3.1.1 Skilja merkingu snertils við feril í tilteknum punkti.
3.1.2 Reikna hallatölu snertils.
3.1.3 Skilgreina afleiðu sem markgildi mismunakvóta.
3.1.4 Reikna afleiðu tiltekins falls í punkti.
3.1.5 Lýsa hraða sem breytingarhraða.
3.1.6 Útskýra muninn á meðalhraða og augnablikshraða.
3.1.7 Áætla afleiðu út frá gildatöflu.
Nú höfum við bæði öðlast hugtakalegan skilning á markgildum og lært að reikna þau. Þar með hefur verið lagður grunnur að námi okkar í stærðfræðigreiningu, þeirri grein stærðfræðinnar sem fjallar um afleiður og heildi. Flestir stærðfræðingar og sagnfræðingar eru sammála um að Englendingurinn Isaac Newton og Þjóðverjinn Gottfried Leibniz sem sjást á mynd 3.2, hafi þróað stærðfræðigreininguna hvor í sínu lagi. Þegar Newton og Leibniz eru taldir hafa þróað stærðfræðigreiningu er í raun átt við að þeir hafi fyrstir skilið sambandið milli afleiðu og heildis. Báðir nutu þeir góðs af verkum forvera á borð við Barrow, Fermat og Cavalieri. Samband þeirra virðist í fyrstu hafa verið vinsamlegt en síðar blossuðu upp harðvítugar deilur um hvor þeirra hefði orðið fyrri til. Þótt líklegt virðist að Newton hafi fyrstur fengið hugmyndirnar sem liggja stærðfræðigreiningu til grundvallar eigum við Leibniz að þakka táknunina sem almennt er notuð í dag.
Mynd 3.2. Newton og Leibniz eru taldir hafa þróað stærðfræðigreiningu hvor í sínu lagi.
Snertlar
Við hefjum námið í stærðfræðigreiningu á því að rifja upp hugtökin sniðill og snertill. Munum að við notuðum hallatölu sniðils við graf falls í punkti til að meta breytingarhraðann, það er hversu hratt ein breyta breytist miðað við aðra. Hallatölu sniðilsins má finna með því að velja -gildi nálægt og draga línu gegnum punktana og eins og sýnt er á mynd 3.3. Hallatala línunnar fæst þá með eftirfarandi mismunakvóta:
Einnig má reikna hallatölu sniðils við graf falls í a með því að nota þessa jöfnu og skipta út fyrir þar sem er nálægt 0. Þá er reiknuð hallatala línunnar gegnum punktana og Hallatala sniðilsins fæst þá með eftirfarandi mismunakvóta, þar sem aukningin er
Á mynd 3.3 má sjá tvenns konar framsetningu á hallatölu sniðils. Báðar aðferðirnar koma að gagni og velja má þá sem hentar betur hverju sinni. Yfirleitt verður sú framsetning fyrir valinu sem einfaldar útreikningana.
Mynd 3.3. Við getum reiknað hallatölu sniðils á tvo vegu.
Á mynd 3.4(a) sjáum við að eftir því sem nálgast gefa hallatölur sniðlanna sífellt betra mat á breytingarhraða fallsins í Jafnframt nálgast sniðlarnir sjálfir snertil fallsins í sem er markstaða þeirra. Á sama hátt sýnir mynd 3.4(b) að eftir því sem nálgast nálgast sniðlarnir einnig snertilinn. Hallatala snertilsins í er breytingarhraði fallsins í eins og sýnt er á mynd 3.4(c).
Mynd 3.4. Sniðlarnir nálgast snertilinn (sýndur með grænum lit) þegar seinni punkturinn nálgast þann fyrri.
Á mynd 3.5 sjást graf og snertill þess við á sífellt þrengri bilum um Eftir því sem bilin þrengjast virðast graf fallsins og snertillinn falla saman. Gildi á snertlinum gefa því góða nálgun á gildum fallsins þegar er nálægt Raunar virðist graf sjálft vera staðbundið línulegt í grennd við
Mynd 3.5. Þegar 𝑥 er nálægt 1, virðast graf 𝑓(𝑥)=√𝑥 og snertill þess falla saman.
Formlega má skilgreina snertil við graf falls á eftirfarandi hátt.
Rétt eins og hallatölu sniðils má setja fram með tvennum hætti má skilgreina hallatölu snertils á tvo jafngilda vegu. Báðar framsetningar eru notaðar í þessari bók og valið fer eftir samhengi hverju sinni. Nú höfum við skilgreint snertil við graf falls í punkti með formlegum hætti og getum notað skilgreininguna til að finna jöfnur snertla.
Dæmi 3.1
Að finna snertil
Finnið jöfnu snertils við graf í punktinum
Lausn
Finnið fyrst hallatölu snertilsins. Notið jöfnu 3.3 í þessu dæmi.
Næst finnum við punkt á snertlinum. Línan snertir graf í þannig að hún liggur gegnum punktinn Þar sem liggur snertillinn gegnum punktinn
Hallatalan er og punkturinn er en með punkthallajöfnu línu fæst þá Með einföldun fæst Graf fallsins og snertill þess í x = eru sýnd á mynd 3.6.
Mynd 3.6. Snertillinn við f ( x ) í x = 3 .
Dæmi 3.2
Hallatala snertils skoðuð á ný
Notið jöfnu 3.4 til að finna hallatölu snertilsins við graf í
Lausn
Skrefin eru mjög svipuð þeim í dæmi 3.1. Sjá jöfnu 3.4 fyrir skilgreininguna.
Við fengum sama gildi fyrir hallatölu snertilsins með því að nota hina skilgreininguna, sem sýnir að nota má formúlurnar hvora í stað annarrar.
Dæmi 3.3
Jafna snertils fundin
Finnið jöfnu snertilsins við graf þegar
Lausn
Við getum notað jöfnu 3.3, en eins og við höfum séð fást sömu niðurstöður ef við notum jöfnu 3.4.
Nú vitum við að hallatala snertilsins er −14. Til að finna jöfnu hans þurfum við einnig að þekkja punkt á línunni. Við vitum að 𝑓(2)=12. Þar sem snertillinn liggur gegnum punktinn (2,12) má nota punkthallajöfnu línu til að finna jöfnu hans. Jafna snertilsins er því 𝑦=−14𝑥+1. Gröf fallanna 𝑓(𝑥)=1𝑥 og 𝑦=−14𝑥+1 eru sýnd á mynd 3.7.
Mynd 3.7. Línan er snertill við f ( x ) í punktinum x = 2 .
Afleiða falls í punkti
Markgildið sem notað er til að finna hallatölu snertils við graf falls í tilteknum punkti kemur fyrir í fjölmörgum hagnýtum verkefnum á ýmsum fræðasviðum. Dæmi um það eru hraði og hröðun í eðlisfræði, jaðarhagnaðarföll í viðskiptafræði og vaxtarhraði í líffræði. Markgildið kemur svo oft fyrir að því hefur verið gefið sérstakt heiti: afleiða. Útreikningur afleiðu nefnist deildun.
Dæmi 3.4
Mat á afleiðu
Fyrir 𝑓(𝑥)=𝑥2, notið töflu og jöfnu 3.5 til að áætla 𝑓′(3).
Lausn
Búið til töflu með -gildum rétt undir og rétt yfir
Setjum tvö gildi fallsins inn í þessa jöfnu. Niðurstaðan ætti að verða sú sama og í dæmi 3.5.
Niðurstöðurnar eru þær sömu hvort sem við notum jöfnu 3.5 eða jöfnu 3.6.
Hraði og breytingarhraði
Nú getum við notað afleiðu í verkefnum um hraða. Rifjum upp að ef táknar stöðu hlutar sem hreyfist eftir hnitás fæst meðalhraði hans á tímabilinu þegar eða þegar með mismunakvótanum
(3.7)
Eftir því sem nálgast nálgast það gildi sem nefnist augnablikshraði við Augnablikshraðinn við sem táknaður er með fæst með
(3.8)
Til að skýra betur samband meðalhraða og augnablikshraða má skoða mynd 3.8. Hallatala rauða snertilsins er augnablikshraði hlutarins við , en staða hans við tímann er gefin með fallinu Hallatala græna sniðilsins er meðalhraði hlutarins á tímabilinu
Mynd 3.8. Hallatala sniðilsins er meðalhraðinn á bilinu Hallatala snertilsins er augnablikshraðinn.
Augnablikshraðann má reikna með jöfnu 3.5 eða meta út frá gildatöflu. Síðan má sannreyna matið með jöfnu 3.7.
Dæmi 3.7
Mat á hraða
Blýlóð á gormi sveiflast upp og niður. Staða þess við tímann miðað við fasta lárétta línu er (mynd 3.9). Notið gildatöflu til að áætla Sannreynið matið með jöfnu 3.5.
Mynd 3.9. Blýlóð sem hangir í gormi og sveiflast lóðrétt.
Lausn
Augnablikshraðann við má áætla með því að reikna meðalhraða fyrir -gildi sem nálgast eins og sýnt er í töflu 3.1.
𝑡 t
s i n 𝑡 − s i n 0 𝑡 − 0 = s i n 𝑡 𝑡 sin t − sin 0/t − 0 = sin t/t
− 0 . 1 −0.1
0 . 9 9 8 3 3 4 1 6 6 0.998334166
− 0 . 0 1 −0.01
0 . 9 9 9 9 8 3 3 3 3 3 0.9999833333
− 0 . 0 0 1 −0.001
0 . 9 9 9 9 9 9 8 3 3 0.999999833
0 . 0 0 1 0.001
0 . 9 9 9 9 9 9 8 3 3 0.999999833
0 . 0 1 0.01
0 . 9 9 9 9 8 3 3 3 3 3 0.9999833333
0 . 1 0.1
0 . 9 9 8 3 3 4 1 6 6 0.998334166
Úr töflunni sjáum við að meðalhraðinn á tímabilinu er meðalhraðinn á tímabilinu er og svo framvegis. Af þessari gildatöflu virðist mega áætla að
Eins og fram hefur komið í þessum undirkafla eru hallatala snertils við graf falls og augnablikshraði skyld hugtök. Hvort tveggja er reiknað með afleiðu og mælir breytingarhraða falls í tilteknum punkti á grafi þess.
Dæmi 3.8
Kaflainngangur: Mat á hröðun
Mynd 3.10. (heimild: aðlögun á verki eftir Codex41, Flickr)
Hennessey Venom GT nær mílum á klukkustund og er einn af hraðskreiðustu bílum heims. Í prófunum jók hann hraðann úr í mílur á klukkustund á sekúndum, úr mílur á klukkustund á sekúndum, úr mílur á klukkustund á sekúndum og úr mílur á klukkustund á sekúndum. Notið þessi gögn til að draga ályktun um breytingarhraða hraðans (það er hröðun) þegar hraðinn nálgast mílur á klukkustund. Virðist hröðun bílsins aukast, minnka eða haldast stöðug?
Lausn
Athugum fyrst að mílur/klst. = fet/s, mílur/klst. fet/s, mílur/klst. fet/s, og mílur/klst. fet/s. Við getum tekið upplýsingarnar saman í töflu.
𝑡 t
𝑣 ( 𝑡 ) v ( t )
0 0
0 0
3 . 0 5 3.05
8 8 88
5 . 8 8 5.88
1 4 6 . 6 7 146.67
1 4 . 5 1 14.51
2 9 3 . 3 3 293.33
1 9 . 9 6 19.96
3 3 7 . 1 9 337.19
Reiknið nú meðalhröðun bílsins í fetum á sekúndu í öðru veldi á bilum af gerðinni þegar nálgast eins og sýnt er í eftirfarandi töflu.
Hröðun bílsins minnkar eftir því sem hraði hans nálgast mílur/klst. fet/s).
Dæmi 3.9
Breytingarhraði hitastigs
Húseigandi stillir hitastillinn þannig að hitastigið í húsinu fari að lækka úr kl. um kvöld, nái lágmarkinu um nóttina og verði aftur fyrir kl. að morgni næsta dags. Gerum ráð fyrir að hitastigið í húsinu sé gefið með fyrir þar sem er tákn fyrir fjölda klukkustunda frá kl. um kvöld. Finnið augnabliksbreytingarhraða hitastigsins á miðnætti.
Lausn
Miðnætti er klukkustundum eftir kl. um kvöld. Því þurfum við að reikna Notum jöfnu 3.5.
Augnabliksbreytingarhraði hitastigsins á miðnætti er á klukkustund.
Dæmi 3.10
Breytingarhraði hagnaðar
Leikfangafyrirtæki getur selt 𝑥 rafræn leikjakerfi á 𝑝=−0.01𝑥+400 dollara stykkið. Framleiðslukostnaður 𝑥 kerfa er 𝐶(𝑥)=100𝑥+10,000 dollarar. Finnið breytingarhraða hagnaðarins þegar 10,000 leikjakerfi eru framleidd. Ætti fyrirtækið að auka framleiðsluna eða draga úr henni?
Lausn
Hagnaðurinn 𝑃(𝑥) af framleiðslu 𝑥 leikjakerfa er 𝑅(𝑥)−𝐶(𝑥), þar sem 𝑅(𝑥) táknar tekjur af sölu 𝑥 kerfa. Fyrirtækið getur selt 𝑥 kerfi á verðinu 𝑝=−0.01𝑥+400 fyrir hvert kerfi og því
Þar af leiðandi,
Breytingarhraði hagnaðarins er því
Þar sem breytingarhraði hagnaðar 𝑃′(10,000)>0 og 𝑃(10,000)>0, ætti fyrirtækið að auka framleiðsluna.
Verkefni í kafla 3.1
Notið jöfnu 3.1 til að finna hallatölu sniðilsins milli og fyrir hvert eftirfarandi fall
1.
𝑓(𝑥)=4𝑥+7;𝑥1=2,𝑥2=5
2.
𝑓(𝑥)=8𝑥−3;𝑥1=−1,𝑥2=3
3.
𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥+1;𝑥1=3,𝑥2=3.5
4.
𝑓(𝑥)=−𝑥2+𝑥+2;𝑥1=0.5,𝑥2=1.5
5.
𝑓(𝑥)=43𝑥−1;𝑥1=1,𝑥2=3
6.
𝑓(𝑥)=𝑥−72𝑥+1;𝑥1=0,𝑥2=2
7.
𝑓(𝑥)=√𝑥;𝑥1=1,𝑥2=16
8.
𝑓(𝑥)=√𝑥−9;𝑥1=10,𝑥2=13
9.
𝑓(𝑥)=𝑥1/3+1;𝑥1=0,𝑥2=8
10.
𝑓(𝑥)=6𝑥2/3+2𝑥1/3;𝑥1=1,𝑥2=27
Fyrir eftirfarandi föll,
notið jöfnu 3.4 til að finna hallatölu snertilsins 𝑚tan=𝑓′(𝑎), og
finnið jöfnu snertilsins við þegar
11.
𝑓(𝑥)=3−4𝑥,𝑎=2
12.
𝑓(𝑥)=𝑥5+6,𝑎=−1
13.
𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑥,𝑎=1
14.
𝑓(𝑥)=1−𝑥−𝑥2,𝑎=0
15.
𝑓(𝑥)=7𝑥,𝑎=3
16.
𝑓(𝑥)=√𝑥+8,𝑎=1
17.
𝑓(𝑥)=2−3𝑥2,𝑎=−2
18.
𝑓(𝑥)=−3𝑥−1,𝑎=4
19.
𝑓(𝑥)=2𝑥+3,𝑎=−4
20.
𝑓(𝑥)=3𝑥2,𝑎=3
Fyrir eftirfarandi föll finnið með því að nota jöfnu 3.5.
21.
𝑓(𝑥)=5𝑥+4,𝑎=−1
22.
𝑓(𝑥)=−7𝑥+1,𝑎=3
23.
𝑓(𝑥)=𝑥2+9𝑥,𝑎=2
24.
𝑓(𝑥)=3𝑥2−𝑥+2,𝑎=1
25.
𝑓(𝑥)=√𝑥,𝑎=4
26.
𝑓(𝑥)=√𝑥−2,𝑎=6
27.
𝑓(𝑥)=1𝑥,𝑎=2
28.
𝑓(𝑥)=1𝑥−3,𝑎=−1
29.
𝑓(𝑥)=1𝑥3,𝑎=1
30.
𝑓(𝑥)=1√𝑥,𝑎=4
Fyrir eftirfarandi verkefni er gefið fallið
finnið hallatölu sniðilsins fyrir hvern punkt þar sem -gildið er gefið í töflunni.
Notið svörin við a-lið til að áætla gildi hallatölu snertilsins í
Notið svarið við b-lið til að finna jöfnu snertilsins við í punktinum
31.
[T] (Námundið að aukastöfum.)
x
Hallatala m P Q
x
Hallatala m P Q
1.1
(i)
0.9
(vii)
1.01
(ii)
0.99
(viii)
1.001
(iii)
0.999
(ix)
1.0001
(iv)
0.9999
(x)
1.00001
(v)
0.99999
(xi)
1.000001
(vi)
0.999999
(xii)
32.
[T]𝑓(𝑥)=𝑥+1𝑥2−1,𝑃(0,−1)
x
Hallatala m P Q
x
Hallatala m P Q
0.1
(i)
− 0 . 1 −0.1
(vii)
0.01
(ii)
− 0 . 0 1 −0.01
(viii)
0.001
(iii)
− 0 . 0 0 1 −0.001
(ix)
0.0001
(iv)
− 0 . 0 0 0 1 −0.0001
(x)
0.00001
(v)
− 0 . 0 0 0 0 1 −0.00001
(xi)
0.000001
(vi)
− 0 . 0 0 0 0 0 1 −0.000001
(xii)
33.
[T] (Námundið að aukastöfum.)
x
Hallatala m P Q
− 0 . 1 −0.1
(i)
− 0 . 0 1 −0.01
(ii)
− 0 . 0 0 1 −0.001
(iii)
− 0 . 0 0 0 1 −0.0001
(iv)
− 0 . 0 0 0 0 1 −0.00001
(v)
−0.000001
(vi)
34.
[T]𝑓(𝑥)=tan(𝑥),𝑃(𝜋,0)
x
Hallatala m P Q
3.1
(i)
3.14
(ii)
3.141
(iii)
3.1415
(iv)
3.14159
(v)
3.141592
(vi)
[T] Í eftirfarandi verkefnum hreyfist hlutur eftir beinni línu samkvæmt staðarfallinu þar sem er mælt í sekúndum og í metrum. Finnið
einfaldaða stæðu fyrir meðalhraðann frá 𝑡=2 til 𝑡=2+ℎ;
meðalhraðann milli 𝑡=2 og 𝑡=2+ℎ, þar sem (i)ℎ=0.1, (ii)ℎ=0.01, (iii)ℎ=0.001, og (iv)ℎ=0.0001; og
notið svarið við a-lið til að áætla augnablikshraðann við 𝑡=2 sekúndur.
35.
𝑠(𝑡)=13𝑡+5
36.
𝑠(𝑡)=𝑡2−2𝑡
37.
𝑠(𝑡)=2𝑡3+3
38.
𝑠(𝑡)=16𝑡2−4𝑡
39.
Notið eftirfarandi graf til að ákvarða a. og b.
40.
Notið eftirfarandi graf til að reikna a. og b.
Notið markgildisskilgreiningu afleiðu til að sýna að afleiða hvers eftirfarandi falls sé ekki til í .
41.
𝑓(𝑥)=𝑥1/3,𝑥=0
42.
𝑓(𝑥)=𝑥2/3,𝑥=0
43.
𝑓(𝑥)={1,𝑥<1𝑥,𝑥≥1,𝑥=1
44.
𝑓(𝑥)=|𝑥|𝑥,𝑥=0
45.
[T] Staða kappakstursbíls á beinni braut, mæld í fetum, eftir sekúndur er lýst með fallinu
Finnið meðalhraða ökutækisins á eftirfarandi tímabilum með fjögurra aukastafa nákvæmni: [4, 4.1] [4,
4.01]
[4,
4.001] [4,
4.0001]
Notið niðurstöðurnar í a-lið til að meta augnablikshraða ökutækisins við 𝑡=4 sekúndur.
46.
[T] Vegalengdin í fetum sem bolti rúllar niður hallandi flöt er gefin með fallinu þar sem t er tíminn í sekúndum frá því að boltinn byrjar að rúlla.
Finnið meðalhraða boltans á eftirfarandi tímabilum:
[5, 5.1]
[5, 5.01]
[5, 5.001]
[5, 5.0001]
Notið svörin við a-lið til að meta augnablikshraða boltans við 𝑡=5 sekúndur.
47.
Tvö ökutæki leggja af stað hlið við hlið eftir beinum vegi. Staðarföll þeirra, sem sýnd eru á eftirfarandi grafi, eru og þar sem er mælt í fetum og í sekúndum.
Hvort ökutækjanna hefur farið lengra við 𝑡=2 sekúndur?
Hver er áætlaður hraði hvors ökutækis eftir sekúndur?
Hvaða ökutæki ekur hraðar þegar sekúndur eru liðnar?
Hvað gildir um staðsetningar ökutækjanna eftir sekúndur?
48.
[T] Fallið sem táknar heildarkostnað í hundruðum dollara við framleiðslu á þúsund krukkum af majónesi, er gefið með
Reiknið meðalkostnað á hverja krukku á eftirfarandi bilum:
[100, 100.1]
[100, 100.01]
[100, 100.001]
[100, 100.0001]
Notið svörin við a-lið til að áætla meðalkostnaðinn við framleiðslu á 100,000 krukkum af majónesi.
49.
[T] Fyrir fallið gerið eftirfarandi.
Notið grafreikni til að teikna graf f í viðeigandi myndglugga.
Notið ZOOM-aðgerð reiknisins til að finna nálgunargildi fyrir tvö gildi sem uppfylla
50.
[T] Fyrir fallið gerið eftirfarandi.
Notið grafreikni til að teikna graf í viðeigandi myndglugga.
Notið ZOOM-aðgerð reiknisins til að finna nálgunargildi fyrir þau gildi sem uppfylla
51.
Látum 𝑁(𝑥) gefa fjölda gallóna af bensíni sem ökutæki notar til að aka 𝑥 mílur. Eldsneytisnýting ökutækisins er 30 mílur á gallón.
Finnið stærðfræðilega stæðu fyrir
Hvað er Útskýrið eðlisfræðilega merkingu þess.
Hvað er Útskýrið eðlisfræðilega merkingu þess.
52.
[T] Fyrir fallið gerið eftirfarandi.
Notið grafreikni til að teikna graf í viðeigandi myndglugga.
Notið -fallið á grafreikni, sem reiknar afleiðuna tölulega, til að áætla gildin auk
53.
[T] Fyrir fallið gerið eftirfarandi.
Notið grafreikni til að teikna graf í viðeigandi myndglugga.
