5.9 Línuleg jöfnuhneppi með tveimur breytum

Að loknum þessum hluta átt þú að geta:

Í þessum hluta lærum við að leysa línuleg jöfnuhneppi með tveimur breytum. Margs konar raunverulegum aðstæðum má lýsa með slíkum hneppum. Gerum ráð fyrir að vinirnir Andrea og Bart kaupi grænmeti á bændamarkaði. Andrea kaupir 2 tómata og 4 gúrkur fyrir 2,00 dollara. Bart kaupir 4 tómata og 5 gúrkur fyrir 2,95 dollara. Hvað kostar einn tómatur og hvað kostar ein gúrka?

Í hlutunum Línulegar jöfnur með einni breytu og hagnýting þeirra og Línulegar ójöfnur með einni breytu og hagnýting þeirra lærðum við að leysa jöfnur með einni breytu. Nú vinnum við með tvær eða fleiri línulegar jöfnur sem mynda saman línulegt jöfnuhneppi.

Í þessum hluta einbeitum við okkur að hneppum tveggja línulegra jafna með tveimur óþekktum stærðum, eða breytum og hagnýtingu þeirra. Dæmi um slíkt hneppi er sýnt hér fyrir neðan. Slaufusvigi sýnir að jöfnurnar tvær mynda saman jöfnuhneppi.

Línuleg jafna með tveimur breytum, svo sem $2x+y=7$, hefur óendanlega margar lausnir og graf hennar er lína. Sérhver punktur á línunni er lausn jöfnunnar og sérhver lausn hennar er punktur á línunni. Til að leysa hneppi tveggja línulegra jafna leitum við að breytugildum sem leysa báðar jöfnurnar. Með öðrum orðum leitum við að röðuðum pörum ( $x$, $y$ ) sem gera báðar jöfnurnar sannar. Þau nefnast lausnir jöfnuhneppisins .

Til að ákvarða hvort raðað par sé lausn hneppis tveggja jafna setjum við gildi breytanna inn í hvora jöfnu. Ef parið gerir báðar jöfnurnar sannar er það lausn hneppisins.

Við notum þrjár aðferðir til að leysa línuleg jöfnuhneppi. Sú fyrsta er grafteikning. Graf línulegrar jöfnu er lína og sérhver punktur á henni er lausn jöfnunnar. Fyrir hneppi tveggja jafna teiknum við tvær línur og sjáum þannig alla punkta sem leysa hvora jöfnu. Sameiginlegir punktar línanna gefa lausn hneppisins.

Þegar við leysum jöfnur með einni breytu getur komið í ljós að jafnan hafi eina lausn, enga lausn eða að allar rauntölur séu lausnir. Jafna sem getur aldrei verið sönn nefnist mótsögn, en jafna sem er sönn fyrir öll leyfileg gildi breytunnar nefnist samsemd. Á sama hátt eru þrjú möguleg tilvik þegar hneppi tveggja línulegra jafna er sýnt með tveimur línum á sama fleti, eins og á mynd 5.83.

Í hvert sinn sem ný aðferð er kynnt beitum við henni á sama línulega jöfnuhneppið. Að lokum metur þú hvaða aðferð hentar best.

Skrefin við að leysa línulegt jöfnuhneppi með grafteikningu eru þessi:

Fyrsta skref: Teiknaðu graf fyrri jöfnunnar.

Annað skref: Teiknaðu graf síðari jöfnunnar í sama rétthyrnda hnitakerfi.

Þriðja skref: Ákvarðaðu hvort línurnar skerast, séu samsíða eða falli saman.

Fjórða skref: Finndu lausn hneppisins.

Ef línurnar skerast skaltu finna skurðpunktinn. Hann er lausn hneppisins.

Ef línurnar eru samsíða hefur hneppið enga lausn.

Ef línurnar falla saman hefur hneppið óendanlega margar lausnir.

Fimmta skref: Prófaðu lausnina í báðum jöfnunum.

Nú leysum við línuleg jöfnuhneppi með innsetningaraðferðinni. Við notum sama hneppi og við leystum með grafteikningu.

Fyrst leysum við aðra jöfnuna fyrir annaðhvort $x$ eða $y$. Velja má hvora jöfnuna og hvora breytuna sem er, en best er að velja þannig að reikningarnir verði einfaldir. Síðan setjum við stæðuna sem fæst inn í hina jöfnuna. Útkoman er jafna með aðeins einni breytu sem við kunnum að leysa.

Þegar gildi annarrar breytunnar er fundið setjum við það inn í aðra upprunalegu jöfnuna og leysum fyrir hina breytuna. Að lokum prófum við lausnina og staðfestum að hún geri báðar jöfnurnar sannar. Ferlið er þetta:

Fyrsta skref: Leystu aðra jöfnuna fyrir aðra breytuna.

Annað skref: Settu stæðuna úr skrefi 1 inn í hina jöfnuna.

Þriðja skref: Leystu jöfnuna sem fæst.

Fjórða skref: Settu lausnina úr skrefi 3 inn í aðra upprunalegu jöfnuna til að finna hina breytuna.

Fimmta skref: Ritaðu lausnina sem raðað par.

Sjötta skref: Staðfestu að raðaða parið leysi báðar upprunalegu jöfnurnar.

Við höfum leyst línuleg jöfnuhneppi með grafteikningu og innsetningu. Grafteikning hentar vel þegar stuðlar breytanna eru litlir og lausnin hefur heiltölugildi. Innsetning hentar vel þegar auðvelt er að leysa aðra jöfnuna fyrir eina breytu án þess að of mörg brot myndist.

Þriðja aðferðin nefnist eyðingaraðferð. Við innsetningu byrjuðum við með tvær jöfnur og tvær breytur en enduðum með eina jöfnu og eina breytu. Sama markmiði er náð með eyðingu en eftir annarri leið.

Eyðingaraðferðin byggist á samlagningareiginleika jafna. Hann segir að jafnan haldist sönn þegar sama stærð er lögð við báðar hliðar hennar. Við víkkum regluna: Ef jafnar stærðir eru lagðar saman við jafnar stærðir eru summurnar jafnar. Fyrir stæðurnar $a$, $b$, $c$ og $d$ gildir:

ef $a=b$

og $c=d$

þá er $a+c=b+d$.

Til að leysa jöfnuhneppi með eyðingu byrjum við með báðar jöfnurnar á staðalformi. Síðan veljum við breytuna sem auðveldast er að eyða. Stuðlar hennar eiga að vera samlagningarandhverfir svo að breytan falli út þegar jöfnurnar eru lagðar saman. Skoðaðu hvernig þetta gerist þegar þessar tvær jöfnur eru lagðar saman:

$y$-liðirnir leggjast saman í núll og eftir stendur jafna með einni breytu. Skoðum annað dæmi:

Nú sést engin breyta sem eyðist samstundis við samlagningu jafnanna. Ef fyrri jafnan er hins vegar margfölduð með $-2$ verða stuðlar $x$ samlagningarandhverfir. Margfalda verður hvern lið beggja hliða jöfnunnar með $-2$.

Ritaðu síðan jöfnuhneppið aftur.

Nú eru stuðlar $x$-liðanna samlagningarandhverfir og $x$ eyðist þegar jöfnurnar eru lagðar saman.

Þegar jafna með einni breytu hefur fengist leysum við hana. Síðan setjum við gildið inn í aðra upprunalegu jöfnuna til að finna hina breytuna. Að lokum prófum við svarið í báðum upprunalegu jöfnunum. Skref eyðingaraðferðarinnar eru þessi:

Fyrsta skref: Ritaðu báðar jöfnurnar á staðalformi. Eyddu brotum ef einhverjir stuðlar eru brot.

Annað skref: Gerðu stuðla annarrar breytunnar að samlagningarandhverfum.

Veldu breytuna sem á að eyða.

Margfaldaðu aðra eða báðar jöfnurnar þannig að stuðlar breytunnar verði samlagningarandhverfir.

Þriðja skref: Leggðu saman jöfnurnar úr skrefi 2 til að eyða annarri breytunni.

Fjórða skref: Leystu fyrir breytuna sem eftir stendur.

Fimmta skref: Settu lausnina úr skrefi 4 inn í aðra upprunalegu jöfnuna og leystu fyrir hina breytuna.

Sjötta skref: Ritaðu lausnina sem raðað par.

Sjöunda skref: Staðfestu að raðaða parið leysi báðar upprunalegu jöfnurnar.

Í jöfnuhneppunum sem við höfum leyst í dæmunum hingað til hafa línurnar skorist í einum punkti. Í dæmum 5.86 og 5.87 skoðum við annars vegar hneppi án lausnar og hins vegar hneppi með óendanlega margar lausnir.

Ef síðari jafnan í dæminu á undan er rituð á hallatöluformi sést að jöfnurnar hafa sömu hallatölu og sama skurðpunkt við $y$-ás. Sérhver punktur línunnar gerir báðar jöfnurnar sannar og því hefur hneppið óendanlega margar lausnir. Línurnar nefnast samfallandi. Samfallandi línur hafa sömu hallatölu og sama skurðpunkt við $y$-ás. Jöfnuhneppi með að minnsta kosti eina lausn nefnist samkvæmt jöfnuhneppi . Hneppi samsíða lína hefur enga lausn og nefnist ósamkvæmt jöfnuhneppi .

Í þessum kafla eru tvær jöfnur sagðar háðar ef þær hafa sama lausnamengi, þannig að gröf þeirra falla saman. Jöfnur með ólík lausnamengi eru hér kallaðar óháðar; gröf þeirra geta annaðhvort skorist eða verið aðskildar samsíða línur. Þessi orðnotkun lýsir lausnamengjum jafnanna. Hún er ekki það sama og línulegt óhæði stuðlaraða: stuðlaraðir jafna samsíða lína eru línulega háðar. Mynd 5.86 og taflan á eftir sýna tilvikin þrjú.

Línuleg jöfnuhneppi eru mjög gagnleg við lausn hagnýtra verkefna. Sumum finnst auðveldara að setja orðadæmi fram með tveimur breytum en einni. Fyrst færum við textann yfir í línulegt jöfnuhneppi, veljum síðan hentugustu lausnaraðferðina og leysum hneppið.

Fyrsta skref: Lestu verkefnið og gakktu úr skugga um að þú skiljir öll orð og hugtök.

Annað skref: Ákvarðaðu hvað á að finna.

Þriðja skref: Gefðu stærðunum heiti og veldu breytur fyrir þær.

Fjórða skref: Settu verkefnið fram sem jöfnuhneppi.

Fimmta skref: Leystu jöfnuhneppið með vönduðum algebruaðferðum.

Sjötta skref: Prófaðu svarið í samhengi verkefnisins og mettu hvort það sé raunhæft.

Sjöunda skref: Svaraðu spurningunni með heilli setningu.