Upprifjun kafla

8.1 Meðaltal eins þýðis reiknað með normaldreifingu

Í þessum hluta lærðum við að reikna öryggisbil fyrir meðaltal eins þýðis þegar staðalfrávik þýðis er þekkt. Þegar þýðismeðaltal er metið kallast vikmörkin skekkjumörk þýðismeðaltals (EBM). Öryggisbil hefur almennt formið

(neðri mörk, efri mörk) = (punktmat – EBM, punktmat + EBM).

Útreikningur EBM fer eftir stærð úrtaksins og því öryggisstigi sem óskað er eftir. Öryggisstigið er hlutfall allra mögulegra úrtaka sem má búast við að innihaldi hinn sanna þýðisstika. Þegar öryggisstigið hækkar hækka samsvarandi EBM einnig. Þegar úrtaksstærðin stækkar lækka EBM. Samkvæmt höfuðsetningu tölfræðinnar er

EBM = z(σ/√n).

Ef öryggisbil er gefið er hægt að vinna aftur á bak til að finna skekkjumörkin (EBM) eða úrtaksmeðaltalið. Til að finna skekkjumörkin er mismunur efri marka bilsins og meðaltalsins reiknaður. Ef úrtaksmeðaltalið er óþekkt má finna skekkjumörkin með því að reikna helminginn af mismuni efri og neðri marka. Til að finna úrtaksmeðaltal út frá öryggisbili er mismunur efri marka og skekkjumarka reiknaður. Ef skekkjumörkin eru óþekkt er meðaltal efri og neðri marka öryggisbilsins tekið til að finna úrtaksmeðaltalið.

Stundum vita rannsakendur fyrir fram að þeir vilja meta þýðismeðaltal með tilteknum vikmörkum við ákveðið öryggisstig. Þá er EBM-formúlan leyst fyrir n til að finna þá úrtaksstærð sem þarf til að ná þessu markmiði:

n = z²σ²/EBM²

8.2 Meðaltal eins þýðis reiknað með t-dreifingu Students

Í mörgum tilvikum þekkir rannsakandinn ekki staðalfrávik þýðis, σ, fyrir þá mælingu sem verið er að rannsaka. Þá er algengt að nota staðalfrávik úrtaks, s, sem mat á σ. Normaldreifingin gefur nákvæm öryggisbil þegar σ er þekkt, en hún er ekki jafn nákvæm þegar s er notað sem mat. Í slíkum tilvikum hentar t-dreifing Students mun betur. t-gildi er skilgreint með eftirfarandi formúlu:

t = (x̄ − μ)/(s/√n)

t-gildið fylgir t-dreifingu Students með n – 1 frígráðum. Öryggisbilið samkvæmt þessari dreifingu er reiknað með EBM = (t_(α/2))(s/√n), þar sem t_(α/2) er t-gildið með flatarmálið α/2 hægra megin, s er staðalfrávik úrtaks og n er úrtaksstærðin. Notið töflu, reiknivél eða tölvu til að finna t_(α/2) fyrir gefið α.

8.3 Þýðishlutfall

Sumar tölfræðilegar mælingar, til dæmis margar spurningar í könnunum, mæla eigindleg gögn fremur en megindleg gögn. Í slíkum tilvikum er þýðisstikinn sem verið er að meta hlutfall. Hægt er að búa til öryggisbil fyrir hið sanna þýðishlutfall með svipuðum aðferðum og notaðar eru við gerð öryggisbila fyrir þýðismeðaltöl. Formúlurnar eru örlítið frábrugðnar, en röksemdafærslan er sú sama.

Látum p′ tákna úrtakshlutfallið, x/n, þar sem x táknar fjölda jákvæðra útkoma og n táknar úrtaksstærðina. Látum q′ = 1 – p′. Þá fæst öryggisbil fyrir þýðishlutfall með eftirfarandi formúlu:

(neðri mörk, efri mörk) = (p′ – EBP, p′ + EBP) = (p′ – z√(p′q′/n), p′ + z√(p′q′/n)).

Plús-fjögurra aðferðin við útreikning öryggisbila reynir að vega upp skekkjuna sem verður þegar metin þýðishlutföll eru notuð við útreikning staðalfráviks úrtakadreifingarinnar. Hugsið einfaldlega um fjórar viðbótartilraunir í rannsókninni: tvær með jákvæða útkomu og tvær með neikvæða útkomu. Reiknið p′ = (x + 2)/(n + 4) og finnið síðan öryggisbilið. Þegar úrtaksstærðir eru litlar hefur verið sýnt fram á að þessi aðferð gefur nákvæmari öryggisbil en staðlaða formúlan sem notuð er fyrir stærri úrtök.