7.1 Höfuðsetning líkindafræðinnar fyrir úrtaksmeðaltöl – Tölfræði (IS) | Námsgögn
77 Höfuðsetning líkindafræðinnar
7.1 Höfuðsetning líkindafræðinnar fyrir úrtaksmeðaltöl
7.1 Höfuðsetning tölfræðinnar fyrir úrtaksmeðaltöl
Gerum ráð fyrir að X sé slembibreyta með dreifingu sem getur verið þekkt eða óþekkt (hún getur verið hvaða dreifing sem er). Með því að nota lágvísi sem samsvarar slembibreytunni gerum við ráð fyrir að
μX = meðaltal X
σX = staðalfrávik X
Ef þið takið slembiúrtök af stærð n, þá hefur slembibreytan X̄, sem samanstendur af úrtaksmeðaltölum, tilhneigingu til að verða normaldreifð þegar n stækkar og
7.1
Höfuðsetning tölfræðinnar fyrir úrtaksmeðaltöl segir að ef þið haldið áfram að taka stærri og stærri úrtök (eins og að kasta einum, tveimur, fimm og að lokum tíu teningum) og reiknið meðaltöl þeirra, mynda úrtaksmeðaltölin sína eigin normaldreifingu, úrtakadreifinguna. Normaldreifingin hefur sama meðaltal og upprunalega dreifingin og dreifni sem jafngildir upprunalegri dreifni deilt með úrtaksstærðinni. Breytan n er fjöldi gilda sem meðaltalið er tekið af, ekki fjöldi skipta sem tilraunin er framkvæmd.
Formlega sagt: ef þið takið slembiúrtök af stærð n kallast dreifing slembibreytunnar X̄, sem samanstendur af úrtaksmeðaltölum, úrtakadreifing meðaltalsins. Úrtakadreifing meðaltalsins nálgast normaldreifingu þegar úrtaksstærðin n stækkar.
Slembibreytan X̄ hefur annað z-gildi tengt sér en slembibreytan X. Meðaltalið x̄ er gildi X̄ í einu úrtaki.
μX er meðaltal bæði X og X̄.
σx̄ = σX/√n er staðalfrávik X̄ og kallast staðalskekkja meðaltalsins.
Dæmi 7.1
Dreifing hefur meðaltalið 90 og staðalfrávikið 15. Slembiúrtök af stærð n = 25 eru tekin úr þýðinu.
a. Finnið líkurnar á því að úrtaksmeðaltalið sé á milli 85 og 92.
Lausn
a. Látum X vera eitt gildi úr upprunalega óþekkta þýðinu. Spurt er um líkur fyrir úrtaksmeðaltalið.
Látum X̄ vera meðaltal úrtaks af stærð 25. Þar sem μX = 90, σX = 15 og n = 25,
Finnið P(85 < x̄ < 92). Teiknið línurit.
P(85 < x̄ < 92) = 0,6997
Líkurnar á því að úrtaksmeðaltalið sé á milli 85 og 92 eru 0,6997.
Mynd 7.2
Finnið P(85 < x̄ < 92). Teiknið línurit.
7.2
b. Finnið gildið sem er tveimur staðalfrávikum ofan við væntigildið 90 fyrir úrtaksmeðaltalið.
Lausn
b. Til að finna gildið sem er tveimur staðalfrávikum ofan við væntigildið 90 skal nota eftirfarandi jöfnu.
Gildið sem er tveimur staðalfrávikum ofan við væntigildið er 96.
Staðalskekkja meðaltalsins er σX/√n = 15/√25 = 3. Munið að staðalskekkja meðaltalsins lýsir því hversu langt úrtaksmeðaltalið verður að meðaltali frá þýðismeðaltalinu í endurteknum einföldum slembiúrtökum af stærð n.
Dæmi 7.2
Sá tími, í klukkustundum, sem það tekur hóp fólks, 40 ára og eldri, að spila einn fótboltaleik er normaldreifður með meðaltalið 2 klukkustundir og staðalfrávikið 0,5 klukkustundir. Slembiúrtak af stærð n = 50 er tekið úr þýðinu. Finnið líkurnar á því að úrtaksmeðaltalið sé á milli 1,8 klukkustunda og 2,3 klukkustunda.
Lausn
Látum X vera tímann, í klukkustundum, sem það tekur að spila einn fótboltaleik.
Spurt er um líkur fyrir úrtaksmeðaltímann, í klukkustundum, sem það tekur að spila einn fótboltaleik.
Látum X̄ vera meðaltímann, í klukkustundum, sem það tekur að spila einn fótboltaleik.
Ef μX = ________, σX = ________ og n = ________, þá gildir samkvæmt höfuðsetningu tölfræðinnar fyrir meðaltöl að X̄ ~ N(______, ______).
μX = 2, σX = 0,5, n = 50 og X̄ ~ N(2, 0,5/√50)
Finnið P(1,8 < x̄ < 2,3). Teiknið línurit.
normalcdf
Líkurnar á því að meðaltíminn sé á milli 1,8 klukkustunda og 2,3 klukkustunda eru 0,9977.
Dæmi 7.3
Í nýlegri rannsókn sem greint var frá 29. október 2012 var meðalaldur spjaldtölvunotenda 34 ár. Gerum ráð fyrir að staðalfrávikið sé 15 ár. Takið úrtak af stærð n = 100.
Hvert er meðaltal og staðalfrávik úrtaksmeðalaldurs spjaldtölvunotenda?
Hvernig lítur dreifingin út?
Finnið líkurnar á því að úrtaksmeðalaldurinn sé meiri en 30 ár (tilkynntur meðalaldur spjaldtölvunotenda í þessari tilteknu rannsókn).
Finnið 95. prósentumarkið fyrir úrtaksmeðalaldurinn (með einum aukastaf).
Lausn
Þar sem úrtaksmeðaltalið hefur tilhneigingu til að stefna á þýðismeðaltalið höfum við μx̄ = μ = 34. Staðalskekkja meðaltalsins er σx̄ = σ/√n = 15/√100 = 15/10 = 1,5.
Höfuðsetning tölfræðinnar segir að fyrir stórar úrtaksstærðir (n) verði úrtakadreifingin um það bil normaldreifð.
Líkurnar á því að úrtaksmeðalaldurinn sé meiri en 30 eru P(X̄ > 30) = normalcdf(30,E99,34,1.5) = 0,9962.
Látum k vera 95. prósentumarkið. k = invNorm(0.95,34,15/√100) = 36,5.
Dæmi 7.4
Meðalfjöldi mínútna sem spjaldtölvunotandi notar smáforrit er 8,2 mínútur. Gerum ráð fyrir að staðalfrávikið sé ein mínúta. Tökum úrtak af stærð 60.
Hvert er meðaltal og staðalfrávik úrtaksmeðaltals fyrir fjölda mínútna sem spjaldtölvunotandi notar smáforrit?
Hver er staðalskekkja meðaltalsins?
Finnið 90. prósentumarkið fyrir úrtaksmeðaltal þess tíma sem spjaldtölvunotandi notar smáforrit. Túlkið þetta gildi í heilli málsgrein.
Finnið líkurnar á því að úrtaksmeðaltalið sé á milli átta mínútna og 8,5 mínútna.
Lausn
μx̄ = μ = 8,2; σx̄ = σ/√n = 1/√60 ≈ 0,13.
Þetta gerir okkur kleift að reikna út líkur á úrtaksmeðaltölum í tiltekinni fjarlægð frá meðaltalinu í endurteknum úrtökum af stærð 60.
Látum k vera 90. prósentumarkið. k = invNorm(0.90,8.2,1/√60) = 8,37. Þetta gildi þýðir að 90 prósent úrtaksmeðaltala fyrir notkunartíma spjaldtölvunotenda eru minni en 8,37 mínútur.
