33 Afleiður

Helstu jöfnur

Lykiljöfnur

Mismunakvóti	𝑄 = 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) − 𝑓 ⁡ ( 𝑎 ) 𝑥 − 𝑎 Q = f ⁡ ( x ) − f ⁡ ( a )/x − a
Mismunakvóti með viðbótinni h	$\frac{𝑄 = 𝑓 ⁡ ( 𝑎 + ℎ ) − 𝑓 ⁡ ( 𝑎 ) 𝑎 + ℎ − 𝑎 = 𝑓 ⁡ ( 𝑎 + ℎ ) − 𝑓 ⁡ ( 𝑎 ) ℎ Q = f ⁡ ( a + h ) − f ⁡ ( a )}{a + h − a} = \frac{f ⁡ ( a + h ) − f ⁡ ( a )}{h}$
Hallatala snertils	$𝑚 t a n = l i m 𝑥 \to 𝑎 ⁢ 𝑓 ⁡ (𝑥) − 𝑓 ⁡ (𝑎) 𝑥 − 𝑎 m tan = lim x \to a ⁢ f ⁡ (x) − f ⁡ (a)/x − a 𝑚 t a n = l i m ℎ \to 0 ⁢ 𝑓 ⁡ (𝑎 + ℎ) − 𝑓 ⁡ (𝑎) ℎ m tan = lim h \to 0 ⁢ f ⁡ (a + h) − f ⁡ (a)/h$
Afleiða f ⁡ ( x ) í a	$𝑓 ′ ⁡ (𝑎) = l i m 𝑥 \to 𝑎 ⁢ 𝑓 ⁡ (𝑥) − 𝑓 ⁡ (𝑎) 𝑥 − 𝑎 f ′ ⁡ (a) = lim x \to a ⁢ f ⁡ (x) − f ⁡ (a)/x − a 𝑓 ′ ⁡ (𝑎) = l i m ℎ \to 0 ⁢ 𝑓 ⁡ (𝑎 + ℎ) − 𝑓 ⁡ (𝑎) ℎ f ′ ⁡ (a) = lim h \to 0 ⁢ f ⁡ (a + h) − f ⁡ (a)/h$
Meðalhraði	𝑣 𝑎 ⁢ v e = 𝑠 ⁡ ( 𝑡 ) − 𝑠 ⁡ ( 𝑎 ) 𝑡 − 𝑎 v a ⁢ ve = s ⁡ ( t ) − s ⁡ ( a )/t − a
Augnablikshraði	$𝑣 ⁡ (𝑎) = 𝑠 ′ ⁡ (𝑎) = l i m 𝑡 \to 𝑎 ⁢ 𝑠 ⁡ (𝑡) − 𝑠 ⁡ (𝑎) 𝑡 − 𝑎 v ⁡ (a) = s ′ ⁡ (a) = lim t \to a ⁢ s ⁡ (t) − s ⁡ (a)/t − a$

Afleiðufallið

𝑓 ′ ⁡ (𝑥) = l i m ℎ \to 0 ⁢ 𝑓 ⁡ (𝑥 + ℎ) − 𝑓 ⁡ (𝑥) ℎ f ′ ⁡ (x) = lim h \to 0 ⁢ f ⁡ (x + h) − f ⁡ (x)/h

Afleiða sínusfalls	𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( s i n ⁡ 𝑥 ) = c o s ⁡ 𝑥 d/d ⁢ x ⁢ ( sin ⁡ x ) = cos ⁡ x
Afleiða kósínusfalls	𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( c o s ⁡ 𝑥 ) = − s i n ⁡ 𝑥 d/d ⁢ x ⁢ ( cos ⁡ x ) = − sin ⁡ x
Afleiða tangensfalls	𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( t a n ⁡ 𝑥 ) = s e c 2 ⁢ 𝑥 d/d ⁢ x ⁢ ( tan ⁡ x ) = sec 2 ⁢ x
Afleiða kótangensfalls	𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( c o t ⁡ 𝑥 ) = − c s c 2 ⁢ 𝑥 d/d ⁢ x ⁢ ( cot ⁡ x ) = − csc 2 ⁢ x
Afleiða sekansfalls	𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( s e c ⁡ 𝑥 ) = s e c ⁡ 𝑥 ⁢ t a n ⁡ 𝑥 d/d ⁢ x ⁢ ( sec ⁡ x ) = sec ⁡ x ⁢ tan ⁡ x
Afleiða kósekansfalls	𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( c s c ⁡ 𝑥 ) = − c s c ⁡ 𝑥 ⁢ c o t ⁡ 𝑥 d/d ⁢ x ⁢ ( csc ⁡ x ) = − csc ⁡ x ⁢ cot ⁡ x

Keðjureglan	ℎ ′ ⁡ ( 𝑥 ) = 𝑓 ′ ⁡ ( 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ) ⁢ 𝑔 ′ ⁡ ( 𝑥 ) h ′ ⁡ ( x ) = f ′ ⁡ ( g ⁡ ( x ) ) ⁢ g ′ ⁡ ( x )
Veldisreglan fyrir föll	ℎ ′ ⁡ ( 𝑥 ) = 𝑛 ⁢ ( 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ) 𝑛 − 1 ⁢ 𝑔 ′ ⁡ ( 𝑥 ) h ′ ⁡ ( x ) = n ⁢ ( g ⁡ ( x ) ) n − 1 ⁢ g ′ ⁡ ( x )

Setningin um afleiðu andhverfs falls	( f −1 ) ′ ⁢ ( x ) = 1/f ′ ⁡ ( f −1 ⁡ ( x ) ) þegar f ′ ⁡ ( f −1 ⁡ ( x ) ) ≠ 0 og fallið f ⁡ ( x ) er deildanlegt.
Veldisreglan með ræðum veldisvísum	$\frac{𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( 𝑥 𝑚}{𝑛 )} = \frac{𝑚 𝑛 ⁢ 𝑥 ( 𝑚}{𝑛 ) − 1 . d/d ⁢ x ⁢ ( x m / n ) = m/n ⁢ x ( m / n ) − 1 .}$
Afleiða andhverfs sínusfalls	$\frac{𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 s i n − 1 ⁢ 𝑥 = 1 √ 1 − ( 𝑥 ) 2 d}{d ⁢ x sin −1 ⁢ x} = \frac{1}{1 − ( x ) 2}$
Afleiða andhverfs kósínusfalls	$\frac{𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 c o s − 1 ⁢ 𝑥 = − 1 √ 1 − ( 𝑥 ) 2 d}{d ⁢ x cos −1 ⁢ x} = \frac{−1}{1 − ( x ) 2}$
Afleiða andhverfs tangensfalls	$\frac{𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 t a n − 1 ⁢ 𝑥 = 1 1 + ( 𝑥 ) 2 d}{d ⁢ x tan −1 ⁢ x} = \frac{1}{1 + ( x ) 2}$
Afleiða andhverfs kótangensfalls	$\frac{𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 c o t − 1 ⁢ 𝑥 = − 1 1 + ( 𝑥 ) 2 d}{d ⁢ x cot −1 ⁢ x} = \frac{−1}{1 + ( x ) 2}$
Afleiða andhverfs sekansfalls	$\frac{𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 s e c − 1 ⁢ 𝑥 = 1 \| 𝑥 \| ⁢ √ ( 𝑥 ) 2 − 1 d}{d ⁢ x sec −1 ⁢ x} = \frac{1}{\| x \| ⁢ ( x ) 2 − 1}$
Afleiða andhverfs kósekansfalls	$\frac{𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 c s c − 1 ⁢ 𝑥 = − 1 \| 𝑥 \| ⁢ √ ( 𝑥 ) 2 − 1 d}{d ⁢ x csc −1 ⁢ x} = \frac{−1}{\| x \| ⁢ ( x ) 2 − 1}$

Afleiða náttúrulega vísisfallsins	𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( 𝑒 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ) = 𝑒 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ⁢ 𝑔 ′ ⁡ ( 𝑥 ) d/d ⁢ x ⁢ ( e g ⁡ ( x ) ) = e g ⁡ ( x ) ⁢ g ′ ⁡ ( x )
Afleiða náttúrulega lografallsins	$\frac{𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( l n ⁡ 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ) = 1 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ⁢ 𝑔 ′ ⁡ ( 𝑥 ) d}{d ⁢ x ⁢ ( ln ⁡ g ⁡ ( x ) )} = \frac{1}{g ⁡ ( x ) ⁢ g ′ ⁡ ( x )}$
Afleiða almenna vísisfallsins	𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( 𝑏 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ) = 𝑏 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ⁢ 𝑔 ′ ⁡ ( 𝑥 ) ⁢ l n ⁡ 𝑏 d/d ⁢ x ⁢ ( b g ⁡ ( x ) ) = b g ⁡ ( x ) ⁢ g ′ ⁡ ( x ) ⁢ ln ⁡ b
Afleiða almenna lografallsins	$\frac{𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( l o g 𝑏 ⁢ 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ) = 𝑔 ′ ⁡ ( 𝑥 ) 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ⁢ l n ⁡ 𝑏 d}{d ⁢ x ⁢ ( log b ⁢ g ⁡ ( x ) )} = \frac{g ′ ⁡ ( x )}{g ⁡ ( x ) ⁢ ln ⁡ b}$

33 Afleiður

Helstu jöfnur

Lykiljöfnur

Mismunakvóti	𝑄 = 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) − 𝑓 ⁡ ( 𝑎 ) 𝑥 − 𝑎 Q = f ⁡ ( x ) − f ⁡ ( a )/x − a
Mismunakvóti með viðbótinni h	$\frac{𝑄 = 𝑓 ⁡ ( 𝑎 + ℎ ) − 𝑓 ⁡ ( 𝑎 ) 𝑎 + ℎ − 𝑎 = 𝑓 ⁡ ( 𝑎 + ℎ ) − 𝑓 ⁡ ( 𝑎 ) ℎ Q = f ⁡ ( a + h ) − f ⁡ ( a )}{a + h − a} = \frac{f ⁡ ( a + h ) − f ⁡ ( a )}{h}$
Hallatala snertils	$𝑚 t a n = l i m 𝑥 \to 𝑎 ⁢ 𝑓 ⁡ (𝑥) − 𝑓 ⁡ (𝑎) 𝑥 − 𝑎 m tan = lim x \to a ⁢ f ⁡ (x) − f ⁡ (a)/x − a 𝑚 t a n = l i m ℎ \to 0 ⁢ 𝑓 ⁡ (𝑎 + ℎ) − 𝑓 ⁡ (𝑎) ℎ m tan = lim h \to 0 ⁢ f ⁡ (a + h) − f ⁡ (a)/h$
Afleiða f ⁡ ( x ) í a	$𝑓 ′ ⁡ (𝑎) = l i m 𝑥 \to 𝑎 ⁢ 𝑓 ⁡ (𝑥) − 𝑓 ⁡ (𝑎) 𝑥 − 𝑎 f ′ ⁡ (a) = lim x \to a ⁢ f ⁡ (x) − f ⁡ (a)/x − a 𝑓 ′ ⁡ (𝑎) = l i m ℎ \to 0 ⁢ 𝑓 ⁡ (𝑎 + ℎ) − 𝑓 ⁡ (𝑎) ℎ f ′ ⁡ (a) = lim h \to 0 ⁢ f ⁡ (a + h) − f ⁡ (a)/h$
Meðalhraði	𝑣 𝑎 ⁢ v e = 𝑠 ⁡ ( 𝑡 ) − 𝑠 ⁡ ( 𝑎 ) 𝑡 − 𝑎 v a ⁢ ve = s ⁡ ( t ) − s ⁡ ( a )/t − a
Augnablikshraði	$𝑣 ⁡ (𝑎) = 𝑠 ′ ⁡ (𝑎) = l i m 𝑡 \to 𝑎 ⁢ 𝑠 ⁡ (𝑡) − 𝑠 ⁡ (𝑎) 𝑡 − 𝑎 v ⁡ (a) = s ′ ⁡ (a) = lim t \to a ⁢ s ⁡ (t) − s ⁡ (a)/t − a$

Afleiðufallið

𝑓 ′ ⁡ (𝑥) = l i m ℎ \to 0 ⁢ 𝑓 ⁡ (𝑥 + ℎ) − 𝑓 ⁡ (𝑥) ℎ f ′ ⁡ (x) = lim h \to 0 ⁢ f ⁡ (x + h) − f ⁡ (x)/h

Afleiða sínusfalls	𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( s i n ⁡ 𝑥 ) = c o s ⁡ 𝑥 d/d ⁢ x ⁢ ( sin ⁡ x ) = cos ⁡ x
Afleiða kósínusfalls	𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( c o s ⁡ 𝑥 ) = − s i n ⁡ 𝑥 d/d ⁢ x ⁢ ( cos ⁡ x ) = − sin ⁡ x
Afleiða tangensfalls	𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( t a n ⁡ 𝑥 ) = s e c 2 ⁢ 𝑥 d/d ⁢ x ⁢ ( tan ⁡ x ) = sec 2 ⁢ x
Afleiða kótangensfalls	𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( c o t ⁡ 𝑥 ) = − c s c 2 ⁢ 𝑥 d/d ⁢ x ⁢ ( cot ⁡ x ) = − csc 2 ⁢ x
Afleiða sekansfalls	𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( s e c ⁡ 𝑥 ) = s e c ⁡ 𝑥 ⁢ t a n ⁡ 𝑥 d/d ⁢ x ⁢ ( sec ⁡ x ) = sec ⁡ x ⁢ tan ⁡ x
Afleiða kósekansfalls	𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( c s c ⁡ 𝑥 ) = − c s c ⁡ 𝑥 ⁢ c o t ⁡ 𝑥 d/d ⁢ x ⁢ ( csc ⁡ x ) = − csc ⁡ x ⁢ cot ⁡ x

Keðjureglan	ℎ ′ ⁡ ( 𝑥 ) = 𝑓 ′ ⁡ ( 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ) ⁢ 𝑔 ′ ⁡ ( 𝑥 ) h ′ ⁡ ( x ) = f ′ ⁡ ( g ⁡ ( x ) ) ⁢ g ′ ⁡ ( x )
Veldisreglan fyrir föll	ℎ ′ ⁡ ( 𝑥 ) = 𝑛 ⁢ ( 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ) 𝑛 − 1 ⁢ 𝑔 ′ ⁡ ( 𝑥 ) h ′ ⁡ ( x ) = n ⁢ ( g ⁡ ( x ) ) n − 1 ⁢ g ′ ⁡ ( x )

Setningin um afleiðu andhverfs falls	( f −1 ) ′ ⁢ ( x ) = 1/f ′ ⁡ ( f −1 ⁡ ( x ) ) þegar f ′ ⁡ ( f −1 ⁡ ( x ) ) ≠ 0 og fallið f ⁡ ( x ) er deildanlegt.
Veldisreglan með ræðum veldisvísum	$\frac{𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( 𝑥 𝑚}{𝑛 )} = \frac{𝑚 𝑛 ⁢ 𝑥 ( 𝑚}{𝑛 ) − 1 . d/d ⁢ x ⁢ ( x m / n ) = m/n ⁢ x ( m / n ) − 1 .}$
Afleiða andhverfs sínusfalls	$\frac{𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 s i n − 1 ⁢ 𝑥 = 1 √ 1 − ( 𝑥 ) 2 d}{d ⁢ x sin −1 ⁢ x} = \frac{1}{1 − ( x ) 2}$
Afleiða andhverfs kósínusfalls	$\frac{𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 c o s − 1 ⁢ 𝑥 = − 1 √ 1 − ( 𝑥 ) 2 d}{d ⁢ x cos −1 ⁢ x} = \frac{−1}{1 − ( x ) 2}$
Afleiða andhverfs tangensfalls	$\frac{𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 t a n − 1 ⁢ 𝑥 = 1 1 + ( 𝑥 ) 2 d}{d ⁢ x tan −1 ⁢ x} = \frac{1}{1 + ( x ) 2}$
Afleiða andhverfs kótangensfalls	$\frac{𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 c o t − 1 ⁢ 𝑥 = − 1 1 + ( 𝑥 ) 2 d}{d ⁢ x cot −1 ⁢ x} = \frac{−1}{1 + ( x ) 2}$
Afleiða andhverfs sekansfalls	$\frac{𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 s e c − 1 ⁢ 𝑥 = 1 \| 𝑥 \| ⁢ √ ( 𝑥 ) 2 − 1 d}{d ⁢ x sec −1 ⁢ x} = \frac{1}{\| x \| ⁢ ( x ) 2 − 1}$
Afleiða andhverfs kósekansfalls	$\frac{𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 c s c − 1 ⁢ 𝑥 = − 1 \| 𝑥 \| ⁢ √ ( 𝑥 ) 2 − 1 d}{d ⁢ x csc −1 ⁢ x} = \frac{−1}{\| x \| ⁢ ( x ) 2 − 1}$

Afleiða náttúrulega vísisfallsins	𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( 𝑒 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ) = 𝑒 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ⁢ 𝑔 ′ ⁡ ( 𝑥 ) d/d ⁢ x ⁢ ( e g ⁡ ( x ) ) = e g ⁡ ( x ) ⁢ g ′ ⁡ ( x )
Afleiða náttúrulega lografallsins	$\frac{𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( l n ⁡ 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ) = 1 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ⁢ 𝑔 ′ ⁡ ( 𝑥 ) d}{d ⁢ x ⁢ ( ln ⁡ g ⁡ ( x ) )} = \frac{1}{g ⁡ ( x ) ⁢ g ′ ⁡ ( x )}$
Afleiða almenna vísisfallsins	𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( 𝑏 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ) = 𝑏 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ⁢ 𝑔 ′ ⁡ ( 𝑥 ) ⁢ l n ⁡ 𝑏 d/d ⁢ x ⁢ ( b g ⁡ ( x ) ) = b g ⁡ ( x ) ⁢ g ′ ⁡ ( x ) ⁢ ln ⁡ b
Afleiða almenna lografallsins	$\frac{𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ ( l o g 𝑏 ⁢ 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ) = 𝑔 ′ ⁡ ( 𝑥 ) 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) ⁢ l n ⁡ 𝑏 d}{d ⁢ x ⁢ ( log b ⁢ g ⁡ ( x ) )} = \frac{g ′ ⁡ ( x )}{g ⁡ ( x ) ⁢ ln ⁡ b}$