8.1 Meðaltal eins þýðis með normaldreifingu

8.1 Meðaltal eins þýðis reiknað með normaldreifingu

Öryggisbil fyrir þýðismeðaltal með þekktu staðalfráviki byggist á þeirri staðreynd að úrtaksmeðaltöl fylgja um það bil normaldreifingu. Gerum ráð fyrir að úrtak okkar hafi meðaltalið x̄ = 10 og að við höfum búið til 90 prósenta öryggisbil (5, 15), þar sem skekkjumörkin eru EBM = 5.

Útreikningur öryggisbilsins

Til að reikna öryggisbil fyrir eitt óþekkt þýðismeðaltal, μ, þar sem staðalfrávik þýðisins er þekkt, þurfum við x̄ sem mat á μ og skekkjumörkin. Vikmörk þýðismeðaltalsins kallast skekkjumörk þýðismeðaltals (EBM). Úrtaksmeðaltalið, x̄, er punktmat á óþekkta þýðismeðaltalinu, μ.

Mat á öryggisbilinu (CI) hefur formið:

(punktmat - skekkjumörk, punktmat + skekkjumörk) eða, með táknum, (x̄ – EBM, x̄ + EBM).

Skekkjumörkin (EBM) ráðast af öryggisstiginu (CL). Öryggisstig er oft talið vera líkurnar á því að reiknað öryggisbil innihaldi raunverulegan stika þýðisins. Hins vegar er nákvæmara að segja að öryggisstig sé hlutfall þeirra öryggisbila sem innihalda raunverulegan stika þýðisins þegar tekin eru endurtekin úrtök. Oftast velur sá sem reiknar öryggisbilið öryggisstig sem er 90 prósent eða hærra, þar sem viðkomandi vill vera nokkuð viss um niðurstöður sínar.

Önnur stærð, sem kallast alfa (α), tengist öryggisstiginu, CL. Alfa eru líkurnar á því að öryggisbilið innihaldi ekki óþekkta stika þýðisins. Stærðfræðilega má reikna alfa sem α = 1 - CL.

Gagnrýnigildið 1,645 er z-gildið í staðlaðri normaldreifingu sem setur flatarmálið 0,90 í miðjuna, flatarmálið 0,05 í ysta vinstri halann og flatarmálið 0,05 í ysta hægri halann. Til að fanga miðlæg 90 prósent verðum við að fara 1,645 staðalfrávik út til hvorrar hliðar frá reiknuðu úrtaksmeðaltali. Gagnrýnigildið mun breytast eftir öryggisstigi bilsins.

Það er mikilvægt að staðalfrávikið sem notað er eigi við um þann stika sem við erum að meta, þannig að í þessum hluta þurfum við að nota staðalfrávikið sem gildir um úrtaksmeðaltöl, sem er σ/√n. Brotið σ/√n er almennt kallað staðalskekkja meðaltalsins til að greina skýrt á milli staðalfráviks meðaltals og staðalfráviks þýðis, σ.

Í stuttu máli gilda eftirfarandi fullyrðingar samkvæmt höfuðsetningu tölfræðinnar: X̄ er normaldreift, það er að segja, X̄ ~ N(μ_X, σ/√n). Þegar staðalfrávik þýðis σ er þekkt, notum við normaldreifingu til að reikna skekkjumörkin.

Útreikningur öryggisbilsins

Til að reikna öryggisbil fyrir óþekkt þýðismeðaltal þurfum við gögn úr slembiúrtaki. Skrefin til að reikna og túlka öryggisbilið eru eftirfarandi:

Reiknið úrtaksmeðaltalið, x̄, út frá úrtaksgögnunum. Munið að í þessum hluta þekkjum við nú þegar staðalfrávik þýðisins, σ.

Finnið z-gildið sem samsvarar öryggisstiginu.

Reiknið skekkjumörkin EBM.

Búið til öryggisbilið.

Ef við táknum gagnrýna z-gildið með z_(α/2) og úrtaksstærðina með n, þá er jafnan fyrir öryggisbilið með öryggisstiginu CL = 1 − α gefin með (x̄ - z_(α/2) $\times$ σ/√n, x̄ + z_(α/2) $\times$ σ/√n).

Skrifið setningu sem túlkar matið í samhengi við aðstæðurnar í dæminu. Útskýrið hvað öryggisbilið þýðir með orðalagi dæmisins.

Við munum fyrst skoða hvert skref nánar og sýna síðan ferlið með nokkrum dæmum.

Að finna z-gildið fyrir tilgreint öryggisstig

Þegar við þekkjum staðalfrávik þýðisins, σ, notum við staðlaða normaldreifingu til að reikna skekkjumörkin EBM og búa til öryggisbilið. Við þurfum að finna það gildi á z sem setur flatarmál jafnt öryggisstiginu (á tugabrotsformi) í miðju stöðluðu normaldreifingarinnar Z ~ N (0, 1).

Öryggisstigið, CL, er flatarmálið í miðju stöðluðu normaldreifingarinnar. CL = 1 – α, þannig að α er flatarmálið sem skiptist jafnt á milli halanna tveggja. Hvor hali inniheldur flatarmál sem er jafnt og α/2.

Það z-gildi sem hefur flatarmál hægra megin við α/2 er táknað með z_(α/2).

Til dæmis, þegar CL = 0,95, α = 0,05 og α/2 = 0,025, skrifum við z_(α/2) = z_0,025.

Flatarmálið hægra megin við z_0,025 er 0,025 og flatarmálið vinstra megin við z_0,025 er 1 – 0,025 = 0,975.

z_(α/2) = z_0,025 = 1,96, með því að nota reiknivél, tölvu eða töflu yfir staðlaða normaldreifingu.

Normaldreifingartafla (sjá viðauka) sýnir að líkurnar fyrir 0 til 1,96 eru 0,47500, og því eru líkurnar í hægri hala gagnrýnigildisins 1,96 jafnar 0,5 – 0,475 = 0,025.

Notkun TI-83, 83+, 84 og 84+ reiknivél

invNorm (0,975, 0, 1) = 1,96. Í þessari skipun er gildið 0,975 heildarflatarmálið vinstra megin við gagnrýnigildið sem við erum að reyna að reikna. Stikarnir 0 og 1 eru meðaltal og staðalfrávik stöðluðu normaldreifingarinnar Z.

Athugasemd

Munið að nota flatarmálið VINSTRA MEGIN við z_(α/2). Í þessum kafla eru síðustu tvö inntökin í invNorm skipuninni 0 og 1, vegna þess að notuð er stöðluð normaldreifing Z með meðaltalið 0 og staðalfrávikið 1.

Útreikningur á skekkjumörkum EBM

Jafnan fyrir skekkjumörk óþekkts þýðismeðaltals, μ, þegar staðalfrávik þýðis, σ, er þekkt, er

Skekkjumörk = (z_(α/2))(σ/√n).

Gerð öryggisbilsins

Mat á öryggisbili hefur formið úrtaksmeðaltal plús eða mínus skekkjumörk.

Línuritið gefur mynd af stöðunni í heild sinni

CL + α/2 + α/2 = CL + α = 1.

Að skrifa túlkunina

Túlkunin ætti að tilgreina öryggisstigið (CL), skýra hvaða þýðisstiki er metinn, hér þýðismeðaltal, og tilgreina öryggisbilið með báðum endapunktum: „Við metum með ___ prósenta öryggi að hið sanna þýðismeðaltal (setjið inn samhengi verkefnisins) sé á milli ___ og ___ (setjið inn viðeigandi einingar).“

Lausn A

Til að finna öryggisbilið þarf úrtaksmeðaltalið x̄ og EBM. Hér er x̄ = 68, σ = 3 og n = 36. Öryggisstigið er 90 prósent (CL = 0,90), þannig að α = 1 – CL = 1 – 0,90 = 0,10 og α/2 = 0,05. Því er z_(α/2) = z_0,05. Flatarmálið hægra megin við z_0,05 er 0,05 og flatarmálið vinstra megin við z_0,05 er 1 – 0,05 = 0,95. Með invNorm(0,95, 0, 1) á TI-83, 83+ eða 84+ reiknivél fæst z_(α/2) = z_0,05 = 1,645. Þetta má einnig finna með öðrum reiknivélum, tölvu eða líkindatöflu fyrir staðlaða normaldreifingu. EBM = (1,645)(3/√36) = 0,8225. Þá er x̄ – EBM = 68 – 0,8225 = 67,1775 og x̄ + EBM = 68 + 0,8225 = 68,8225. 90 prósenta öryggisbilið er (67,1775, 68,8225).

Lausn B

Notkun TI-83, 83+, 84 og 84+ reiknivél

Ýttu á STAT og færðu þig yfir á TESTS. Færðu þig niður á 7:ZInterval. Ýttu á ENTER. Færðu þig á Stats og ýttu á ENTER. Færðu þig niður og sláðu inn 3 fyrir σ, 68 fyrir x̄, 36 fyrir n og 0,90 fyrir C-level. Færðu þig niður á Calculate og ýttu á ENTER. Öryggisbilið er (með þremur aukastöfum) (67,178, 68,822).

Túlkun

Við metum með 90 prósenta öryggi að hið sanna þýðismeðaltal einkunna allra tölfræðinema sé á milli 67,18 og 68,82.

Útskýring á 90 prósenta öryggisstigi

Níutíu prósent allra öryggisbila sem eru búin til á þennan hátt innihalda hið sanna meðaltal tölfræðieinkunna. Til dæmis, ef við myndum búa til 100 slík öryggisbil, mættum við búast við að 90 þeirra innihéldu hið sanna þýðismeðaltal einkunna.

Lausn A

Til að finna öryggisbilið skal byrja á því að finna punktmatið: úrtaksmeðaltalið, x̄ = 1,024. Þetta er reiknað með því að leggja saman SAR-gildin fyrir farsímana 30 í úrtakinu og deila útkomunni með 30. Næst skal finna EBM. Þar sem verið er að búa til 98 prósenta öryggisbil er CL = 0,98.

Finna þarf z_0,01, sem hefur þann eiginleika að flatarmálið undir þéttiferli normaldreifingarinnar hægra megin við z_0,01 er 0,01 og flatarmálið vinstra megin er 0,99. Notið reiknivél, tölvu eða líkindatöflu fyrir staðlaða normaldreifingu til að finna z_0,01 = 2,326.

EBM = (z_0,01)(σ/√n) = (2,326)(0,337/√30) = 0,1431. Til að finna 98 prósenta öryggisbilið skal finna x̄ ± EBM. x̄ – EBM = 1,024 – 0,1431 = 0,8809 og x̄ + EBM = 1,024 + 0,1431 = 1,1671. Við metum með 98 prósenta öryggi að hið sanna SAR-meðaltal fyrir þýði farsíma í Bandaríkjunum sé á milli 0,8809 og 1,1671 vött á kílógramm.

Lausn B

Notkun TI-83, 83+, 84 og 84+ reiknivél

Ýttu á STAT og færðu þig yfir á TESTS.

Færðu þig niður á 7:ZInterval.

Ýttu á ENTER.

Færðu þig á Stats og ýttu á ENTER.

Færðu þig niður og sláðu inn eftirfarandi gildi: σ: 0,337 x̄: 1,024 n: 30 C-level: 0,98

Færðu þig niður á Calculate og ýttu á ENTER.

Öryggisbilið er (með þremur aukastöfum) (0,881, 1,167).

Takið eftir muninum á öryggisbilunum sem reiknuð voru í sýnidæmi 8.3 og eftirfarandi Prófaðu-verkefni. Þessi bil eru ólík af nokkrum ástæðum: þau eru reiknuð út frá mismunandi úrtökum, úrtökin eru af mismunandi stærð og bilin eru reiknuð fyrir mismunandi öryggisstig. Þótt bilin séu ólík gefa þau ekki misvísandi upplýsingar. Áhrif slíkra breytinga eru viðfangsefni næsta hluta í þessum kafla.

Breyting á öryggisstigi eða úrtaksstærð

Túlkun

Við metum með 95 prósenta vissu að hið sanna þýðismeðaltal fyrir allar einkunnir úr tölfræðiprófinu sé á milli 67,02 og 68,98.

Útskýring á 95 prósenta öryggisstigi

95 prósent allra öryggisbila sem búin til eru á þennan hátt innihalda hið sanna gildi þýðismeðaltals einkunna úr tölfræðiprófinu.

Samanburður á niðurstöðum

90 prósenta öryggisbilið er (67,18, 68,82). 95 prósenta öryggisbilið er (67,02, 68,98). 95 prósenta öryggisbilið er breiðara. Ef litið er á línuritin, þar sem flatarmálið 0,95 er stærra en flatarmálið 0,90, er rökrétt að 95 prósenta öryggisbilið sé breiðara. Til að fá meiri vissu fyrir því að öryggisbilið innihaldi raunverulega hið sanna gildi þýðismeðaltals allra einkunna úr tölfræðiprófinu þarf öryggisbilið óhjákvæmilega að vera breiðara.

Samantekt: Áhrif þess að breyta öryggisstigi

Að hækka öryggisstigið stækkar skekkjumörkin, sem gerir öryggisbilið breiðara.

Að lækka öryggisstigið minnkar skekkjumörkin, sem gerir öryggisbilið mjórra.

Lausn A

Ef við stækkum úrtaksstærðina n í 100, þá minnkum við skekkjumörkin. Þegar n = 100 er EBM = (z_(α/2))(σ/√n) = (1,645)(3/√100) = 0,4935.

Lausn B

Ef við minnkum úrtaksstærðina n í 25, þá stækkum við skekkjumörkin. Þegar n = 25 er EBM = (z_(α/2))(σ/√n) = (1,645)(3/√25) = 0,987.

Samantekt: Áhrif þess að breyta úrtaksstærð

Að stækka úrtakið veldur því að skekkjumörkin minnka, sem gerir öryggisbilið mjórra.

Að minnka úrtakið veldur því að skekkjumörkin stækka, sem gerir öryggisbilið breiðara.

Unnið aftur á bak til að finna skekkjumörk eða úrtaksmeðaltal

Þegar við reiknum öryggisbil finnum við úrtaksmeðaltalið, reiknum skekkjumörkin og notum þau til að reikna öryggisbilið. Stundum þegar við lesum tölfræðirannsóknir kemur þó fyrir að rannsóknin gefi aðeins upp öryggisbilið. Ef við þekkjum öryggisbilið getum við unnið aftur á bak til að finna bæði skekkjumörkin og úrtaksmeðaltalið.

Að finna skekkjumörkin: Dragið úrtaksmeðaltalið frá efra gildi bilsins, eða dragið neðra gildið frá efra gildi bilsins og deilið síðan mismuninum með 2. Að finna úrtaksmeðaltalið: Dragið skekkjumörkin frá efra gildi öryggisbilsins, eða takið meðaltal af efri og neðri endapunktum öryggisbilsins. Takið eftir að það eru tvær aðferðir til að framkvæma hvorn útreikning. Þið getið valið þá aðferð sem er auðveldari miðað við þær upplýsingar sem þið hafið.

Reiknið skekkjumörkin:

Ef við vitum að úrtaksmeðaltalið er 68, EBM = 68,82 – 68 = 0,82.

Ef við þekkjum ekki úrtaksmeðaltalið, EBM = (68,82 − 67,18)/2 = 0,82. Skekkjumörkin eru sú stærð sem við bætum við og drögum frá úrtaksmeðaltalinu til að fá öryggisbilið. Þess vegna eru skekkjumörkin helmingur af lengd bilsins.

Reiknið úrtaksmeðaltalið:

Ef við þekkjum skekkjumörkin, x̄ = 68,82 – 0,82 = 68.

Ef við þekkjum ekki skekkjumörkin, x̄ = (67,18 + 68,82)/2 = 68.

Að reikna úrtaksstærðina n

Ef rannsakendur óska eftir ákveðnum skekkjumörkum geta þeir notað formúluna fyrir skekkjumörk til að reikna út nauðsynlega úrtaksstærð. Í þessari stöðu eru okkur gefin æskileg skekkjumörk, EBM, og við þurfum að reikna úrtaksstærðina n.

Formúlan fyrir úrtaksstærð er n = z²σ²/EBM², sem fæst með því að leysa formúluna fyrir skekkjumörk með tilliti til n. Námundið alltaf gildið á n upp í næstu heiltölu.

Í þessari formúlu er z gagnrýnigildið z_(α/2), sem samsvarar æskilegu öryggisstigi. Rannsakandi sem skipuleggur rannsókn og vill ákveðið öryggisstig og skekkjumörk getur notað þessa formúlu til að reikna út þá úrtaksstærð sem þarf fyrir rannsóknina.