Inngangur

Inngangur

Gerum ráð fyrir að þið viljið ákvarða meðalleigu tveggja herbergja íbúðar í bænum ykkar. Þið gætuð skoðað smáauglýsingar í dagblaði, skráð nokkrar auglýstar leigur og reiknað meðaltal þeirra. Þá hefðuð þið fengið punktmat á hinu sanna meðaltali. Ef þið viljið ákvarða í hve stóru hlutfalli skota þið hittið í körfu þegar þið spilið körfubolta, gætuð þið talið skotin sem rata ofan í og deilt með heildarfjölda skota. Í því tilviki hefðuð þið fengið punktmat á hinu sanna hlutfalli.

Við notum úrtaksgögn til að alhæfa um óþekkt þýði. Þessi hluti tölfræðinnar kallast ályktunartölfræði. Úrtaksgögnin hjálpa okkur að meta þýðisstika. Við gerum okkur grein fyrir því að punktmatið er líklega ekki nákvæmlega sama gildi og þýðisstikinn, en það er nálægt honum. Eftir að punktmöt hafa verið reiknuð búum við til bilmöt, sem kallast öryggisbil.

Í þessum kafla lærið þið að búa til og túlka öryggisbil. Þið kynnist einnig nýrri dreifingu, t-dreifingu Students, og því hvernig hún er notuð með slíkum bilum. Í öllum kaflanum er mikilvægt að hafa í huga að öryggisbilið er slembibreyta. Þýðisstikinn er hins vegar fasti.

Ef þið ynnuð á markaðsdeild afþreyingarfyrirtækis gætuð þið haft áhuga á meðalfjölda laga sem neytandi sækir á mánuði úr netverslun með tónlist. Þá mætti gera könnun og reikna úrtaksmeðaltalið, x̄, og staðalfrávik úrtaksins, s. Þið mynduð nota x̄ til að meta þýðismeðaltalið og s til að meta staðalfrávik þýðisins. Úrtaksmeðaltalið, x̄, er punktmat fyrir þýðismeðaltalið, μ. Staðalfrávik úrtaksins, s, er punktmat fyrir staðalfrávik þýðisins, σ.

Hvert gildi x̄ og s kallast lýsistærð.

Öryggisbil er önnur tegund mats, en í stað þess að vera ein tala er það talnabil. Talnabilið er svið gilda sem er reiknað út frá tilteknu safni úrtaksgagna. Öryggisbilið er líklegt til að innihalda óþekktan þýðisstika.

Gerum ráð fyrir að í dæminu um tónlist á netinu þekkjum við ekki þýðismeðaltalið, μ, en vitum að staðalfrávik þýðisins er σ = 1 og að úrtaksstærðin er 100. Samkvæmt höfuðsetningu tölfræðinnar er staðalfrávik úrtaksmeðaltalsins

σ/√n = 1/√100 = 0,1.

Reynslureglan, sem á við um bjöllulaga dreifingar, segir að í um það bil 95 prósentum úrtaka verði úrtaksmeðaltalið, x̄, innan tveggja staðalfrávika frá þýðismeðaltalinu, μ. Í dæminu um tónlist á netinu væru tvö staðalfrávik reiknuð sem (2)(0,1) = 0,2. Úrtaksmeðaltalið, x̄, er því líklegt til að vera innan 0,2 eininga frá μ.

Í þessu dæmi þekkjum við ekki hið sanna þýðismeðaltal μ, því við höfum ekki upplýsingar um alla notendur tónlistarverslunarinnar. Við getum hins vegar reiknað úrtaksmeðaltalið x̄ út frá úrtakinu okkar með 100 einstaklingum. Þar sem úrtaksmeðaltalið er líklegt til að vera innan 0,2 eininga frá hinu sanna þýðismeðaltali í 95 prósentum þeirra tilvika sem við tökum úrtak af 100 notendum, getum við sagt með 95 prósent öryggi að μ sé innan 0,2 eininga frá x̄. Með öðrum orðum er μ einhvers staðar á bilinu frá x̄ - 0,2 til x̄ + 0,2.

Gerum ráð fyrir að í úrtakinu af 100 viðskiptavinum tónlistarverslunarinnar reiknum við úrtaksmeðaltalið x̄ = 2 lög á mánuði. Þar sem við vitum að staðalfrávik þýðisins er σ = 1, er staðalfrávik úrtaksmeðaltala samkvæmt höfuðsetningu tölfræðinnar σ/√n = 1/√100 = 0,1.

Við vitum að 95 prósent líkur eru á að hið sanna þýðismeðaltal μ sé innan tveggja staðalfrávika frá úrtaksmeðaltalinu. Því getum við sagt með 95 prósent öryggi að μ sé á bilinu frá x̄ - 2 × σ/√n til x̄ + 2 × σ/√n.

Þegar táknunum er skipt út fyrir gildi í þessu dæmi segjum við að við séum 95 prósent viss um að hinn sanni meðalfjöldi laga sem sótt eru úr netverslun með tónlist á mánuði sé á bilinu frá

x̄ - 2 × σ/√n = 2 - 2 × 1/√100 = 2 - 0,2 = 1,8

til x̄ + 2 × σ/√n = 2 + 2 × 1/√100 = 2 + 0,2 = 2,2.

95 prósent öryggisbilið fyrir μ er (1,8; 2,2).

95 prósent öryggisbilið felur í sér tvo möguleika. Annaðhvort inniheldur bilið (1,8; 2,2) hið sanna meðaltal, μ, eða úrtakið okkar gaf x̄ sem er ekki innan 0,2 eininga frá hinu sanna meðaltali μ. Seinni möguleikinn kemur aðeins fyrir í 5 prósentum allra úrtaka (100% - 95%).

Munið að öryggisbil er búið til fyrir óþekktan þýðisstika, til dæmis þýðismeðaltalið μ. Öryggisbil fyrir suma stika hafa formið

(punktmat - vikmörk, punktmat + vikmörk).

Vikmörkin ráðast af öryggisstiginu, eða öryggisprósentunni, og staðalskekkju meðaltalsins.

Þegar þið lesið dagblöð og tímarit gætuð þið tekið eftir því að sumar skýrslur nota orðið vikmörk. Aðrar skýrslur nota það orð ekki, en birta öryggisbil sem punktmat að viðbættum og frádregnum vikmörkum. Þetta eru tvær leiðir til að tjá sömu hugmynd.