu máli hvað gildin segja um útbreiðslu inflúensunnar í New York-borg.

362.

[T] Hlutfallslegur breytingarhraði deildanlegs falls 𝑦=𝑓⁡(𝑥) $y = f (x)$ er gefinn með 100·𝑓′⁡(𝑥)𝑓⁡(𝑥)%. $\frac{100 \cdot f^{'} (x)}{f (x)} % .$ Eitt líkan fyrir vöxt stofns er Gompertz-vaxtarfallið 𝑃⁡(𝑥)=𝑎⁢𝑒−𝑏·𝑒−𝑐⁢𝑥 $P (x) = a e^{− b \cdot e^{− c x}}$ þar sem 𝑎,𝑏, $a, b,$ og 𝑐 $c$ eru fastar.

Finnið formúluna fyrir hlutfallslegan breytingarhraða almenna Gompertz-fallsins.
Notið a-lið til að finna hlutfallslegan breytingarhraða stofnsins við 𝑥=20 $x = 20$ mánuði þegar 𝑎=204,𝑏=0.0198, $a = 204, b = 0.0198,$ og 𝑐=0.15. $c = 0.15 .$
Útskýrið í stuttu máli hvað niðurstaða b-liðar merkir.

Í eftirfarandi æfingum skal nota íbúafjölda New York-borgar frá 1790 til 1860 sem gefinn er upp í töflunni hér á eftir.

Ár frá 1790	Íbúafjöldi
0	33,131
10	60,515
20	96,373
30	123,706
40	202,300
50	312,710
60	515,547
70	813,669

363.

[T] Notið tölvuforrit eða reiknivél til að aðfella gögnunum vaxtarferil af gerðinni $p = a b^{t} .$

364.

[T] Notið vísisfallið sem fellur best að gögnunum og setjið upp töflu sem sýnir gildi afleiðunnar fyrir hvert ár.

365.

[T] Notið vísisfallið sem fellur best að gögnunum og setjið upp töflu sem sýnir gildi annarrar afleiðu fyrir hvert ár.

366.

[T] Notið töflurnar yfir gildi fyrstu og annarrar afleiðu og bestu aðfelluna til að svara eftirfarandi spurningum:

Mun líkanið gefa nákvæma spá um framtíðaríbúafjölda New York-borgar? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?
Áætlið íbúafjöldann árið 2010. Reyndist spáin í a-lið rétt?