5.11 Línuleg bestun – Stærðfræði í daglegu lífi (IS) | Námsgögn
55 Algebra
5.11 Línuleg bestun
5.11 Línuleg bestun
Mynd 5.98. Afleiðingar jarðskjálfta og flóðbylgju. (mynd: aðlögun á verkinu „Earthquake and Tsunami Japan“ eftir Climate and Ecosystems Change Adaptation Research University Network/Flickr, CC BY 2.0)
Námsmarkmið
Að loknum þessum hluta átt þú að geta:
sett fram markfall sem á að lágmarka eða hámarka.
sett fram ójöfnur sem lýsa skorðum hagnýts verkefnis.
beitt línulegri bestun til að leysa hagnýt verkefni.
Ímyndaðu þér að þú fréttir af náttúruhamförum í fjarlægu landi, til dæmis jarðskjálfta, eldsvoða, flóðbylgju, skýstrokk eða fellibyl. Fólkið sem lifði hamfarirnar af þarfnast hjálpar, einkum matar, vatns og lækningavara. Þú starfar hjá fyrirtæki sem á slíkar birgðir og hefur ákveðið að fljúga þeim inn á hamfarasvæðið. Fyrirtækið vill hjálpa sem flestum. Hins vegar þarf að taka tillit til skorða í framkvæmd, svo sem stærðar flugvélanna og burðargetu þeirra. Hvernig má leysa þennan vanda? Þar kemur línuleg bestun til sögunnar. Hún er stærðfræðileg aðferð til að finna hámark eða lágmark línulegs falls að gefnum línulegum skorðum.
Upphaf línulegrar bestunar má rekja til rannsókna Leonids Kantorovich á nýtingu framleiðsluauðlinda árið 1939. Í síðari heimsstyrjöldinni þróuðust jafnframt aðferðir aðgerðagreiningar til að skipuleggja meðal annars herflutninga og birgðahald. Eftir stríðið setti George Dantzig fram línulegt bestunarlíkan og simplex-aðferðina árið 1947. Línuleg bestun hefur síðan verið notuð víða í atvinnulífinu, meðal annars til að hámarka framleiðslu og lágmarka kostnað. Leiðrétting á frumtexta: Ekki má leggja að jöfnu aðgerðagreiningu stríðsáranna og síðar þróaðar aðferðir línulegrar bestunar.
Markfall sem á að lágmarka eða hámarka sett fram
Markfall lýsir stærðinni sem á að hámarka eða lágmarka. Í línulegri bestun er markfallið línulegt fall; í verkefnum þessa hluta er það fall af tveimur breytum.
Dæmi 5.96
Markfall fyrir sölu tveggja vara sett fram
Miriam stofnar fyrirtæki þar sem hún prjónar og selur trefla og peysur úr vandaðri ull. Hún hagnast um 8 dollara á hverjum trefli og 10 dollara á hverri peysu. Settu fram markfall sem lýsir hagnaði hennar.
Lausn
Látum tákna fjölda seldra trefla, fjölda seldra peysa og hagnaðinn. Þar sem hagnaðurinn er 8 dollarar af hverjum trefli og 10 dollarar af hverri peysu er markfallið .
Dæmi 5.97
Markfall fyrir framleiðslu sett fram
Verksmiðja Williams framleiðir tvær gerðir hluta, græjur og íhluti. Það tekur 24 mínútur að framleiða eina græju og 32 mínútur að framleiða einn íhlut. Settu fram markfall sem lýsir framleiðslutímanum.
Lausn
Látum tákna fjölda framleiddra græja, fjölda framleiddra íhluta og heildartímann í mínútum. Markfallið er .
Ójöfnur sem lýsa skorðum hagnýts verkefnis settar fram
Í fullkomnum heimi væru engar takmarkanir á hagnaði eða framleiðslumagni í dæmunum tveimur. Hver vildi ekki ótakmarkaðan hagnað? Í raun eru hins vegar yfirleitt nokkrir þættir sem takmarka hagnað eða framleiðslumagn. Slíkar takmarkanir kallast skorður.
Margir ólíkir þættir geta verið skorður. Við framleiðslu eða sölu vöru geta tiltækur tími, framleiðslukostnaður og magn hráefnis sett skorður. Í upphafsdæminu um flóðbylgjuna eru hámarksþyngd farms og farmrými flugvélarinnar skorður. Skorður eru settar fram sem línulegar ójöfnur. Skorðurnar sem verkefnið skilgreinir mynda línulegt ójöfnuhneppi sem ásamt markfallinu lýsir hagnýta verkefninu.
Dæmi 5.98
Skorður við sölu tveggja vara settar fram
Tvær vinkonur stofna fyrirtæki þar sem þær prjóna og selja trefla og peysur úr vandaðri ull. Þær hagnast um 8 dollara á hverjum trefli og 10 dollara á hverri peysu. Þrjá poka af ull þarf í trefil en fjóra í peysu. Þær geta framleitt mest 8 flíkur og notað mest 27 poka af ull á dag. Ritaðu ójöfnurnar sem lýsa skorðunum. Taktu síðan saman það sem fram er komið með því að rita markfall hagnaðarins og skorðurnar tvær.
Lausn
Látum tákna fjölda seldra trefla og fjölda seldra peysa. Skorðurnar eru tvær: fjöldi flíka sem fyrirtækið getur framleitt á dag (mest 8) og fjöldi ullarpoka sem nota má á dag (mest 27). Fyrri skorðan, heildarfjöldi flíka á dag, er rituð:
Þrjá ullarpoka þarf í hvern trefil og fjóra í hverja peysu. Seinni skorðan, heildarfjöldi ullarpoka á dag, er því rituð:
Samantekið lýsa eftirfarandi markfall og ójöfnur nýja fyrirtækinu:
; þetta er hagnaðarjafnan: fyrirtækið hagnast um 8 dollara á hverjum trefli og 10 dollara á hverri peysu.
Dæmi 5.99
Framleiðsluskorður settar fram
Verksmiðja framleiðir tvær gerðir hluta, græjur og íhluti. Það tekur 24 mínútur að framleiða eina græju og 32 mínútur að framleiða einn íhlut. Rannsóknir benda til þess að langtímaeftirspurn svari til meðalsölu upp á 12 græjur og 10 íhluti á dag. Vegna takmarkaðs geymslurýmis má framleiða mest 20 græjur og 17 íhluti á dag. Ritaðu ójöfnurnar sem lýsa skorðunum. Taktu síðan saman það sem fram er komið með markfalli fyrir tímann og skorðunum tveimur. Í líkaninu skal miða lágmarksframleiðslu hvers dags við tilgreinda meðaleftirspurn.
Lausn
Látum tákna fjölda framleiddra græja og fjölda framleiddra íhluta. Í þessu líkani er gert ráð fyrir að vegna langtímaeftirspurnar þurfi verksmiðjan að framleiða að minnsta kosti 12 græjur og 10 íhluti á dag. Vegna geymslutakmarkana getur hún jafnframt ekki framleitt fleiri en 20 græjur eða 17 íhluti á dag. Ritað sem ójöfnur fæst:
Fjöldi græja á dag verður að vera á bilinu 12 til 20 og fjöldi íhluta á bilinu 10 til 17. Því fæst:
Markfallið og skorðurnar eru:
táknar tíma í mínútum; það tekur 24 mínútur að framleiða græju og 32 mínútur að framleiða íhlut.
Línuleg bestun notuð til að leysa hagnýt verkefni
Fjögur skref þarf til að leysa verkefni með línulegri bestun:
Fyrsta skref: Settu fram markfall sem á að lágmarka eða hámarka.
Annað skref: Settu fram ójöfnur sem lýsa skorðum hneppisins.
Þriðja skref: Teiknaðu graf ójöfnuhneppisins sem lýsir skorðunum.
Fjórða skref: Finndu gildi markfallsins í hverjum hornpunkti svæðisins á grafinu.
Þú hefur þegar lært fyrstu tvö skrefin. Notum sömu dæmi áfram til að sýna skref 3 og 4.
Dæmi 5.100
Línulegt bestunarverkefni fyrir tvær vörur leyst
Þrír vinir stofna fyrirtæki þar sem þeir prjóna og selja trefla og peysur úr vandaðri ull. Þeir hagnast um 8 dollara á hverjum trefli og 10 dollara á hverri peysu. Þrjá ullarpoka þarf í trefil en fjóra í peysu. Þeir geta framleitt mest 8 flíkur og notað mest 27 poka af ull á dag. Ákvarðaðu hve marga trefla og peysur þeir eiga að framleiða daglega til að hámarka hagnaðinn.
Lausn
Fyrsta skref: Settu fram markfall sem á að lágmarka eða hámarka. Úr dæmi 5.98 er markfallið .
Annað skref: Settu fram ójöfnur sem lýsa skorðum hneppisins. Úr dæmi 5.98 eru skorðurnar og .
Þriðja skref: Teiknaðu graf ójöfnuhneppisins sem lýsir skorðunum. Gröf skorðanna eru sýnd hér fyrir neðan með aðferðunum úr hlutanum Graf línulegra jafna og ójafna. Fjöldi trefla ( ) og peysa ( ) verður að vera óneikvæður, það er og . Því teiknum við graf hneppisins í fyrsta fjórðungi og á jákvæðum hnitásunum, með upphafspunktinum. Mynd 5.99 sýnir hvora skorðu á sínu hnitakerfi og mynd 5.100 sýnir graf hneppisins, þar sem skorðurnar eru teiknaðar saman. Stóra skyggða svæðið á mynd 5.100 er sameiginlegt lausnasvæði skorðanna. Ef þú ert óviss um hvernig svæðin eru teiknuð skaltu rifja upp hlutann Graf línulegra jafna og ójafna.
Mynd 5.99. Gröf skorðanna x + y ≤ 8 og 3x + 4y ≤ 27, hvort á sínum ásum.Mynd 5.100. Sameiginlegt lausnasvæði skorðanna x + y ≤ 8 og 3x + 4y ≤ 27.
Fjórða skref: Finndu gildi markfallsins í hverjum hornpunkti lausnasvæðisins. Á mynd 5.101 er sameiginlegt lausnasvæði skorðanna skyggt. Hornpunktarnir eru punktarnir þar sem hliðar þessa marghyrnings mætast. Þegar lausnasvæðið er lokaður og takmarkaður marghyrningur sem er ekki tómur tekur línulegt markfall bæði hæsta og lægsta gildi sitt í að minnsta kosti einum hornpunkti. Mynd 5.101 sýnir hornpunktana; hnit skurðpunkts skorðulínanna eru enn óþekkt. Athugaðu að fjöldi flíka verður að vera heil tala. Brotin hnit geta nýst við að greina samfellda líkanið, en lýsa ekki leyfilegum fjölda flíka.
Mynd 5.101. Hornpunktar lausnasvæðisins; finna þarf hnit skurðpunkts skorðulínanna.
Auðvelt er að finna þrjá af hornpunktunum fjórum því þeir voru notaðir til að teikna svæðin. Fjórða punktinn, skurðpunkt skorðulínanna, þarf að finna með innsetningu eða eyðingu eins og lýst er í hlutanum Línuleg jöfnuhneppi með tveimur breytum. Rifjum upp og setjum fram jöfnur skorðulínanna:
Hér notum við innsetningu.
Setjum inn fyrir í fyrri jöfnuna og fáum
Setjum nú 5 inn fyrir í aðra hvora jöfnuna og leysum með tilliti til . Veljum seinni jöfnuna:
Því er og .
Til að finna gildi markfallsins setjum við hnit hvers hornpunkts inn í jöfnuna og reiknum gildi þess. Stærsta gildið er hámarkið og svarar upphaflegu spurningunni um hve marga trefla og peysur fyrirtækið á að framleiða daglega til að hámarka hagnaðinn.
Leiðrétting á frumtexta: Stuðullinn við y í töfluhausnum er 10, í samræmi við markfallið, en ekki margfeldið 1 · 0.
Hornpunktur (, )
Markfall
Hámark hagnaðarins fæst þegar og . Fyrirtækið á því að framleiða 5 trefla og 3 peysur á dag til að hámarka hagnaðinn.
Prófaðu skilning þinn
Kellie smíðar borð og stóla. Hún hagnast um 20 dollara af borði ( ) og 10 dollara af stól ( ). Markfall hagnaðarins er:
Dave ræktar hveiti ( ) og bygg ( ). Hann gerir ráð fyrir 150 dollara hagnaði af hverri ekru hveitis og 180 dollurum af hverri ekru byggs. Markfall hagnaðarins er:
Verslun með gamlar hljómplötur selur tvær gerðir vínylplatna: 45 snúninga plötur ( ) og 33 snúninga plötur ( ). Hagnaðurinn er 2,50 dollarar af hverri 45 snúninga plötu og 6,75 dollarar af hverri 33 snúninga plötu. Markfall hagnaðarins er:
Ekkert af þessu
Kellie smíðar borð og stóla. Hún hagnast um 20 dollara af borði ( ) og 10 dollara af stól ( ). Í borð þarf 15 borðfet af viði en 4 borðfet í stól. Kellie hefur 70 borðfet af viði. Hvaða ójafna lýsir skorðunni? Borðfet (e. board foot) er rúmmálseining fyrir við og jafngildir 144 rúmtommum.
Kellie smíðar borð og stóla. Hún hagnast um 20 dollara af borði ( ) og 10 dollara af stól ( ). Hún getur smíðað mest 12 borð og stóla samtals á dag. Hvaða ójafna lýsir skorðunni?
Dave ræktar hveiti ( ) og bygg ( ) á býli. Hann gerir ráð fyrir 150 dollara hagnaði af hverri ekru hveitis og 180 dollurum af hverri ekru byggs. Fræ kostar 10 dollara á ekru fyrir hveiti og 15 dollara á ekru fyrir bygg. Dave getur varið mest 945 dollurum í fræ. Hvaða ójafna lýsir skorðunni?
Dave ræktar hveiti ( ) og bygg ( ) á býli. Hann gerir ráð fyrir 150 dollara hagnaði af hverri ekru hveitis og 180 dollurum af hverri ekru byggs. Ræktunarkostnaður er 30 dollarar á ekru fyrir hveiti og 25 dollarar á ekru fyrir bygg. Dave áætlar 1.635 dollara til ræktunarinnar. Hvaða ójafna lýsir skorðunni?
Kellie smíðar borð og stóla. Hún hagnast um 20 dollara af borði ( ) og 10 dollara af stól ( ). Í borð þarf 15 borðfet af viði en 4 borðfet í stól. Kellie hefur 70 borðfet af viði og getur smíðað mest 12 borð og stóla samtals á dag. Graf ójöfnuhneppisins sem lýsir skorðunum er:
Kellie smíðar borð og stóla. Hún hagnast um 20 dollara af borði ( ) og 10 dollara af stól ( ). Í borð þarf 15 borðfet af viði en 4 borðfet í stól. Kellie hefur 70 borðfet af viði og getur smíðað mest 12 borð og stóla samtals á dag. Hornpunktar hneppisins eru þessir fjórir:
Kellie smíðar borð og stóla. Hún hagnast um 20 dollara af borði ( ) og 10 dollara af stól ( ). Í borð þarf 15 borðfet af viði en 4 borðfet í stól. Kellie hefur 70 borðfet af viði og getur smíðað mest 12 borð og stóla samtals á dag. Mesti hagnaður hennar á einum degi er:
Æfingar úr hluta 5.11
Finndu gildi markfallsins í hverjum hornpunkti svæðisins á grafinu í eftirfarandi verkefnum.
1.
Markfall .
2.
Markfall
3.
Markfall
4.
Markfall
5.
Markfall
Ritaðu ójöfnurnar sem lýsa skorðunum í eftirfarandi verkefnum. Breyturnar sem á að nota eru gefnar í svigum.
6.
Fernando smíðar fuglaböð og fuglahús . Hann getur smíðað samtals 7 fuglaböð og fuglahús á dag. Efni í fuglabað kostar 8 dollara en efni í fuglahús 6 dollara. Fernando hefur 48 dollara til efniskaupa þann dag. Við sölu hagnast hann um 12 dollara af fuglabaði og 9 dollara af fuglahúsi.
7.
Í ávaxtaböku þarf 12 únsur af ávöxtum og 15 únsur af deigi; í ávaxtatertu þarf 4 únsur af ávöxtum og 3 únsur af deigi. Tiltækar eru 72 únsur af ávöxtum og 60 únsur af deigi.
8.
Í eina uppskrift að súkkulaðiköku þarf 9 únsur af súkkulaðidropum og 4 egg; í uppskrift að dökkri súkkulaðiköku þarf 12 únsur af súkkulaðidropum en aðeins 3 egg. Tiltækar eru 90 únsur af súkkulaðidropum og 36 egg.
9.
Til að smíða útibekk þarf smiður 10 viðarbúta og 26 nagla; í útistól þarf 8 viðarbúta og 33 nagla. Tiltækir eru 92 viðarbútar og 286 naglar.
Teiknaðu graf hvers ójöfnuhneppis úr verkefnum 6–9. Gerðu ráð fyrir að öll gröfin liggi í fyrsta fjórðungi.
10.
Graf úr verkefni 6
11.
Graf úr verkefni 7
12.
Graf úr verkefni 8
13.
Graf úr verkefni 9
Notaðu skrefin fjögur í línulegri bestun til að leysa eftirfarandi verkefni.
14.
Veitingastaður selur bæði venjulega mjólk og súkkulaðimjólk. Í glas af venjulegri mjólk ( ) þarf 16 vökvaúnsur af mjólk. Í glas af súkkulaðimjólk ( ) þarf 15 vökvaúnsur af mjólk og 1 vökvaúnsu af súkkulaðibragðefni. Hagnaðurinn er 1,50 dollarar af glasi venjulegrar mjólkur og 1,00 dollari af glasi súkkulaðimjólkur. Í upphafi dags eru til 600 vökvaúnsur af mjólk og 24 vökvaúnsur af súkkulaðibragðefni. Hve mörg glös af hvorri tegund á veitingastaðurinn að selja þann dag til að hámarka hagnaðinn?
15.
Verksmiðja notar eitt pund af nautakjöti í pakka af hreinum nautapylsum ( ). Í pakka af venjulegum kjötpylsum ( ) notar hún ½ pund af nautakjöti og ½ pund af svínakjöti. Hagnaðurinn er 2,40 dollarar af pakka nautapylsna og 3,20 dollarar af pakka kjötpylsna. Hve marga pakka af hvorri tegund á að framleiða til að hámarka hagnaðinn ef tiltæk eru 400 pund af nautakjöti og 250 pund af svínakjöti?
16.
Leikfangasmiður framleiðir tvær gerðir leikfanga úr plasti, Hringinn ( ) og Stöngina ( ). Hann hagnast um 5 dollara á Hring og 4 dollara á Stöng. Í Hringinn fara 4 fet af plasti en 3 fet í Stöngina. Í dag hefur hann 36 fet af plasti og framleiðir mest 10 plastleikföng á dag. Hve mörg leikföng af hvorri gerð á hann að framleiða til að hámarka hagnaðinn?
17.
Leikfangasmiðurinn framleiðir einnig tvær gerðir leikfanga úr viði, Kassann ( ) og Kylfuna ( ). Hann hagnast um 6 dollara á Kassa og 7 dollara á Kylfu. Í hvern Kassa þarf 25 únsur af viði og í hverja Kylfu 40 únsur. Í dag hefur hann 260 únsur af viði og framleiðir mest 8 viðarleikföng á dag. Hve mörg leikföng af hvorri gerð á hann að framleiða til að hámarka hagnaðinn?
18.
Sara býr til tvær gerðir flugdreka úr efni og trépinnum. Í Famous Flyer-drekann ( ) þarf 2 jarda af efni og 9 pinna, en í Gallant Glider-drekann ( ) þarf 3 jarda af efni og 18 pinna. Hún hagnast um 4 dollara á Famous Flyer-dreka og 6 dollara á Gallant Glider-dreka. Í dag hefur hún 30 jarda af efni og 153 pinna. Hve marga dreka af hvorri gerð á hún að búa til til að hámarka hagnaðinn?
19.
Húsbílageymsla Randys geymir tvær gerðir húsbíla: Xtra-húsbíll ( ) tekur 400 ferfet en Yosemite-húsbíll ( ) 600 ferfet. Randy hefur 55.000 ferfet af geymslurými. Samkvæmt lögum má hann hafa mest 100 húsbíla á lóðinni samtímis. Hann tekur 60 dollara á mánuði fyrir Xtra-húsbíl og 80 dollara fyrir Yosemite-húsbíl. Hve marga af hvorri gerð á hann að geyma til að hámarka tekjurnar af geymslunni? Gerðu ráð fyrir að kostnaður sé óháður samsetningu húsbílanna, þannig að tekjuhámark gefi einnig hagnaðarhámark.
20.
Súkkulaðigerðarkona í Belgíu vill kynna tvær nýjar súkkulaðistangir. Super Dark ( ) inniheldur 90 grömm af súkkulaði og 10 grömm af sykri. Special Dark ( ) inniheldur 80 grömm af súkkulaði og 20 grömm af sykri. Fyrirtækið hagnast um 1 evru á hverri Super Dark-stöng og 2 evrur á hverri Special Dark-stöng. Hún hefur til ráðstöfunar 1.260 grömm af súkkulaði og 240 grömm af sykri. Hve margar stangir af hvorri gerð á hún að gera til að hámarka hagnaðinn?
21.
Safaframleiðandi framleiðir tvær safablöndur úr ananassafa og appelsínusafa. Látum tákna fjölda flaskna af Island Delight og fjölda flaskna af Sun Fun. Í hverri 16 vökvaúnsa flösku af Island Delight eru 10 vökvaúnsur af ananassafa og 6 vökvaúnsur af appelsínusafa. Í hverri 16 vökvaúnsa flösku af Sun Fun eru 4 vökvaúnsur af ananassafa og 12 vökvaúnsur af appelsínusafa. Hagnaðurinn er 1,60 dollarar af hverri Island Delight-flösku og 1,20 dollarar af hverri Sun Fun-flösku. Í dag eru tiltækar 640 vökvaúnsur af ananassafa og 768 vökvaúnsur af appelsínusafa. Hve margar flöskur af hvorri gerð á að framleiða til að hámarka hagnaðinn? Leiðrétting á frumtexta: Breyturnar tákna fjölda flaskna af hvorri safablöndu, ekki magn hráefnanna.
22.
Fernando smíðar fuglaböð ( ) og fuglahús ( ). Hann getur smíðað samtals 7 fuglaböð og fuglahús á dag. Efni í fuglabað kostar 8 dollara en efni í fuglahús 6 dollara. Fernando hefur 48 dollara til efniskaupa þann dag. Við sölu hagnast hann um 12 dollara af fuglabaði og 9 dollara af fuglahúsi. Ákvarðaðu hve mörg af hvoru hann á að smíða til að hámarka hagnað dagsins.
23.
Bóndi ræktar hveiti ( ) og bygg ( ) á 500 ekrum. Hann gerir ráð fyrir 150 dollara hagnaði af hverri ekru hveitis og 180 dollurum af hverri ekru byggs. Ræktunarkostnaður, svo sem fræ og varnarefni, er 60 dollarar á ekru fyrir hveiti og 90 dollarar á ekru fyrir bygg. Bóndinn getur varið 36.000 dollurum í ræktunina. Hve margar ekrur af hvorri tegund á að rækta til að hámarka hagnaðinn?
24.
Fyrirtæki ætlar að senda mat ( ) og vatn ( ) til þolenda flóðbylgju. Hvert matarílát nægir 8 manns í einn dag og hvert vatnsílát veitir 12 manns dagsbirgðir af vatni. Matarílát vegur 30 pund og tekur 8 rúmfet, en vatnsílát vegur 120 pund og tekur aðeins 2 rúmfet. Farmur hverrar flugvélar má ekki vera þyngri en 24.000 pund og heildarfarmrýmið er 4.000 rúmfet. Hve mörg ílát af mat og vatni má senda í hverri ferð til að hámarka samanlagðan fjölda dagskammta af mat og vatni? Dagskammtar af mat og vatni eru hér taldir sitt í hvoru lagi. Markmiðið er því ekki fjöldi einstaklinga sem fá bæði mat og vatn.
25.
Annað fyrirtæki ætlar að senda fatnað ( ) og lækningavörur ( ) til þolenda flóðbylgjunnar. Hvert fataílát inniheldur fatnað fyrir 12 manns og hvert ílát lækningavara getur hjálpað 8 manns. Fataílát vegur 50 pund og tekur 6 rúmfet, en ílát lækningavara vegur 20 pund og tekur 4 rúmfet. Farmur hverrar flugvélar má ekki vera þyngri en 24.000 pund og heildarfarmrýmið er 3.000 rúmfet. Hve mörg ílát af hvorri gerð má senda í hverri ferð til að hámarka samanlagðan fjölda aðstoðarskammta? Teldu aðstoð við einn einstakling með fatnaði og með lækningavörum sem tvo aðskilda skammta. Þetta er ekki talning einstakra viðtakenda.
