11.3 Próf á óhæði

Gerum ráð fyrir að A tákni hraðaksturssekt síðastliðið ár og B tákni að ökumaður noti farsíma við akstur. Ef A og B eru óháðir atburðir, þá er P(A OG B) = P(A)P(B). A OG B er atburðurinn að ökumaður hafi fengið hraðaksturssekt á síðasta ári og einnig notað farsíma við akstur. Í rannsókn á ökumönnum sem fengu hraðaksturssektir síðastliðið ár og notuðu farsíma við akstur voru 755 einstaklingar spurðir. Af 755 höfðu 70 fengið hraðaksturssekt og 685 ekki; 305 notuðu farsíma við akstur og 450 ekki.

Látum y vera væntan fjölda ökumanna sem notuðu farsíma við akstur og fengu hraðaksturssekt. Ef A og B eru óháðir, þá er P(A OG B) = P(A)P(B). Með innsetningu fæst y/755 = (70/755)(305/755). Leyst fyrir y fæst y = (70)(305)/755 = 28,3. Því er vænt að um 28 einstaklingar í úrtakinu noti farsíma við akstur og fái hraðaksturssekt.

Í prófi á óhæði setjum við núlltilgátu og gagntilgátu fram í orðum. Þar sem krosstaflan samanstendur af tveimur þáttum segir núlltilgátan að þættirnir séu óháðir og gagntilgátan að þeir séu ekki óháðir, það er háðir. Fyrir þetta dæmi er H₀: farsímanotkun við akstur og það að fá hraðaksturssekt eru óháðir atburðir. Ef núlltilgátan væri sönn myndum við vænta þess að um 28 einstaklingar notuðu farsíma við akstur og fengju hraðaksturssekt.

Próf á óhæði er alltaf hægrihliða vegna útreiknings prófstærðarinnar. Ef vænt gildi og mæld gildi eru ekki nálægt hvort öðru verður prófstærðin mjög stór og lendir langt út í hægri hala kí-kvaðrat ferilsins, eins og í mátgæðaprófi.

Fjöldi frígráða fyrir próf á óhæði er df = (fjöldi dálka − 1)(fjöldi raða − 1).

Eftirfarandi formúla reiknar væntan fjölda E:

Í sjálfboðaliðahópi vinna fullorðnir 21 árs og eldri sjálfboðavinnu í eina til níu klukkustundir á viku með fötluðum eldri borgara. Verkefnið ræður fólk meðal nemenda í samfélagsháskólum, nemenda í fjögurra ára háskólum og fólks sem er ekki í námi. Tafla 11.15 sýnir úrtak fullorðinna sjálfboðaliða og fjölda klukkustunda sem þeir vinna í sjálfboðavinnu á viku.

Er fjöldi sjálfboðavinnuklukkustunda óháður tegund sjálfboðaliða? Mældu gildin og spurningin segja að þetta sé próf á óhæði. Þættirnir tveir eru fjöldi sjálfboðavinnuklukkustunda og tegund sjálfboðaliða. Prófið er alltaf hægrihliða.

H₀: Fjöldi sjálfboðavinnuklukkustunda er óháður tegund sjálfboðaliða. Hₐ: Fjöldi sjálfboðavinnuklukkustunda er háður tegund sjálfboðaliða.

Væntu niðurstöðurnar eru í töflu 11.16. Til dæmis er útreikningurinn fyrir vænta tíðni í efsta vinstra reitnum E = (raðarsumma)(dálksumma)/heildarfjöldi = (255)(298)/839 = 90,57.

Prófstærð: χ² = 12,99 (reiknivél eða tölva). Dreifing prófsins er χ²_4. Frígráður: df = (3 dálkar − 1)(3 raðir − 1) = (2)(2) = 4.

Líkindasetning: p-gildi = P(χ² > 12,99) = 0,0113. Þar sem ekkert α er gefið, gerum við ráð fyrir α = 0,05. p-gildi = 0,0113, svo α > p-gildi. Þar sem α > p-gildi er H₀ hafnað. Það merkir að þættirnir eru ekki óháðir.

Niðurstaða: Við 5% marktektarstig eru næg gögn til að álykta út frá gögnunum að fjöldi sjálfboðavinnuklukkustunda og tegund sjálfboðaliða séu háð hvort öðru. Ef enn ein tegund sjálfboðaliða, unglingar, hefði verið í töflu 11.16, hverjar væru frígráðurnar?

TI-83/83+/84/84+: Ýtið á MATRX og farið í EDIT. Veljið 1:[A], ýtið á 3 ENTER 3 ENTER og sláið inn mældu gildin, án summna, eftir röðum úr töflu 11.15. Ýtið á ENTER eftir hvert gildi. Ýtið á 2nd QUIT. Farið aftur í MATRX EDIT, veljið 2:[B], ýtið á 3 ENTER 3 ENTER og sláið inn væntu gildin eftir röðum úr töflu 11.16. Ýtið á 2nd QUIT. Ýtið á STAT, farið í TESTS, veljið C:χ2-TEST og ýtið á ENTER. Þar ætti að sjást Observed:[A] og Expected:[B]. Farið niður í Calculate og ýtið á ENTER. Prófstærðin er 12,9909 og p-gildi = 0,0113. Endurtakið ferlið en veljið Draw í stað Calculate.

De Anza College hefur áhuga á sambandi kvíðastigs og þarfar fyrir að ná árangri í skóla. Slembiúrtak 400 nemenda tók próf sem mældi kvíðastig og þörf fyrir að ná árangri í skóla. Tafla 11.18 sýnir niðurstöðurnar. De Anza College vill vita hvort kvíðastig og þörf fyrir að ná árangri í skóla séu óháðir atburðir.

1. a. Hversu margir nemendur með hátt kvíðastig er vænt að hafi mikla þörf fyrir að ná árangri í skóla? Dálksumma fyrir hátt kvíðastig er 57. Raðarsumma fyrir mikla þörf fyrir árangur er 155. Úrtaksstærðin, eða heildarfjöldi svarenda, er 400. E = (155·57)/400 = 22,09. Væntur fjöldi nemenda sem hafa hátt kvíðastig og mikla þörf fyrir árangur er um 22.
2. b. Ef breyturnar tvær eru óháðar, hve marga nemendur væntið þið að hafi litla þörf fyrir árangur í skóla og meðallágt kvíðastig?
3. c. Dálksumma fyrir meðallágt kvíðastig er 63. Raðarsumma fyrir litla þörf fyrir árangur er 52. Úrtaksstærðin er 400. E = (raðarsumma)(dálksumma)/heildarfjöldi = (52·63)/400 = 8,19.
4. d. Væntur fjöldi nemenda sem hafa meðallágt kvíðastig og litla þörf fyrir að ná árangri í skóla er um 8.