33 Afleiður

3.8 Fólgin deildun

Námsmarkmið

3.8.1 Finna afleiðu flókins falls með fólginni deildun.
3.8.2 Nota fólgna deildun til að ákvarða jöfnu snertils.

Við höfum þegar kannað hvernig finna má jöfnur snertla við gröf falla og bre $y$ tingarhraða falls í tilteknum punkti. Í öllum þessum tilvikum höfðum við beina formúlu fyrir fallið og gátum því deilt það með beinum hætti. Gerum nú þess í stað ráð fyrir að við viljum ákvarða jöfnu snertils við feril eða breytingarhraða hans í tilteknum punkti. Í þessum undirkafla leysum við þessi verkefni með því að finna afleiður falla sem skilgreina y óbeint sem fall af $x .$

Fólgin deildun

Þegar háða bre $y$ tan y er fall af óháðu breytunni $x,$ er y yfirleitt ritað sem fall af $x .$ Þá segjum við að $y$ sé beint gefið sem fall af $x .$ Þegar við ritum til dæmis jöfnuna $y = x^{2} + 1,$ skilgreinum við y beint sem fall af $x .$ Þegar samband $y$ og $x$ er hins vegar gefið með jöfnu þar sem $y$ er ekki einangrað sem fall af $x,$ segjum við að jafnan skilgreini y óbeint sem fall af $x .$ Jafnan $y - x^{2} = 1$ skilgreinir til dæmis fallið $y = x^{2} + 1$ óbeint.

Með fólginni deildun má finna hallatölur snertla við ferla sem eru ekki gröf falla og standast því ekki lóðrétta línuprófið. Aðferðin b $y$ ggist á því að einstökum hlutum ferilsins megi lýsa með föllum sem uppf $y$ lla gefnu jöfnuna, þótt ferillinn í heild sé ekki graf falls y af $x .$

Almennt skilgreinir jafna fall óbeint ef fallið uppfyllir jöfnuna. Sama jafna getur skilgreint mörg mismunandi föll óbeint. Til dæmis eru föllin

$y = \sqrt{25 - x^{2}}, y = - \sqrt{25 - x^{2}},$ og $y = {\begin{matrix} \sqrt{25 - x^{2}} ef - 5 < x < 0 \\ − \sqrt{25 - x^{2}} ef 0 < x < 25 \end{matrix},$ , sem sýnd eru á mynd 3.30, eru aðeins þrjú af fjölmörgum föllum sem eru skilgreind óbeint með jöfnunni $x^{2} + y^{2} = 25 .$

Hringurinn með geislann 5 og miðju í upphafspunkti er fyrst sýndur í heild á einni mynd. Því næst eru aðeins þeir hlutar hans sem liggja í fyrsta og öðrum fjórðungi sýndir. Síðan eru aðeins þeir hlutar hans sem liggja í þriðja og fjórða fjórðungi sýndir. Að lokum eru aðeins þeir hlutar hans sem liggja í öðrum og fjórða fjórðungi sýndir. — **Mynd 3.30.** Jafnan 𝑥2+𝑦2=25 $x^{2} + y^{2} = 25$ skilgreinir mörg föll óbeint.

Til að finna hallatölu snertils við graf $x^{2} + y^{2} = 25$ í punktinum $(3, 4),$ mætti meta afleiðu fallsins $y = \sqrt{25 - x^{2}}$ í $x = 3 .$ Til að finna hallatölu snertilsins í punktinum $(3, −4),$ mætti hins vegar nota afleiðu $y = − \sqrt{25 - x^{2}} .$ Ekki er þó alltaf auðvelt að einangra fall sem er skilgreint óbeint með jöfnu. Með fólginni deildun má finna afleiðu slíks falls án þess að einangra það fyrst. Eftirfarandi lausnarstefna lýsir því hvernig finna má $\frac{d y}{d x}$ með fólginni deildun.

Lausnarstefna

Fólgin deildun

Til að beita fólginni deildun á jöfnu sem skilgreinir 𝑦 $y$ óbeint sem fall af breytunni 𝑥, $x,$ skuluð þið fylgja eftirfarandi skrefum:

Deildið báðar hliðar jöfnunnar. Hafið í huga að y er fall af x. Þá er 𝑑𝑑⁢𝑥⁢(sin⁡𝑥)=cos⁡𝑥,𝑑𝑑⁢𝑥⁢(sin⁡𝑦)=cos⁡𝑦⁢𝑑⁢𝑦𝑑⁢𝑥 $\frac{d}{d x} (sin x) = cos x, \frac{d}{d x} (sin y) = cos y \frac{d y}{d x}$ , þar sem beita þarf keðjureglunni þegar sin⁡𝑦 $sin y$ er deildað með tilliti til 𝑥. $x .$
Umritið jöfnuna þannig að allir liðir sem innihalda 𝑑⁢𝑦𝑑⁢𝑥 $\frac{d y}{d x}$ séu vinstra megin og allir liðir sem innihalda ekki 𝑑⁢𝑦𝑑⁢𝑥 $\frac{d y}{d x}$ séu hægra megin.
Takið $\frac{d y}{d x}$ út fyrir sviga vinstra megin.
Einangrið $\frac{d y}{d x}$ með því að deila báðum hliðum jöfnunnar með viðeigandi algebrustæðu.

Dæmi 3.68

Beiting fólginnar deildunar

Fallið 𝑦 $y$ er skilgreint óbeint með jöfnunni 𝑥2+𝑦2=25, $x^{2} + y^{2} = 25,$ . Finnið 𝑑⁢𝑦𝑑⁢𝑥. $\frac{d y}{d x} .$

Lausn

Fylgið skrefunum í lausnarstefnunni.

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) & = & \frac{d}{d x} (25) & Skref 1. Deildið báðar hliðar jöfnunnar. \\ \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (y^{2}) & = & 0 & \begin{matrix} Skref 1.1. Beitið samlagningarreglunni vinstra megin. \\ Hægra megin \frac{d}{d x} (25) = 0 . \end{matrix} \\ 2 x + 2 y \frac{d y}{d x} & = & 0 & \begin{matrix} Skref 1.2. Reiknið afleiðurnar. Þá fæst \frac{d}{d x} (x^{2}) = 2 x \\ og \frac{d}{d x} (y^{2}) = 2 y \frac{d y}{d x} . \end{matrix} \\ 2 y \frac{d y}{d x} & = & −2 x & \begin{matrix} Skref 2. Hafið liðina sem innihalda \frac{d y}{d x} vinstra megin. \\ Færið hina liðina yfir á hægri hlið. \end{matrix} \\ \frac{d y}{d x} & = & - \frac{x}{y} & \begin{matrix} Skref 4. Deilið báðum hliðum jöfnunnar með \\ 2 y . (Skref 3 á ekki við í þessu tilviki.) \end{matrix} \end{matrix}

Greining

Athugið að stæðan fyrir 𝑑⁢𝑦𝑑⁢𝑥 $\frac{d y}{d x}$ inniheldur bæði óháðu breytuna 𝑥 $x$ og háðu breytuna 𝑦. $y .$ Í sumum tilvikum má rita 𝑑⁢𝑦𝑑⁢𝑥 $\frac{d y}{d x}$ eingöngu sem fall af 𝑥 $x$ , en almennt er það ekki hægt.

Dæmi 3.69

Beiting fólginnar deildunar og margfeldisreglunnar

Fallið 𝑦 $y$ er skilgreint óbeint með jöfnunni 𝑥3⁢sin⁡𝑦+𝑦=4⁢𝑥+3, $x^{3} sin y + y = 4 x + 3,$ . Finnið 𝑑⁢𝑦𝑑⁢𝑥. $\frac{d y}{d x} .$

Lausn

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (x^{3} sin y + y) & = & \frac{d}{d x} (4 x + 3) & Skref 1: Deildið báðar hliðar jöfnunnar. \\ \frac{d}{d x} (x^{3} sin y) + \frac{d}{d x} (y) & = & 4 & \begin{matrix} Skref 1.1: Beitið samlagningarreglunni vinstra megin. \\ Hægra megin, \frac{d}{d x} (4 x + 3) = 4 . \end{matrix} \\ (\frac{d}{d x} (x^{3}) \cdot sin y + \frac{d}{d x} (sin y) \cdot x^{3}) + \frac{d y}{d x} & = & 4 & \begin{matrix} Skref 1.2: Beitið margfeldisreglunni til að finna \\ \frac{d}{d x} (x^{3} sin y) . Athugið að \frac{d}{d x} (y) = \frac{d y}{d x} . \end{matrix} \\ 3 x^{2} sin y + (cos y \frac{d y}{d x}) \cdot x^{3} + \frac{d y}{d x} & = & 4 & \begin{matrix} Skref 1.3: Við vitum að \frac{d}{d x} (x^{3}) = 3 x^{2} . Beitið \\ keðjureglunni til að fá \frac{d}{d x} (sin y) = cos y \frac{d y}{d x} . \end{matrix} \\ x^{3} cos y \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} & = & 4 - 3 x^{2} sin y & \begin{matrix} Skref 2: Hafið alla liði sem innihalda \frac{d y}{d x} \\ vinstra megin. Færið alla aðra liði yfir á hægri hlið. \end{matrix} \\ \frac{d y}{d x} (x^{3} cos y + 1) & = & 4 - 3 x^{2} sin y & Skref 3: Takið \frac{d y}{d x} út fyrir sviga vinstra megin. \\ \frac{d y}{d x} & = & \frac{4 - 3 x^{2} sin y}{x^{3} cos y + 1} & \begin{matrix} Skref 4: Einangrið \frac{d y}{d x} með því að deila báðum hliðum \\ jöfnunnar með x^{3} cos y + 1 . \end{matrix} \end{matrix}

Dæmi 3.70

Önnur afleiða fundin með fólginni deildun

Finnið $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ef $x^{2} + y^{2} = 25 .$

Lausn

Í dæmi 3.68 sýndum við að 𝑑⁢𝑦𝑑⁢𝑥=−𝑥𝑦. $\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} .$ Með því að deilda báðar hliðar þessarar jöfnu má finna 𝑑2⁢𝑦𝑑⁢𝑥2. $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} .$

\begin{matrix} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & = \frac{d}{d x} (- \frac{x}{y}) & Deildið báðar hliðar jöfnunnar \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} . \\ = - \frac{(1 \cdot y - x \frac{d y}{d x})}{y^{2}} & Beitið deilingarreglunni til að finna \frac{d}{d y} (- \frac{x}{y}) . \\ = \frac{− y + x \frac{d y}{d x}}{y^{2}} & Einfaldið. \\ = \frac{− y + x (- \frac{x}{y})}{y^{2}} & Setjið inn \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} . \\ = \frac{− y^{2} - x^{2}}{y^{3}} & Einfaldið. \end{matrix}

Nú höfum við fundið stæðu fyrir 𝑑2⁢𝑦𝑑⁢𝑥2. $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} .$ Hana má einfalda frekar með því að nota 𝑥2+𝑦2=25 $x^{2} + y^{2} = 25$ í teljaranum. Þá fæst 𝑑2⁢𝑦𝑑⁢𝑥2=−25𝑦3. $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{25}{y^{3}} .$

Jöfnur snertla fundnar með fólginni deildun

Nú þegar við höfum kynnt okkur aðferð fólginnar deildunar getum við beitt henni til að finna jöfnur snertla við ferla sem lýst er með jöfnum.

Dæmi 3.71

Snertill við hring fundinn

Finnið jöfnu snertils við ferilinn $x^{2} + y^{2} = 25$ í punktinum $(3, −4) .$

Lausn

Þótt finna mætti jöfnuna án fólginnar deildunar verður lausnin mun einfaldari með þeirri aðferð. Í dæmi 3.68 fengum við 𝑑⁢𝑦𝑑⁢𝑥=−𝑥𝑦. $\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} .$

Hallatala snertilsins fæst með því að setja $(3, −4)$ inn í þessa stæðu. Hallatala snertilsins er því $\frac{d y}{d x} | \begin{array}{l} _{(3, −4)} \end{array} = - \frac{3}{−4} = \frac{3}{4} .$

Setjum punktinn (3,−4) $(3, −4)$ og hallatöluna 34 $\frac{3}{4}$ inn í punkthallajöfnu línu. Þá fæst jafnan 𝑦=34⁢𝑥−254 $y = \frac{3}{4} x - \frac{25}{4}$ (mynd 3.31).

Graf hrings með geisla 5 og miðju í upphafspunkti er sýnt. Snertill hringsins liggur í gegnum punktinn (3, −4). — **Mynd 3.31.** Línan y = 3/4 ⁢ x − 25/4 er snertill við x² + y² = 25 í punktinum (3, −4).

Dæmi 3.72

Jafna snertils við feril fundin

Finnið jöfnu snertils við graf $y^{3} + x^{3} - 3 x y = 0$ í punktinum $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ (Mynd 3.32). Þessi ferill nefnist Descartes-lauf.

Sýnt er Descartes-lauf, ferill sem myndar lykkju og sker sjálfan sig í punktinum (0, 0). Snertill ferilsins í punktinum (3/2, 3/2) er einnig sýndur. — **Mynd 3.32.** Snertill við Descartes-laufið fundinn í punktinum ( 3/2 , 3/2 ) .

Lausn

Byrjum á að finna $\frac{d y}{d x} .$

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (y^{3} + x^{3} - 3 x y) & = & \frac{d}{d x} (0) \\ 3 y^{2} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} - (3 y + \frac{d y}{d x} 3 x) & = & 0 \\ \frac{d y}{d x} & = & \frac{3 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 3 x} . \end{matrix}

Næst setjum við (32,32) $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ inn í 𝑑⁢𝑦𝑑⁢𝑥=3⁢𝑦−3⁢𝑥23⁢𝑦2−3⁢𝑥 $\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 3 x}$ til að finna hallatölu snertilsins:

\frac{d y}{d x} | \begin{array}{l} _{(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})} \end{array} = −1 .

Að lokum setjum við þetta inn í punkthallajöfnu línunnar og fáum

y = - x + 3 y = - x + 3

Dæmi 3.73

Beiting fólginnar deildunar

Í einföldum tölvuleik ferðast eldflaug eftir sporöskjulaga braut sem lýst er með jöfnunni $4 x^{2} + 25 y^{2} = 100 .$ Eldflaugin getur skotið flugskeytum eftir snertlum við brautina. Markmið leiksins er að eyða aðvífandi smástirni sem ferðast eftir jákvæða x-ásnum í átt að $(0, 0) .$ Ef eldflaugin skýtur flugskeyti úr punktinum $(3, \frac{8}{5}),$ hvar sker það x-ásinn?

Lausn

Til að leysa verkefnið þurfum við að finna hvar snertillinn við graf

$4 x^{2} + 25 y^{2} = 100$ í $(3, \frac{8}{5})$ sker x-ásinn. Byrjum á að finna $\frac{d y}{d x}$ með fólginni deildun.

Við deildun fæst

8 x + 50 y \frac{d y}{d x} = 0 .

Ef við einangrum $\frac{d y}{d x},$ fæst

\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{25 y} .

Hallatala snertilsins er 𝑑⁢𝑦𝑑⁢𝑥⁢∣(3,85)=−310. $\frac{d y}{d x} |_{(3, \frac{8}{5})} = - \frac{3}{10} .$ Jafna snertilsins er 𝑦=−310⁢𝑥+52. $y = - \frac{3}{10} x + \frac{5}{2} .$ Til að finna skurðpunkt línunnar og x-ássins leysum við 0=−310⁢𝑥+52. $0 = - \frac{3}{10} x + \frac{5}{2} .$ Lausnin er 𝑥=253. $x = \frac{25}{3} .$ Flugskeytið sker því x-ásinn í punktinum (253,0). $(\frac{25}{3}, 0) .$

Æfingar úr kafla 3.8

Notið fólgna deildun í eftirfarandi æfingum til að finna $\frac{d y}{d x} .$

300.

𝑥2−𝑦2=4 $x^{2} - y^{2} = 4$

301.

6⁢𝑥2+3⁢𝑦2=12 $6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$

302.

𝑥2⁢𝑦=𝑦−7 $x^{2} y = y - 7$

303.

3⁢𝑥3+9⁢𝑥⁢𝑦2=5⁢𝑥3 $3 x^{3} + 9 x y^{2} = 5 x^{3}$

304.

𝑥⁢𝑦−cos⁡(𝑥⁢𝑦)=1 $x y - cos (x y) = 1$

305.

𝑦⁢√𝑥+4=𝑥⁢𝑦+8 $y \sqrt{x + 4} = x y + 8$

306.

−𝑥⁢𝑦−2=𝑥7 $− x y - 2 = \frac{x}{7}$

307.

𝑦⁢sin⁡(𝑥⁢𝑦)=𝑦2–2 $y sin (x y) = y^{2} - 2$

308.

(𝑥⁢𝑦)₂+3⁢𝑥=𝑦2 ${(x y)}^{2} + 3 x = y^{2}$

309.

𝑥3⁢𝑦+𝑥⁢𝑦3=−8 $x^{3} y + x y^{3} = −8$

Finnið í eftirfarandi æfingum jöfnu snertils við ferilinn sem gefna jafnan lýsir í tilgreindum punkti. Notið reiknivél eða tölvuforrit til að teikna ferilinn og snertilinn.

310.

[T] 𝑥4⁢𝑦−𝑥⁢𝑦3=−2,(−1,−1) $x^{4} y - x y^{3} = −2, (−1, −1)$

311.

[T] 𝑥2⁢𝑦2+5⁢𝑥⁢𝑦=14,(2,1) $x^{2} y^{2} + 5 x y = 14, (2, 1)$

312.

[T] tan⁡(𝑥⁢𝑦)=𝑦,(𝜋4,1) $tan (x y) = y, (\frac{π}{4}, 1)$

313.

[T] 𝑥⁢𝑦2+sin⁡(𝜋⁢𝑦)−2⁢𝑥2=10,(2,−3) $x y^{2} + sin (π y) - 2 x^{2} = 10, (2, −3)$

314.

[T] 𝑥𝑦+5⁢𝑥−7=−34⁢𝑦,(1,2) $\frac{x}{y} + 5 x - 7 = - \frac{3}{4} y, (1, 2)$

315.

[T] 𝑥⁢𝑦+sin⁡(𝑥)=1,(𝜋2,0) $x y + sin (x) = 1, (\frac{π}{2}, 0)$

316.

[T] Graf Descartes-laufs sem gefið er með jöfnunni 2⁢𝑥3+2⁢𝑦3−9⁢𝑥⁢𝑦=0 $2 x^{3} + 2 y^{3} - 9 x y = 0$ er sýnt á eftirfarandi mynd.

Teiknað er Descartes-lauf sem gefið er með jöfnunni 2x3 + 2y3 − 9xy = 0. Grafið sker sjálft sig í punktinum (0, 0).

Finnið jöfnu snertilsins í punktinum $(2, 1) .$ Teiknið snertilinn ásamt Descartes-laufinu.
Finnið jöfnu þverlínunnar við snertilinn úr a-lið í punktinum (2,1). $(2, 1) .$

317.

Fyrir jöfnuna $x^{2} + 2 x y - 3 y^{2} = 0,$

Finnið jöfnu þverlínunnar við snertilinn í punktinum (1,1). $(1, 1) .$
Í hvaða öðrum punkti sker þverlínan úr a-lið ferilinn sem jafnan lýsir?

318.

Finnið alla punkta á grafi $y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$ þar sem snertillinn er lóðréttur.

319.

Fyrir jöfnuna $x^{2} + x y + y^{2} = 7,$

Finnið $x$ -skurðpunkta.
Finnið hallatölur snertlanna í x-skurðpunktunum.
Hvað segja gildin í b-lið um snertlana?

320.

Finnið jöfnu snertils við ferilinn sem jafnan sin−1⁢𝑥+sin−1⁢𝑦=𝜋6 ${sin}^{−1} x + {sin}^{−1} y = \frac{π}{6}$ lýsir í punktinum (0,12). $(0, \frac{1}{2}) .$

321.

Finnið jöfnu snertils við ferilinn sem jafnan tan−1⁢(𝑥+𝑦)=𝑥2+𝜋4 ${tan}^{−1} (x + y) = x^{2} + \frac{π}{4}$ lýsir í punktinum (0,1). $(0, 1) .$

322.

Finnið $y^{'}$ og $y^{″}$ fyrir $x^{2} + 6 x y - 2 y^{2} = 3 .$

323.

[T] Fjölda farsíma sem framleiðandi getur framleitt þegar 𝑥 $x$ dölum er varið í vinnuafl og 𝑦 $y$ dölum í fjármagn má lýsa með jöfnunni 60⁢𝑥3/4⁢𝑦1/4=3240. $60 x^{3 / 4} y^{1 / 4} = 3240 .$

Finnið 𝑑⁢𝑦𝑑⁢𝑥 $\frac{d y}{d x}$ og reiknið gildið í punktinum (81,16). $(81, 16) .$
Túlkið niðurstöðuna úr a-lið.

324.

[T] Fjölda bíla sem framleiðandi getur framleitt þegar 𝑥 $x$ dölum er varið í vinnuafl og 𝑦 $y$ dölum í fjármagn má lýsa með jöfnunni 30⁢𝑥1/3⁢𝑦2/3=360. $30 x^{1 / 3} y^{2 / 3} = 360 .$

(Bæði $x$ og $y$ eru gefin upp í þúsundum dollara.)

Finnið $\frac{d y}{d x}$ og reiknið gildið í punktinum $(27, 8) .$
Túlkið niðurstöðu a-liðar.

325.

Rúmmál réttrar hringkeilu með geisla 𝑥 $x$ og hæð 𝑦 $y$ er 𝑉=13⁢𝜋⁢𝑥2⁢𝑦. $V = \frac{1}{3} π x^{2} y .$ Gerum ráð fyrir að rúmmál keilunnar sé fast. Finnið 𝑑⁢𝑦𝑑⁢𝑥 $\frac{d y}{d x}$ þegar 𝑥=4 $x = 4$ og 𝑦=16. $y = 16 .$

Í eftirfarandi æfingum er miðað við lokaðan rétthyrndan kassa með ferningslaga botni, hliðarlengd $x$ og hæð $y .$

326.

Finnið formúlu fyrir yfirborðsflatarmál rétthyrnda kassans, 𝑆⁡(𝑥,𝑦). $S (x, y) .$

327.

Finnið 𝑑⁢𝑦𝑑⁢𝑥 $\frac{d y}{d x}$ þegar yfirborðsflatarmál rétthyrnda kassans er 78 ferfet, 𝑥=3 $x = 3$ fet og 𝑦=5 $y = 5$ fet.

Notið fólgna deildun til að finna $y^{'} .$ í eftirfarandi æfingum. Berið svarið saman við formúlurnar sem áður hafa verið fundnar.

328.

𝑥=sin⁡𝑦 $x = sin y$

329.

𝑥=cos⁡𝑦 $x = cos y$

330.

𝑥=tan⁡𝑦 $x = tan y$