5.5 Gröf línulegra jafna og ójafna

Að loknum þessum hluta átt þú að geta:

Í þessum hluta lærum við að teikna gröf línulegra jafna og ójafna. Þær nýtast til að lýsa ýmsum raunverulegum aðstæðum. Hugsum til dæmis um bensínkaup. Ef bensínið kostar 3,99 dali á gallónu kosta tíu gallónur 39,90 dali og 15 gallónur 59,85 dali. Hvert par, magn og verð, má tákna með punkti í hnitakerfi. Punktarnir liggja á beinni línu. Við lærum að teikna slík gröf og sýna einnig lausnasvæði ójafna.

Rétt eins og kort nota rúðunet til að tilgreina staðsetningar er rúðunet notað í algebru til að sýna tengsl tveggja breyta í rétthyrndu hnitakerfi. Rétthyrnda hnitakerfið nefnist einnig $x$ $y$-slétta eða hnitaflötur.

Rétthyrnt hnitakerfi er myndað af tveimur talnalínum sem skerast, annarri láréttri og hinni lóðréttri. Lárétta talnalínan nefnist $x$-ás og sú lóðrétta $y$-ás. Ásarnir skipta fletinum í fjögur svæði sem nefnast fjórðungar. Þeir eru merktir með rómverskum tölum, byrjað efst til hægri og síðan talið rangsælis. Sjá mynd 5.19 .

Í rétthyrndu hnitakerfi er sérhver punktur táknaður með röðuðu pari ( mynd 5.20 ). Fyrri talan í parinu er $x$-hnit punktsins og seinni talan $y$-hnitið. Heitið „raðað par“ merkir að röðin skiptir máli. Þar sem ásarnir skerast og bæði hnitin eru núll er raðaða parið $\left(0,0\right)$. Punkturinn $\left(0,0\right)$ hefur sérstakt heiti og nefnist upphafspunktur .

Við notum hnitin til að staðsetja punkt á $\mathrm{xy}$-sléttunni. Merkjum punktinn $\left(1,3\right)$ sem dæmi. Finndu fyrst 1 á $x$-ásnum og teiknaðu daufa lóðrétta línu gegnum $x=1$. Finndu síðan 3 á $y$-ásnum og teiknaðu lárétta línu gegnum $y=3$. Punkturinn þar sem línurnar skerast hefur hnitin $\left(1,3\right)$. Sjá mynd 5.21 .

Taktu eftir að lóðrétta línan gegnum $x=1$ og lárétta línan gegnum $y=3$ tilheyra ekki grafinu. Strikalínurnar hjálpa aðeins til við að staðsetja punktinn $\left(1,3\right)$. Þegar annað hnitið er núll liggur punkturinn á öðrum ásnum. Á mynd 5.22 liggur punkturinn $\left(0,4\right)$ á $y$-ásnum og punkturinn (−2, 0) á $x$-ásnum.

Hingað til hafa allar jöfnurnar sem þú hefur leyst haft aðeins eina breytu. Í nær öllum tilvikum fékkstu nákvæmlega eina lausn. Jöfnur geta þó haft fleiri en eina breytu. Jafna með tveimur breytum getur verið á forminu $Ax+By=C$. Jafna á þessu formi, þar sem $A$ og $B$ eru ekki bæði núll, nefnist línuleg jafna með tveimur breytum . Hér er dæmi um slíka jöfnu með breytunum $x$ og $y$.

Jafnan $y=-3x+5$ er einnig línuleg en virðist ekki vera á forminu $Ax+By=C$. Með samlagningareiginleika jafna má umrita hana á forminu $Ax+By=C$. Athugið: í miðjöfnunni hefur x komið í stað ranglega prentaðs A í frumtextanum.

Skref 1: Leggðu $3x$ við báðar hliðar. $y+3x=-3x+5+3x$

Skref 2: Einfaldaðu. $y+3x=5$

Skref 3: Ritaðu jöfnuna á $Ax+By=C$ formi. $3x+y=5$

Þegar $y=-3x+5$ er umrituð sem $3x+y=5$, sést auðveldlega að hún er línuleg jafna með tveimur breytum, því að hún er á forminu $Ax+By=C$. Jafna á forminu $Ax+By=C$ er sögð vera á staðalformi línulegrar jöfnu . Venja er að $A$, $B$ og $C$ séu heiltölur og $A\ge 0$ þótt það sé ekki nauðsynlegt.

Línuleg jafna með tveimur raunbreytum hefur óendanlega margar lausnir. Ef stuðull seinni breytunnar er ekki núll fæst eitt samsvarandi $y$-gildi fyrir hvert $x$-gildi. Lausnin er þá táknuð með raðaða parinu ($x$, $y$). Þegar þessi gildi eru sett í stað $x$ og $y$ í jöfnunni fæst sönn staðhæfing: vinstri og hægri hlið hafa sama gildi. Ef stuðull seinni breytunnar er núll er grafið lóðrétt lína. Þá er fyrra hnitið fast en seinna hnitið getur verið hvaða rauntala sem er.

Lausnirnar má merkja í rétthyrnt hnitakerfi. Punktarnir liggja allir á sömu beinu línunni. Við tengjum þá með beinni línu og fáum graf línulegu jöfnunnar. Örvar við báða enda línunnar sýna að hún heldur áfram í báðar áttir.

Graf er myndræn framsetning allra lausna línulegrar jöfnu. Línan sýnir allar lausnir jöfnunnar. Sérhver punktur á línunni er lausn og sérhver lausn jöfnunnar liggur á línunni. Línan nefnist graf jöfnunnar. Punktar utan línunnar eru ekki lausnir. Graf línulegrar jöfnu $Ax+By=C$ er bein lína.

Skrefin við að teikna graf línulegrar jöfnu með punktum eru:

Skref 1: Finndu þrjá punkta sem hafa hnit sem eru lausnir jöfnunnar. Settu þá í töflu.

Skref 2: Merktu punktana í rétthyrnt hnitakerfi. Athugaðu hvort þeir liggi á sömu línu. Ef ekki skaltu fara vandlega yfir útreikningana.

Skref 3: Dragðu línu gegnum punktana þrjá. Framlengdu hana yfir allt rúðunetið og settu örvar á báða enda.

Tveir ólíkir punktar ákvarða eina línu, en gott er að nota þriðja punktinn til að athuga útreikningana. Ef aðeins tveir punktar eru merktir má draga línu gegnum þá þótt annar þeirra sé rangur. Línan sýnir þá ekki lausnir jöfnunnar. Ef þriðji punkturinn liggur ekki á línunni er einhver villa í útreikningum eða merkingu punktanna. Þá þarf að fara yfir vinnuna. Þessi athugun tryggir þó ekki að allar villur finnist.

Á mörgum sviðum eru línulegar jöfnur notaðar til að setja upp líkön af verkefnum. Þótt dæmin okkar séu einföld gefa þau okkur tækifæri til að æfa færnina og kynnast notkuninni.

Áður lærðum við að leysa ójöfnur með einni breytu. Nú skoðum við ójöfnur með tveimur breytum sem má rita á einhverju formanna: $Ax+By\ge C$, $Ax+By>C$, $Ax+By\le C$ og $Ax+By<C$, þar sem $A$ og $B$ eru ekki bæði núll. Við skoðum línulegar ójöfnur með tveimur breytum, sem líkjast mjög línulegum jöfnum með tveimur breytum.

Líkt og línulegar jöfnur hafa línulegar ójöfnur með tveimur breytum margar lausnir. Sérhvert raðað par ( $x$, $y$ ) sem gerir ójöfnuna sanna þegar gildin eru sett inn er lausn línulegrar ójöfnu .

Skoðum $x>3$. Punkturinn $x=3$ skiptir talnalínunni í tvo hluta. Öðrum megin við 3 eru allar tölur minni en 3 og hinum megin allar tölur stærri en 3. Sjá mynd 5.29 .

Á sama hátt skiptir línan $y=x+4$ fletinum í tvö svæði. Öðrum megin eru punktar þar sem $y<x+4$ og hinum megin punktar þar sem $y>x+4$. Línan $y=x+4$ nefnist jaðarlína .

Fyrir ójöfnu með einni breytu er endapunkturinn sýndur með sviga ( mynd 5.30 ) eða hornklofa ( mynd 5.31 ) eftir því hvort $a$ tilheyrir lausninni:

Á sama hátt er jaðarlína ójöfnu með tveimur breytum sýnd sem heil lína eða strikalína eftir því hvort línan sjálf tilheyrir lausninni.

Skoðum nú niðurstöður sýnidæmis 5.43. Byrjum á að teikna línuna $y=x+4$ og merkjum síðan punktana fimm sem prófaðir voru, eins og á mynd 5.32 . Sumir punktanna reyndust lausnir ójöfnunnar $y>x+4$ en aðrir ekki. Hvaða merktu punktar eru lausnir ójöfnunnar $y>x+4$? Punktarnir $(1,6)$ og $(-8,12)$ eru lausnir ójöfnunnar $y>x+4$. Þeir liggja báðir sömu megin við jaðarlínuna $y=x+4$. Punktarnir $(0,0)$ og $(-5,-15)$ liggja hinum megin við jaðarlínuna $y=x+4$ og eru ekki lausnir ójöfnunnar $y>x+4$. Fyrir þá gildir $y<x+4$. Hvað með punktinn $(2,6)$? Þar sem $6=2+4$ er punkturinn lausn jöfnunnar $y=x+4$ en ekki ójöfnunnar $y>x+4$. Punkturinn $(2,6)$ liggur því á jaðarlínunni.

Veljum annan punkt ofan við jaðarlínuna og athugum hvort hann sé lausn ójöfnunnar $y>x+4$. Punkturinn $(0,10)$ virðist greinilega liggja ofan við jaðarlínuna. Er hann lausn ójöfnunnar?

Já, $(0,10)$ er lausn ójöfnunnar $y>x+4$. Sérhver punktur ofan við jaðarlínuna er lausn ójöfnunnar $y>x+4$. Allir punktar ofan við jaðarlínuna eru því lausnir. Á sama hátt eru allir punktar neðan við hana, þeim megin sem $(0,0)$ og $(-5,-15)$ liggja, ekki lausnir ójöfnunnar $y>x+4$, eins og mynd 5.33 sýnir.

Graf ójöfnunnar $y>x+4$ er sýnt á mynd 5.34 . Línan $y=x+4$ skiptir fletinum í tvö svæði. Skyggða svæðið sýnir lausnir ójöfnunnar $y>x+4$. Punktar á jaðarlínunni, þar sem $y=x+4$, eru ekki lausnir ójöfnunnar $y>x+4$ og línan sjálf tilheyrir því ekki lausninni. Það er sýnt með strikalínu í stað heillar línu.

Á mörgum sviðum eru línulegar ójöfnur notaðar til að setja upp líkön af verkefnum. Þótt dæmin okkar séu einföld gefa þau okkur tækifæri til að æfa færnina og kynnast notkuninni.

$y=\frac{1}{2}x-3$

$y=x-4$

$y=\frac{1}{3}x+2$