5.8 Gröf falla

Að loknum þessum hluta átt þú að geta:

Í þessum hluta lærum við að teikna gröf línulegra falla. Slík gröf geta lýst raunverulegum aðstæðum með nálgun. Hugsum okkur stólalyftu á skíðasvæði. Ef hæð er teiknuð sem fall af láréttri stöðu má nálga beina leið upp brekku með línu með jákvæðri hallatölu. Leið niður brekku má á sama hátt nálga með línu með neikvæðri hallatölu, ef lárétti ásinn vísar í ferðastefnuna.

Sérhverja línulega jöfnu má sýna með einni ákveðinni línu sem inniheldur allar lausnir jöfnunnar. Við höfum séð að nota má hvaða þrjár lausnir sem er til að teikna línu með punktum. Tveir einstaklingar gætu því valið ólík mengi þriggja punkta. Við fyrstu sýn kynnu línurnar að virðast ólíkar því mismunandi punktar væru merktir, en ef rétt er reiknað eiga þær að falla nákvæmlega saman. Ein leið til að sannreyna það er að skoða hvar línan sker $x$-ás og $y$-ás. Þessir punktar nefnast skurðpunktar línunnar við ásana. Rifjum upp gröfin á mynd 5.65 .

Taflan sýnir hvar hver lína sker $x$- og $y$-ás. Sérðu mynstur? Í hverju tilviki er $y$-hnit punktsins þar sem línan sker $x$-ásinn núll. Punkturinn þar sem línan sker $x$-ásinn er af gerðinni $\left(a,0\right)$ og nefnist skurðpunktur við $x$-ás. Skurðpunkturinn við $x$-ás kemur fyrir þegar $y$ er núll. Á sama hátt er $x$-hnit punktsins þar sem línan sker $y$-ásinn núll. Punkturinn þar sem línan sker $y$-ásinn er af gerðinni $\left(0,b\right)$ og nefnist skurðpunktur við $y$-ás. Skurðpunkturinn við $y$-ás kemur fyrir þegar $x$ er núll.

Þegar gröf línulegra jafna eru teiknuð sést að sumar línur hækka frá vinstri til hægri en aðrar lækka. Sumar eru brattar en aðrar liggja nær láréttu. Hallatala lýsir bæði bratta og stefnu línu. Til að finna hana veljum við tvo ólíka punkta á línunni. Heiltöluhnit eru þægileg ef slíkir punktar sjást á grafinu. Fyrir línu sem er hvorki lárétt né lóðrétt má teikna rétthyrndan þríhyrning með punktana í tveimur hornum og lárétta og lóðrétta skammhlið. Við reiknum lóðréttu breytinguna, sem kallast hækkun, og láréttu breytinguna, sem kallast færsla. Báðar breytingarnar eru reiknaðar í sömu stefnu frá fyrri punktinum til þess síðari og geta verið neikvæðar.

Hallatala línu er hlutfall hækkunar og færslu, svo framarlega sem færslan er ekki núll. Hækkunin mælir lóðréttu breytinguna en færslan þá láréttu, eins og sýnt er á mynd 5.68. Hallatalan lýsir breytingarhraða.

Hallatala kemur víða við sögu. Í byggingariðnaði skipta til dæmis máli halli þaks, halli lagna og bratti stiga. Þú finnur einnig greinilega fyrir halla þegar þú skíðar eða skokkar niður brekku.

Stundum þarf að finna hallatölu línu milli tveggja punkta án þess að graf sé tiltækt til að mæla hækkun og færslu. Merkja mætti punktana á rúðustrikaðan pappír og telja, en einnig má finna hallatöluna án grafteikningar. Fyrst kynnum við algebrulega táknun.

Raðað par ($x$, $y$) gefur hnit punkts. Við útreikning hallatölu notum við tvo punkta. Hvernig má greina þá að ef sömu táknin ($x$, $y$) eru notuð fyrir báða? Til þess notum við lágvísa. Parið ($x_1$, $y_1$) er lesið „$x$ með lágvísi einn, $y$ með lágvísi einn“ og ($x_2$, $y_2$) „$x$ með lágvísi tveir, $y$ með lágvísi tveir“. Við notum ($x_1$, $y_1$) fyrir fyrri punktinn og ($x_2$, $y_2$) fyrir þann síðari í hallatöluformúlunni. Ef punktarnir væru fleiri mætti halda áfram með ($x_3$, $y_3$), ($x_4$, $y_4$) og svo framvegis.

Rifjum upp hvernig hækkun og færsla tengjast hnitum punktanna með því að skoða aftur hallatölu línunnar milli $\left(2,3\right)$ og $\left(7,6\right)$ á mynd 5.71 .

Á grafinu teljum við hækkun 3 og færslu 5. Taktu eftir að ( $x_1$, $y_1$ ) er punkturinn $\left(2,3\right)$ og ( $x_2$, $y_2$ ) punkturinn $\left(7,6\right)$. Hækkunina má finna með því að draga fyrra $y$-hnitið frá því síðara, 6 − 3, og færsluna með því að draga fyrra $x$-hnitið frá því síðara, 7 − 2.

Við höfum sýnt að $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ er önnur framsetning formúlunnar $m=\frac{\mathit{h\ae kkun}}{\mathit{f\ae rsla}}$. Hana má nota til að finna hallatölu línu sem er ekki lóðrétt.

Við höfum teiknað gröf línulegra jafna með punktum og skurðpunktum við ása. Þegar við sjáum tengsl jöfnu á hallatöluformi og grafs hennar fáum við enn eina aðferð til að teikna línur. Skoðaðu graf jöfnunnar $y=\frac{1}{2}x+3$ á mynd 5.73 og finndu hallatöluna og skurðpunktinn við $y$-ás.

Lóðrétta og lárétta línan á grafinu sýna að hækkunin er 1 og færslan 2.

Setjum í hallatöluformúluna: $m=\frac{\mathit{h\ae kkun}}{\mathit{f\ae rsla}}=\frac{1}{2}$

Skurðpunkturinn við $y$-ás er $\left(0,3\right)$. Skoðaðu jöfnu línunnar.

Skoðaðu hallatöluna og skurðpunktinn við $y$-ás.

Þegar línuleg jafna hefur verið leyst fyrir $y$ er stuðull $x$-liðarins hallatalan og fasti liðurinn $y$-hnit skurðpunktsins við $y$-ás. Við segjum að jafnan $y=\frac{1}{2}x+3$ sé á hallatöluformi . Hallatöluformið er stundum einnig nefnt $y$-form.

Sumar línulegar jöfnur hafa aðeins eina breytu, annaðhvort $x$ án $y$ eða $y$ án $x$. Það breytir því hvernig gildatafla er gerð til að finna punkta. Skoðum $x=-3$. Jafnan hefur aðeins breytuna $x$ og segir að $x$ sé alltaf $-3$, óháð $y$. Hvert sem gildi $y$ er, er $x$ alltaf $-3$. Í gildatöflu ritum við því $-3$ fyrir öll $x$-gildi og veljum hvaða $y$-gildi sem er. Þar sem $x$ ræðst ekki af $y$ má velja hvaða tölur sem er. Til að punktarnir rúmist á grafinu notum við 1, 2 og 3 sem $y$-hnit.

Merktu punkta töflunnar inn og tengdu þá með beinni línu (mynd 5.75). Útkoman er lóðrétt lína. Hún er ekki graf falls þar sem hvert x-gildi á að hafa aðeins eitt y-gildi.

Hver er hallatalan? Veljum punktana $\left(-3,3\right)$ og $\left(-3,1\right)$. Ef farið er frá síðari punktinum til þess fyrri er hækkunin 2 en færslan 0.

Hallatöluformúlan gefur $m=\frac{\mathit{h\ae kkun}}{\mathit{f\ae rsla}}=\frac{2}{0}$

Hallatalan er óskilgreind því að deiling með núlli er óskilgreind. Hallatala lóðréttu línunnar $x=-3$ er því óskilgreind, rétt eins og hallatala sérhverrar lóðréttrar línu $x=a$, þar sem $a$ er rauntala.

Hvað gerist ef jafnan hefur $y$ en ekki $x$? Teiknum $y=4$. Nú er $y$-gildið fasti, svo $y$ ræðst ekki af $x$. Ritum 4 fyrir öll $y$-gildi töflunnar og veljum hvaða $x$-gildi sem er. Hér notum við 0, 2 og 4 sem $x$-hnit.

Á mynd 5.76 höfum við teiknað lárétta línu sem sker $y$-ásinn í 4.

Hver er hallatalan? Fyrir punktana $\left(2,4\right)$ og $\left(4,4\right)$ er hækkunin 0 og færslan 2. Hallatöluformúlan gefur $m=\frac{\mathit{h\ae kkun}}{\mathit{f\ae rsla}}=\frac{0}{2}=0$. Hallatala láréttu línunnar $y=4$ er 0, eins og hallatala sérhverrar láréttrar línu $y=b$, þar sem $b$ er tala. Þegar $y$-hnitin eru jöfn er hækkunin 0.

Taflan tekur saman allar aðferðirnar sem við höfum notað til að teikna línur.

Túlkun grafa er mikilvægur en oft vanmetinn hluti algebru. Í stærðfræðinámi fá nemendur gjarnan föll og teikna gröf þeirra. Að túlka graf er þó hagnýtari færni í daglegu lífi. Að geta „lesið“ graf — skilið skilgreiningarmengi þess og myndmengi, merkingu skurðpunkta og merkingu hallatölu eða sveigju — er raunveruleg og gagnleg færni.

Margs konar raunverulegum aðstæðum má lýsa með línulegum jöfnum. Hér skoðum við nokkur dæmi svo að tengsl hallatöluforms og raunverulegra aðstæðna verði skýr. Þegar línulegt líkan notar raunveruleg gögn eru breyturnar oft táknaðar með öðrum bókstöfum en $x$ og $y$. Heiti þeirra minna þá gjarnan á stærðirnar sem eru mældar. Einnig þarf oft að lengja ása rétthyrnda hnitakerfisins svo þeir nái yfir stærri jákvæðar eða neikvæðar tölur og rúmi gögnin.