2.6 Skewness and the Mean, Median, and Mode

Skoðum eftirfarandi gagnasafn: 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10

Þetta gagnasafn má setja fram með eftirfarandi stuðlariti. Hvert bil hefur breiddina 1 og hvert gildi er staðsett í miðju bilsins.

Stuðlaritið sýnir samhverfa dreifingu gagna. Dreifing er samhverf ef hægt er að draga lóðrétta línu einhvers staðar í stuðlaritinu þannig að lögunin vinstra megin við línuna og lögunin hægra megin við hana séu spegilmyndir hvor af annarri. Meðaltalið, miðgildið og tíðasta gildið eru öll sjö fyrir þessi gögn. Í fullkomlega samhverfri dreifingu eru meðaltalið og miðgildið þau sömu. Dreifingin í þessu dæmi hefur eitt tíðasta gildi, það er hún er eintoppa, og tíðasta gildið er það sama og meðaltalið og miðgildið. Í samhverfri dreifingu með tvö tíðustu gildi, það er tvítoppa dreifingu, væru tíðustu gildin tvö frábrugðin meðaltalinu og miðgildinu.

Stuðlaritið fyrir gögnin 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8 er ekki samhverft. Hægri hliðin virðist skorin af miðað við vinstri hliðina. Dreifing af þessu tagi er kölluð skekkt til vinstri vegna þess að halinn teygist til vinstri. Dreifing sem er skekkt til vinstri hefur fleiri há gildi.

Meðaltalið er 6,3, miðgildið er 6,5 og tíðasta gildið er sjö. Takið eftir að meðaltalið er minna en miðgildið og bæði eru minni en tíðasta gildið. Meðaltalið og miðgildið endurspegla bæði skekkjuna, en meðaltalið endurspeglar hana meira. Meðaltalið dregst í átt að halanum í skekktri dreifingu.

Stuðlaritið fyrir gögnin 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10 er heldur ekki samhverft. Það er skekkt til hægri. Dreifing sem er skekkt til hægri hefur fleiri lág gildi.

Meðaltalið er 7,7, miðgildið er 7,5 og tíðasta gildið er sjö. Af þessum þremur lýsistærðum er meðaltalið stærst en tíðasta gildið minnst. Aftur endurspeglar meðaltalið skekkjuna mest.

Til að draga saman: ef dreifing gagna er skekkt til vinstri er meðaltalið almennt minna en miðgildið, sem er oft minna en tíðasta gildið. Ef dreifing gagna er skekkt til hægri er tíðasta gildið oft minna en miðgildið, sem er minna en meðaltalið.

Skekkja og samhverfa verða mikilvæg þegar við ræðum líkindadreifingar í síðari köflum.

Dæmi 2.32

Lýsistærðir eru notaðar til að bera saman og stundum greina höfunda. Eftirfarandi listar sýna einfalt slembiúrtak sem ber saman stafafjölda hjá þremur höfundum.

Terry: 7, 9, 3, 3, 3, 4, 1, 3, 2, 2

Davis: 3, 3, 3, 4, 1, 4, 3, 2, 3, 1

Maris: 2, 3, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 8, 3

1. Búðu til punktarit fyrir höfundana þrjá og berðu saman lögunina.
2. Reiknaðu meðaltalið fyrir hvern og einn.
3. Reiknaðu miðgildið fyrir hvern og einn.
4. Lýstu hvers kyns mynstri sem þú tekur eftir milli lögunarinnar og miðsæknimælikvarðanna.

Lausn