Æfingar

11.1 Staðreyndir um kí-kvaðrat dreifingu

1. Ef fjöldi frígráða í kí-kvaðrat dreifingu er 25, hvert er þýðismeðaltalið og hvert er staðalfrávik þýðis?
2. Ef df > 90 er dreifingin _____________. Ef df = 15 er dreifingin ________________.
3. Hvenær nálgast kí-kvaðrat ferill normaldreifingu?
4. Hvar er μ staðsett á kí-kvaðrat ferli?
5. Hvort er líklegra að df sé 90, 20 eða 2 á grafinu?

11.2 Mátgæðapróf

Ákvarðið hvaða próf á að nota í næstu þremur æfingum.

1. Fornleifafræðingur reiknar dreifingu tíðni fjölda muna sem hún finnur á uppgraftarsvæði. Út frá fyrri uppgröftum býr hún til vænta dreifingu eftir reitaskiptingu svæðisins. Þegar búið er að grafa allt svæðið ber hún raunverulegan fjölda muna í hverjum reit saman við væntinguna til að sjá hvort hún var nákvæm.
2. Hagfræðingur smíðar líkan til að spá fyrir um útkomur á hlutabréfamarkaði. Hann býr til lista yfir vænt stig á hlutabréfavísitölu næstu tvær vikur. Við lok viðskipta hvers dags skráir hann raunveruleg stig vísitölunnar. Hann vill sjá hversu vel líkanið passaði við það sem gerðist í raun.
3. Einkaþjálfari setur saman lyftingaáætlun fyrir viðskiptavini sína. Í 90 daga áætluninni býst hún við að hver viðskiptavinur lyfti tiltekinni hámarksþyngd í hverri viku. Jafnóðum skráir hún raunverulegu hámarksþyngdirnar sem viðskiptavinirnir lyftu. Hún vill vita hversu vel væntingar hennar pössuðu við það sem mældist.

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fimm æfingum. Kennari spáir fyrir um dreifingu einkunna á lokaprófi. Spáin er sýnd í töflu 11.27.

Raunveruleg dreifing í 20 nemenda bekk er sýnd í töflu 11.28.

1. df = ______
2. Setjið fram núlltilgátu og gagntilgátu.
3. χ²-prófstærð = ______
4. p-gildi = ______
5. Hver er niðurstaðan við 5 prósent marktektarstig?

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu níu æfingum. Uppsafnaður fjöldi tilkynntra tilfella langvinns sjúkdóms í Santa Clara-sýslu er sundurliðaður eftir þjóðernishópi í töflu 11.29.

Hlutfall hvers þjóðernishóps í Santa Clara-sýslu er sýnt í töflu 11.30.

Ef þjóðerni sjúklinga fylgdu þjóðernissamsetningu alls íbúafjölda sýslunnar, fyllið þá inn væntan fjölda tilfella fyrir hvern þjóðernishóp. Framkvæmið mátgæðapróf til að ákvarða hvort tíðni sjúkdómstilfella fylgi þjóðernissamsetningu almenns íbúafjölda Santa Clara-sýslu.

1. H₀: _______
2. Hₐ: _______
3. Er þetta hægrihliða, vinsturhliða eða tvíhliða próf?
4. Frígráður = _______
5. χ²-prófstærð = _______
6. p-gildi = _______
7. Teiknið aðstæðurnar. Merkið og kvarðið lárétta ásinn. Merkið meðaltalið og prófstærðina. Skyggið svæðið sem samsvarar p-gildinu.

1. Látið α = 0,05.
2. Ákvörðun: ________________
3. Ástæða ákvörðunarinnar: ________________
4. Niðurstaða, skrifuð í heilum setningum: ________________
5. Virðist mynstur sjúkdómstilfella í Santa Clara-sýslu samsvara dreifingu þjóðernishópa í sýslunni? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?

11.3 Próf á óhæði

Ákvarðið hvaða próf á að nota í næstu þremur æfingum.

1. Lyfjafyrirtæki hefur áhuga á sambandi aldurs og birtingar einkenna við algengri veirusýkingu. Tekið er slembiúrtak 500 sýktra einstaklinga úr mismunandi aldurshópum.
2. Eigandi hafnaboltaliðs hefur áhuga á sambandi leikmannalauna og vinningshlutfalls liðs. Hann tekur slembiúrtak 100 leikmanna frá mismunandi félögum.
3. Maraþonhlaupari hefur áhuga á sambandi skómerkis og hlaupatíma. Hún tekur slembiúrtak 50 hlaupara og skráir hlaupatíma þeirra og hvaða skómerki hlaupararnir notuðu.

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu sjö æfingum. Transit Railroads hefur áhuga á sambandi ferðalengdar og miðaflokks sem keyptur er. Tekið er slembiúrtak 200 farþega. Tafla 11.31 sýnir niðurstöðurnar. Járnbrautarfélagið vill vita hvort val farþega á miðaflokki sé óháð þeirri vegalengd sem farþeginn þarf að ferðast.

1. Setjið fram tilgáturnar. H₀: _______ Hₐ: _______
2. df = _______
3. Hversu margir farþegar er vænst að ferðist 201 til 300 mílur og kaupi annars flokks miða?
4. Hversu margir farþegar er vænst að ferðist 401 til 500 mílur og kaupi fyrsta flokks miða?
5. Hver er prófstærðin?
6. Hvert er p-gildið?
7. Hvaða ályktun má draga við 5 prósent marktektarstig?

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tíu æfingum. Grein í New England Journal of Medicine fjallaði um rannsókn á fólki sem notaði tiltekna vöru í Kaliforníu og Hawaii. Í einum hluta skýrslunnar voru gefin upp sjálfskráð þjóðerni og notkunarstig vörunnar á dag. Af þeim sem notuðu vöruna í mesta lagi 10 sinnum á dag voru 9.886 Afríku-amerískir, 2.745 innfæddir Hawaiibúar, 12.831 Latínóar, 8.378 Japansk-amerískir og 7.650 hvítir. Af þeim sem notuðu vöruna 11 til 20 sinnum á dag voru 6.514 Afríku-amerískir, 3.062 innfæddir Hawaiibúar, 4.932 Latínóar, 10.680 Japansk-amerískir og 9.877 hvítir. Af þeim sem notuðu vöruna 21 til 30 sinnum á dag voru 1.671 Afríku-amerískir, 1.419 innfæddir Hawaiibúar, 1.406 Latínóar, 4.715 Japansk-amerískir og 6.062 hvítir. Af þeim sem notuðu vöruna að minnsta kosti 31 sinni á dag voru 759 Afríku-amerískir, 788 innfæddir Hawaiibúar, 800 Latínóar, 2.305 Japansk-amerískir og 3.970 hvítir.

Fyllið út töfluna.

1. Setjið fram tilgáturnar. H₀: _______ Hₐ: _______
2. Sláið vænt gildi inn í töflu 11.32. Námundið að tveimur aukastöfum.
3. Reiknið: df = _______; χ²-prófstærð = ______; p-gildi = ______.
4. Er þetta hægrihliða, vinsturhliða eða tvíhliða próf? Útskýrið hvers vegna.
5. Teiknið aðstæðurnar. Merkið og kvarðið lárétta ásinn. Merkið meðaltalið og prófstærðina. Skyggið svæðið sem samsvarar p-gildinu.

Setjið fram ákvörðun og niðurstöðu, í heilli setningu, fyrir eftirfarandi gildi á α.

1. α = 0,05: Ákvörðun: ___________________; Ástæða ákvörðunarinnar: ___________________; Niðurstaða, skrifuð í heilli setningu: ___________________.
2. α = 0,01: Ákvörðun: ___________________; Ástæða ákvörðunarinnar: ___________________; Niðurstaða, skrifuð í heilli setningu: ___________________.

11.4 Próf á einsleitni

1. Stærðfræðikennari vill athuga hvort tveir bekkir hennar hafi sömu dreifingu prófskora. Hvaða próf ætti hún að nota?
2. Hverjar eru núlltilgátan og gagntilgátan fyrir æfingu 11.43?
3. Markaðsrannsakandi vill athuga hvort tvær ólíkar verslanir hafi sömu dreifingu sölu yfir árið. Hvaða próf ætti hann að nota?
4. Veðurfræðingur vill vita hvort austur- og vesturhluti Ástralíu hafi sömu dreifingu storma. Hvaða próf ætti hún að nota?
5. Hvaða skilyrði þarf að vera uppfyllt til að nota einsleitnipróf?

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fimm æfingum. Hafa sjálfstætt starfandi læknar og sjúkrahúslæknar sömu dreifingu vinnustunda? Gerum ráð fyrir að slembiúrtak 100 sjálfstætt starfandi lækna og 150 sjúkrahúslækna sé valið og þeir spurðir um fjölda vinnustunda á viku. Niðurstöðurnar eru sýndar í töflu 11.33.

1. Setjið fram núlltilgátu og gagntilgátu.
2. df = _______
3. Hver er prófstærðin?
4. Hvert er p-gildið?
5. Hvaða ályktun má draga við 5 prósent marktektarstig?

11.5 Samanburður á kí-kvaðrat prófum

1. Hvaða próf notið þið til að ákveða hvort mæld dreifing sé sú sama og vænt dreifing?
2. Hver er núlltilgátan fyrir prófgerðina í æfingu 11.53?
3. Hvaða próf mynduð þið nota til að ákveða hvort tveir þættir tengist?
4. Hvaða próf mynduð þið nota til að ákveða hvort tvö þýði hafi sömu dreifingu?
5. Að hvaða leyti eru próf á óhæði lík einsleitniprófum?
6. Að hvaða leyti eru próf á óhæði frábrugðin einsleitniprófum?

11.6 Próf á dreifni í einu þýði

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu þremur æfingum. Staðalfrávik bogmanns fyrir skotin hans er sex, þar sem gögnin eru mæld sem fjarlægð frá miðju skotmarksins. Athugandi heldur því fram að staðalfrávikið sé minna en sex.

1. Hvaða tegund prófs ætti að nota?
2. Setjið fram núlltilgátu og gagntilgátu.
3. Er þetta hægrihliða, vinsturhliða eða tvíhliða próf?

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu þremur æfingum. Staðalfrávik hæðar nemenda í skóla er 0,81. Tekið er slembiúrtak 50 nemenda og staðalfrávik hæða í úrtakinu er 0,96. Rannsakandi sem ber ábyrgð á rannsókninni telur að staðalfrávik hæðar í skólanum sé meira en 0,81.

1. Hvaða tegund prófs ætti að nota?
2. Setjið fram núlltilgátu og gagntilgátu.
3. df = ________

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fjórum æfingum. Meðalbiðtími á læknastofu er breytilegur. Staðalfrávik biðtíma á læknastofu er 3,4 mínútur. Slembiúrtak 30 sjúklinga á læknastofunni hefur staðalfrávik biðtíma 4,1 mínútu. Einn læknir telur að dreifni biðtíma sé meiri en áður var talið.

1. Hvaða tegund prófs ætti að nota?
2. Hver er prófstærðin?
3. Hvert er p-gildið?
4. Hvaða ályktun má draga við 5 prósent marktektarstig?