2.2 Stuðlarit, tíðnimargkantar og tímaraðarit

2.2 Stuðlarit, tíðnimarghyrningar og tímaraðargraf

Í stærstum hluta þeirrar vinnu sem þú munt inna af hendi í þessari bók muntu nota stuðlarit til að birta gögnin. Einn kostur við stuðlarit er að það getur auðveldlega sýnt stór gagnasöfn.

Stuðlarit samanstendur af samliggjandi (tengdum) kössum. Það hefur bæði láréttan ás og lóðréttan ás. Lárétti ásinn er meira eða minna talnalína, merkt með því sem gögnin tákna, til dæmis fjarlægð frá heimili þínu í skólann. Lóðrétti ásinn er merktur annaðhvort tíðni eða hlutfallstíðni (eða prósentutíðni eða líkindum). Ritið mun hafa sömu lögun með hvorri merkingunni sem er. Stuðlaritið (líkt og stofn- og laufritið) getur gefið þér lögun gagnanna, miðju og dreifingu gagnanna. Lögun gagnanna vísar til lögunar dreifingarinnar, hvort hún sé normaldreifð eða um það bil normaldreifð eða skekkt í einhverja átt, en miðjan er talin vera miðja gagnasafnsins og dreifingin gefur til kynna hversu langt gildin dreifast umhverfis miðjuna. Í skekktri dreifingu dregst meðaltalið í átt að hala dreifingarinnar.

Hlutfallstíðnin er jöfn tíðni mælds gildis gagnanna deilt með heildarfjölda gagnagilda í úrtakinu. Mundu að tíðni er skilgreind sem sá fjöldi skipta sem svar kemur fyrir. Ef f er tíðni mælds gildis og n er heildarfjöldi gagnagilda,

• f = tíðni,
• n = heildarfjöldi gagnagilda (eða summa einstakra tíðna), og
• RF = hlutfallstíðni,

þá er

Til að búa til stuðlarit þarf fyrst að ákveða hversu margar súlur eða bil, einnig kölluð flokkar, eiga að tákna gögnin. Mörg stuðlarit samanstanda af fimm til 15 súlum eða flokkum til skýrleika. Breidd hverrar súlu er einnig kölluð flokksbreidd, sem hægt er að reikna með því að deila spönn gagnagildanna með æskilegum fjölda flokka (eða súlna). Það er engin föst aðferð til að ákvarða fjölda súlna eða stærð súlu-/flokksbreidd; hins vegar er samræmi lykilatriði þegar ákvarðað er hvaða gagnagildi eiga að fara í hvert bil.

Dæmi 2.9

Eftirfarandi gögn sýna hæð (í sentímetrum, námundað að næsta 0,1 cm) 100 karlkyns hálfatvinnuknattspyrnumanna. Hæðirnar eru samfelld gögn þar sem hæð er mæld stærð. 152,4, 153,7, 154,9, 154,9, 156,2, 161,3, 161,3, 161,3, 162,6, 162,6, 162,6, 162,6, 162,6, 162,6, 162,6, 163,8, 163,8, 163,8, 163,8, 163,8, 163,8, 163,8, 163,8, 167,6, 167,6, 167,6, 167,6, 167,6, 167,6, 167,6, 167,6, 167,6, 167,6, 168,9, 168,9, 168,9, 168,9, 168,9, 168,9, 168,9, 168,9, 168,9, 168,9, 168,9, 170,2, 170,2, 170,2, 170,2, 170,2, 170,2, 170,2, 170,2, 170,2, 170,2, 170,2, 170,2, 171,4, 171,4, 171,4, 171,4, 171,4, 171,4, 171,4, 172,7, 172,7, 175,3, 175,3, 175,3, 175,3, 175,3, 175,3, 175,3, 175,3, 175,3, 175,3, 176,5, 176,5, 176,5, 176,5, 176,5, 177,8, 177,8, 177,8, 177,8, 177,8, 177,8, 179,1, 179,1, 179,1, 180,3, 180,3, 180,3, 182,9, 182,9, 182,9, 184,2, 184,2, 185,4, 186,7, 188,0

Minnsta gagnagildið er 60 og stærsta gagnagildið er 74. Til að tryggja að hvort tveggja sé innifalið í bili getum við notað 59,95 sem minnsta gildi og 74,05 sem stærsta gildi, með því að draga 0,05 frá og bæta 0,05 við þessi gildi, í sömu röð. Við höfum litla spönn hér, eða 14,1 (74,05 – 59,95), þannig að við viljum færri flokka; segjum átta. Þannig að 14,1 deilt með átta flokkum gefur flokksbreidd (eða stærð bils) sem er um það bil 1,76.

$$\begin{array}{l}\mathrm{74,05}-\mathrm{59,95}=\mathrm{14,1}\\ \mathrm{14,1}÷8=\mathrm{1,76}\end{array}$$

Mörkin eru eftirfarandi:

• 59,95
• 59,95 + 2 = 61,95
• 61,95 + 2 = 63,95
• 63,95 + 2 = 65,95
• 65,95 + 2 = 67,95
• 67,95 + 2 = 69,95
• 69,95 + 2 = 71,95
• 71,95 + 2 = 73,95
• 73,95 + 2 = 75,95

Hæðirnar 152,4 til 156,2 cm eru á bilinu 152,3–157,4. Hæðirnar sem eru 161,3 eru á bilinu 157,4–162,4. Hæðirnar sem eru 162,6 til 163,8 eru á bilinu 162,4–167,5. Hæðirnar 167,6 til 171,5 eru á bilinu 167,5–172,6. Hæðirnar 172,7 til 176,5 eru á bilinu 172,6–177,7. Hæðirnar 177,8 til 180,3 eru á bilinu 177,7–182,8. Hæðirnar 182,9 til 186,7 eru á bilinu 182,8–187,8. Hæðin 188,0 er á bilinu 187,8–192,9.

Eftirfarandi stuðlarit sýnir hæðirnar á x-ásnum og hlutfallstíðni á y-ásnum.

Dæmi 2.10

Eftirfarandi gögn sýna fjölda bóka sem 50 hlutastarfandi háskólanemar við ABC-háskóla keyptu. Fjöldi bóka er strjált gagnasafn þar sem bækur eru taldar. 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6

Ellefu nemendur kaupa eina bók. Tíu nemendur kaupa tvær bækur. Sextán nemendur kaupa þrjár bækur. Sex nemendur kaupa fjórar bækur. Fimm nemendur kaupa fimm bækur. Tveir nemendur kaupa sex bækur.

Reiknaðu breidd hverrar súlu, flokksbreidd eða bilsbreidd.

Lausn

Minnsta gildi gagnanna er 1 og stærsta gildið er 6. Til að tryggja að bæði gildin lendi innan bils getum við notað 0,5 sem minnsta gildi og 6,5 sem stærsta gildi með því að draga 0,5 frá og bæta því við þessi gildi. Hér er spönnin lítil, eða 6 (6,5 - 0,5), þannig að við viljum færri flokka; segjum sex að þessu sinni. Sex deilt með sex flokkum gefur því flokksbreidd (eða bilsbreidd) sem er einn.

$$\begin{array}{l}\mathrm{6,5}-\mathrm{0,5}=6\\ 6÷1=6\end{array}$$

Taktu eftir að við getum valið mismunandi hentugar tölur til að bæta við hæsta gildið og draga frá lægsta gildinu þegar flokksbreidd er reiknuð. Í fyrra sýnidæminu bættum við 0,05 við og drógum 0,05 frá, en að þessu sinni bættum við 0,5 við og drógum 0,5 frá. Þegar þú færð gagnasafn geturðu ákvarðað hvað er viðeigandi og skynsamlegt.

Eftirfarandi stuðlarit sýnir fjölda bóka á x-ásnum og tíðnina á y-ásnum.

Dæmi 2.11

Búðu til stuðlarit með því að nota þetta gagnasafn.

Lausn

Sum gildi í þessu gagnasafni lenda á mörkum flokksbila. Gildi er talið með í flokksbili ef það lendir á vinstri mörkum en ekki ef það lendir á hægri mörkum. Mismunandi rannsakendur geta sett upp stuðlarit fyrir sömu gögn á mismunandi hátt. Það er til fleiri en ein rétt leið til að setja upp stuðlarit.

Tíðnimarghyrningar

Tíðnimarghyrningar eru hliðstæðir línuritum og rétt eins og línurit gera samfelld gögn auðveld í sjónrænni túlkun, gera tíðnimarghyrningar það líka.

Til að teikna tíðnimarghyrning þarf fyrst að skoða gögnin og ákveða fjölda bila og stærð þeirra, bæði fyrir x-ás og y-ás. X-ásinn sýnir neðri og efri mörk hvers bils sem inniheldur gagnagildin, en y-ásinn sýnir tíðni gildanna. Hver punktur táknar tíðni hvers bils. Til dæmis, ef bil inniheldur þrjú gagnagildi, mun tíðnimarghyrningurinn sýna 3 við efri endapunkt þess bils. Eftir að viðeigandi bil hafa verið valin er byrjað að merkja inn punktana. Þegar allir punktar hafa verið merktir inn eru dregin línustrik til að tengja þá.

Dæmi 2.12

Tíðnimarghyrningur var teiknaður út frá tíðnitöflunni hér að neðan.

Tíðnidreifing fyrir einkunnir á lokaprófi í stærðfræðigreiningu
Lower Bound	Upper Bound	Tíðni	Uppsöfnuð tíðni
49,5	59,5	5	5
59,5	69,5	10	15
69,5	79,5	30	45
79,5	89,5	40	85
89,5	99,5	15	100

Taktu eftir að hver punktur táknar tíðni fyrir tiltekið bil. Þessir punktar eru staðsettir mitt á milli neðri og efri marka. Reyndar sýnir lárétti ásinn, eða x-ásinn, aðeins þessi miðjugildi. Fyrir bilið 49,5–59,5 er gildið 54,5 táknað með punkti sem sýnir rétta tíðni, 5. Fyrir bilið sem kemur á undan 49,5–59,5 (sem og 39,5–49,5) er gildi miðpunktsins, eða 44,5, táknað með punkti sem sýnir tíðnina 0, þar sem engin gildi eru á því bili. Sama gildir um síðasta bilið, 99,5–109,5, sem hefur miðpunktinn 104,5 og sýnir réttilega punkt sem táknar tíðnina 0. Þegar litið er á línuritið segjum við að þessi dreifing sé skekkt vegna þess að annar helmingur línuritsins er ekki spegilmynd hins.

Tíðnimarghyrningar eru gagnlegir til að bera saman dreifingar. Þessi samanburður er gerður með því að leggja tíðnimarghyrninga fyrir mismunandi gagnasöfn hvern yfir annan.

Dæmi 2.13

Við munum teikna yfirlagðan tíðnimarghyrning til að bera saman einkunnirnar úr sýnidæmi 2.12 við lokaeinkunnir nemendanna í tölum.

Tíðnidreifing fyrir einkunnir á lokaprófi í stærðfræðigreiningu
Lower Bound	Upper Bound	Tíðni	Uppsöfnuð tíðni
49,5	59,5	5	5
59,5	69,5	10	15
69,5	79,5	30	45
79,5	89,5	40	85
89,5	99,5	15	100

Tíðnidreifing fyrir lokaeinkunnir í stærðfræðigreiningu
Lower Bound	Upper Bound	Tíðni	Uppsöfnuð tíðni
49,5	59,5	10	10
59,5	69,5	10	20
69,5	79,5	30	50
79,5	89,5	45	95
89,5	99,5	5	100

Gerum ráð fyrir að við viljum rannsaka hitasvið á tilteknu svæði í heilan mánuð. Á hverjum degi á hádegi skráum við hitastigið í dagbók. Hægt væri að gera margvíslegar tölfræðilegar rannsóknir á þessum gögnum. Við gætum fundið meðal- eða miðgildi hitastigs fyrir mánuðinn. Við gætum teiknað stuðlarit sem sýnir fjölda daga þar sem hitastigið nær ákveðnu bili. Hins vegar hunsa allar þessar aðferðir hluta af þeim gögnum sem við höfum safnað.

Einn eiginleiki gagnanna sem við gætum viljað taka tillit til er tíminn. Þar sem hver dagsetning er pöruð við hitamælingu dagsins þurfum við ekki að líta á gögnin sem slembigögn. Við getum þess í stað notað tímasetningarnar til að raða gögnunum í tímaröð. Línurit sem tekur mið af þessari röðun og sýnir breytingar á hitastigi eftir því sem líður á mánuðinn kallast tímaraðargraf.

Að teikna tímaraðargraf

Til að teikna tímaraðargraf verðum við að skoða báða hluta paraða gagnasafnsins okkar. Við byrjum á hefðbundnu Descartes-hnitakerfi. Lárétti ásinn er notaður til að merkja inn dagsetningar eða tímaskref, og lóðrétti ásinn er notaður til að merkja inn gildi breytunnar sem við erum að mæla. Með því að nota ásana á þennan hátt látum við hvern punkt á línuritinu svara til dagsetningar og mældrar stærðar. Punktarnir á línuritinu eru venjulega tengdir saman með beinum línum í þeirri röð sem þeir eiga sér stað.

Dæmi 2.14

Eftirfarandi gögn sýna árlega vísitölu neysluverðs hvern mánuð í 10 ár. Teiknaðu tímaraðargraf eingöngu fyrir gögnin um árlega vísitölu neysluverðs.

Lausn

Notkun tímaraðargrafs

Tímaraðagröf eru mikilvæg verkfæri í ýmsum hagnýtum verkefnum tölfræðinnar. Þegar rannsakandi skráir gildi sömu breytu yfir langan tíma getur verið erfitt að greina leitni eða mynstur. Þegar sömu gagnapunktar eru hins vegar sýndir myndrænt verða ákveðnir eiginleikar augljósir. Tímaraðagröf auðvelda að koma auga á leitni.