5.10 Línuleg ójöfnuhneppi með tveimur breytum – Stærðfræði í daglegu lífi (IS) | Námsgögn
55 Algebra
5.10 Línuleg ójöfnuhneppi með tveimur breytum
5.10 Línuleg ójöfnuhneppi með tveimur breytum
Mynd 5.87. Margir háskólanemar vinna hlutastörf, til dæmis á kaffihúsum, til að greiða námskostnað. (Mynd: „TULLY’s COFFEE“ eftir MIKI Yoshihito/Flickr, aðlöguð, CC BY 2.0)
Námsmarkmið
Að loknum þessum hluta átt þú að geta:
sýnt hvort raðað par sé lausn línulegs ójöfnuhneppis;
leyst línuleg ójöfnuhneppi með grafteikningu;
teiknað gröf línulegra ójöfnuhneppa;
túlkað og leyst hagnýt verkefni með línulegum ójöfnuhneppum.
Í þessum hluta lærum við að leysa línuleg ójöfnuhneppi með tveimur breytum. Í hlutanum um línuleg jöfnuhneppi fundum við lausn sem uppfyllti báðar jöfnurnar. Ójöfnuhneppi má leysa með því að teikna graf hverrar ójöfnu í sama hnitakerfi. Sameiginlega skyggða svæðið er lausnamengi hneppisins. Línuleg ójöfnuhneppi koma víða fyrir í daglegu lífi.
Ming vinnur tvö störf með námi. Hún fær 7,50 dollara á klukkustund á kaffihúsi og 12 dollara á rannsóknarstofu skólans. Vegna námsins getur hún unnið í mesta lagi 15 stundir á viku. Ef hún þarf að afla að minnsta kosti 150 dollara á viku, getur hún unnið sjö stundir á kaffihúsinu og átta á rannsóknarstofunni?
Athugað hvort raðað par sé lausn línulegs ójöfnuhneppis
Skilgreining línulegs ójöfnuhneppis líkist skilgreiningu línulegs jöfnuhneppis, en ójöfnur koma í stað jafna. Hér er sýnt hneppi tveggja línulegra ójafna.
Til að leysa línulegt ójöfnuhneppi finnum við breytugildi sem uppfylla báðar ójöfnurnar. Við notum gröf þeirra og sýnum lausnina sem svæði. Svæðið inniheldur öll röðuð pör sem gera báðar ójöfnurnar sannar. Á -hnitafleti er lausnin skyggða svæðið sem inniheldur alla slíka punkta.
Til að ákvarða hvort raðað par sé lausn hneppis tveggja ójafna setjum við breytugildin inn í hvora ójöfnu. Ef parið gerir báðar ójöfnurnar sannar er það lausn hneppisins.
Dæmi 5.89
Athugað hvort raðað par sé lausn hneppis
Ákvarðaðu hvort raðaða parið sé lausn hneppisins:
Lausn
Er lausn? Setjum og inn í báðar ójöfnurnar. Raðaða parið gerir báðar ójöfnurnar sannar. Því er lausn hneppisins.
Er lausn? Setjum og inn í báðar ójöfnurnar. Raðaða parið gerir aðra ójöfnuna sanna en hina ósanna. Því er ekki lausn hneppisins.
Línuleg ójöfnuhneppi leyst með grafteikningu
Lausnamengi einnar línulegrar ójöfnu er svæðið öðrum megin við jaðarlínuna, ásamt jaðarlínunni ef ójöfnumerkið er ≤ eða ≥. Lausnamengi hneppis tveggja ójafna er sniðmengi lausnamengja þeirra: aðeins punktar sem uppfylla báðar ójöfnurnar tilheyra því. Rifjum upp gröf línulegra ójafna og finnum lausnamengi hneppis af grafi.
Dæmi 5.90
Línulegt ójöfnuhneppi leyst með grafteikningu
Notaðu mynd 5.88 til að leysa línulega ójöfnuhneppið:
Mynd 5.88. Sameiginlegt lausnasvæði tveggja línulegra ójafna.
Lausn
Til að leysa hneppið finnum við svæðið sem uppfyllir báðar ójöfnurnar. Veljum prófunarpunktinn og athugum hvort hann uppfylli þær.
Er lausn ójöfnunnar
Er lausn ójöfnunnar
Svæðið sem inniheldur er lausn ójöfnuhneppisins. Það er sameiginlega skyggða svæðið, sem birtist dekkst.
Gröf línulegra ójöfnuhneppa teiknuð
Lausnamengi hneppis tveggja línulegra ójafna inniheldur þá punkta sem uppfylla báðar ójöfnurnar samtímis. Til að finna það teiknum við graf hvorrar ójöfnu í sama hnitakerfi og finnum sameiginlega skyggða svæðið.
Fyrsta skref: Teiknaðu graf fyrri ójöfnunnar.
Teiknaðu jaðarlínuna.
Skyggðu þá hlið jaðarlínunnar þar sem ójafnan er sönn.
Annað skref: Teiknaðu graf síðari ójöfnunnar í sama hnitakerfi.
Teiknaðu jaðarlínuna.
Skyggðu þá hlið þeirrar jaðarlínu þar sem ójafnan er sönn.
Þriðja skref: Lausnin er sameiginlega skyggða svæðið.
Fjórða skref: Prófaðu með því að velja prófunarpunkt.
Dæmi 5.91
Línulegt ójöfnuhneppi leyst með grafteikningu
Leystu hneppið með grafteikningu:
Lausn
Teiknaðu með því að teikna jaðarlínuna sem strikalínu (mynd 5.89). Línan sker ásana í og . Punkturinn gerir ójöfnuna ósanna, svo skyggðu hliðina sem inniheldur ekki .
Mynd 5.89. Lausnasvæði ójöfnunnar x − y > 3.
Teiknaðu með því að teikna jaðarlínuna sem strikalínu með hallatölunni og skurðgildinu á -ás (mynd 5.90). Punkturinn gerir ójöfnuna sanna, svo skyggðu hliðina sem inniheldur .
Mynd 5.90. Sameiginlegt lausnasvæði neðan beggja strikalína.
Veldu prófunarpunkt á lausnasvæðinu og staðfestu að hann uppfylli báðar ójöfnurnar. Skurðpunktur línanna er ekki með þar sem báðar jaðarlínur eru strikalínur. Lausnin er dekksta, sameiginlega skyggða svæðið.
Dæmi 5.92
Graf línulegs ójöfnuhneppis teiknað
Leystu hneppið með grafteikningu:
Lausn
Teiknaðu með því að teikna jaðarlínuna sem strikalínu (mynd 5.91). Línan sker ásana í og . Punkturinn gerir ójöfnuna sanna, svo skyggðu hliðina sem inniheldur .
Mynd 5.91. Lausnasvæði ójöfnunnar x − 2y < 5.
Teiknaðu graf ójöfnunnar . Jaðarlínan er lárétt strikalína við (mynd 5.92). Punkturinn uppfyllir ójöfnuna, svo skyggðu hliðina sem inniheldur .
Mynd 5.92. Sameiginlegt lausnasvæði ofan beggja strikalína.
Punkturinn er á lausnasvæðinu og uppfyllir báðar ójöfnurnar. Skurðpunktur línanna er ekki með þar sem báðar jaðarlínur eru strikalínur. Lausnin er dekksta, sameiginlega skyggða svæðið.
Línulegt ójöfnuhneppi með samsíða jaðarlínum getur verið án lausnar. Það sést í næsta dæmi.
Dæmi 5.93
Ójöfnuhneppi með samsíða jaðarlínum og enga lausn
Leystu hneppið með grafteikningu:
Lausn
Teiknaðu með því að teikna jaðarlínuna sem heila línu (mynd 5.93). Línan sker ásana í og . Punkturinn gerir ójöfnuna ósanna, svo skyggðu hliðina sem inniheldur ekki .
Mynd 5.93. Heil jaðarlína og lausnasvæðið ofan hennar.
Teiknaðu með því að teikna jaðarlínuna sem strikalínu með hallatölunni og skurðgildinu á -ás (mynd 5.94). Punkturinn gerir ójöfnuna sanna, svo skyggðu hliðina sem inniheldur .
Mynd 5.94. Samsíða jaðarlínur og skyggð svæði sem skarast ekki.
Enginn punktur tilheyrir báðum skyggðu svæðunum. Hneppið hefur því enga lausn.
Sum línuleg ójöfnuhneppi með samsíða jaðarlínum hafa lausn. Það sést í næsta dæmi.
Dæmi 5.94
Ójöfnuhneppi með samsíða jaðarlínum og lausn
Leystu hneppið með grafteikningu:
Lausn
Teiknaðu með því að teikna jaðarlínuna sem strikalínu með hallatölunni og skurðgildinu á -ás (mynd 5.95). Punkturinn gerir ójöfnuna sanna, svo skyggðu hliðina sem inniheldur .
Mynd 5.95. Strikalína og lausnasvæðið ofan hennar.
Teiknaðu með því að teikna jaðarlínuna sem strikalínu (mynd 5.96). Línan sker ásana í og . Veldu prófunarpunkt á lausnasvæðinu og staðfestu að hann uppfylli báðar ójöfnurnar. Punkturinn gerir ójöfnuna ósanna, svo skyggðu hliðina sem inniheldur ekki .
Mynd 5.96. Sameiginlegt lausnasvæði ofan efri strikalínunnar.
Enginn punktur jaðarlínanna er með í lausninni því báðar eru strikalínur. Lausnin er sameiginlega skyggða svæðið, sem er jafnframt lausn ójöfnunnar .
Hagnýt verkefni með línulegum ójöfnuhneppum túlkuð og leyst
Þegar hagnýt verkefni með ójöfnuhneppum eru leyst setjum við hvert skilyrði fyrst fram sem ójöfnu. Síðan teiknum við graf hneppisins og finnum lausnamengið. Oft eru aðeins óneikvæð breytugildi raunhæf og þá bætum við samsvarandi skilyrðum við hneppið. Ef breyturnar tákna fjölda hluta þurfa gildin jafnframt að vera heilar tölur.
Dæmi 5.95
Línulegt ójöfnuhneppi notað til að reikna ljósmyndakostnað
Ljósmyndari selur prentmyndir í bás á götumarkaði. Í upphafi dags vill ljósmyndarinn hafa að minnsta kosti 25 myndir til sýnis. Hver lítil mynd kostar 4 dollara og hver stór mynd 10 dollara. Ekki má verja meira en 200 dollurum í sýningarmyndir.
Ritaðu ójöfnuhneppi sem lýsir aðstæðunum.
Teiknaðu graf hneppisins.
Er hægt að sýna 10 litlar og 20 stórar myndir?
Er hægt að sýna 20 litlar og 10 stórar myndir?
Lausn
Skilgreinum breyturnar þannig: fjöldi lítilla mynda og . Til að finna ójöfnuhneppið setjum við upplýsingarnar fram með táknum. Sýna á að minnsta kosti 25 myndir.
Samanlagður fjöldi lítilla og stórra mynda á að vera að minnsta kosti 25.
Kostnaðurinn, 4 dollarar fyrir hverja litla mynd og 10 fyrir hverja stóra, má ekki fara yfir 200 dollara.
Fjöldi lítilla mynda verður að vera að minnsta kosti 0.
Fjöldi stórra mynda verður að vera að minnsta kosti 0.
Þar með höfum við ójöfnuhneppið.
Þar sem og liggja allar lausnir í fyrsta fjórðungi eða á jákvæðum hnitásunum. Grafið sýnir því aðeins þennan hluta hnitaflatarins. Teiknaðu með heilu jaðarlínunni . Punkturinn gerir ójöfnuna ósanna, svo skyggðu hliðina sem inniheldur ekki .
Teiknaðu með heilu jaðarlínunni . Punkturinn gerir hana sanna, svo skyggðu neðri vinstri hliðina sem inniheldur .
Mynd 5.97. Lausnasvæði skilyrðanna um fjölda mynda og kostnað.
Lausn hneppisins er dekksta svæðið á mynd 5.97. Jaðarlínubútarnir sem afmarka það eru með í lausninni, ásamt punktunum á -ás frá til .
Leiðrétting á frumtexta: Endapunkturinn á x-ás er (50, 0), ekki (55, 0), því að 200 deilt með 4 er 50. Fjöldi mynda verður að vera heil tala. Í fjórða lið spurningarinnar er átt við 20 litlar og 10 stórar myndir, í samræmi við lausnina.
Til að kanna 10 litlar og 20 stórar myndir skoðum við hvort sé á lausnasvæðinu eða prófum punktinn í báðum ójöfnum. Hann er ekki lausn og ljósmyndarinn getur því ekki valið þessa samsetningu.
Til að kanna 20 litlar og 10 stórar myndir skoðum við hvort sé á lausnasvæðinu eða prófum punktinn í báðum ójöfnum. Hann er lausn og ljósmyndarinn getur því valið þessa samsetningu.
Prófaðu skilning þinn
Paraðu rétt graf við ójöfnuhneppið.
Leiðrétting á frumtexta: Ekkert af fimm gröfunum sýnir lausnamengi þessa hneppis. Lausnasvæðið er neðan beggja strikalínanna 2x + 3y = 5 og x − y = 3. Upprunalegi svarlykillinn tilgreinir graf C, en þar er svæðið ofan beggja lína skyggt.
Ekkert grafanna passar við hneppið.
Æfingar úr hluta 5.10
Í eftirfarandi verkefnum skaltu ákvarða hvort hvert raðað par sé lausn hneppisins.
1.
A: B:
2.
A: B:
3.
A: B:
4.
A: B:
5.
A: B:
6.
A: B:
Í eftirfarandi verkefnum skaltu ákvarða hvort hvert raðað par sé á dekksta sameiginlega skyggða svæði grafsins.
7.
A:
B:
8.
A:
B:
9.
A:
B:
10.
A:
B:
11.
A:
B:
12.
A:
B:
13.
A:
B:
Í eftirfarandi verkefnum skaltu leysa línulegu ójöfnuhneppin með grafteikningu.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Í eftirfarandi verkefnum skaltu setja aðstæðurnar fram sem ójöfnuhneppi og leysa hneppið.
Garðyrkjufólk vill ekki verja meira en 50 dollurum í poka af áburði og mómold. Áburður kostar 2 dollara pokinn og mómold 5 dollara. Sendibíllinn tekur í mesta lagi 20 poka.
31.
Ritaðu ójöfnuhneppi sem lýsir aðstæðunum.
32.
Teiknaðu graf hneppisins.
33.
Er hægt að kaupa 15 poka af áburði og 4 af mómold?
34.
Er hægt að kaupa 10 poka af áburði og 10 af mómold?
Í eftirfarandi verkefnum skaltu setja aðstæðurnar fram sem ójöfnuhneppi og leysa hneppið.
Nemandi undirbýr sig fyrir lokapróf í efnafræði og algebru. Hann hefur aðeins 24 klukkustundir til náms og áætlar að verja að minnsta kosti þrefalt jafn miklum tíma í algebru og í efnafræði.
35.
Ritaðu ójöfnuhneppi sem lýsir aðstæðunum.
36.
Teiknaðu graf hneppisins.
37.
Er hægt að verja 4 stundum í efnafræði og 20 í algebru?
38.
Er hægt að verja 6 stundum í efnafræði og 18 í algebru?
Í eftirfarandi verkefnum skaltu setja aðstæðurnar fram sem ójöfnuhneppi og leysa hneppið.
Mara vill auka vöðvamassa. Í þessu verkefni er gert ráð fyrir að hún bæti að minnsta kosti 80 grömmum af prótíni við daglega neyslu sína. Flaska af prótínvatni kostar 3,20 dollara og inniheldur 27 grömm af prótíni. Prótínstöng kostar 1,75 dollara og inniheldur 16 grömm. Látum tákna fjölda flaskna og fjölda prótínstanga sem hún kaupir. Mara hefur 10 dollara til ráðstöfunar:
39.
Ritaðu ójöfnuhneppi sem lýsir aðstæðunum.
40.
Teiknaðu graf hneppisins.
41.
Getur hún keypt 3 flöskur af prótínvatni og 1 prótínstöng?
42.
Getur hún keypt enga flösku af prótínvatni og 5 prótínstangir?
Í eftirfarandi verkefnum skaltu setja aðstæðurnar fram sem ójöfnuhneppi og leysa hneppið.
Mark ætlar að hreyfa sig meira með því að hlaupa og ganga samtals að minnsta kosti 4 mílur á dag. Markmið hans er að brenna að minnsta kosti 1.500 hitaeiningum við þessa hreyfingu. Í þessu verkefni er gert ráð fyrir 270 hitaeininga brennslu á hverja mílu á göngu og 650 hitaeininga brennslu á hverja mílu á hlaupum.
43.
Ritaðu ójöfnuhneppi sem lýsir aðstæðunum.
44.
Teiknaðu graf hneppisins.
45.
Getur hann náð markmiðinu með því að ganga 3 mílur og hlaupa 1?
46.
Getur hann náð markmiðinu með því að ganga 2 mílur og hlaupa 2?
Í eftirfarandi verkefnum skaltu setja aðstæðurnar fram sem ójöfnuhneppi og leysa hneppið.
Tension þarf að neyta að minnsta kosti 1.000 viðbótarhitaeininga á dag til að undirbúa maraþon. Hann hefur aðeins 25 dollara til matarins og hyggst kaupa kleinuhringi á 0,75 dollara, með 360 hitaeiningum hver, og orkudrykki á 2 dollara, með 110 hitaeiningum hver.
47.
Ritaðu ójöfnuhneppi sem lýsir aðstæðunum.
48.
Teiknaðu graf hneppisins.
49.
Getur hann keypt 8 kleinuhringi og 4 orkudrykki og uppfyllt hitaeiningaþörfina?
50.
Getur hann keypt 1 kleinuhring og 3 orkudrykki og uppfyllt hitaeiningaþörfina?
