Æfing
8.1 Meðaltal eins þýðis reiknað með normaldreifingu
Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fimm æfingum: Staðalfrávik þyngdar fíla er þekkt og er um það bil 15 pund. Við viljum búa til 95 prósent öryggisbil fyrir meðalþyngd nýfæddra fílsunga. Fimmtíu nýfæddir fílar eru vigtaðir. Úrtaksmeðaltalið er 244 pund. Staðalfrávik úrtaks er 11 pund.
Finnið eftirfarandi:
- x̄ = _____
- σ = _____
- n = _____
Skilgreinið slembibreyturnar X og x̄ með orðum.
Hvaða dreifingu ætti að nota fyrir þetta verkefni?
Búið til 95 prósent öryggisbil fyrir þýðismeðaltal þyngdar nýfæddra fíla. Tilgreinið öryggisbilið, teiknið grafið í grófum dráttum og reiknið skekkjumörkin.
Hvað gerist við öryggisbilið sem fæst ef 500 nýfæddir fílar eru vigtaðir í stað 50? Hvers vegna?
Lausn
Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu sjö æfingum: Bandaríska manntalsskrifstofan gerir rannsókn til að ákvarða tímann sem þarf til að fylla út stutta eyðublaðið. Skrifstofan kannar 200 manns. Úrtaksmeðaltalið er 8,2 mínútur. Þekkt staðalfrávik er 2,2 mínútur. Gert er ráð fyrir að þýðisdreifingin sé normaldreifð.
Finnið eftirfarandi:
- x̄ = _____
- σ = _____
- n = _____
Skilgreinið slembibreyturnar X og x̄ með orðum.
Hvaða dreifingu ætti að nota fyrir þetta verkefni?
Búið til 90 prósent öryggisbil fyrir þýðismeðaltal tímans sem tekur að fylla út eyðublöðin. Tilgreinið öryggisbilið, teiknið grafið í grófum dráttum og reiknið skekkjumörkin.
Ef manntalsskrifstofan vill hækka öryggisstigið og halda skekkjumörkunum óbreyttum með annarri könnun, hvaða breytingar ætti hún að gera?
Ef manntalsskrifstofan gerði aðra könnun, héldi skekkjumörkunum óbreyttum og kannaði aðeins 50 manns í stað 200, hvað myndi gerast við öryggisstigið? Hvers vegna?
Gerið ráð fyrir að manntalsskrifstofan þurfi 98 prósent öryggi fyrir þýðismeðaltal tímans. Þyrfti skrifstofan að kanna fleiri manns? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?
Lausn
Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tíu æfingum: Úrtak með 20 salathausum var valið. Gerið ráð fyrir að þýðisdreifing þyngdar salathausa sé normaldreifð. Þyngd hvers salathöfuðs var síðan skráð. Meðalþyngdin var 2,2 pund með staðalfrávik 0,1 pund. Þekkt er að staðalfrávik þýðis er 0,2 pund.
Finnið eftirfarandi:
- x̄ = ______
- σ = ______
- n = ______
Skilgreinið slembibreytuna X með orðum.
Skilgreinið slembibreytuna x̄ með orðum.
Hvaða dreifingu ætti að nota fyrir þetta verkefni?
Búið til 90 prósent öryggisbil fyrir þýðismeðaltal þyngdar salathausanna. Tilgreinið öryggisbilið, teiknið grafið í grófum dráttum og reiknið skekkjumörkin.
Búið til 95 prósent öryggisbil fyrir þýðismeðaltal þyngdar salathausanna. Tilgreinið öryggisbilið, teiknið grafið í grófum dráttum og reiknið skekkjumörkin.
Útskýrið í heilum setningum hvers vegna öryggisbilið í æfingu 8.17 er stærra en í æfingu 8.18.
Gefið í heilum setningum túlkun á því hvað bilið í æfingu 8.18 merkir.
Hvað gerðist ef 40 salathausar væru í úrtakinu í stað 20 og skekkjumörkin héldust óbreytt?
Hvað gerðist ef 40 salathausar væru í úrtakinu í stað 20 og öryggisstigið héldist óbreytt?
Lausn
Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fjórtán æfingum: Meðalaldur allra nemenda við Foothill College á nýlegri haustönn var 33,2 ár. Staðalfrávik þýðis hefur verið nokkuð stöðugt, eða 15. Gerið ráð fyrir að 25 vetrarnemendur hafi verið valdir af handahófi. Meðalaldur úrtaksins var 30,4 ár. Við höfum áhuga á hinu sanna meðalaldri vetrarnemenda við Foothill College. Látum X = aldur vetrarnemanda við Foothill College.
x̄ = _____
n = _____
________ = 15
Skilgreinið slembibreytuna x̄ með orðum.
Hvað er x̄ að meta?
Er σ_x þekkt?
Með hliðsjón af svari ykkar við æfingu 8.26, tilgreinið nákvæmu dreifinguna sem á að nota við útreikning öryggisbilsins.
Lausn
Búið til 95 prósent öryggisbil fyrir hinn sanna meðalaldur vetrarnemenda við Foothill College með því að vinna úr og svara næstu átta æfingum.
Hversu mikið flatarmál er í báðum hölum samanlagt? α =________
Hversu mikið flatarmál er í hvorum hala? α/2 =________
Finnið eftirfarandi stærðir:
- neðri mörk
- efri mörk
- skekkjumörk
95 prósent öryggisbilið er __________________.
Fyllið inn í eyðurnar á grafinu með flatarmálum, efri og neðri mörkum öryggisbilsins og úrtaksmeðaltalinu.
Útskýrið í einni heilli setningu hvað bilið merkir.
Notið sama meðaltal, staðalfrávik og öryggisstig og gerið ráð fyrir að n væri 69 í stað 25. Yrðu skekkjumörkin stærri eða minni? Hvernig vitið þið það?
Með sama meðaltali, staðalfráviki og úrtaksstærð, hvernig myndu skekkjumörkin breytast ef öryggisstigið væri lækkað í 90 prósent? Hvers vegna?
8.2 Meðaltal eins þýðis reiknað með t-dreifingu Students
Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fimm æfingum: Sjúkrahús reynir að stytta biðtíma á bráðamóttöku. Það hefur áhuga á tímanum sem sjúklingar þurfa að bíða áður en þeir eru kallaðir inn til skoðunar. Rannsóknarnefnd kannaði 70 sjúklinga af handahófi. Úrtaksmeðaltalið var 1,5 klst. með staðalfrávik úrtaks 0,5 klst.
Finnið eftirfarandi:
- x̄ =_______
- s_x =_______
- n =_______
- n – 1 =_______
Skilgreinið slembibreyturnar X og x̄ með orðum.
Hvaða dreifingu ætti að nota fyrir þetta verkefni?
Búið til 95 prósent öryggisbil fyrir þýðismeðaltal biðtímans. Tilgreinið öryggisbilið, teiknið grafið í grófum dráttum og reiknið skekkjumörkin.
Útskýrið í heilum setningum hvað öryggisbilið merkir.
Lausn
Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu sex æfingum: Könnun var lögð fyrir 108 Bandaríkjamenn til að ákvarða hversu margar klukkustundir þeir horfa á sjónvarp á mánuði. Í ljós kom að þeir horfa að meðaltali 151 klukkustund á mánuði, með staðalfrávik 32 klukkustundir. Gerið ráð fyrir að undirliggjandi þýðisdreifing sé normaldreifð.
Finnið eftirfarandi:
- x̄ =_______
- s_x =_______
- n =_______
- n – 1 =_______
Skilgreinið slembibreytuna X með orðum.
Skilgreinið slembibreytuna x̄ með orðum.
Hvaða dreifingu ætti að nota fyrir þetta verkefni?
Búið til 99 prósent öryggisbil fyrir þýðismeðaltal fjölda klukkustunda sem varið er í sjónvarpsáhorf á mánuði. Tilgreinið öryggisbilið, teiknið grafið í grófum dráttum og reiknið skekkjumörkin.
Hvers vegna myndu skekkjumörkin breytast ef öryggisstigið væri lækkað í 95 prósent?
Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu þrettán æfingum: Gögnin í töflu 8.10 eru niðurstöður slembikönnunar á 39 þjóðfánum frá ýmsum löndum, með endurvali milli drátta. Við viljum finna öryggisbil fyrir hið sanna meðaltal fjölda lita á þjóðfána. Látum X = fjölda lita á þjóðfána.
| X | Tíðni |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 7 |
| 3 | 18 |
| 4 | 7 |
| 5 | 6 |
Reiknið eftirfarandi:
- x̄ =______
- s_x =______
- n =______
Skilgreinið slembibreytuna x̄ með orðum.
Hvað er x̄ að meta?
Er σ_x þekkt?
Með hliðsjón af svari ykkar við æfingu 8.52, tilgreinið nákvæmu dreifinguna sem á að nota við útreikning öryggisbilsins.
Lausn
Búið til 95 prósent öryggisbil fyrir hið sanna meðaltal fjölda lita á þjóðfánum.
Hversu mikið flatarmál er í báðum hölum samanlagt?
Hversu mikið flatarmál er í hvorum hala?
Reiknið eftirfarandi:
- neðri mörk
- efri mörk
- skekkjumörk
95 prósent öryggisbilið er _____.
Fyllið inn í eyðurnar á grafinu með flatarmálum, efri og neðri mörkum öryggisbilsins og úrtaksmeðaltalinu.
Útskýrið í einni heilli setningu hvað bilið merkir.
Notið sama x̄, s_x og öryggisstig og gerið ráð fyrir að n væri 69 í stað 39. Yrðu skekkjumörkin stærri eða minni? Hvernig vitið þið það?
Með sama x̄, s_x og n = 39, hvernig myndu skekkjumörkin breytast ef öryggisstigið væri lækkað í 90 prósent? Hvers vegna?
8.3 Þýðishlutfall
Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tveimur æfingum: Markaðsfyrirtæki hafa áhuga á þýðishlutfalli kvenna sem taka flestar innkaupaákvarðanir heimilisins.
Þegar rannsókn er hönnuð til að ákvarða þetta þýðishlutfall, hver er minnsti fjöldi sem þyrfti að kanna til að hafa 90 prósent öryggi fyrir því að þýðishlutfallið sé metið innan 0,05?
Ef síðar kæmi í ljós að mikilvægt væri að hafa meira en 90 prósent öryggi og ný könnun væri pöntuð, hvaða áhrif hefði það á minnsta fjölda sem þarf að kanna? Hvers vegna?
Lausn
Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fimm æfingum: Gerið ráð fyrir að markaðsfyrirtæki hafi framkvæmt könnun. Það valdi 200 heimili af handahófi og komst að því að á 120 þeirra tóku konurnar flestar innkaupaákvarðanirnar. Við höfum áhuga á þýðishlutfalli heimila þar sem konur taka flestar innkaupaákvarðanirnar.
Finnið eftirfarandi:
- x = ______
- n = ______
- p′ = ______
Skilgreinið slembibreyturnar X og P′ með orðum.
Hvaða dreifingu ætti að nota fyrir þetta verkefni?
Búið til 95 prósent öryggisbil fyrir þýðishlutfall heimila þar sem konurnar taka flestar innkaupaákvarðanirnar. Tilgreinið öryggisbilið, teiknið grafið í grófum dráttum og reiknið skekkjumörkin.
Nefnið tvo erfiðleika sem fyrirtækið gæti átt við að fá slembnar niðurstöður ef könnunin væri gerð með tölvupósti.
Lausn
Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fimm æfingum: Af 1.050 fullorðnum sem voru valdir af handahófi lýstu 360 sér sem verkafólki, 280 sem launafólki í skrifstofu- eða þjónustustörfum, 250 sem millistjórnendum og 160 sem stjórnendum. Í könnuninni sögðust 82 prósent verkafólks kjósa pallbíla, 62 prósent launafólks í skrifstofu- eða þjónustustörfum kjósa pallbíla, 54 prósent millistjórnenda kjósa pallbíla og 26 prósent stjórnenda kjósa pallbíla.
Við viljum finna 95 prósent öryggisbil fyrir hlutfall stjórnenda sem kjósa pallbíla. Skilgreinið slembibreyturnar X og P′ með orðum.
Hvaða dreifingu ætti að nota fyrir þetta verkefni?
Búið til 95 prósent öryggisbil. Tilgreinið öryggisbilið, teiknið grafið í grófum dráttum og reiknið skekkjumörkin.
Gerið ráð fyrir að við viljum minnka úrtaksvilluna. Hver er ein leið til að ná því?
Úrtaksvillan sem gefin er upp í könnuninni er ±2 prósent. Útskýrið hvað ±2 prósent merkir.
Lausn
Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fimm æfingum: Í skoðanakönnun meðal 1.200 kjósenda var spurt hvert mikilvægasta málið væri í komandi kosningum. Sextíu og fimm prósent svöruðu „efnahagsmálin“. Við höfum áhuga á þýðishlutfalli kjósenda sem telja efnahagsmálin mikilvægust.
Skilgreinið slembibreytuna X með orðum.
Skilgreinið slembibreytuna P′ með orðum.
Hvaða dreifingu ætti að nota fyrir þetta verkefni?
Búið til 90 prósent öryggisbil og tilgreinið öryggisbilið og skekkjumörkin.
Hvað gerðist við öryggisbilið ef öryggisstigið væri 95 prósent?
Lausn
Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu sextán æfingum: Ice Chalet býður upp á tugi mismunandi skautanámskeiða fyrir byrjendur. Öll heiti námskeiðanna eru sett í ílát. Byrjendaskautanámskeiðið kl. 17 á mánudagskvöldum fyrir 8 til 12 ára er dregið. Í þeim hópi eru 64 stúlkur og 16 drengir. Gerið ráð fyrir að við höfum áhuga á hinu sanna hlutfalli stúlkna á aldrinum 8 til 12 ára í öllum byrjendaskautanámskeiðum hjá Ice Chalet. Gerið ráð fyrir að börnin í valda hópnum séu slembiúrtak úr þýðinu.
Hvað er verið að telja?
Skilgreinið slembibreytuna X með orðum.
Reiknið eftirfarandi:
- x = _______
- n = _______
- p′ = _______
Tilgreinið metnu dreifingu X. X ~ ________
Skilgreinið nýja slembibreytu P′. Hvað er p′ að meta?
Skilgreinið slembibreytuna P′ með orðum.
Tilgreinið metnu dreifingu P′. Búið til 92 prósent öryggisbil fyrir hið sanna hlutfall stúlkna á aldrinum 8 til 12 ára í byrjendaskautanámskeiðum hjá Ice Chalet.
Hversu mikið flatarmál er í báðum hölum samanlagt?
Hversu mikið flatarmál er í hvorum hala?
Reiknið eftirfarandi:
- neðri mörk
- efri mörk
- skekkjumörk
92 prósent öryggisbilið er _______.
Fyllið inn í eyðurnar á grafinu með flatarmálum, efri og neðri mörkum öryggisbilsins og úrtakshlutfallinu.
Útskýrið í einni heilli setningu hvað bilið merkir.
Notið sama p′ og öryggisstig og gerið ráð fyrir að n væri hækkað í 100. Yrðu skekkjumörkin stærri eða minni? Hvernig vitið þið það?
Með sama p′ og n = 80, hvernig myndu skekkjumörkin breytast ef öryggisstigið væri hækkað í 98 prósent? Hvers vegna?
Ef leyfileg skekkjumörk væru minnkuð, hvers vegna myndi lágmarksúrtaksstærðin aukast, að öryggisstigi óbreyttu?