Heimadæmi

11.1 Staðreyndir um kí-kvaðrat dreifingu

Ákvarðið hvort eftirfarandi staðhæfingar eru sannar eða ósannar.

1. Þegar frígráðum fjölgar verður graf kí-kvaðrat dreifingarinnar sífellt samhverfara.
2. Staðalfrávik kí-kvaðrat dreifingarinnar er tvöfalt meðaltalið.
3. Meðaltal og miðgildi kí-kvaðrat dreifingarinnar eru þau sömu ef df = 24.

11.2 Mátgæðapróf

Fyrir hvert verkefni skulið þið nota lausnablað til að leysa tilgátuprófið. Farið í viðauka E, Lausnablöð, fyrir kí-kvaðrat lausnablaðið. Námundið væntanlega tíðni að tveimur aukastöfum.

Sexhliða teningi er kastað 120 sinnum. Fyllið út dálkinn fyrir væntanlega tíðni. Framkvæmið síðan tilgátupróf til að ákvarða hvort teningurinn sé óhlutdrægur. Gögnin í töflu 11.34 eru niðurstöður kastanna 120.

Dreifing hjúskaparstöðu meðal bandarískra karla, 15 ára og eldri, er sýnd í töflu 11.35.

Gerið ráð fyrir að slembiúrtak 400 bandarískra karla á aldrinum 18 til 24 ára hafi gefið eftirfarandi tíðnidreifingu. Við viljum kanna hvort þessi aldurshópur karla fylgi dreifingu fullorðinna bandarískra karla. Reiknið þá tíðni sem vænta mætti í könnun með 400 þátttakendum. Fyllið út töflu 11.35 og námundið að tveimur aukastöfum.

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tveimur æfingum. Dálkarnir í töflu 11.37 sýna kynþátt/þjóðernishóp í bandarískum opinberum skólum fyrir nýlegt ár, hlutfall í þýði nemenda sem tóku Advanced Placement próf í þeim árgangi og heildarþýði nemenda. Gerið ráð fyrir að hægri dálkurinn sýni niðurstöður könnunar á 1.000 nemendum í heimabyggð sem tóku AP-próf það ár.

1. Framkvæmið mátgæðapróf til að ákvarða hvort niðurstöður heimabyggðar fylgi dreifingu heildarþýðis bandarískra nemenda eftir þjóðernishópi.
2. Framkvæmið mátgæðapróf til að ákvarða hvort niðurstöður heimabyggðar fylgi dreifingu bandaríska AP-próftakaþýðisins eftir þjóðernishópi.

Í South Lake Tahoe í Kaliforníu eru 1.419 Asíubúar af alls 23.609 íbúum. Gerið ráð fyrir að könnun meðal 1.419 einstaklinga sem tilgreindu sig sem Asíubúa í Manhattan-hverfi New York-borgarsvæðisins hafi gefið gögnin í töflu 11.38. Framkvæmið mátgæðapróf til að ákvarða hvort undirhópar Asíubúa á Manhattan falli að dreifingunni á South Lake Tahoe svæðinu.

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tveimur æfingum. UCLA gerði könnun á meira en 263.000 nýnemum í 385 háskólum haustið 2005. Niðurstöður um væntanleg aðalfög nemenda eftir kyni birtust í The Chronicle of Higher Education (2.2.2006). Gerið ráð fyrir að könnun á 5.000 útskrifuðum konum og 5.000 útskrifuðum körlum hafi verið gerð á síðasta ári til að kanna raunveruleg aðalfög þeirra. Niðurstöðurnar eru sýndar í töflunum fyrir æfingu 11.77 og æfingu 11.78. Seinni dálkurinn í hvorri töflu leggst ekki nákvæmlega saman í 100 prósent vegna námundunar.

Framkvæmið mátgæðapróf til að ákvarða hvort raunveruleg aðalfög útskrifaðra kvenna falli að dreifingu væntanlegra aðalfaga þeirra.

Framkvæmið mátgæðapróf til að ákvarða hvort raunveruleg aðalfög útskrifaðra karla falli að dreifingu væntanlegra aðalfaga þeirra.

Lesið staðhæfinguna og ákvarðið hvort hún er sönn eða ósönn.

1. Í mátgæðaprófi eru væntanlegu gildin þau gildi sem við myndum vænta ef núlltilgátan væri sönn.
2. Almennt gildir að ef mæld gildi og vænt gildi í mátgæðaprófi eru ekki nálægt hvert öðru getur prófstærðin orðið mjög stór og á grafi legið langt úti í hægri hala.
3. Notið mátgæðapróf til að ákvarða hvort skólastjórar framhaldsskóla telji að nemendur séu fjarverandi jafnt yfir vikudagana.
4. Prófið sem nota á til að ákvarða hvort sexhliða teningur sé óhlutdrægur er mátgæðapróf.
5. Í mátgæðaprófi, ef p-gildið er 0,0113, á almennt ekki að hafna núlltilgátunni.

Slembiúrtak 212 fyrirtækja var kannað með tilliti til endurvinnslu á einni vörutegund; vörutegund merkir hér eina tegund endurvinnanlegs efnis, til dæmis plast eða ál. Tafla 11.41 sýnir fyrirtækjaflokka í könnuninni, úrtaksstærð hvers flokks og fjölda fyrirtækja í hverjum flokki sem endurvinna eina vörutegund. Samkvæmt rannsókninni var að meðaltali vænst að helmingur fyrirtækjanna endurynni eina vörutegund. Þess vegna sýnir síðasti dálkurinn væntanlegan fjölda fyrirtækja í hverjum flokki sem endurvinna eina vörutegund. Við 5 prósenta marktektarstig skulið þið framkvæma tilgátupróf til að ákvarða hvort mældur fjöldi fyrirtækja sem endurvinna eina vörutegund fylgi jafnri dreifingu væntanlegu gildanna.

Tafla 11.42 inniheldur upplýsingar úr könnun á 499 þátttakendum flokkað eftir aldurshópum. Annar dálkur sýnir hlutfall offitusjúklinga í hverjum aldursflokki meðal þátttakenda í rannsókninni. Síðasti dálkurinn kemur úr annarri landsrannsókn og sýnir samsvarandi hlutföll offitusjúklinga í sömu aldursflokkum í Bandaríkjunum. Framkvæmið tilgátupróf við 5 prósenta marktektarstig til að ákvarða hvort þátttakendur könnunarinnar séu dæmigert úrtak úr bandaríska þýði offitusjúklinga.

11.3 Próf á óhæði

Fyrir hvert verkefni skulið þið nota lausnablað til að leysa tilgátuprófið. Farið í viðauka E fyrir kí-kvaðrat lausnablaðið. Námundið væntanlega tíðni að tveimur aukastöfum.

Nýleg umræða um hvar skíðafólk í Bandaríkjunum telur skíðaaðstæður bestar leiddi til eftirfarandi könnunar. Prófið hvort besta skíðasvæðið sé óháð færnistigi skíðamannsins.

Bílaframleiðendur hafa áhuga á því hvort samband sé milli stærðar bíls sem einstaklingur ekur og fjölda fólks í fjölskyldu ökumannsins, það er hvort bílastærð og fjölskyldustærð séu óháðar. Til að prófa þetta gerum við ráð fyrir að 800 bíleigendur hafi verið valdir af handahófi og spurðir, með niðurstöðunum í töflu 11.44. Framkvæmið próf á óhæði.

Háskólanemar gætu haft áhuga á því hvort aðalfag þeirra hafi einhver áhrif á byrjunarlaun eftir útskrift. Gerið ráð fyrir að 300 nýútskrifaðir nemendur hafi verið spurðir um aðalfag sitt í háskóla og byrjunarlaun eftir útskrift. Tafla 11.45 sýnir gögnin. Framkvæmið próf á óhæði.

Sumir ferðaráðgjafar halda því fram að vinsælir brúðkaupsferðastaðir séu breytilegir eftir aldri brúðarinnar. Gerið ráð fyrir að rætt hafi verið við 280 nýgiftar konur um hvar þær eyddu brúðkaupsferðinni. Upplýsingarnar eru gefnar í töflu 11.46. Framkvæmið próf á óhæði.

Framkvæmdastjóri íþróttafélags heldur utan um upplýsingar um aðalíþrótt félagsmanna og aldur þeirra. Til að prófa hvort samband sé milli aldurs félagsmanns og íþróttavals hans eða hennar eru 643 félagsmenn valdir af handahófi. Framkvæmið próf á óhæði.

Stór matvælaframleiðandi hefur áhyggjur af því að sala á mjóum frönskum kartöflum hafi minnkað. Sem hluta af hagkvæmnirannsókn rannsakar fyrirtækið tegundir franskra kartaflna sem seldar eru um landið til að ákvarða hvort tegundin sem seld er sé óháð landsvæði. Niðurstöður rannsóknarinnar eru sýndar í töflu 11.48. Framkvæmið próf á óhæði.

Samkvæmt Dan Leonard, óháðum tryggingamiðlara á Buffalo-svæðinu í New York, er eftirfarandi sundurliðun á fjárhæð líftryggingar sem karlar í eftirfarandi aldurshópum keyptu. Hann hefur áhuga á því hvort aldur karlsins og fjárhæð keyptrar líftryggingar séu óháðir atburðir. Framkvæmið próf á óhæði.

Gerið ráð fyrir að 600 þrítugir einstaklingar hafi verið spurðir til að ákvarða hvort samband sé milli menntunarstigs einstaklings og launa. Framkvæmið próf á óhæði.

Lesið staðhæfinguna og ákvarðið hvort hún er sönn eða ósönn.

1. Fjöldi frígráða í prófi á óhæði er jafn úrtaksstærðinni mínus einn.
2. Próf á óhæði notar töflur með mældum og væntum gagnagildum.
3. Prófið sem nota á þegar ákvarða á hvort sá háskóli sem nemandi velur tengist félags- og efnahagsstöðu hans eða hennar er próf á óhæði.
4. Í prófi á óhæði er væntanlegur fjöldi jafn margfeldi raðheildar og dálkheildar deilt með heildarfjölda svarenda.

Ísframleiðandi framkvæmir landskönnun um uppáhaldsbragðtegundir íss á mismunandi landsvæðum Bandaríkjanna. Út frá töflu 11.51, benda tölurnar til þess að landfræðileg staðsetning sé óháð uppáhaldsbragðtegund íss? Prófið við 5 prósenta marktektarstig.

Tafla 11.52 sýnir niðurstöður nýlegrar könnunar á yngstu frumkvöðlum á netinu sem talið er að eigi eina milljón Bandaríkjadala eða meira. Aldur þeirra er á bilinu 17 til 30 ár. Hver reitur í töflunni sýnir fjölda frumkvöðla sem samsvara tilteknum aldurshópi og eignastöðu. Eru aldur og eignastaða óháð? Framkvæmið próf á óhæði við 5 prósenta marktektarstig.

Könnun í Kaliforníu árið 2013 spurði fólk um nýjan skatt. Niðurstöðurnar eru sýndar í töflu 11.53 og flokkaðar eftir þjóðernishópi og tegund svars. Eru svör í könnuninni óháð þjóðernishópi þátttakenda? Framkvæmið próf á óhæði við 5 prósenta marktektarstig.

11.4 Próf á einsleitni

Fyrir hvert orðadæmi skulið þið nota lausnablað til að leysa tilgátuprófið. Farið í viðauka E, Lausnablöð, fyrir kí-kvaðrat lausnablaðið. Námundið væntanlega tíðni að tveimur aukastöfum.

Sálfræðingur vill prófa hvort munur sé á dreifingu persónuleikagerða hjá nemendum í viðskiptafræði og nemendum í félagsvísindum. Niðurstöður rannsóknarinnar eru sýndar í töflu 11.54. Framkvæmið einsleitnipróf. Prófið við 5 prósenta marktektarstig.

Velja karlar og konur ólíkan morgunverð? Morgunverðirnir sem slembivaldir karlar og konur pöntuðu á vinsælum morgunverðarstað eru sýndir í töflu 11.55. Framkvæmið próf á einsleitni við 5 prósenta marktektarstig.

Veiðimaður vill kanna hvort dreifing fiska sem veiðast í Green Valley Lake sé sú sama og dreifing fiska sem veiðast í Echo Lake. Af 191 slembivöldum fiski sem veiddist í Green Valley Lake voru 105 regnbogasilungar, 27 aðrir silungar, 35 bassar og 24 steinbítar. Af 293 slembivöldum fiski sem veiddist í Echo Lake voru 115 regnbogasilungar, 58 aðrir silungar, 67 bassar og 53 steinbítar. Framkvæmið próf á einsleitni við 5 prósenta marktektarstig.

Árið 2007 voru 1,5 milljónir nemenda í heimakennslu í Bandaríkjunum samkvæmt U.S. National Center for Education Statistics. Í töflu 11.56 má sjá að foreldrar ákveða að kenna börnum sínum heima af ólíkum ástæðum og sumar ástæður eru metnar mikilvægari en aðrar. Samkvæmt niðurstöðum könnunarinnar í töflunni, er dreifing viðeigandi ástæðna sú sama og dreifing mikilvægustu ástæðunnar? Leggið mat á þetta við 5 prósenta marktektarstig. Bjuggust þið við niðurstöðunni sem þið fenguð?

Þegar orkunotkun er skoðuð höfum við oft áhuga á að greina leitni yfir tíma og hvernig hún tengist milli landa. Upplýsingarnar í töflu 11.57 sýna meðalorkunotkun í einingum kg olíuígildis á hvern íbúa í Bandaríkjunum og sameiginlegum ríkjum Evrópusambandsins (ESB) fyrir sex ára tímabilið 2005 til 2010. Koma orkunotkunargildin á þessum tveimur svæðum úr sömu dreifingu? Framkvæmið greininguna við 5 prósenta marktektarstig.

Insurance Institute for Highway Safety safnar árlega öryggisupplýsingum um allar tegundir bíla og birtir skýrslu um bestu öryggisvalkostina meðal allra bíla, framleiðenda og gerða. Tafla 11.58 sýnir fjölda bestu öryggisvalkosta í sex bílaflokkum fyrir árin 2009 og 2013. Greinið töflugögnin til að álykta hvort dreifing bíla sem hlutu viðurkenninguna top safety pick hafi haldist sú sama milli 2009 og 2013. Dragið niðurstöður við 5 prósenta marktektarstig.

11.5 Samanburður á kí-kvaðrat prófum

Fyrir hvert orðadæmi skulið þið nota lausnablað til að leysa tilgátuprófið. Farið í viðauka E, Lausnablöð, fyrir kí-kvaðrat lausnablaðið. Námundið væntanlega tíðni að tveimur aukastöfum.

Er munur á dreifingu tölfræðinema í samfélagsháskóla og dreifingu tölfræðinema í háskóla eftir því hvaða tækni þeir nota við heimadæmi? Af nokkrum slembivöldum nemendum í samfélagsháskóla notuðu 43 tölvu, 102 reiknivél með innbyggðum tölfræðiföllum og 65 töflu úr kennslubókinni. Af nokkrum slembivöldum háskólanemum notuðu 28 tölvu, 33 reiknivél með innbyggðum tölfræðiföllum og 40 töflu úr kennslubókinni. Framkvæmið viðeigandi tilgátupróf með marktektarstiginu 0,05.

Lesið staðhæfinguna og ákvarðið hvort hún er sönn eða ósönn.

1. Ef df = 2 hefur kí-kvaðrat dreifingin lögun sem minnir á veldisdreifingu.

11.6 Próf á dreifni í einu þýði

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu 12 æfingum. Gerið ráð fyrir að flugfélag haldi því fram að flug þess séu stöðugt á réttum tíma með meðalseinkun að hámarki 15 mínútur. Það heldur því fram að meðalseinkunin sé svo stöðug að dreifnin sé ekki meiri en 150 mínútur. Ferðalangur sem efast um stöðugleikahluta fullyrðingarinnar reiknar seinkanir í næstu 25 flugum sínum. Meðalseinkun þessara 25 fluga er 22 mínútur með staðalfráviki 15 mínútur.

1. Er ferðalangurinn að véfengja fullyrðinguna um meðaltalið eða um dreifnina?
2. Úrtaksstaðalfrávik 15 mínútur er það sama og úrtaksdreifni upp á __________ mínútur.
3. Er þetta hægrihliða, vinsturhliða eða tvíhliða próf?
4. H₀: __________
5. df = ________
6. kí-kvaðrat prófstærð = ________
7. p-gildi = ________
8. Teiknið aðstæðurnar. Merkið og kvarðið lárétta ásinn. Merkið meðaltalið og prófstærðina. Skyggið p-gildið.
9. Látið α = 0,05. Ákvörðun: ________ Niðurstaða (skrifið í heilli setningu): ________
10. Hvernig vissuð þið að prófa ætti dreifnina í stað meðaltalsins?
11. Ef viðbótarpróf væri gert á fullyrðingunni um meðalseinkunina, hvaða dreifingu mynduð þið nota?
12. Ef viðbótarpróf væri gert á fullyrðingunni um meðalseinkunina, en 45 flug væru könnuð, hvaða dreifingu mynduð þið nota?

Fyrir hvert orðadæmi skulið þið nota lausnablað til að leysa tilgátuprófið. Farið í viðauka E, Lausnablöð, fyrir kí-kvaðrat lausnablaðið. Námundið væntanlega tíðni að tveimur aukastöfum.

1. Verksmiðjustjóri hefur áhyggjur af því að stilla þurfi búnaðinn að nýju. Raunveruleg þyngd 15 únsa kornflögupakka sem vélin fyllir virðist hafa sveiflast. Staðalfrávikið ætti að vera að hámarki 0,5 únsa. Til að ákvarða hvort stilla þurfi vélina að nýju voru 84 slembivaldir kornflögupakkar úr framleiðslu næsta dags vigtaðir. Staðalfrávik pakkanna 84 var 0,54. Þarf að stilla vélina að nýju?
2. Neytendur gætu haft áhuga á því hvort verð tiltekinnar reiknivélar sé breytilegt milli verslana. Út frá könnun á 43 verslunum, sem gaf úrtaksmeðaltalið $84 og úrtaksstaðalfrávikið $12, prófið fullyrðinguna að staðalfrávikið sé stærra en $15.
3. Isabella, afrekskona í Bay-to-Breakers hlaupinu, heldur því fram að staðalfrávik hlaupatíma hennar í 7,5 mílna hlaupinu sé að hámarki 3 mínútur. Til að prófa fullyrðinguna flettir Isabella upp fimm hlaupatímum sínum. Þeir eru 55 mínútur, 61 mínúta, 58 mínútur, 63 mínútur og 57 mínútur.
4. Flugfélög hafa áhuga á stöðugleika í fjölda ungbarna í hverju flugi svo þau hafi nægjanlegan öryggisbúnað. Þau hafa einnig áhuga á breytileika fjölda ungbarna. Gerið ráð fyrir að stjórnandi flugfélags telji meðalfjölda ungbarna í flugum vera sex með dreifni að hámarki níu. Flugfélagið framkvæmir könnun. Niðurstöður 18 kannaðra fluga gefa úrtaksmeðaltalið 6,4 og úrtaksstaðalfrávikið 3,9. Framkvæmið tilgátupróf á trú stjórnandans.

Fjöldi fæðinga á hverja konu í Kína er 1,6, niður úr 5,91 árið 1966. Þessi frjósemistíðni hefur verið rakin til laga sem samþykkt voru árið 1979 og takmörkuðu fæðingar við eina á hverja konu. Gerið ráð fyrir að hópur nemenda hafi rannsakað hvort staðalfrávik fæðinga á hverja konu væri stærra en 0,75. Þeir spurðu 50 konur víðs vegar í Kína um fjölda barna sem þær höfðu fætt. Niðurstöðurnar eru sýndar í töflu 11.59. Gefur könnun nemendanna til kynna að staðalfrávikið sé stærra en 0,75?

1. Samkvæmt áhugasömum fiskabúrseiganda er meðalfjöldi fiska í 20 gallona búri 10, með staðalfráviki tvö. Vinur hans, einnig fiskabúrseigandi, trúir ekki að staðalfrávikið sé tvö. Hún telur fjölda fiska í 15 öðrum 20 gallona búrum. Út frá eftirfarandi niðurstöðum, teljið þið að staðalfrávikið sé frábrugðið tveimur? Gögn: 11; 10; 9; 10; 10; 11; 11; 10; 12; 9; 7; 9; 11; 10; og 11.
2. Framkvæmdastjóri Frenchies hefur áhyggjur af því að viðskiptavinir fái ekki stöðugt sama magn af frönskum kartöflum með hverri pöntun. Kokkurinn heldur því fram að staðalfrávik fyrir 10 únsa pöntun af frönskum kartöflum sé að hámarki 1,5 únsa, en framkvæmdastjórinn telur að það kunni að vera hærra. Hann vegur af handahófi 49 pantanir af frönskum kartöflum, sem gefa meðaltalið 11 únsur og staðalfrávikið 2 únsur.
3. Þið viljið kaupa tiltekna tölvu. Sölufulltrúi framleiðandans heldur því fram að smásöluverslanir selji þessa tölvu á meðalverðinu $1.249 með mjög þröngu staðalfráviki, $25. Þið finnið vef sem ber saman verð fyrir sömu tölvu í röð verslana: $1.299; $1.229,99; $1.193,08; $1.279; $1.224,95; $1.229,99; $1.269,95; og $1.249. Getið þið haldið því fram að verðlagningin hafi stærra staðalfrávik en framleiðandinn heldur fram? Notið 5 prósenta marktektarstig. Sem hugsanlegur kaupandi, hver væri hagnýt niðurstaða greiningarinnar?
4. Fyrirtæki pakkar eplum eftir þyngd. Einn þyngdarflokkurinn er A-flokks epli. A-flokks epli hafa meðalþyngd 150 grömm og hámarks leyfilegt þyngdarvik er 5 prósent yfir eða undir meðaltalinu fyrir epli í sama neytendapakka. Lota epla er valin til að fara í A-flokks eplapakka. Með hliðsjón af eftirfarandi þyngdum epla í lotunni, uppfyllir ávöxturinn kröfur um þyngdarvik fyrir A-flokk? Framkvæmið viðeigandi tilgátupróf. (a) Við 5 prósenta marktektarstig. (b) Við 1 prósents marktektarstig. Þyngdir í valinni eplalotu (í grömmum): 158; 167; 149; 169; 164; 139; 154; 150; 157; 171; 152; 161; 141; 166; og 172.