Upprifjun formúla

8.1 Meðaltal eins þýðis reiknað með normaldreifingu

X̄ ~ N(μ_X, σ/√n). Dreifing úrtaksmeðaltala er normaldreifð; meðaltalið er jafnt þýðismeðaltalinu og staðalfrávikið er staðalfrávik þýðis deilt með kvaðratrót úrtaksstærðarinnar.

Almennt form öryggisbils fyrir meðaltal eins þýðis, þegar staðalfrávik er þekkt og normaldreifing er notuð, er

(neðri mörk, efri mörk) = (punktmat – EBM, punktmat + EBM)

= (x̄ − EBM, x̄ + EBM)

= (x̄ − z(σ/√n), x̄ + z(σ/√n)).

EBM = z(σ/√n) = skekkjumörk meðaltalsins, eða vikmörk fyrir meðaltal eins þýðis. Þessi formúla er notuð þegar staðalfrávik þýðis er þekkt.

CL = öryggisstig, það er hlutfall þeirra öryggisbila sem búin eru til og búist er við að innihaldi hinn sanna þýðisstika.

α = 1 – CL = hlutfall þeirra öryggisbila sem innihalda ekki þýðisstikann.

z_(α/2) = z-gildið sem hefur flatarmálið α/2 hægra megin við sig. Þetta er z-gildið sem notað er við útreikning EBM, þar sem α = 1 – CL.

n = z²σ²/EBM² = formúlan sem notuð er til að ákvarða þá úrtaksstærð (n) sem þarf til að ná tilteknum vikmörkum við tiltekið öryggisstig.

Almennt form öryggisbils

(neðra gildi, efra gildi) = (punktmat – skekkjumörk, punktmat + skekkjumörk)

Til að finna skekkjumörkin þegar öryggisbilið er þekkt:

skekkjumörk = efra gildi − punktmat eða skekkjumörk = (efra gildi − neðra gildi)/2.

Meðaltal eins þýðis, þekkt staðalfrávik, normaldreifing

Notið normaldreifingu fyrir meðaltöl þegar staðalfrávik þýðis er þekkt: EBM = z_(α/2)(σ/√n).

Öryggisbilið hefur formið (x̄ − EBM, x̄ + EBM).

8.2 Meðaltal eins þýðis reiknað með t-dreifingu Students

s = staðalfrávik úrtaksgilda.

t = (x̄ − μ)/(s/√n) er formúlan fyrir t-gildið, sem mælir hversu langt mæling er frá þýðismeðaltalinu í t-dreifingu Students.

df = n – 1; frígráður t-dreifingar Students, þar sem n táknar úrtaksstærðina.

T ~ t_df; slembibreytan T hefur t-dreifingu Students með df frígráðum.

EBM = t_(α/2)(s/√n) = skekkjumörk þýðismeðaltals þegar staðalfrávik þýðis er óþekkt.

t_(α/2) er t-gildið í t-dreifingu Students með flatarmálið α/2 hægra megin.

Almennt form öryggisbils fyrir eitt meðaltal, þegar staðalfrávik þýðis er óþekkt og t-dreifing Students er notuð, er

(neðri mörk, efri mörk) = (punktmat – EBM, punktmat + EBM)

= (x̄ – t(s/√n), x̄ + t(s/√n)).

8.3 Þýðishlutfall

p′ = x/n, þar sem x táknar fjölda jákvæðra útkoma og n táknar úrtaksstærðina. Breytan p′ er úrtakshlutfallið og er punktmat fyrir hið sanna þýðishlutfall.

q′ = 1 – p′

p′ ~ N(p, √(pq/n)). Breytan p′ hefur tvíkostadreifingu sem má nálga með normaldreifingunni sem sýnd er hér.

EBP = skekkjumörk hlutfalls = z_(α/2)√(p′q′/n).

Öryggisbil fyrir hlutfall:

(neðri mörk, efri mörk) = (p′ – EBP, p′ + EBP) = (p′ – z√(p′q′/n), p′ + z√(p′q′/n)).

n = z_(α/2)²p′q′/EBP² gefur þann fjölda þátttakenda sem þarf til að meta þýðishlutfallið með öryggi 1 – α og vikmörkum EBP.

Notið normaldreifingu fyrir eitt þýðishlutfall: p′ = x/n.

EBP = (z_(α/2))√(p′q′/n); p′ + q′ = 1.

Öryggisbilið hefur formið (p′ – EBP, p′ + EBP).

x̄ er punktmat fyrir μ.

p′ er punktmat fyrir ρ.

s er punktmat fyrir σ.